TUYỂN TẬP CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾ TỶ SỐ THỂ TÍCH

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

TUN TËP 1 Sè C¢U HáI LI£N QUAN
Tû Sè THĨ TÝCH

1. KHỐI CHĨP - MỨC 1 ............................................................................................................................ 1
2. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 1 .................................................................................................................. 5
3. KHỐI CHÓP - MỨC 2 ............................................................................................................................ 6
4. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 2 ................................................................................................................ 24
5. KHỐI CHÓP - MỨC 3 .......................................................................................................................... 35
6. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 3 ................................................................................................................ 58
7. KHỐI CHÓP - MỨC 4 .......................................................................................................................... 77
8. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 4 .............................................................................................................. 122

THAM GIA NHÓM: />
Trang 1


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Câu 1.

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

1. KHỐI CHĨP - MỨC 1
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 60 cm 3 và điểm K trên cạnh AB sao cho AB  4 KB.
Tính thể tích V của khối tứ diện BKCD .
A. V  20 cm3 .
B. V  12 cm3 .

C. V  30 cm3 .

D. V  15 cm3 .

Lời giải
Chọn D

Ta có:
Câu 2.

VB.KCD BK BC BD 1
1
1

.
.
  VB.KCD  VB. ACD  .60  15  cm3 
VB. ACD BA BC BD 4
4
4

Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật và thể tích bằng 8. Thể tích của khối chóp
S .BCD bằng:
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B

Ta có: Hai hình chóp S . ABCD và S .BCD có cùng chiều cao h là khoảng cách từ S đến mặt phẳng
1
.S BCD .h
1
VBCD
1
1
 3
  VBCD  VABCD  4.
 ABCD  và SBCD  S ABCD 
2
VABCD 1 .S
2
2
ABCD .h
3
Câu 3.

Trang 2

Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật và thể tích bằng 8. Thể tích của khối chóp
S .BCD bằng:
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Ta có: Hai hình chóp S . ABCD và S .BCD có cùng chiều cao h là khoảng cách từ S đến mặt phẳng
1
.S BCD .h
1
VBCD
1
1
 3
  VBCD  VABCD  4.
 ABCD  và SBCD  S ABCD 
VABCD 1 .S
2
2
2
ABCD .h
3
Câu 4.

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 60 cm 3 và điểm K trên cạnh AB sao cho AB  4 KB.
Tính thể tích V của khối tứ diện BKCD .
A. V  20 cm3 .

B. V  12 cm3 .

C. V  30 cm3 .

D. V  15 cm3 .

Lời giải
Chọn D

Ta có:
Câu 5.

VB.KCD BK BC BD 1
1
1

.
.
  VB.KCD  VB. ACD  .60  15  cm3 
VB. ACD BA BC BD 4
4
4

Cho khối chóp S . ABC . Gọi A , B  , C  lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , SC (minh
V
hoạ như hình vẽ). Tỉ số S . ABC  bằng
VS . ABC

A. 8 .

B. 2 .

C.

1
.
8

D.

1
.
2

THAM GIA NHÓM: />
Trang 3


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

Lời giải
Chọn C
V
SA SB SC  1 1 1 1
.
.
 . .  .
Ta có: S . ABC  
VS . ABC

SA SB SC 2 2 2 8
Câu 6.

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE  3EB . Tính thể tích
khối tứ diện EBCD theo V .
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
2
5
Lời giải
Chọn A

A

E
B

D
C

VB. ECD BE AC AD 1
1


.
.
  VB. ECD  VE . BCD  V
VA. BCD BA AC AD 4
4

Câu 7.

Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B  , C  sao cho
1
1
1
SA  SA , SB  SB , SC   SC . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC
2
3
4
V
và S.ABC . Khi đó tỉ số
là:
V
1
1
A. 12 .
B.
.
C. 24 .
D.
.
12

24
Lời giải:
Chọn D
S
C'
A'

B'

C

A

B

Theo công thức tỉ số thể tích khối chóp, ta được:

Trang 4

V  SA SB SC  1 1 1 1
.

.
.
 . . 
V
SA SB SC 2 3 4 24

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

2. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 1
Câu 8.

Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng 15 . Thể tích khối chóp A. ABC bằng
A. 5 .
B. 10 .
C. 3 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A

Vì lăng trụ ABC. ABC  và khối chóp A. ABC có diện tích đáy như nhau và cùng chiều cao nên
VA. ABC
1
1
  VA. ABC  VABC . ABC  5 .
VABC . ABC  3
3
Câu 9.

Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có thể tích bằng 15 . Thể tích khối chóp A. ABC bằng
A. 5 .
B. 10 .
C. 3 .
D. 6 .

Lời giải
Chọn A

Vì lăng trụ ABC. ABC  và khối chóp A. ABC có diện tích đáy như nhau và cùng chiều cao nên
VA. ABC
1
1
  VA. ABC  VABC . ABC  5 .
VABC . ABC  3
3

THAM GIA NHÓM: />
Trang 5


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

3. KHỐI CHÓP - MỨC 2

  CSA
  60 . Thể tích
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA  a, SB  3a 2, SC  2a 3 , 
ASB  BSC

khối chóp S . ABC là
A. 2a 3 3 .

B.

a3 3
.
3

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Lời giải
Chọn C

Lấy M  SB, N  SC sao cho SA  SM  SN  a .

a3 2
  CSA
  60 do đó khối chóp SAMN là tứ diện đều cạnh a nên V
.
Vì 
ASB  BSC
S . AMN 
12
Mặt khác

VS . ABC SA SB SC
a3 2



 6 6  VS . ABC  6 6VS . AMN  6 6

 a 3 3.
VS . AMN SA SM SN
12

Câu 11. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB , SC . Thể tích của khối chóp S .MNP bằng

A. 6.

B. 8.

C. 12.

D. 10.

Lời giải
Chọn A
Ta có hình vẽ:

Ta có:

VS . ABC
SA SB SC
.



VS .MNP SM SN SP

Theo giả thiết ta có:

Trang 6

48
VS .MNP



2 2 2
   VS .MNP  6 (đvtt).
1 1 1
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Câu 12. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB , SC . Thể tích của khối chóp S .MNP bằng

A. 6.

B. 8.

C. 12.

D. 10.

Lời giải
Chọn A

Ta có hình vẽ:

Ta có:

VS . ABC
SA SB SC



.
VS .MNP SM SN SP

Theo giả thiết ta có:

48
VS .MNP



2 2 2
   VS .MNP  6 (đvtt).
1 1 1

  CSA
  60 . Thể tích
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có SA  a, SB  3a 2, SC  2a 3 , 
ASB  BSC

khối chóp S . ABC là
A. 2a

3

3.

a3 3
B.
.
3

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Lời giải
Chọn C

Lấy M  SB, N  SC sao cho SA  SM  SN  a .

a3 2
  CSA
  60 do đó khối chóp SAMN là tứ diện đều cạnh a nên V

.
Vì 
ASB  BSC
S . AMN
12
Mặt khác

VS . ABC SA SB SC
a3 2



 6 6  VS . ABC  6 6VS . AMN  6 6
 a 3 3.
VS . AMN SA SM SN
12

THAM GIA NHÓM: />
Trang 7


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

Câu 14. Cho khối tứ diện đều ABC D có thể tích là V . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của A C

AMNPQ
.
, A D , BD , BC . Thể tích khối chóp
là
A.

V
.
12

B.

V
.
3

V
.
6
Lời giải

C.

D.

V
.
4

Chọn D

Cách 1:
Ta có:
Mà

VAMNP AM AN AP 1

.
.
 .

VACDP AC AD AP 4

VACDP 1
 .
VABCD 2

1
1 1
1
V
Vậy V A.MNPQ  2VAMNP  2. VACDP  2. . .V ABCD  V ABCD  .
4
4 2
4
4
Cách 2:
Ta có: V A. MNPQ  2V APMQ (do MNPQlà hình thoi).

Mà VAPMQ  VBPMQ (do AB // MQ ) nên V A. MNPQ  2V BPMQ .
1
1
d  D ,  ABC   và S BQM  S ABC .
2
4
1 1
1
1 1
V
 . d  D,  ABC   . S ABC  . d  D ,  ABC   .S ABC  .
3 2

4
8 3
8

Vì P là trung điểm của BD nên d  P ,  ABC   
1
d  P ,  ABC   .S BQM
3
V
Suy ra V AMNPQ  .
4

Nên VBPMQ 

Câu 15. Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC . Tính tỉ số
thể tích của 2 khối chóp S .MNP và S . ABC bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
4
8
16
2
Lời giải

Chọn B

Trang 8

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12
S

P

M

N
C

A

B

Ta có

VS .MNP SM SN SP 1



 .

VS . ABC
SA SB SC 8

Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Xét điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm P trên cạnh CD
MB
NB
PC 3
sao cho
 3,
 4,
 . Gọi V1 , V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MNBD và
MA
NC
PD 2
V
NPAC . Tỉ số 1 bằng
V2
A. 3 .

B. 5 .

C.

1
.
5

D.

1

.
3

Lời giải
Chọn B

1
V1  h1.S1 với h1  d  M ,  BCD   ; S1  S NBD .
3
1
V2  h2 .S 2 với h2  d  A,  BCD   ; S 2  S CNP .
3
V1 h1.S1
h 3
4
1 3
3
S
20
.

 5 . Vì 1  và S1  SBCD ; S 2  . S BCD 
SBCD  1 
V2 h2 .S 2
h2 4
5
5 5
25
S2
3

Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau và SA  a , SB  2 a và
SC  3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SC . Tính theo a thể tích khối chóp
S . AMN .

THAM GIA NHÓM: />
Trang 9


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

a3
A.
.
2

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

a3
B.
.
4

3a 3
D.
.
4

3

C. a .

Lời giải

Chọn B
Hình vẽ
A

N

S

C

M
B

1
1
Ta có VS . ABC  SA.SSBC  SA.SB.SC  a3
3
6
Mặc khác

1
a3
VS . AMN SA SM SN 1
.

.
.
 . Suy ra VS . AMN  VS . ABC 

4
4
VS . ABC SA SB SC 4

Câu 18. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , SM . Mặt phẳng

 ABN  cắt

SC tại E . Gọi V2 là thể tích của khối chóp S . ABE và V1 là thể tích khối chóp S . ABC

. Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
A. V2  V1 .
B. V2  V1 .
4
3

1
C. V2  V1 .
6
Lời giải

1
D. V2  V1 .
8

Chọn B

Gọi I là trung điểm của EC nên IM là đường trung bình của tam giác BCE  MI //EN

Mà N là trung điểm của SM  EN là đường trung bình của tam giác SMI suy ra E là trung
điểm của SI .
V2 SE 1
1

  V2  V1 .
V1 SC 3
3
Câu 19. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB  AC  a , SC   ABC  và

SC  a . Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA , SB lần lượt tại E và F . Thể tích khối
chóp S .CEF là

Trang 10

TỔNG HỢP: HỒNG TUN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

A.

2a 3
.
12

B.

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

a3
.
36

C.

2a 3
.
36

D.

a3
.
18

Lời giải
Chọn B

Tam giác vng SCA có SC  CA  a nên là tam giác vng cân ở C.
Ta có AB  AC và AB  SC suy ra AB   SAC  suy ra AB  CE. 1
Mặt khác theo giả thiết SB   CEF   SB  CE .  2 
Từ 1 và  2  suy ra  SAB   CE  CE  SA . Do đó E la trung điểm của SA vì tam giác SCA
vng cân ở C.
Trong tam giác vng SCB có SC 2  SF .SB 
Từ đó ta có

SC 2 SF

.

SB 2 SB

VS .CEF SE SF 1 SC 2 1
a2
1

.
 . 2  . 2

VS .CAB SA SB 2 SB
2 a  2a 2 6

1
1 1 1
a3
 VS .CEF  VS .CAB  . . a.a.a  .
6
6 3 2
36
Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của SB
V
, SD . Tỉ số S . AEF bằng:
VS . ABCD
A.

1
.
4

B.

3
.
8

1
.
8
Lời giải:
C.

D.

1
.
2

Chọn C

THAM GIA NHÓM: />
Trang 11


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

S

F

E
A

D

B

C

Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích hình chóp, ta có:

VS . AEF SA SE SF 1

. .
 .
VS . ABD SA SB SC 4

1
1 1
Suy ra VS . AEF  VS . ABD  . .VS . ABCD .
4
4 2
V
1
Vậy S . AEF  .
VS . ABCD 8
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC , SD
. Biết khối chóp S . ABCD có thể tích là 16a 3 . Tính thể tích khối chóp S .MNPQ theo a .
A. 2a 3 .

B. a 3 .

C. 8a 3 .
Lời giải

D. 4a 3 .

S

Q

M

N

P
D

A

C
B

Chọn A
Cách 1: Mặt phẳng  SAC  chia khối chóp S . ABCD thành hai khối chóp tam giác S . ABC và

S . ADC , đồng thời cũng chia khối chóp S .MNPQ thành hai khối chóp S .MNP và S .MQP .
Áp dụng phương pháp tỷ số thể tích, ta có:
VS .MQP 1
1

1
VS .MNP SM SN SP 1



 nên VS .MNP  VS . ABC ; và
 nên VS .MQP  VS . ADC .
VS . ABC
SA SB SC 8
VS . ADC 8
8
8
Do đó VS .MNPQ  VS .MNP  VS .MQP 

Trang 12

1
1
1
VS . ABC  VS . ADC   VS .MNPQ  VS . ABCD  .16a3  2a 3 .
8
8
8

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Cách 2: Ta dễ dàng chỉ ra được tứ giác MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số

1
nên
2

2

1
1
S MNPQ    .S ABCD . Đồng thời d  S ,  MNPQ    d  S ,  ABCD   .
2
2
Do đó, ta có:
1
1 1
1
1
VS .MNPQ  S MNPQ .d  S ,  MNPQ     S ABCD .d  S ,  ABCD    VS . ABCD  .16a3  2a 3 .
3
3 4
8
8
Câu 22. Cho khối chóp S . ABC có các điểm A , B , C  lần lượt thuộc các cạnh SA , SB , SC thoả 3SA  SA

, 4SB  SB , 5SC   3SC . Biết thể tích khối chóp S . ABC  bằng 5  cm 3  . Tìm thể tích khối chóp

S . ABC .

A. 120  cm 3  .

B. 60  cm3  .

C. 80  cm3  .

D. 100  cm3  .

Lời giải
Chọn D
S
C'
A'
B'

A

C

B

Áp dụng tỉ lệ thể tích ta có:
VS . ABC  SA SB SC  1 1 3 1
 . . 

.
.
 VS . ABC  20VS . ABC   100  cm 3  .
VS . ABC
SA SB SC 3 4 5 20

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O . Gọi H và K lần lượt là trung điểm
V
của SB , SD . Tỷ số thể tích AOHK bằng
VS . ABCD
A.

1
.
12

B.

1
.
6

C.

1
.
8

D.

1
.
4

Lời giải
Chọn C

S

K
H

D

A
O
B

C

THAM GIA NHÓM: />
Trang 13


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

Vì H và K , O lần lượt là trung điểm của SB và SD , BD nên SOHK 

1
S SBD
4

V
1
1

1
1
Suy ra VAOHK  VA.SBD  VS . ABD  VS . ABCD  AOHK  .
4
4
8
VS . ABCD 8

Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng tâm
của tam giác SBC . Gọi V , V  lần lượt là thể tích của các khối chóp M . ABC và G. ABD , tính tỉ
V
số
.
V
V 3
V 4
V 5
V 2
 .
 .
 .
 .
A.
B.
C.
D.
V 2
V 3
V 3
V 3

Lời giải
S

M

G

D
C
O
A

B

Chọn A
Cách 1:
Gọi V là thể tích khối chóp S . ABCD .
V
SM 1
Ta có M . ABC 
 .
VS . ABC
SB 2

1
1
Mặt khác VS . ABC  VS . ABCD  VM . ABC  VS . ABCD .
2
4
1

1
Dễ thấy d  G,  ABCD    d  S ,  ABCD   ; S ABD  S ABCD .
3
2
1
Vậy VG. ABD  .VABCD .
6
1
VM . ABC 4 3
Suy ra,
  .
VG . ABD 1 2
6
Cách 2:
VG . ABD VG . ABC GC 2 VM . ABC 3


 

VM . ABC VM . ABC MC 3
VG . ABD 2
Câu 25. Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  a và SA vng góc
với mặt phẳng  ABC  . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các đường thẳng

SB và SC . Thể tích V của khối chóp A.BCNM bằng
Trang 14

TỔNG HỢP: HỒNG TUN

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

A.

a3 3
.
12

B.

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

a3 3
.
48

C.

a3 3
.
24

D.

a3 3
.
16

Lời giải
Chọn D

1 a2 3 a3 3
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC  a.
.

3
4
12
Do SA  AB  AC  a nên các tam giác SAC , SAB cân tại A .

Theo đề bài M , N là hình chiếu của A trên SB , SC nên M , N lần lượt là trung điểm SB , SC
.

VS . AMN SM .SN 1
1
a3 3

  VS . AMN  VS . ABC 
.
VS . ABC
SB.SC 4
4
48

Khi đó:

Vậy thể tích khối chóp A.BCNM là VA.BMNC  VS . ABC  VS . AMN 

a 3 3 a3 3 a3 3



.
12
48
16

Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vng góc với mặt đáy. Gọi M
là trung điểm BC . Mặt phẳng  P  đi qua A và vng góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E ,

1
F . Biết VS . AEF  VS . ABC . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
4
A. V 

a3
.
2

B. V 

a3
.
8

C. V 

2a 3
.
5

D. V 

a3
.
12

Lời giải
Chọn B

THAM GIA NHÓM: />
Trang 15


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT
S

F
H
E
C

A

M
B

Ta có BC  SM . Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên SM . Do FE   P    SBC 

 FE  SM  FE  BC và FE đi qua H .
2

VS . AEF

1
SE SF 1
SH 1
 SH  1
 VS . ABC 
.
 
 . Vậy H là trung điểm cạnh SM .
  
4
SB SC 4
SM 2
 SM  4

Suy ra SAM vuông cân tại A  SA 

a 3
.
2

1 a 3 a 2 3 a3
 .
Vậy VSABC  .
.
8

3 2
4

Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm
E sao cho SE  2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .
2
1
1
4
A. V  .
B. V  .
C. V  .
D. V  .
3
6
3
3
Lời giải
Chọn C

Ta có:

VSEBD SE 2

 .
VSCBD SC 3

1
1
2 1 1

Mà: VSBCD  VS . ABCD   VSEBD  .  .
2
2
3 2 3
Câu 28. Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể
tích của khối chóp đó sẽ:
Trang 16

TỔNG HỢP: HỒNG TUN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

A. Khơng thay đổi.

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

B. Tăng lên hai lần.

C. Giảm đi ba lần.

D. Giảm đi hai lần.

Lời giải
Chọn A
Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần thì diện tích đáy tăng bốn lần. Vì giảm chiều cao đi bốn lần nên thể
tích khối chóp khơng thay đổi.
Câu 29. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ số

VMIJK

bằng
VMNPQ

thể tích
A.

1
.
3

B.

1
.
4

C.

1
.
6

D.

1
.
8

Lời giải
Chọn D

M

K

I
J

N

Q

P

Ta có:

VM . IJK
VM . NPQ



MI MJ MK 1 1 1 1
.
.
 . .  .
MN MP MQ 2 2 2 8

Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD bằng:
1
1

A. .
B. .
8
2

C.

1
.
4

D.

1
.
6

Lời giải
Chọn C
A

B'
C'
B

D

C

THAM GIA NHÓM: />

Trang 17


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Ta có

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

VAB 'C ' D AB ' AC ' 1 1 1

.
 .  .
VABCD
AB AC 2 2 4

Câu 31. Cho tứ diện OABC có OA  a, OB  2a, OC  3a đơi một vng góc với nhau tại O . Lấy M là

2
trung điểm của cạnh AC ; N nằm trên cạnh CB sao cho CN  CB . Tính theo a thể tích khối
3
chóp OAMNB .
1
2
1
A. 2a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 .
D. a 3 .
6

3
3
Lời giải
Chọn C
Ta có:

A

M

O
C
N
B
1
1
VOABC  d  A;  OBC   .S OBC  OA.OB.OC  a3
3
6

1
1 1
2
1
a3
VMOBC  d  M ;  OBC   .S OCN  . .d  M ;  OBC   .SOBC  .VOABC 
3
3 2
3
3

3
VAOMNB  VOABC  VMOBC  a 3 

a 3 2a 3

.
3
3

Câu 32. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S .MNPQ và S . ABCD bằng
A.

1
.
8

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D.

1
.
16

Lời giải
Chọn A

Trang 18

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12
S

Q

M
N

P

D

A

B

C

1
1
Ta có VS .MNP  VS . ABC và VS .MQP  VS . ADC
8
8
1
1
1
 VS .MNPQ  VS .MQP  VS .MNP  VS . ABC  VS . ADC  VS . ABCD
8
8
8
VS .MNPQ 1

 .
VS . ABCD 8
Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  , tam giác ABC đều, AB  a , góc giữa SB và  ABC 
bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp S .MNC
A.

a3
.
8

B.

a3
.

4

C.

a3 3
.
12

D.

a3
.
16

Lời giải
Chọn D



  60 .
Ta có  SB,  ABC     SB, AB   SBA
  a.tan 60  a 3 .
SA  AB.tan SBA
1
1
a2 3 1 3
VS . ABC  .SA.S ABC  .a 3.
 a .
3
3

4
4

Mà

1
1 3
VS .CMN SM SN 1

.
  VS .CMN  VS .CAB  a .
4
16
VS .CAB
SA SB 4

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Hai mặt bên  SAB  và  SAD 
cùng vng góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng 45 . Gọi

THAM GIA NHÓM: />
Trang 19


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

V1 ;V2 lần lượt là thể tích khối chóp S . AHK và S . ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC
và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S . ABCD và tỉ số k 
A. h  a; k 

1
.
4

B. h  a; k 

1
.
6

V1
.
V2

1
C. h  2a; k  .
8
Lời giải

1
D. h  2a; k  .
3

Chọn A

Do  SAB  và  SAD  cùng vng góc với mặt đáy nên SA   ABCD  .
CD  AD
Ta có 
 CD   SAD   CD  SD .

CD  SA

  45 .
Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD  là SDA

Ta có tam giác SAD là tam giác vng cân đỉnh A . Vậy h  SA  a .
V SH SK 1
Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích có: 1 
.
 .
V2 SC SD 4
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là
SM SN
các điểm trên cạnh SB và SD sao cho

 k . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp
SB SD
1
S . AMN bằng .
8
1
A. k  .
8

B. k 

2
.
2

C. k 

2
.
4

D. k 

1
.
4

Lời giải
Chọn C

S

M

N

A
B
Trang 20

D
C
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

Ta có

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

VS . AMN SA SM SN

.
.
 k 2.
VS . ABD SA SB SD

1
1
1
2
Mà VS . AMN  , VS . ABD  VS . ABCD  1   k 2  k 
.
8
2
8
4

Câu 36. Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số
A. 4 .

B.

1


2

C. 2 .

D.

VS . ABC
.
VS .MNC

1

4

Lời giải.
Chọn A
S

M
N
C

A

B

Ta có

VS . ABC

SA. SB. SC

 4.
VS .MNC SM . SN . SC

Câu 37. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC , AD vng góc với nhau từng đơi một và AB  3a ,
AC  6a , AD  4a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CD , BD . Tính thể
tích khối đa diện AMNP .
A. 3a 3 .

B. 12a3 .

C. a 3 .

D. 2a 3 .

Lời giải
Chọn A
 Cách 1: Khối tứ diện ABCD được chia thành bốn tứ diện có thể tích bằng nhau.
1
1
Mà VABCD  AB. AC. AD  12a 3 nên VAMNP  VABCD  3a3 .
6
4
1
 Cách 2: Ta có VABCD  AB. AC. AD  12a3 .
6

BC  AB 2  AC 2  3a 5 ; CD  AC 2  AD 2  2a 13 ; BD  AB 2  AD 2  5a .
THAM GIA NHÓM: />

Trang 21


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

Diện tích tam giác BCD : S BCD 

p  p  BC  p  CD  p  BD  , với p 

 S BCD  3a 2 29  d  A,  BCD   

3a 5  2a 13  5a
2

3VABCD 12a
.

S BCD
29

Mà M , N , P là trung điểm các cạnh BC , CD , BD nên hai tam giác BCD và MNP đồng dạng
1
1
theo tỉ số k  nên S MNP  S BCD
2
4
1
Khi đó VAMNP  .S MNP .d  A,  MNP    3a3 .

3
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vng cân ở B , AC  a 2, SA   ABC  , SA  a. Gọi

G là trọng tâm của SBC , mp   đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai
phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện khơng chứa đỉnh S . Tính V .
A.

4a3
.
9

B.

4a3
.
27

C.

5a 3
.
54

D.

2a3
.
9

Lời giải

Chọn C

Trong mặt phẳng  SBC  . Qua G kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt SC , SB tại
E , F . Khi đó ta được khối đa diện khơng chứa đỉnh S là ABCEF.

Ta có G là trọng tâm của SBC nên

VS .AFE SA SF SE 2 2 4

.
.
 .  .
VS . ABC SA SB SC 3 3 9

4
4
5
Do đó VS .AFE  .VS . ABC  VABCEF  VS . ABC  .VS . ABC  .VS . ABC .
9
9
9

Vì tam giác ABC vng cân ở B , AC  a 2 nên AB  BC  a.
Mặt khác VS . ABC 

11
a3
5 a 3 5a 3
a.a.a  . Suy ra VABCEF  . 
..

32
6
9 6
54

Câu 39. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , SM . Mặt phẳng

 ABN  cắt

SC tại E . Gọi V2 là thể tích của khối chóp S . ABE và V1 là thể tích khối chóp S . ABC

. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 22

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

1
A. V2  V1 .
4

1
B. V2  V1 .
3

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

1
C. V2  V1 .
6
Lời giải

1
D. V2  V1 .
8

Chọn B

Gọi I là trung điểm của EC nên IM là đường trung bình của tam giác BCE  MI //EN
Mà N là trung điểm của SM  EN là đường trung bình của tam giác SMI suy ra E là trung
điểm của SI .
V2 SE 1
1

  V2  V1 .
V1 SC 3
3

THAM GIA NHÓM: />
Trang 23


HÌNH KHƠNG GIAN:K12

NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN THPT

4. KHỐI LĂNG TRỤ - MỨC 2

Câu 40. Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A  B C  . Lấy H , G lần lượt là tâm của hình chữ nhật B C C B  và
A C C A  , I là trung điểm của C C  . Tính tỉ số thể tích của tứ diện C H G I và tứ diện C B A  C  .
1
4
30
15
A. .
B. .
C.
.
D.
.
8
5
8
2
Lời giải
Chọn A

VCHGI
CH CG CI
CH CG CI 1

.
.

.
.
 .
VCB ' A'C ' CB CA CC  2CH 2CG 2CI 8

B
C

H
A

I
G

B'

C'

A'
Câu 41. Cho hình hộp ABCD. AB C D  , gọi O là giao điểm AC và BD . Thể tích khối chóp
O. AB C D  bằng bao nhiêu lần thể tích khối hộp ABCD. AB C D  ?
A.

1
.
6

B.

1
.
4

C.

1
.
2

D.

1
.
3

Lời giải
Chọn D
C

B
O
D

A

C'

B'

A'

Trang 24

D'

TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN


NHĨM WORD   BIÊN SOẠN TỐN

HÌNH KHƠNG GIAN:K12

Do khối chóp và khối hộp có cùng chiều cao và diện tích đáy nên

VO. ABC D '
VABCD. ABC D '



1
3

Câu 42. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' , biết rằng thể tích khối chóp A.BCC ' B ' bằng 12 .Thể
tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' bằng
A. 24 .
B. 36 .
C. 18 .
D. 32 .
Lời giải
Chọn C

Ta có: Đặt V  VABC . A ' B 'C '

V  h.S A ' B 'C ' .

1
1
VA. A ' B 'C '  h.S A ' B 'C '  V .
3
3
2
VABCC ' B '  V  VA. A' B 'C '  V  12  V  18.
3
Câu 43. ( Đề Thi thử Trường Chuyên Lê Thánh Tông_Quảng Nam_2020 ) Gọi V là thể tích của khối
hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' và V1 là thể tích của tứ diện A ' BCD . Hệ thức nào sau đây đúng?
A. V  4V1 .

B. V  2V1 .

C. V  6V1 .

D. V  3V1 .

Lời giải
Chọn C
Gọi h là khoảng cách từ A ' đến mp ( ABCD) . Khi đó, h là chiều cao của khối hộp cũng là
chiều cao của tứ diện A ' BCD .
V VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD .h 2S BCD .h



6
Ta có:
1
1

V1
VA ' BCD
S BCD .h
S BCD .h
3
3
 V  6V1 .
Câu 44. Cho lăng trụ tam giác A B C . A  B C  có chiều cao bằng 4 và diện tích đáy bằng 3 . Gọi M , N ,
P lần lượt là tâm của các mặt bên A B B A  , B C C B  và C A A  C  . Thể tích khối đa diện lồi có
các đỉnh là các điểm A , B , C , M , N , P bằng
A. 6 .

B.

9
.
4

C.

9
2

.

D.

3.

Lời giải

Chọn C

THAM GIA NHÓM: />
Trang 25