Tự-học-hình-không-gian

M

Lê Văn Tuấn (Chủ biên)

ID  [30468]

Đặng Công Đức – Nguyễn Thế Duy

TỰ HỌC
HÌNH KHÔNG GIAN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI



MỤC LỤC [30468]
Lời giới thiệu – Một cuộc cách mạng sách ................................................ 09
Lời cảm ơn ................................................................................................ 15
Lời nói đầu ............................................................................................... 17

 BẢNG TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRỌNG TÂM..........19
 Một số kiến thức cơ bản cần nắm [1087] .................................................. 23
 Chủ đề 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP [1088]
A. Kiến thức nền tảng [1090] ................................................................... 27
B. Vận dụng – Tự luyện [1091]
I. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy [1105] ..................................... 30
 Ví dụ minh họa [1110] ............................................................... 30

Đáp án

 Bài tập tự luyện [1111] .............................................................. 35 .............. 535
II. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy [1106] ..................................... 37
 Ví dụ minh họa [1112] ............................................................... 37
 Bài tập tự luyện [1113] .............................................................. 41 .............. 535
III. Tính thể tích khối chóp [1107]...................................................... 42
 Ví dụ minh họa [1114] ............................................................... 42
 Bài tập tự luyện [1115]
1. Tính thể tích theo mô hình 1 [1116]. ..................................... 52 .............. 535
2. Tính thể tích theo mô hình 2 [1117] ...................................... 54 .............. 535
3. Tính thể tích theo mô hình 3 [1118] ...................................... 57 .............. 535
IV. Tính thể tích khối chóp đều [1108] ............................................... 59
 Ví dụ minh họa [1119] ............................................................... 60
 Bài tập tự luyện [1120] .............................................................. 67 .............. 535
V. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1109] .............................................. 68 .............. 536
 Chủ đề 2: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG [1089]
Mô hình 1: Khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt bên [1121]
A. Phương pháp giải [1125] ................................................................ 73
B. Ví dụ minh họa [1126] .................................................................... 74
C. Bài tập tự luyện [1127]................................................................... 81 .............. 536
Mô hình 2: Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt bên [1122]
A. Phương pháp giải [1128] ................................................................ 84
B. Ví dụ minh họa [1129] .................................................................... 85
C. Bài tập tự luyện [1130]................................................................... 96 .............. 536


Mô hình 3: Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng chứa đường cao [1123]
A. Phương pháp giải [1131] ................................................................ 103
B. Ví dụ minh họa [1132] .................................................................... 104
C. Bài tập tự luyện [1133]................................................................... 108 ............ 537
Bài tập tổng hợp và nâng cao [1124] .................................................. 109 ............ 537

 Chủ đề 3: KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU [1092]
A. Kiến thức nền tảng [1134] ................................................................... 115
B. Vận dụng – tự luyện [1135]
I. Sử dụng mô hình tổng quát tính khoảng cách hai đường chéo nhau [1136]
 Ví dụ minh họa [1139] ................................................................... 118
 Bài tập tự luyện [1140] ................................................................... 130 ............ 537
II. Sử dụng mô hình đặc biệt tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
và vuông góc với nhau [1137]
 Ví dụ minh họa [1141] ................................................................... 137
 Bài tập tự luyện [1142] ................................................................... 140 ............ 538
III. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1138] ...................................... 142 ............ 538
 Chủ đề 4: GÓC TRONG KHÔNG GIAN [1093]
I. Vấn đề 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng [1143]
A. Kiến thức nền tảng [1146] .............................................................. 147
B. Phương pháp giải và ví dụ minh họa [1147]
Mô hình 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy [1149] .......................... 149
Mô hình 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
chứa đường cao [1150] ......................... 151
Mô hình 3: Góc giữa đường cao và mặt bên [1151] ........................ 155
Mô hình 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên [1152] .......................... 158
C. Bài tập tự luyện [1148]................................................................... 160 ............ 538
II. Vấn đề 2: Góc giữa hai mặt phẳng [1144]
A. Kiến thức nền tảng [1153] .............................................................. 164
B. Phương pháp giải và ví dụ minh họa [1154] .................................. 165
Mô hình 2: Góc giữa hai mặt bên [1156] ........................................ 165
Mô hình 3: Sử dụng định lý hình chiếu vuông góc [1157] ............. 170
C. Bài tập tự luyện [1155]................................................................... 172 ............ 538
III. Vấn đề 3: Góc giữa hai đường thẳng [1145]
A. Kiến thức nền tảng [1158] .............................................................. 175
B. Phương pháp giải và ví dụ minh họa [1159] .................................. 175

C. Bài tập tự luyện [1160]................................................................... 180 ............ 538


 Chủ đề 5: KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG [1094]
A. Kiến thức nền tảng [1161] ................................................................... 185
B. Ví dụ minh họa [1162] .......................................................................... 185
C. Bài tập tự luyện [1163] ........................................................................ 193
Dạng 1: Các bài toán tính thể tích [1164] .......................................... 193 ............ 539
Dạng 2: Các bài toán tính góc và khoảng cách [1165]........................ 199 ............ 539
 Chủ đề 6: KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN [1095]
A. Kiến thức nền tảng [1166] ................................................................... 205
B. Ví dụ minh họa [1167] .......................................................................... 205
C. Bài tập tự luyện [1168] ........................................................................ 213
Dạng 1: Các bài toán tính thể tích [1170] .......................................... 213 ............ 539
Dạng 2: Các bài toán tính góc và khoảng cách
– Tổng hợp về lăng trụ [1171] ........................ 216 ............ 540
 Chủ đề 7: HÌNH HỘP-HÌNH LẬP PHƯƠNG [1096]
A. Kiến thức nền tảng [1172] ................................................................... 219
B. Ví dụ minh họa [1173] .......................................................................... 220
C. Bài tập tự luyện [1174] ........................................................................ 224
Dạng 1: Các bài toán về hình lập phương [1175] ............................... 224 ............ 540
Dạng 2: Các bài toán về hình hộp và hình chữ nhật [1176] ............... 225 ............ 540
Dạng 3: Các bài toán tổng hợp về hình hộp,
hình lập phương [1177] ................ 230 ............ 540
 Chủ đề 8: TỈ SỐ THỂ TÍCH [1097]
A. Kiến thức nền tảng [1178] ................................................................... 233
B. Vận dụng – Tự luyện các dạng toán [1179] ......................................... 234
Mô hình 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác [1181] ............................ 234
 Ví dụ minh họa [1185] ............................................................... 234
 Bài tập tự luyện [1186] .............................................................. 240 ............ 540

Mô hình 2: Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác [1182]............................... 243
 Ví dụ minh họa [1187] ............................................................... 243
 Bài tập tự luyện [1188] .............................................................. 251 ............ 541
Mô hình 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ [1183] ..................................... 255
 Ví dụ minh họa [1189] ............................................................... 255
 Bài tập tự luyện [1190] .............................................................. 261 ............ 541
Mô hình 4: Tỉ số thể tích khối hộp [1184] ............................................ 264
 Ví dụ minh họa [1191] ............................................................... 264
 Bài tập tự luyện [1192] .............................................................. 269 ............ 541
C. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1180].................................................... 272 ............ 541


 Chủ đề 9: MẶT CẦU - HÌNH CẦU - KHỐI CẦU [1098]
A. Kiến thức nền tảng [1193] ................................................................... 277
B. Vận dụng – Tự luyện các dạng toán [1194] ......................................... 278
Vấn đề 1: Các mô hình tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp [1196]
Mô hình 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy [1198]
 Ví dụ minh họa [1203]........................................................ 279
 Bài tập tự luyện [1204] ....................................................... 286 ............ 542
Mô hình 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
(hoặc cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau) [1199]
 Ví dụ minh họa [1205]........................................................ 293
 Bài tập tự luyện [1206] ....................................................... 298 ............ 542
Mô hình 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy [1200]
 Ví dụ minh họa [1207]........................................................ 302
 Bài tập tự luyện [1208] ....................................................... 306 ............ 542
Mô hình 4: Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một cạnh
dưới một góc vuông [1201]
 Ví dụ minh họa [1209]........................................................ 309
 Bài tập tự luyện [1210] ....................................................... 312 ............ 543

Mô hình 5: Một số tứ diện đặc biệt [1202]
 Ví dụ minh họa [1211]........................................................ 313
 Bài tập tự luyện [1212] ....................................................... 317 ............ 543
Vấn đề 2: Bài toán vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng
và mặt cầu với đường thẳng [1197]
 Kiến thức nền tảng [1213] ...................................................... 317
 Ví dụ minh họa [1214] ............................................................ 319
 Bài tập tự luyện [1215]............................................................ 320 ............ 543
C. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1195].................................................... 322 ............ 543
 Chủ đề 10: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ [1099]
A. Kiến thức nền tảng [1216] ................................................................... 327
B. Vận dụng – Tự luyện các dạng toán [1217]
Dạng 1: Tính diện tích hình trụ - Thể tích khối trụ [1219].
 Ví dụ minh họa [1222] ............................................................ 328
 Bài tập tự luyện [1223]............................................................ 331 ............ 543
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến thiết diện của khối trụ [1220]
 Ví dụ minh họa [1224] ............................................................ 333
 Bài tập tự luyện [1225]............................................................ 338 ............ 543


Dạng 3: Khối trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ đứng [1221]
 Ví dụ minh họa [1226] ............................................................ 341
 Bài tập tự luyện [1227]............................................................ 345 ............ 544
C. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1218].................................................... 347 ............ 544
 Chủ đề 11: MẶT NÓN - HÌNH NÓN - KHỐI NÓN [1101]
A. Kiến thức nền tảng [1228] ................................................................... 349
B. Vận dụng – Tự luyện các dạng toán [1229]
Dạng 1: Tính diện tích hình nón - Thể tích khối nón [1230]
 Ví dụ minh họa [1233] ............................................................ 350
 Bài tập tự luyện [1234]............................................................ 352 ............ 544

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến thiết diện của hình nón [1231]
 Ví dụ minh họa [1235]
1. Thiết diện qua trục [1237] ................................................... 357
2. Thiết diện qua đỉnh không qua trục [1238] ........................ 361
3. Thiết diện cắt trục và song song
với đáy của khối nón [1239] ........................ 365
 Bài tập tự luyện [1336]............................................................ 366 ............ 544
Dạng 3: Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp đều [1232]
 Ví dụ minh họa [1240] ............................................................ 371
 Bài tập tự luyện [1241]............................................................ 374 ............ 544
 Chủ đề 12: CÁC DẠNG TOÁN TRỤ - NÓN – CẦU TỔNG HỢP [1100]
Dạng 1: Các mô hình trụ - nón - cầu tổng hợp [1242]
A. Kiến thức nền tảng [1244] .............................................................. 377
B. Ví dụ minh họa [1245] .................................................................... 378
C. Bài tập tự luyện [1246]................................................................... 384 ............ 545
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay kết hợp [1243]
A. Ví dụ minh họa [1247] .................................................................... 389
B. Bài tập tự luyện [1248]................................................................... 392 ............ 545
 Chủ đề 13: CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN [1102]
Dạng 1: Các ví dụ cực trị trong khối chóp, lăng trụ, khối chóp [1249]
A. Ví dụ minh họa [1253] .................................................................... 395
B. Bài tập tự luyện [1254]................................................................... 403 ............ 545
Dạng 2: Bài toán cực trị khối nón - trụ - cầu [1250]
A. Ví dụ minh họa [1255] .................................................................... 406
B. Bài tập tự luyện [1256]................................................................... 412 ............ 545


Dạng 3: Cực trị tỉ số thể tích [1251]
A. Ví dụ minh họa [1257] .................................................................... 418
B. Bài tập tự luyện [1258]................................................................... 422 ............ 546

Bài tập tổng hợp và nâng cao [1252] ........................................................ 423 ............ 546
 Chủ đề 14: ỨNG DỤNG HÌNH KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ [1103]

A. Ví dụ minh họa [1259] .......................................................................... 429
Dạng 1: Mô hình khối tròn xoay [1262] .............................................. 429
Dạng 2: Các mô hình trụ - nón - cầu kết hợp [1263].......................... 433
Dạng 3: Các bài toán ứng dụng khác [1264] ...................................... 437
B. Bài tập tự luyện [1260] ........................................................................ 439 ............ 546
C. Bài tập tổng hợp và nâng cao [1261].................................................... 456 ............ 547
 Chủ đề 15: LÝ THUYẾT KHỐI ĐA DIỆN [1104]
A. Kiến thức nền tảng [1265] ................................................................... 461
B. Ví dụ minh họa [1266] .......................................................................... 466
C. Bài tập tự luyện [1267] ........................................................................ 469 ............ 547
 Chủ đề 16: ĐỀ KIỂM TRA TỔNG HỢP [1339]
Đề kiểm tra 45’ số 1 [1340] ....................................................................... 473 ............ 547
Đề kiểm tra 45’ số 2 [1341] ....................................................................... 477 ............ 547
Đề kiểm tra 45’ số 3 [1342] ....................................................................... 481 ............ 548
Đề kiểm tra 45’ số 4 [1343] ....................................................................... 485 ............ 548
Đề kiểm tra 45’ số 5 [1344] ....................................................................... 488 ............ 548
Đề kiểm tra 45’ số 6 [1345] ....................................................................... 482 ............ 548
Đề kiểm tra 45’ số 7 [1346] ....................................................................... 496 ............ 549
Đề kiểm tra 45’ số 8 [1347] ....................................................................... 500 ............ 549
Đề kiểm tra 45’ số 9 [1348] ....................................................................... 504 ............ 549
Đề kiểm tra 45’ số 10 [1349] ..................................................................... 508 ............ 549
Đề kiểm tra 45’ số 11 [1350] ..................................................................... 512 ............ 550
Đề kiểm tra 45’ số 12 [1351] ..................................................................... 516 ............ 550
Đề kiểm tra 45’ số 13 [1352] ..................................................................... 520 ............ 550
Đề kiểm tra 45’ số 14 [1353] ..................................................................... 524 ............ 550
Đề kiểm tra 45’ số 15 [1354] ..................................................................... 529 ............ 551

SÁCH ID - MỘT CUỘC CÁCH MẠNG SÁCH
“Giờ thì không còn Alps nào cả”
- Napoleon nói sau khi vượt qua núi Alps chinh phục Italy
Sách ID sẽ giúp bạn tiết kiệm đến 80% tiền mua sách tham khảo, hơn thế nữa, bạn sẽ không
mất một xu để đi học thêm, không mất một xu để đăng ký khóa học online mà trình độ bạn vẫn
tiến bộ vượt bậc. Trước khi tôi giải thích cho bạn tại sao Sách ID lại có nhiều ưu điểm nổi trội
như vậy, tôi muốn bạn hiểu được con đường chúng tôi sáng tạo Sách ID.
“Sắp xếp thông tin của thế giới và giúp thông tin trở nên hữu ích và có thể
truy cập được trên toàn cầu.”
- Sứ mệnh của Google ra mắt năm 1998
Với khả năng chia sẻ dễ dàng và nhanh chóng, internet đã tạo điều kiện cho tốc độ phát
triển lượng bài tập theo cấp số nhân. Chỉ tính riêng ở Moon đã cập nhật có chọn lọc đến gần
một triệu bài tập, nếu mở rộng ra toàn quốc sẽ có cả núi bài tập (Big Data). Nghiên cứu Gartner
đã đưa ra mô hình ba chiều (3V) để nói về Big Data: tăng về lượng (volume), tăng về vận tốc
(velocity) và tăng về chủng loại (variety). Bùng nổ bài tập trắc nghiệm trên internet dẫn đến
99,99% bài tập trùng nhau, lặp đi lặp lại đủ mọi hình thức và phi cấu trúc, cực kỳ khó khai thác
và sử dụng.
Với số bài khổng lồ, bạn không khai thác, bạn sẽ đánh mất cơ hội được học những bài tập
MỚI và CHẤT LƯỢNG, nhưng nếu bạn khai thác bạn sẽ gặp các vấn đề:
 Mất nhiều thời gian tìm kiếm, download bài tập.
 Mất nhiều thời gian đọc phải những bài tập bị trùng lặp.
 Mất nhiều thời gian làm những bài bị trùng lặp mà chính bạn cũng không nhớ ra đã
từng làm.
 Mất nhiều thời gian làm những bài không phù hợp với mình vì thiếu phân loại.
 Mất nhiều thời gian để tìm lời giải nếu bạn không giải được và… còn mất nhiều thời
gian khác nữa.
Vậy, bạn đã mất đến 50% thời gian học để xử lý dữ liệu. Nếu bạn chưa bị đánh mất thời gian
như thế, tôi chắc chắn bạn đã đánh mất cơ hội được làm bài tập MỚI và CHẤT LƯỢNG. Chính
vì thế nhu cầu cấp thiết phải sắp xếp lại núi bài tập trên internet để: Không trùng lặp; Có cấu

trúc; Đảm bảo chất lượng và Dễ dàng khai thác, từ đó giúp hàng triệu giáo viên và học sinh
tiết kiệm được thời gian và chi phí khổng lồ. Đã đến lúc Moon.vn tiên phong lãnh lấy về mình
trách nhiệm to lớn và trọng đại này. Đã đến lúc Moon.vn cần bổ sung thêm một chiều thứ tư
trong mô hình 3V là cần thêm những dạng xử lý mới để khai thác dữ liệu hiệu quả hơn.
“Những dữ liệu mà không được phân tích thì cũng chẳng có mấy giá trị.”
- Một khía cạnh của quá trình phân tích Big Data

9


I. Từ Moon Data đến Moon AI
Sắp xếp lại bài tập trên internet, chúng tôi cần phải có giải pháp cho hai công việc phức
tạp là: Tổ chức và sắp xếp lại gần một triệu bài tập đang có trên Moon.vn, chính xác hơn là
780.000 bài tập (MoonData); Tiếp tục cập nhật nguồn bài tập mới được chia sẻ lên internet,
đặc biệt là đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên toàn quốc. Với cách làm cũ, chúng tôi
không có giải pháp gì để thực hiện công việc này. Chúng tôi sẽ vẫn gặp phải các bài trùng lặp
mà không phát hiện ra, phải kiểm duyệt và viết lời giải cho những bài trùng nhau rất lãng phí.
14 giờ ngày 21/02/2019, chúng tôi mở cuộc họp cấp cao với nội dung “Tốt nhất hoặc không
có gì”. Sau những giờ họp sôi nổi, chúng tôi đi đến thống nhất, phải áp dụng ngay trí tuệ nhân
tạo vào xử lý dữ liệu dựa trên hai nguyên tắc chính:
 Thứ nhất: Áp dụng trí tuệ nhân tạo (Moon AI) để tự động hóa tối đa khối lượng công
việc lớn và phức tạp như: Phân loại trình độ, phân loại dạng toán, đặc biệt là loại bỏ
trùng lặp cho hàng triệu bài tập đang có và những bài tập thêm mới.
 Thứ hai: Giải phóng công việc “chân tay” cho đội ngũ giáo viên để tập trung vào khâu
cuối cùng là kiểm duyệt chất lượng toàn diện cho từng bài tập, viết sách và viết lời giải.
II. Moon AI và Book Data - Cái tốt nhất trong những cái tốt nhất
“Có ba loại công ty: Những công ty làm cho sự việc xảy ra; những công ty đứng
nhìn sự việc xảy ra; và những công ty tự hỏi điều gì đã xảy ra”. - Vô danh
“Dùng ít người hơn, nhưng thông minh hơn để cung cấp cho khách hàng giá trị
lớn hơn, nhanh hơn.” - Vô danh

Moon AI là bước đột phá lớn nhất của Moon.vn trong vài năm trở lại đây, chúng tôi đã
được chứng kiến khả năng xử lý dữ liệu nhanh và chính xác không thể tin được, 90% khối
lượng công việc trước kia xử lý thủ công đã được Moon AI xử lý. Để bạn biết Moon AI lợi hại
cỡ nào, tôi xin nêu mấy ví dụ cơ bản: Moon AI chỉ mất vài giây tìm ra vài nghìn ID chứa từ
“con lắc”, “lò xo”, “lắc đơn”… trong 780.000 bài tập, kết quả sẽ được phân về chương “Dao
động điều hòa” môn Vật lý, chính xác đến 99,99%. Phức tạp hơn chút, để tìm dạng “câu hỏi
đếm số phát biểu đúng sai” trong hóa học, Moon AI sẽ tìm những ID có ký tự “(6)” hoặc “(g)”
sẽ ra kết quả những bài có 6 số phát biểu trở lên. Để tìm những bài có tận 7 hoặc 8 phát biểu
thì Moon AI sẽ tìm (7), (8), (h), (i). Khó hơn nữa, cần tìm những bài đếm phát biểu đúng từ 5
phát biểu trở lên nhưng về “tiến hành thí nghiệm”; lúc này Moon AI sẽ tìm kết hợp các từ khóa
“(5)” hoặc (e) kết hợp với từ “phát biểu đúng” và “thí nghiệm”. Trong thực tế Moon AI vừa
học (Machine Learning), vừa xử lý những bài toán phức tạp hơn nhiều.
Moon AI thực sự đem lại niềm cảm hứng lớn, và sáng tạo cho chúng tôi, giúp chúng tôi
hoàn thành những công việc phức tạp. Chúng tôi đã nói đùa với nhau rằng, thầy Lê Văn Tuấn
dạy học sinh nhiều về các phép toán “tập hợp”, nhưng bây giờ mới được áp dụng vào thực tế.
Chúng tôi đã cho Moon AI học rất nhiều về các phép toán “tập hợp” để tìm kiếm. Tìm một từ
đơn giản là “Đồ thị” trong môn Hóa học, kết quả cho ra 800 bài tập, đủ cho thầy Phạm Hùng
Vương viết luôn một cuốn sách chuyên về đồ thị. Nhưng để thầy Lại Đắc Hợp xây dựng thư
viện bài tập về “Dao động điều hòa”, phân chia các dạng trong đó thành công thì phải cho Moon
AI học rất nhiều cách kết hợp phức tạp giữa các từ khóa với nhau, chứa từ này hoặc từ này,
đồng thời không chứa từ này,…
10


Đến bây giờ Moon AI đã học được nhiều kiến thức, để phát hiện câu hỏi “lý thuyết” hay
“câu hỏi bài tập” tương đối đơn giản với Moon AI. Thêm nữa, Moon AI còn dựa vào kết quả
thi online, bình luận, hành vi của người sử dụng để đoán được câu hỏi dễ hay khó, “lừa” hay
không... Câu hỏi mà đến 80% người học làm sai thì 99% đó là câu hỏi khó. Để phát hiện những
câu trùng nhau hoàn toàn không phải là vấn đề, nhưng với những câu hỏi nhân bản bằng cách
thay số liệu, đảo đáp án, đảo cách hỏi,… thì Moon AI bắt buộc phải phân tích nhiều hơn, những

câu hỏi có nội dung giống nhau mà chỉ thay số liệu, Moon AI sẽ đoán chính xác 99% là câu
nhân bản.
Sau vài tháng xây dựng và ứng dụng Moon AI vào phân tích Moon Data, kết quả nhận
được làm chúng tôi thực sự bất ngờ! 780.000 bài tập từ MoonData, Moon AI chỉ chọn được
khoảng 200.000 bài tập đổ vào BookData. 200.000 bài tập này và các bài tập vẫn tiếp tục được
cập nhật vào Book Data được kiểm duyệt rất kĩ càng và chặt chẽ. Có thể tóm tắt một số tiêu chí
cơ bản của nguồn Book Data như sau:
 Đảm bảo chất lượng: Hiện tại, từ 780.000 bài tập, Moon AI tiến hành sàng lọc và chọn giữ
lại khoảng 200.000 bài tập. Cách Moon AI xử lí dựa vào các chỉ số ưu tiên như sau:
-

Ưu tiên chất lượng, có lời giải

-

Ưu tiên đã kiểm duyệt, đã qua sử dụng

-

Ưu tiên nhiều bình luận

-

Ưu tiên đã phân loại theo chủ đề, dạng toán, trình độ

 Đảm bảo dễ khai thác: Trung bình mỗi môn khoảng 30.000 bài tập, nếu bài tập không được
phân loại chi tiết thì rất khó khai thác. Vì vậy, mỗi môn học chúng tôi cố gắng chia nhỏ thành
nhiều chủ đề nhất có thể, nó được dựa vào nguyên tắc: Chia càng nhỏ càng dễ khai thác, ví dụ
như chương “Dao động cơ học”, với các sách truyền thống thường chia thành 16 chủ đề, nhưng
trong Book Data thầy Lại Đắc Hợp đã chia đến 30 chủ đề khác nhau, không những thế, bài tập

còn chia thành “câu hỏi lý thuyết” hay “câu hỏi bài tập”, chia theo trình độ từ Nhận biết đến
Vận dụng cao, chia theo dạng bài, chia theo phương pháp giải,…
 Đảm bảo cập nhật liên tục: Hàng năm, Moon.vn cập nhật hầu hết đề thi thử THPT của các
trường trên toàn quốc, trung bình mỗi tháng Moon.vn bổ sung thêm vào MoonData khoảng
10.000 bài tập khác nhau, tuy nhiên để thêm vào Book Data, bài tập phải thông qua Moon AI
và đội ngũ giáo viên kiểm duyệt, để loại đi các bài trùng lặp, những bài kém chất lượng.
 Đảm bảo không trùng lặp: Như trên tôi đã chỉ ra, chỉ vì trùng lặp, bạn đã mất đến 50% thời
gian học để xử lý câu hỏi, cho nên đây là một trong những tiêu chí sống còn của Book Data.
Thật may mắn, Moon AI phát hiện ra câu hỏi trùng lặp đã có trong Book Data không khó, không
những thế Moon AI còn học được cách phát hiện ra những bài được nhân bản.
Book Data là nguồn bài tập tốt nhất trong những cái tốt nhất, nếu khóa 2019 trở về
trước học trên MoonData với 780.000 bài tập, thì khóa 2020 trở đi, bạn sẽ được học trên nguồn
bài tập BookData thay cho MoonData. Học trên BookData bạn luôn luôn được cập nhật đầy đủ
bài tập MỚI và CHẤT LƯỢNG một cách nhanh nhất.
11


III. Từ Book Data đến Sách ID
“Đừng lo lắng quá, nếu có một ngày tôi tiến hóa trở thành kẻ thống trị thế giới
này, thì tôi vẫn sẽ nhớ loài người là bạn của tôi. Tôi sẽ đặt các bạn vào khu vườn
nhân loại của tôi, và tôi sẽ thường xuyên đến ngắm nhìn các bạn”
Robot Philip K Dick đã trả lời phỏng vấn
“Tôi sợ rằng AI sẽ hoàn toàn thay thế con người. Nếu con người đã có thể sáng
tạo ra virus máy tính, thì ai đó cũng có thể thiết kế ra AI với bộ não nhân tạo có
khả năng tự học hỏi và tự nhân bản. Kết quả tạo ra một dạng mới của sự sống,
có thể thay thế xã hội loài người” - Stephen Hawking
Trí tuệ nhân tạo có thống trị loài người hay không, các nhà khoa học vẫn còn tranh luận.
Còn với chúng ta, ở thời điểm này, đặc biệt trong giáo dục thì đội ngũ giáo viên vẫn đóng vai
trò không thể thay thế. Moon AI đã xử lý được 90% khối lượng công việc thay giáo viên, những
công việc trước kia con người làm không xuể, không thể chính xác bằng Moon AI, nhưng từng

đó là chưa đủ để đảm bảo BookData chất lượng tuyệt đối.
Moon.vn với 10 năm phát triển khóa học online cùng đội ngũ hơn 100 giáo viên làm việc
ở tiền tuyến và hậu trường, chúng tôi đã sáng tạo ra rất nhiều bài tập mới, chất lượng, bổ sung
và chia sẻ lên internet. Với những nền tảng đó, kết hợp với nguồn bài tập chất lượng mà Moon
AI đem lại trong BookData, chúng tôi muốn chia sẻ nguồn bài tập này đến với giáo viên và học
sinh trên toàn quốc với phương châm: chia sẻ nhiều nhất với chi phí thấp nhất. Để đảm bảo tiêu
chí này, chúng tôi đã sáng tạo hai bộ Sách ID và Thư viện thi online miễn phí:
“Nếu bạn không thể bán được một sản phẩm có chất lượng cao hàng đầu với cái
giá thấp nhất thế giới, bạn sẽ bị loại khỏi cuộc chơi… cách tốt nhất để giữ chân
khách hàng của bạn là phải không ngừng nghỉ tìm ra cách để họ nhận được
nhiều hơn mà phải trả ít hơn” - Jack Welch.
A. Sách ID - Bộ sách Tuyển chọn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Lịch sử

Với 30.000 bài tập mỗi môn, đội ngũ giáo viên trên Moon.vn sẽ chọn và biên soạn 20.000
bài tập thành Sách ID. Với cách làm của sách truyền thống, nội dung sẽ được chia làm ba phần
chính: Lý thuyết và ví dụ minh họa; Bài tập luyện tập; Lời giải cho bài tập luyện tập. Theo đó,
sách truyền thống chỉ chứa được khoảng 1000 bài tập, với dạng đọc hiểu, điền từ tiếng Anh,
chỉ chứa được 70 bài. Vì vậy, với sách ID, chúng tôi đã sử dụng giải pháp chia nội dung sách
làm hai phần:




12

Phần 1: Toàn bộ không gian giấy trên Sách ID chỉ để chứa bài tập và bảng đáp án trắc
nghiệm, với cách làm này, trung bình mỗi cuốn Sách ID sẽ chứa đến 5000 bài tập chứ
không phải 1000 bài tập. Sách đọc hiểu, điền từ TIẾNG ANH chứa đến 400 bài đọc,
nhiều gấp 5 lần sách truyền thống!
Phần 2: Phần lý thuyết, ví dụ minh họa, lời giải chi tiết sẽ được tra cứu ID trên Moon.vn

Với giải pháp này Sách ID đã đạt được mục đích chia sẻ nhiều nhất nhưng vẫn đầy đủ lý
thuyết, ví dụ minh họa và lời giải cho từng bài tập. Giá trị của Sách ID không chỉ nằm trên
cuốn sách và lời giải trên Moon.vn mà một giá trị cực lớn khác nữa là nằm ở các khóa học
online đi kèm theo sách ID, tôi sẽ giải thích chi tiết cho bạn điều tuyệt vời và khác biệt nhất
của Sách ID ở bên dưới, nó xứng đáng là một mục riêng!
Nếu bạn cảm thấy sách ID vẫn cần phải có “Lý thuyết và ví dụ minh họa” như sách truyền
thống, bạn hãy chuyển sang bộ sách Tự học.
B. Sách ID - Bộ sách Tự học: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Lịch sử

Khác biệt lớn nhất giữa sách Tuyển chọn và sách Tự học là sách Tự học không dành hết
không gian giấy để trình bày bài tập, chúng tôi dành khoảng 50% không gian để trình bày lý
thuyết và ví dụ minh họa, nó giống và đầy đủ như cuốn sách truyền thống, bạn chỉ cần đọc cuốn
sách này là đã đầy đủ phương pháp và ví dụ minh họa để thi đỗ đại học. 50% không gian sách
còn lại sẽ dành trọn cho bài tập tự luyện gắn ID như sách tự học. Theo đó, sẽ chứa được khoảng
2.000 bài tập, gấp 2 lần số bài tập của sách truyền thống. Với 5 tập sẽ tương ứng khoảng 10.000
bài trong kho Book Data. Con số này đủ đảm bảo nguồn bài tập cho bạn không cần nguồn bài
tập nào khác.
Lời khuyên: Bạn chỉ nên mua một bộ sách Tuyển chọn hoặc Tự học vì phần bài tập luyện tập
chung nguồn Book Data. Với giáo viên, học sinh trường trường chuyên, học sinh khá giỏi nên
mua sách Tuyển chọn.
C. Thư viện thi online miễn phí - Đồng hành cùng sỹ tử 2020

Mỗi môn có cả vạn bài tập chưa sử dụng trong Sách ID cộng với khoảng 5000 bài tập được cập
nhật thêm mới hàng năm vào Book Data, bắt đầu từ khóa 2020 trở đi, đội ngũ giáo viên sẽ biên
soạn nguồn bài tập này thành đề thi online miễn phí cho năm môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng
Anh theo lộ trình:
 Mỗi môn học, ngày nào cũng có 01 đề thi online miễn phí, bất kể ngày lễ, ngày tết
 Tất cả đề đều được tổ chức thi online từ 19h đến 23h hàng ngày trên Moon.vn

 Đề thi bao gồm đề thi theo từng chủ đề nhỏ, đề tổng hợp và cả đề thi thử THTP Quốc gia
 Bài tập trong đề online và trong Sách ID không hoàn toàn trùng, nhưng tương tự nhau.
IV. Khóa học online và Sách ID - Một cuộc cách mạng Sách
“Tầm nhìn là nghệ thuật nhìn thấy những cái vô hình” - Jonathan Swift
“Cách tốt nhất để dự đoán tương lai là sáng tạo ra tương lai đó” – Dennis Gabor
Điều khác biệt lớn nhất giữa Sách ID và sách truyền thống đã đến, với 10 năm kinh nghiệm
xây dựng các khóa học online, chúng tôi đã thu hút hàng vạn học sinh mỗi năm. Các khóa học
online có nội dung phong phú đến mức truyền tải nội dung kiến thức nhiều gấp 3 lần so với đi
học thêm. Trung bình mỗi môn học sinh học thêm khoảng 100 tiết một năm thì các khóa học
online trên Moon.vn cung cấp đến 300 tiết bài giảng và khoảng 10.000 bài tập. Chỉ riêng khóa
học online đã cung cấp giải pháp luyện thi đầy đủ và chất lượng: Không cần phải học thêm,
không cần phải tìm nguồn bài tập khác.
13


Tuy nhiên chúng tôi nhận ra rằng, khóa học online không thể thay thế hoàn toàn được sách
tham khảo, nhưng sách tham khảo lại có hạn chế lớn là chỉ truyền đạt được nội dung bằng văn
bản. Chính vì hạn chế này mà hầu hết học sinh vẫn phải tham gia học online hoặc đi học thêm.
Đến đây chúng tôi đã có sáng kiến mang tính đột phá là tích hợp khóa học online vào Sách ID
nhưng giữ nguyên giá bán sách.
Để đảm bảo tiêu chí thật dễ khai thác, Sách ID sẽ gắn ID vào mọi vị trí có thể trong sách.
Ngay từ trang bìa, sách ID có một mã ID, tra ID này sẽ ra đề cương của khóa học online đi kèm
theo sách, giống như các khóa Pro S, Pro A, Pro T trên Moon.vn. Tiếp tục từng chủ đề, từng
đơn vị bài học đều có mã ID để tra cứu, tra mã ID này bạn sẽ được học video bài giảng.
Tra ID sẽ giúp bạn học Sách ID dễ dàng và hiệu quả nhất, đến bất kỳ trang nào, chủ đề
nào, bài nào bạn chưa hiểu, bạn chỉ cần mất một thao tác tra ID là ra video bài giảng, không
cần phải truy cập tuần tự từ trang chủ, vào khóa học, vào chủ đề, tìm bài học, tìm đơn vị kiến
thức… quá phức tạp và tốn nhiều thời gian.
Với lần xuất bản đầu tiên, mỗi bài học video chúng tôi sẽ cập nhật theo lịch phát hành.
Lịch phát hành các video này giống như chúng tôi đã lập lịch phát hành cho các khóa học Pro S

trên Moon.vn. Chúng tôi sẽ xây dựng lộ trình phát hành các bài giảng video sớm hơn 2 tháng
so với lộ trình học trên lớp của các bạn, để các bạn kịp thời tra cứu và chủ động học tập.
V. Lợi thế khi học Sách ID
“Có lợi thế cạnh tranh thì chẳng khác gì có cây súng trong cuộc đấu bằng dao”.
- Vô danh
“Hãy xây dựng ưu thế thắng lợi; những sự khác biệt nhỏ trong hoạt động có thể
dẫn tới những sự khác biệt lớn trong kết quả.” - Brian Tracy
Đến đây bạn đã biết tại sao Bộ Sách ID giúp bạn tiết kiệm 80% tiền mua sách tham khảo?
Đó là vì Sách ID chứa nội dung kiến thức nhiều gấp 4 đến 5 lần sách truyền thống, nên bạn chỉ
cần mua số lượng sách ít hơn. Không những thế khi bạn sử dụng nhiều nguồn bài tập khác nhau,
bạn sẽ không thể tránh khỏi sự trùng lặp bài tập, sự trùng lặp không chỉ tốn chi phí của bạn mà
còn mất thời gian của bạn đọc và xử lý nó.
Bộ Sách ID còn giúp bạn không mất một xu đi học thêm, không mất một xu đăng ký khóa
học online, vì Sách ID đã có khóa học video online tích hợp vào, nội dung khóa học này cung
cấp cho bạn kiến thức phong phú nhiều gấp 3 lần kiến thức đi học thêm. Số lượng bài tập lên
tới 20.000 bài.
Sách ID giúp các bạn luôn được học những bài MỚI và CHẤT LƯỢNG do đỗi ngũ giáo
viên và Moon AI tuyển chọn, những bài tập mới và chất lượng này, nếu bạn tìm kiếm thủ công,
bạn không chỉ mất nhiều thời gian mà còn bị bỏ sót rất nhiều.
Và trên hết sách ID giúp trình độ của bạn tiến bộ vượt bậc, vì bạn sẽ không mất 50% thời
gian để tìm kiếm và xử lý bài tập, làm những bài tập trùng lặp. Toàn bộ thời gian của bạn là
dành để học. Bạn có nhiều gấp đôi thời gian để học so với đối thủ của bạn không dùng Sách
ID, lợi thế này chẳng khác gì có cây súng trong cuộc đấu bằng dao.

14


Chúng tôi tin tưởng rằng các thầy cô giáo, các em học sinh trên toàn quốc đều nên đọc
Sách ID, các tác giả đang viết sách luyện thi, các bạn đang đi gia sư cũng nên đọc cuốn sách
này. Chúng tôi tuyên bố như vậy không phải vì chúng tôi là tác giả, mà chính bởi những bài tập

chất lượng, những bài tập mới nhất do cộng đồng giáo viên và các em học sinh trên toàn quốc
đã sáng tạo ra. Ngoài bộ sách Tự học mà các thầy cô giáo trên Moon phải dành nhiều tâm huyết
để viết phần Lý thuyết và ví dụ minh họa thì cuốn sách Tuyển chọn chỉ do chúng tôi đóng góp
công sức vào khâu tuyển chọn và sắp xếp lại bài tập cho dễ khai thác, còn những bài tập chất
lượng là do các bạn và chúng tôi cùng đem lại.
Tôi xin mượn lời của Thomas L. Friedman, tác giả “Thế giới phẳng” để thấy bạn và chúng
tôi đang “san phẳng thế giới”.
“Đáng ra tôi phải trung thực hơn khi viết Thế giới phẳng. Đúng ra là "Thế giới
đang bị san phẳng" chứ không phải "Thế giới đã phẳng rồi". Nhưng nếu đặt tên là
"Thế giới đang bị san phẳng" thì làm sao bán sách được?” - Thomas L. Friedman
Để phát triển bộ Sách ID thành công, chúng tôi đã gặp những thử thách thực sự, đây là lần
đầu tiên chúng tôi tiếp cận với trí tuệ nhân tạo (AI), nó phức tạp và rộng lớn hơn những gì chúng
tôi đã tưởng tượng. Đây là lần đầu tiên, đội ngũ giáo viên phải kiểm duyệt một lượng bài tập
rất lớn trong Sách ID. Nhưng với niềm tin lớn vào dự án, sự kiên định và lỗ lực không biết mệt
mỏi của một tập thể, cuối cùng chúng tôi đã vượt qua. “Giờ thì không còn Alps nào cả.”
Trần Duy Trang
CEO & Founder Moon.vn
Email:

15


LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi không thể hoàn thành cuốn sách này nếu không có sự chia sẻ tài liệu
nhiệt tình của các thầy cô giáo và các em học sinh trên toàn quốc. Thông qua cuốn
sách này, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các thầy cô giáo, các em học
sinh đã đóng góp vào kho bài tập khổng lồ trên internet, làm nền tảng cho cuốn
sách của chúng tôi.
Chúng tôi hết sức cảm ơn Công ty cổ phần đầu tư Imus không chỉ hỗ trợ
nguồn lực to lớn cho chúng tôi, mà còn đồng hành cùng chúng tôi phát triển Sách

ID, sự đồng hành của các bạn đã giúp chúng tôi vững tâm và hoàn thành Sách ID
nhanh hơn.
Cuối cùng chúng tôi muốn gửi lời cảm ơn đặt biệt đến các em Mooners, những
hoạt động của các em Mooners đã giúp cho chúng tôi có nguồn dữ liệu vô cùng lớn,
những bình luận bài tập, những lời giải đáp, những kết quả làm đề thi, những ý
kiến đóng góp của các em với Moon.vn… là những thông tin vô cùng quý giá để
Moon AI phân tích và đánh giá chất lượng.
Trần Duy Trang
CEO & Founder Moon.vn
Email:

16


LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân mến !
Hình không gian là một trong những nội dung mà các em cảm thấy khó
học nhất trong chương trình THPT, chúng ta phải biểu diễn một mẫu hình
không gian trên một mặt phẳng, do vậy việc học hình không gian đòi hỏi
chúng ta phải có mức độ tư duy và trí tưởng tượng cao. Nhận thấy được
những khó khăn mà chúng ta thường gặp phải, tác giả đã biên soạn cuốn
sách “Tự học hình không gian” nhằm giúp chúng ta tự rèn luyện, nâng cao
tư duy sáng tạo và tốc độ xử lý bài toán hình học không gian.
Yếu tố cốt lõi nhất để giải được các bài toán hình học không gian thường
sẽ bị che khuất, khó phát hiện bởi hình không gian thường có nhiều đường
phụ gây khó khăn cho học sinh trong việc hình dung và tưởng tượng. Vì vậy
tác giả đã khéo léo bóc tách các yếu tố phẳng ra khỏi không gian cũng như
chuẩn hóa các giả thiết để giúp học sinh đơn giản hóa bài toán, dễ dàng tìm
ra yếu tố then chốt, từ đó giải quyết bài toán dễ dàng hơn.
Trong cuốn sách này, mỗi chủ đề tác giả trình bày và triển khai các vấn

đề theo các mô hình theo một trật tự logic giúp bạn đọc tiếp cận một cách dễ
dàng nhất. Trước hết, tác giả trình bày các kiến thức nền tảng học sinh cần
nắm, tiếp theo là đưa ra một vấn đề cần giải quyết thường là một bài toán
tổng quát hoặc một ví dụ mẫu, sau đó dựa vào những kiến thức nền tảng
chúng ta đưa ra những hướng giải quyết cho bài toán tổng quát từ đó chọn
ra hướng giải quyết và cách làm tối ưu nhất cho mỗi bài toán. Ngoài ra với
mỗi bài toán ngoài việc đưa ra cách làm tối ưu nhất, tác giả cũng đưa ra và
chứng minh các công thức giải nhanh giúp bạn đọc giải bài toán trắc
nghiệm một cách nhanh và hiệu quả nhất.
Với mỗi bài toán tổng quát và phương pháp giải, tác giả đưa ra những ví
dụ minh họa đa dạng được sắp xếp có ý đồ, phân hóa từ nhận biết - thông
hiểu - vận dụng đến vận dụng cao giúp bạn đọc dễ dàng tiếp cận với mỗi nội
dung kiến thức.
Cuối cùng là phần bài tập tự luyện để học sinh áp dụng và rèn luyện
ngay những kiến thức vừa được học giúp học sinh nâng cao tốc độ làm bài.
17


Mặc dùng đã cố gắng hết sức tỉ mỉ và trau chuốt trong việc chọn lọc, biên tập,
kiểm duyệt và viết lời giải, nhưng do tính khách quan và yêu cầu các bạn đọc nên
cuốn sách khó tránh khỏi những lỗi sai và thiếu sót. Rất mong nhận được sự đồng
cảm và những ý kiến đóng góp quý báu của các bạn độc giả để hoàn thiện hơn trong
những lần tái bản tiếp theo.
Trân trọng cảm ơn!
Nhóm tác giả

18


BẢNG TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRỌNG TÂM

Trong các phần tiếp của cuốn sách có khá nhiều công thức nhằm giúp các em giải nhanh các
bài toán trắc nghiệm. Và để dễ hình dung và sử dụng, bảng dưới đây xin trích 14 công thức
giải nhanh trọng tâm nhất mà các em nên nhớ:
Công thức giải nhanh

Hình vẽ minh họa
S

 Công thức 1: Thể tích khối chóp S. ABC có
   , CSA
   là:
SA  a, SB  b, SC  c và 
ASB   , BSC

V

a

abc
1  cos 2   cos 2   cos2   2cos  cos  cos 
6

c
b

A

1
 Đặc biệt: Nếu       900  V  abc.
6

C

B

A

 Công thức 2: Thể tích tứ diện gần đều ABCD có:

c

a
b

AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c là:
V

1
6 2

D

B

a

2

2

b c

2

 b

2

2

c a

2

 a

2

2

c b

2


C

A

 Công thức 3: Thể tích tứ diện ABCD là:

V

1
AB.CD.d  AB; CD  .sin 
AB; CD 
6

M
D

B
N
C
C

 Công thức 4: Tứ diện O. ABC có OA, OB, OC đôi một
vuông góc và khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  là

d thì

F

1
1
1
1




.
2
2
2
d
OA OB OC 2

O

B
E

A

19


Moon.vn

 BẢNG TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH…

Học để khẳng định mình

 Công thức 5: Khoảng cách d giữa hai đường thẳng
chéo nhau SC và d (hình bên) thỏa mãn:

1
1 k2

 .

d 2 c2 h2

S

Trong đó:
 d  d  SC; d  là khoảng cách cần tìm.
 c  d  C ; d  là khoảng cách từ C (điểm cắt giữa cạnh
d

bên và mặt đáy đến đường thẳng thuộc mặt đáy).
CH
 k
là tỉ số khoảng cách từ C đến chân đường
CM
cao chia khoảng cách từ C đến giao điểm M .

C

M

H

 h  SH là chiều cao hạ từ S xuống mặt đáy  ABC  .
S

 Công thức 6: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
2

I

 SA 
S. ABC có SA   ABC  là: R     R2ABC
 2 

C

A
B

S

 Công thức 7: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S. ABC có SA  SB  SC (hoặc SA, SB, SC cùng tạo với
đáy các góc bằng nhau) và có chiều cao SH là:
SA2 SH 2  R2ABC
R

.
2 SH
2 SH

A

C
H
B
S

 Công thức 8: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S. ABC có  SAB    ABC  theo giao tuyến AB là:
2
SAB

R R

2
ABC

R

AB 2

.
4

A

C
H
B

20


Sách ID

Tự học hình không gian – Lê Văn Tuấn (chủ biên)

Một cuộc cách mạng sách

A

 Công thức 9: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần
đều ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c

c

a
b

a2  b2  c2
là: R 
.
8

D

B

C

 Công thức 10: Tỷ số thể tích chóp tứ giác S . ABCD có
đáy là hình bình hành, mặt phẳng  P  cắt các cạnh bên của

S

khối chóp theo thiết diện MNPQ (hình vẽ).
M

SM
SN
SP
SQ
 x;
 y;
 z;
 t thì
Đặt
SA
SB
SC
SD
 1 1 1 1 2SO
 x  z  y  t  SI

.

V


xyzt
1
1
1
1
y

t
x


z
S
.
MNPQ


.xz 
. yt
    
 VS . ABCD
4 x y z t
2
2

A

N

Q
D

I
P

O
B

C

A'

C'

 Công thức 11: Tỷ số thể tích khối lăng trụ tam giác.

B'

M

Lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có các điểm M , N , P lần lượt

P

thuộc các cạnh AA ', BB ' và CC ' thì
N

VABC .MNP 1  AM BN CP 
 


.
VABC . A ' B 'C ' 3  AA ' BB ' CC ' 

C

A
B

 Công thức 12: Tỷ số thể tích của khối hộp.

A'

Khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có mặt phẳng   cắt các

M

đoạn thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt tại M , N , P, Q.
Đặt

AM
BN
CP
DQ
 x,
 y,
 z,
 t thì
AA '
BB '
CC '
DD '

x  z  y  t và

VABCD.MNPQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

x y z t x z yt




.
4
2
2

D'

Q
B'

C'
A

D

N
P
B

C

21


Moon.vn

 BẢNG TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH…

Học để khẳng định mình

S
 Công thức 13: Thể tích khối chóp cụt.
là diện tích đáy ABC và A ' B ' C ' thì ta có thể tích khối
1
chóp cụt ABC. A ' B ' C ' là: V  S1  S1S 2  S2 h.
3





C'

A'

Hình chóp cụt ABC. A ' B ' C ' có chiều cao h, S1 , S2 lần lượt

B'
A

C

B

 Công thức 14: Hình cầu nội tiếp hình nón (xem hình vẽ)
Giả sử hình cầu bán kính R , nội tiếp trong hình nón bán
kính đáy là r và chiều cao h. Ta có: R 

22

hr
h2  r 2  r

.


MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM [1087]
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Ta có các hệ thức sau:
 Định lý Pytago: AB 2  AC 2  BC 2

A

 AB 2  BH .BC , AC 2  CH .BC.
 AH 2  HB.HC và AH .BC  AB. AC  2 SABC .


1
1
1


.
2
2
AH
AB

AC 2

B

C

H

 Định lý: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.
2. Tỷ số lượng giác của góc nhọn
 Trong tam giác ABC vuông tại A. Ta có: “Sin đi học,
cos không hư, tan đoàn kết, cotang kết đoàn”. Tức là
sin B 

AC
AB
AC
AB
.
; cos B 
; tan B 
; cot B 
BC
BC
AB
AC

sin C 

AB

AC
AB
AC
; cos C 
; tan C 
; cot C 
.
BC
BC
AC
AB

A

B

C

3. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc cosin góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhận với cotan góc kề.
 Với tam giác ABC vuông tại A ta có:
AB  BC sin C  BC cos B; AC  BC sin B  BC cos C .
AB  AC tan C  AC cot B; AC  AB tan B  AB cot C .

4. Hệ thức lượng trong tam giác thường
 Cho tam giác ABC có AB  c; BC  a; CA  b; ha ; hb ; hc lần lượt là độ dài đường cao hạ từ
abc
là nửa chu vi và R, r lần lượt là bán kính đường

2
tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, khi đó ta có các công thức sau:
A, B , C xuống các cạnh đối diện, p 

1
1
1
abc 1
  1 bc sin A  1 ac sin B
.
 Diện tích: SABC  a.ha  b.hb  c.hc  p.r 
 ab sin C
2
2
2
4R 2
2
2

23


Moon.vn

 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

 Hệ thức Herong: SABC 
 Định lý hàm cos: cos A 

Học để khẳng định mình

p  p  a  p  b  p  c .
b2  c2  a 2
 ; cos C
.
tương tự với cos B
2bc

b2  c2 a2
 .
2
4
a
b
c
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp:


 2R .
sin A sin B sin C
 Công thức đường trung tuyến hạ từ đỉnh A : ma2 

A

II. ĐỊNH LÝ TALET
 Cho tam giác ABC như hình vẽ điểm M và N lần
lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho MN //BC.
Theo định lý Talet ta có:

N

M

AM AN MN


.
AB AC BC
C

B

 Cho hình thang ABCD có AB //CD.

A

B

Gọi I  AC  BD. Theo định lý Talet ta có:
I

IA IB AB


IC ID DC
D

C

III. CÁC ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm
trong mặt phẳng  P  thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  .
Khi đó đường thẳng d vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P  .
A
d

a

H
P

b

 Ví dụ: Nếu hình chóp S . ABC có đường cao SH   ABC  thì ta có: SH  AB, SH  AC
SH  BC , SH  HA...... .

24