Bài giảng Toán rời rạc: Chương 5 - Nguyễn Lê Minh

TOÁN RỜI RẠC
Chương 5: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
GV: NGUYỄN LÊ MINH
Bộ môn Công nghệ thông tin


Nội dung
 Khái niệm đồ thị

 Các loại đồ thị
 Bậc của đồ thị
 Biểu diễn đồ thị
 Tính liên thông trong đồ thị
 Chu trình Euler – Hamilton

 Tìm đường đi ngắn nhất
2


Khái niệm
Đồ thị là 1 cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô
hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó.
Có 2 loại đồ thị: Đồ thị có hướng – Đồ thị vô hướng

3


Đồ thị có hướng
Đồ thị có hướng G = (V, E) trong đó:
• Tập khác rỗng V là tập hợp hữu hạn các đỉnh của đồ thị

• E là tập hợp các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác
nhau của V gọi là các cung.
• Mỗi cạnh e∈E liên kết với 1 cặp đỉnh (i,j)∈ 𝑉 2 , quy định
hướng đi từ i -> j

3


Đồ thị vô hướng
Đồ thị vô hướng G = (V, E) trong đó:
• Tập khác rỗng V là tập hợp hữu hạn các đỉnh của đồ thị

• E là tập hợp các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử
khác nhau của V gọi là các cạnh.
• Mỗi cạnh e∈E liên kết với 1 cặp đỉnh (i,j)∈ 𝑉 2 , không quy
định thứ tự.

3


Cạnh song song và khuyên
• Nếu đồ thị có cạnh nối từ một đỉnh với chính nó, cạnh này
được gọi là khuyên
• Nếu hai cạnh V và V’ cùng liên kết với cặp (i,j) thì V và V’
được gọi là cặp cạnh song song với nhau

3


Các loại đồ thị

Đồ thị rỗng
Có tập cạnh là tập
rỗng

Đồ thị đơn

Đồ thị đủ

Không có khuyên Là đồ thị vô hướng,
và cạnh song song đơn, 2 đỉnh bất kỳ
luôn kề nhau

3


Các loại đồ thị
Đồ thị hai phía (Đồ thị lưỡng phân)
Là một đồ thị trong đó tập các đỉnh có thể được chia thành
hai tập không giao nhau thỏa mãn điều kiện không có cạnh
nối hai điểm bất kỳ thuộc cùng một tập

3


Đỉnh kề
Trong đồ thị vô hướng G=(V,E), nếu e=(u,v) là 1 cạnh thì:
• Đỉnh u, v là hai đỉnh kề nhau
• Cạnh e là cạnh liên thuộc với đỉnh u,v
• Đỉnh u, v là đỉnh đầu
cạnh e

u

e
v

3


Đỉnh kề
Trong đồ thị có hướng G=(V,E), nếu e=(u,v) là 1 cung thì:
• Đỉnh v là đỉnh kề của đỉnh u
• Cung e là cung đi ra đỉnh u và cung đi vào đỉnh v
• Đỉnh u là đỉnh đầu

u

e

cung e, đỉnh v là đỉnh
t

v

cuối cung e

s

x
3

Bậc của đỉnh
Bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng G=(V,E), ký hiệu deg(v),
là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh
được tính hai lần cho bậc của nó
Deg(v) = 1 -> đỉnh treo
Deg(v) = 0 -> đỉnh cô lập
VD: Deg(9) = ?
Deg(0) = ?

3


Bậc của đỉnh
Trong đồ thị có hướng G=(V,E),
• Bán bậc ra của một đỉnh v (𝑑𝑒𝑔+ (v)) là số cung đi ra
khỏi nó.
• Bán bậc vào của một đỉnh v (𝑑𝑒𝑔− (v)) là số cung đi vào
nó.
u

• Bậc của đỉnh = (𝑑𝑒𝑔+ ) + (𝑑𝑒𝑔− )
• 𝑑𝑒𝑔+ (𝑣)= ?

e

t

v

• 𝑑𝑒𝑔− (𝑣)= ?
s

x

3


Định lý
Xét đồ thị vô hướng G=(V,E), tổng bậc của tất cả các đỉnh
của đồ thị sẽ bằng hai lần số cạnh của nó

 deg(v)  2 | E |
vV

3


Định lý
Xét đồ thị có hướng G=(V,E), tổng bán bậc ra của tất cả các
đỉnh sẽ bằng tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng
số cung của đồ thị


deg
(
v
)


deg

 (v) | E |
vV

vV

u
t

v

t

x

3


Đường đi
Xét đồ thị G = <V, E>. Một đường đi độ dài n từ u tới v, n là một số
nguyên dương, trong một đồ thị là một dãy:
u = x0 x1 x2 … xn = v
sao cho i{0,…,n-1}, (xi, xi+1)E
VD: Các đường đi từ 1 đến 5:
Độ dài 2

d1: 1 2 5
d2: 1 2 4 3 9 2 5
d3: 1 9 2 3 9 2 5

Độ dài 6

Độ dài 6

3


Chu trình
Xét đồ thị G = <V, E>. Một chu trình độ dài n (n là một số
nguyên dương) là một đường đi có độ dài n với đỉnh đầu và
đỉnh cuối trùng nhau
VD: Các chu trình trong đồ thị
C1: 1 2 9 1
C2: 1 9 0 3 9 2 1
C3: 1 9 2 3 9 1

Độ dài 3
Độ dài 6

Độ dài 5

3


Đường đi - Chu trình
• Một đường đi (chu trình) được gọi là đường đi đơn (chu
trình đơn) nếu nó không lặp lại cạnh nào.
• Một đường đi (chu trình) được gọi là đường đi sơ cấp (chu
trình sơ cấp) nếu nó không lặp lại đỉnh nào.

VD:
d1: 1 2 9 1
d2: 1 2 4 3 9 2 5
d3: 1 9 2 3 9 2 5
C1: 1 2 9 1
C2: 1 9 0 3 9 2 1
C3: 1 9 2 3 9 1
3


Sự liên thông
• Xét đồ thị vô hướng G = <V, E>. G được gọi là đồ thị liên
thông nếu luôn tồn tại đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của G.

Đồ thị vô hướng liên thông

Đồ thị vô hướng không liên thông

3


Sự liên thông
Một đồ thị không liên thông là hợp của nhiều đồ thị con liên
thông rời nhau. Mỗi đồ thị con này được gọi là một thành phần
liên thông của đồ thị ban đầu.

Đồ thị trên có 3 thành phần liên thông
3

Sự liên thông
• Xét đồ thị vô hướng G = <V, E>. G được gọi là đồ thị liên
thông nếu luôn tồn tại đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của G.

Đồ thị vô hướng liên thông

Đồ thị vô hướng không liên thông

3


Biểu diễn đồ thị
Để biểu diễn 1 đồ thị có hướng và vô hướng, ta có thể dùng
dạng ma trận
Có 2 dạng ma trận:
• Ma trận kề
• Ma trận liên thuộc

3


Ma trận liền kề
Ma trận liền kề của đồ thị G=(V,E) ứng với thứ tự các đỉnh v1,
v2, … , vn là ma trận cấp MxM

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖≤𝑗,𝑗≤𝑛 ∈ 𝑀(𝑛, 𝑍)
Trong đó aij là số cạnh hoặc cung nối từ vi tới vj .
Ma trận liền kề của 1 đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng

Ma trận liền kề của 1 đồ thị có hướng là ma trận không đối

xứng

3


Ma trận liền kề

3


Ma trận liên thuộc
Ma trận liên thuộc của đồ thị có hướng G=(V,E) gồm n đỉnh,
m cạnh (cung) là ma trận gồm n hàng tương ứng n đỉnh, m
cột tương ứng m cạnh (cung) , A = aij với aij được định nghĩa
• Aij = 1 nếu cạnh Ei đi ra khỏi đỉnh Vi
• Aij = -1 nếu cạnh Ei đi vào đỉnh Vi

1

• Aij = 0 trong các trường hợp còn lại
4

2

3

3


Thành phần liên thông

• Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường
đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị.
• Một thành phần liên thông của đồ thị là 1 lớp tương đương
được xác định bởi quan hệ liên kết
• Số thành phần liên thông của đồ thị là số lượng các lớp
tương đương
• Đồ thị liên thông là đồ thị chỉ có 1 thành phần liên thông

3