Giáo trình Toán rời rạc Chương 5

Chương V
QUAN HỆ
I. QUAN HỆ VÀ CÁC TÍNH CHẤT
o Khái niệm và tính chất :
Đònh nghóa: Cho A và B là các tập hợp. Một quan hệ hai ngôi
ℜ
từ A đến B là một tập
con của tích Descartes AxB.
Chúng ta dùng cách kí hiệu: a
ℜ
b để chỉ (a,b)
∈
ℜ
và
nói rằng a có quan hệ
ℜ
với b. Khi A=B ta nói
ℜ
là một quan
hệ hai ngôi trên A.
Ví dụ 1: Xét tập A=
{
1; 2; 3; 4; 5
}

và tập B=
{
1; 2; 3; 4; 5; 6
}

với quan hệ

ℜ
đònh nghóa như sau:
∀
(a,b)
∈
AxB: a
ℜ
b
⇔
a chia hết b.
Ta thấy:
ℜ
=
{
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,2);
(2,4); (2,6); (3,3); (3,6); (4,4); (5,5)
}
(là một tập con của tập AxB).
 Các tính chất của quan hệ :
Đònh nghóa: Cho
ℜ
là một quan hệ hai ngôi trên tập A ta nói
ℜ
có tính chất:
Phản xạ (reflexivity) nếu và chỉ nếu :
∀
a
∈
A : a
ℜ

a
Đối xứng (symmetric) nếu và chỉ nếu :
∀
a,b
∈
A : a
ℜ
b
⇒
b
ℜ
a
Phản đối xứng (antisymmetric) nếu và chỉ nếu :
∀
a,b
∈
A : (a
ℜ
b)
∧
(b
ℜ
a)
⇒
(a=b)
Bắc cầu (transitivity) nếu và chỉ nếu :
∀
a,b,c
∈
A : (a

ℜ
b)
∧
(b
ℜ
c)
⇒
(a
ℜ
c)
Ví dụ 2:
Xét tập Z các số nguyên và quan hệ hai ngôi trên Z đònh nghóa bởi:
∀
(a,b)
∈
ZxZ: a
ℜ
b
⇔
a
≡
b (mod 5)
87
Ta có:
1)
∀
(a,a)
∈
ZxZ: a
≡

a (mod 5)
2)
∀
(a,b)
∈
ZxZ: a
≡
b (mod 5)
⇒
a
≡
b (mod 5)
3)
∀
a,b,c
∈
Z : [a
≡
b (mod 5)]
∧
[b
≡
c (mod 5)]
⇒
a
≡
c (mod 5)
Vậy quan hệ đồng dư modulo 3 xác đònh trên tập Z là một quan hệ hai ngôi có các tính
chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Quan hệ này không có tính phản đối xứng vì, chẳng hạn, :
[10

≡
15 (mod 5)]
∧
[15
≡
10 (mod 5)] nhưng rõ ràng là 15
≠
10.
Ví dụ 3:
Cho X là một tập khác
∅
và P là tập các ánh xạ đi từ X đến tập các số thực R. Xét
quan hệ
p
trên P như sau:
∀
f,g
∈
P : f
p
g
⇔
(
∀
x
∈
X , f(x)
≤
g(x))
Có thể chứng minh rằng quan hệ

p
là một quan hệ hai ngôi có các tính chất: phản xạ,
phản đối xứng và bắc cầu.
o Đònh nghóa khái niệm “hàm” nhờ quan hệ :
Một hàm f từ tập A đến tập B cho phép thiết lập mối quan hệ f giữa mỗi phần tử a
∈
A
với một phần tử b
∈
B tương ứng. Đồ thò của f:
Γ
(f)=
{ }
( , ) ( ) ( ) ( ( ))a b a A b B b f a∈ ∧ ∈ ∧ =
là một tập con của AxB nên f cũng có thể xem như một quan hệ hai ngôi từ A đến B.
Ngược lại nếu
ℜ
là một quan hệ hai ngôi từ A đến B sao cho mọi phần tử trong A là
phần tử thứ nhất của chỉ một cặp có sắp xếp trong
ℜ
thì có thể đònh nghóa hàm f với
ℜ
như là
đồ thò của nó.
Ví dụ 4:
Cho
ℜ
là quan hệ 2-ngôi từ A =
{
1; 2; 3; 4; 5

}
đến B =
{
1; 2; 3; 4; 5; 6
}
xác đònh
như sau:
ℜ
=
{
(1,1); (2,4); (3,3); (4,4); (5,5)
}
.
Khi đó
ℜ
có thể xem như đồ thò của hàm f
f : A B
1 1
2 4
3 3
4 4
5 5
88
o Quan hệ n-ngôi và cơ sở dữ liệu :
Ta có thể mở rộng đònh nghóa về quan hệ nói trên lên nhiều tập như sau:
Đònh nghóa: Cho A
1
,A
2
, ...,A

n
là các tập hợp. Một quan hệ n-ngôi
ℜ
xác đònh trên các
tập này là một tập con của tích Descartes A
1
xA
2
x..xA
n
.
Ví dụ 5:
Cho
ℜ
là quan hệ gồm các bộ sáu (T,N,P,Q,K,B) biểu diễn thông tin về mỗi
sinh viên, trong đó T là họ và tên, N là ngày sinh, P là phái tính, Q là quê quán,
K là lớp, B là số danh bộ. Chẳng hạn nam sinh viên Trần Dạ Lan sinh ngày
12-2-1987 tại Mỏ cày lớp K1 CNTT có số danh bộ là K1_9110 thì:
(Trần Dạ Lan, 12-2-1987, Nam, Mỏ cày, K1 CNTT,K1_9110)
∈

ℜ
Khi đó
ℜ
là quan hệ 6-ngôi xác đònh trên các tập dữ liệu về Họ và tên, Ngày
sinh, Phái tính, Danh sách lớp, Sổ danh bộ.
Một quan hệ
ℜ
kiểu như vậy, như trong phần trình bày dưới đây, được gọi là một bảng.
Tập các bảng chứa các thông tin có liên quan với nhau (dữ liệu) được gọi là một cơ sở dữ liệu

(CSDL) . Trong công nghệ thông tin các CSDL được lưu trữ trong các bộ nhớ và được truy
xuất, xử lí bởi các chương trình máy tính đặc biệt gọi là các hệ quản trò CSDL.
Thời gian cần thiết để thao tác các thông tin trong một CSDL tùy thuộc vào việc các
thông tin đó đã được lưu trữ như thế nào. Nhìn chung các thao tác xử lí thông tin trên các CSDL
bao gồm: Tạo lập CSDL, bổ sung / xóa bớt/điều chỉnh/sắp xếp/tìm kiếm các mẫu tin và tổ hợp
các mẫu tin từ các CSDL. Các CSDL thường bao gồm rất nhiều bảng (table) có liên kết với
nhau. Các CSDL như vậy thường được gọi bằng thuật ngữ CSDL quan hệ.
Ta dùng thuật ngữ mẫu tin (record) để chỉ là một bộ gồm n phần tử dữ liệu có liên quan
với nhau theo một nghóa nào đó.
Ví dụ 6:
Bộ 6 phần tử:
(Trần Dạ Lan, 12-2-1987, Nam, Mỏ cày, K1 CNTT,K1_9110)
là một mẫu tin chứa các dữ liệu liên quan về sinh viên (Trần Dạ Lan)
Một mẫu tin gồm các phần tử tạo nên các trường (field). Trong mẫu tin cụ thể nói trên
có các trường: Họ và Tên, Ngày sinh, Phái tính, Nơi sinh, Sinh viên lớp, Số danh bộ (HoTen,
NgaySinh, Phai, Noisinh, Lop, và SDBo).
Mô hình CSDL quan hệ biểu diễn một CSDL gồm các mẫu tin dưới dạng một quan hệ
n-ngôi. Các quan hệ được dùng để biểu diễn CSDL còn gọi là các bảng (table) vì những quan
hệ đó thường được thể hiện dưới dạng một hoặc nhiều bảng. Ví dụ bảng sau đây mô tả CSDL
về sinh viên
Họ và Tên Ngày sinh Phái Nơi sinh Lớp. Số danh bộ
Bùi Bánh 12-12-1978 Nữ Giồng Trôm K17 Toán Tin K17_1255
Đô Văn Mật 21-03-1981 Nam Thạnh Phú K21 Lý K21_3455
Lê Thò Nâu 18-06-1980 Nữ Thạnh Phú K20 Sinh K20_1221
89
Đặng Trụi 27-05-1980 Nam Thò xã K20 Sinh K20_1012
...........................
Bảng như thế chính là một quan hệ 6-ngôi trên các tập HoTen, NgaySinh, Phai,
Noisinh, Lop, và SDBo.
Có một tập mà quan hệ n-ngôi xác đònh trên đó có một tính chất là:

a) Khác
∅
b) Không có hai mẫu tin nào có cùng giá trò tại trường (filed) này.
Tập đó gọi là Khóa (key) của bảng dữ liệu. Tuy nhiên một tập hợp các trường cũng có
thể xác đònh một biểu thức thỏa mãn hai tính chất a) và b) nói trên khi đó ta có một khóa phức
hợp .
Ví dụ 7:
Trong ví dụ 5, trường HoTen không thể lấy làm khóa được mặc dù ai cũng phải
có họ và tên (ie: khác
∅
) tuy nhiên có thể có nhiều sinh viên có cùng họ và tên.
Tương tự như vậy có thể có rất nhiều sinh viên có cùng ngày tháng năm sinh do
đó trường Ngaysinh cũng không thể là một khóa. Trường số danh bộ SDBo có
thể được lấy làm khóa vì mỗi sinh viên đều bắt buộc phải có một số danh bộ và
hơn nữa số danh bộ này không trùng lắp giữa hai sinh viên khác nhau. Một khóa
là nhằm để phân biệt các mẫu tin khác nhau vì vậy đối với một bảng không cần
thiết phải có hơn một khóa
1
, tuy nhiên nếu tin tưởng chắc rằng trên các tập
HoTen, NgaySinh, Phai, Noisinh, Lop, và SDBo đang xét không thể có hai
người cùng họ tên, cùng ngày sinh và nơi sinh thì bộ
“HoTen+NgaySinh+Noisinh” có thể lấy làm một khóa được (khóa phức hợp) .
 Có nhiều phép toán trên các quan hệ n-ngôi để tạo nên các quan hệ n-ngôi mới, ta xét
một số trong các phép toán đó:
Đònh nghóa: Phép chiếu P
i1,i2,..,im
ánh xạ bộ n phần tử (a
1
,a
2

,...,a
n
) thành bộ m phần tử
(a
i1
,a
i2
,...,a
im
), trong đó m
≤
n.
Nói cách khác phép chiếu P
i1,i2,..,im
cho phép lọc và giữ lại n-m phần tử (a
i1
,a
i2
,...,a
im
)
trong bộ (a
1
,a
2
,...,a
n
).
Ví dụ 8:
Phép chiếu P

1,4,5
ánh xạ bộ
(Trần Dạ Lan, 12-2-1987, Nam, Mỏ cày, K1 CNTT,K1_9110)
thành bộ
(Trần Dạ Lan, Mỏ cày, K1 CNTT)
Qua ví dụ này ta có thể thấy phép chiếu P
i1,i2,..,im
đã biến đổi một quan hệ n-ngôi thành
một quan hệ khác chỉ gồm n-m ngôi. Qua phép chiếu một bảng ta sẽ nhận được một bảng mới
1
Một số hệ quản trò CSDL, như Visual Foxpro, dùng thuật ngữ PRIMARY KEY để chỉ khóa này.
90
mà số mẫu tin có thể bò giảm đi nếu có một số mẫu tin có các giá trò như nhau trong tất cả m
phần tử của phép chiếu.
Ví dụ 9:
Phép chiếu P
2,3
sẽ biến bảng
ℜ
thành bảng
ℜ
’ như sau:
Ngược lại với phép chiếu làm số cột của một
bảng có thể giảm đi thì phép hợp nói sau đây cho phép tổ hợp hai bảng thành một bảng mới khi
hai bảng này có một số trường giống nhau.
Đònh nghóa: Cho
ℜ
là quan hệ bậc m và S là quan hệ bậc n. Phép hợp J
p
(

ℜ
,S), với p
≤
m và p
≤
n là một quan hệ bậc (m+n-p) chứa tất cả các bộ (m+n-p) phần tử (a
1
,a
2
,..,a
m-p
,
c
1
,c
2
,..,c
p
,b
1
,b
2
,b
n-p
) trong đó bộ m phần tử (a
1
,a
2
,..,a
m-p

, c
1
,c
2
,..,c
p
) thuộc
ℜ
và bộ n phần tử
c
1
,c
2
,..,c
p
,b
1
,b
2
,b
n-p
) thuộc S.
Nói cách khác toán tử hợp J
p
tạo một quan hệ mới từ hai quan hệ cũ bằng cách tổ hợp
tất cả các bộ m phần tử của quan hệ thứ nhất với tất cả các bộ n phần tử của quan hệ thứ hai,
trong đó p phần tử cuối cùng của bộ m phần tử phù hợp với p phần tử đầu tiên của bộ n phần
tử.
2
Ví dụ 10:

Xét hai bảng:
Bảng 1
Giảng viên Khoa Mã số môn
học
Vương Đức Bình CNTT C123
Vương Đức Bình CNTT C134
Võ Thành Phước Tự
Nhiên
T345
Võ Thành Phước Tự
Nhiên
T367
Trần thò Bạch
Huệ
CNTT C052
Lê Văn Hoa Xã Hội X111
Lê Văn Hoa Xã Hội X117
2
Trong thuật ngữ của ngôn ngữ SQL toán tử này còn được gọi là toán tử Left Outer Joint
Bảng
ℜ
Sinh viên Ngành
học
Môn học
Lê Ngọt Toán học Topology
Diễm Thuý Toán học Topology
Hoàng Hậu Tin học C++
Trần Bạch Sinh học Di truyền
Đặng Vô Tin học C++
Sùng Văn

Khoai
Sinh học Di truyền
Vàng A Vọt Toán học Đại số
Bảng
ℜ
’
Ngành
học
Môn học
Toán học Topology
Tin học C++
Sinh học Di truyền
Toán học Đại số
Bảng 2
Khoa Mã số môn
học
Phòng
học
Giờ
dạy
CNTT C123 A202 14h
CNTT C134 A203 8h
CNTT C216 A204 10h
Tự Nhiên T345 B201 8h
Tự Nhiên T367 B202 10h
Tự Nhiên T412 B204 10h
CNTT C052 B203 16h
Xã Hội X111 A301 8h
Xã Hội X117 A302 10h
Xã Hội X212 A303 14h

Xã Hội X213 A304 16h
Mầm
Non
M111 B301 8h
Thể Dục T112 A102 8h
91

Toán tử J
2
áp trên hai Bảng 1 và Bảng 2 sẽ cho ra Bảng 3 sau đây:
Bảng 3
Giảng viên Khoa Mã số môn
học
Phòng
học
Giờ
dạy
Vương Đức Bình CNTT C123 A202 14h
Vương Đức Bình CNTT C134 A203 8h
Võ Thành Phước Tự
Nhiên
T345 B201 8h
Võ Thành Phước Tự
Nhiên
T367 B202 10h
Trần Thò Bạch
Huệ
CNTT C052 B203 16h
Lê Văn Hoa Xã Hội X111 A301 8h
Lê Văn Hoa Xã Hội X117 A302 10h

Nhiều vấn đề về các toán tử này sẽ còn được nghiên cứu sâu hơn trong môn Cơ Sở Dữ
Liệu Quan Hệ và ngôn ngữ SQL (Structured Query Language).
II. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Quan hệ thứ tự:
Đònh nghóa: Một quan hệ
ℜ
trên A gọi là quan hệ thứ tự nếu
ℜ
thỏa các tính chất:
phản hồi, phản đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ 11: Quan hệ nói trong ví dụ 3 là một quan hệ thứ tự.
o Quan hệ tương đương và sự chia lớp
Đònh nghóa: Một quan hệ
ℜ
trên A gọi là quan hệ tương đươngï nếu
ℜ
thỏa các tính
chất: phản hồi, đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ 12:
Quan hệ nói trong ví dụ 2 là một quan hệ tương đương.
Ví dụ 13:
Xét các tập X và Y, f là một ánh xạ từ X đến Y. Đònh nghóa một quan hệ
≈
trên X như
sau:

∀
x
1
,x

2

∈
X: (x
1

≈
x
2
)
⇔
(f(x
1
) = f(x
2
)).
Dễ dàng thấy rằng
≈
là một quan hệ tương đương xác đònh trên X.
Sự chia lớp:
Cho
ℜ
là một quan hệ tương đương xác đònh trên A, với mỗi a
∈
A đặt L(a) là tập con
của A chứa các phần tử có quan hệ
ℜ
với a, ie:
L(a)=
{ }

( ) ( )b b A a b∈ ∧ ℜ
92