Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại: Chương 5 - PGS.TS. Lê Công Hảo

Chương 5
Lý thuyết lượng tử của nguyên tử Hydro

PGS.TS. Lê Công Hảo
BT: 5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7, 5.11, 5.12, 5.13, 5.16, 5.17, 5.20,
5.21, 5.30, 5.31, 5.40


5.1 Phương trình Schrӧdinger
Phương trình Schrödinger đối với electron
năng lượng E chuyển động trong nguyên tử
hydro theo không gian 3 chiều là
𝜕 2 𝜓 𝜕 2 𝜓 𝜕 2 𝜓 2𝑚
+ 2 + 2 + 2 𝐸−𝑈 𝜓 =0
2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
ℏ
Thế tương tác Coulomb

U =−

e2
4 0 r

U tọa độ Decartes (x, y, z)

r= x +y +z
2

2

2

Tọa độ cầu (r, , )


5.1 Phương trình Schrӧdinger
1   2  
1
 
 
1
 2  2m
+ 2 ( E − U(r) )  = 0
r
+ 2
 sin 
+ 2 2
2
2
r r  r  r sin   
  r sin  

 được gọi là hàm sóng  (r , ,  ) = R(r )( )( )
Viết gọn

2
−
2

2
m
r
e


 = R..

  2  
1  
 
1  2  e2
−
+
 sin 
+
 r
2
2 
  sin     4 0
 r  r  sin   

1
 R = ER
r

Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro
trong tọa độ cầu

5.2. Giải Phương trình Schrӧdinger bằng
Phương pháp tách biến (r, , ) = R (r )()()
5.2.1. và 5.2.2. Sinh viên đọc thêm trong giáo trình

5.2.3. Phổ năng lượng
Trị riêng của năng lượng E kết hợp với hàm sóng
2

En = −

meZ e

4

(4 0 ) 2 2 2 n 2

Nguyên tử hydro Z = 1

 nm



R.h E1
 1
En = −
=− 2 = 2
2 2 2  2 
32  0   n 
n
n

(n = 1, 2,3,....)
me e

4

n được gọi là số lượng tử chính

R= 3,27.1015 s-1 cũng được gọi là hằng số Rydberg


5.3 Hàm sóng toàn phần
nm = Rn (r ) ( ) m ( ) = Rn (r )Y ( ,  )
m


m


Số lượng tử chính n = 1, 2, 3, …, ,
Số lượng tử quỹ đạo ℓ = 0, 1, 2, …, (n - 1),
Số lượng tử từ: 𝑚ℓ = 0, 1, 2, …, ±ℓ,
5


5.4 Các mức năng lượng
 Các mức năng lượng của nguyên tử hydro

chỉ phụ thuộc vào số lượng tử chính 𝑛
ℏ2 1
𝐸𝑛 = −

2𝑚𝑎02 𝑛2

với 𝑎0

=

4𝜋𝜀0 ℏ2
là bán kính Bohr.
2
𝑚𝑒

rn = n2.a0
 Năng lượng trạng thái cơ bản:

𝐸1 =

ℏ2
−
2𝑚𝑎02

= −13,6 eV
6


5.4 Các mức năng lượng
5.4.1. Mức năng lượng
của
electron
trong
nguyên tử hydro

Năng lượng En luôn âm,
khi n →∞ thì En → 0.
5.4.2. Năng lượng ion hóa của nguyên tử hydro
Năng lượng cần cung cấp để electron chuyển từ mức năng
lượng E1 sang mức năng lượng E


5.4.3. Giải thích cấu tạo vạch của nguyên tử hydro

𝐸𝑛

𝐸𝑛𝑚
𝐸𝑚

 Electron dịch chuyển n → m

(n> m) phát ra photon có năng lượng:

𝐸𝑛𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚
 Tần số vạch quang phổ:

𝜈𝑛𝑚

1
1
=𝑅
− 2 ,
2
𝑚
𝑛

𝑚<𝑛
𝑅=

𝑘𝑒 2 1
2𝑎0 ℎ

= 3,27 × 1015 s −1 : hằng số Rydberg
8


5.4.3. Giải thích cấu tạo vạch của nguyên tử hydro

 Dãy Lyman: n → 1 (n > 1)
 Dãy Balmer: n → 2 (n > 2)

Ánh sáng nhìn thấy

 Dãy Paschen: n → 3 (n > 3)

9


5.4.4. Trạng thái lượng tử của electron
 Hàm sóng phụ thuộc vào ba số lượng tử 𝑛, ℓ, 𝑚ℓ

𝜓𝑛ℓ𝑚ℓ

2
𝑟, 𝜃, 𝜙 = − 2

𝑛

𝑛 − ℓ − 1 ! 2𝑟
𝑛 + ℓ ! 𝑎03 𝑛𝑎0

ℓ

𝐿2ℓ+1
𝑛+ℓ

2𝑟
𝑛𝑎0

𝑟
−
𝑒 𝑛𝑎0

𝑚ℓ
𝑌ℓ (𝜃, 𝜙)

Ứng với mỗi giá trị của n, thì sẽ có n giá trị khác nhau của ℓ ( = 0, 1,
2,…n-1) và ứng với mỗi giá trị của ℓ sẽ có 2ℓ+1 giá trị khác nhau của 𝑚ℓ
 Số trạng thái có cùng số lượng tử chính:
𝑛−1

෍ (2ℓ + 1) = 𝑛2
ℓ=0
10

5.4.4. Trạng thái lượng tử của electron
ℓ

 Ký hiệu trạng thái


0

1

2

3

4

5

6

s

p

d

f

g

h

i

Electron trong nguyên tử Hydro có n = 2
𝒏

ℓ

𝒎ℓ

Số trạng thái

Hàm sóng 𝜓𝑛ℓ𝑚ℓ

Trạng thái

1

0

0

1

𝜓100

1s

0

0

𝜓200

2s

-1

𝜓21(−1)

2

1

0
1

4

𝜓210

2p

𝜓211
11


5.4.5. Xác suất tìm electron trong thể tích dV ở một trạng thái nào đó
2

2 2

Xác suất tìm thấy electron  nm ) dV = R n (r )Ym (, ) r dr sin dd

12


5.5 Nguyên tử kim loại kiềm
5.5.1 Năng lượng electron hóa trị

 Nguyên tử kim loại kiềm có hóa trị

bằng 1
 Lớp ngoài cùng chỉ có 1 electron liên
kết yếu với hạt nhân
 Ngoài tương tác giữa electron và nhân
còn có tương tác giữa các electron
 Năng lượng electron hóa trị:
𝑅ℎ
𝐸𝑛ℓ = −
𝑛 + Δℓ 2
Δℓ : hệ số hiệu chỉnh Rydberg, phụ thuộc vào ℓ
13


5.5.1. Năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim
loại kiềm
Z
3

11
19
37
55

Nguyên tố kim loại kiềm
Li
Na
K
Rb
Cs

(l = 0)
-0,412
-1,373
-2,230
-3,195
-4,131

(l = 1)
-0,041
-0,883
-1,776
-2,711
-3,649

(l = 2)
-0,002
-0,010
-0,146

-1,233
-2,448

(l = 3)
-0,000
-0,001
-0,007
-0,012
-0,022

Trong vật lí nguyên tử mức năng lượng được kí hiệu bằng nX
(hay E𝑛ℓ), n là số lượng tử chính, còn X tùy thuộc vào số lượng
tử ℓ như sau:
2D là mức năng lượng
ứng với n = 2, ℓ = 2

ℓ

0

1

2

3

4

X

S

P

D

F

G


5.5.1. Năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim
loại kiềm
Bảng 5.3: Mức năng lượng ứng với các trạng thái lượng tử của nguyên tử kim loại kiềm

n

ℓ

Trạng thái

Mức năng lượng

Lớp

1

0

1s

1S (E1,0)

K

2

0

2s

2S (E2,0)

L

1

2p

2P (E2,1)

0

3s

3S (E3,0)

1

3p

3P (E3,1)

2

3d

3D (E3,2)

3

M

15


5.5.2 Quang phổ của nguyên tử kim loại kiềm
 Quy tắc lọc lựa:

Δℓ = ±1,

Δ𝑗 = 0, ±1

Ví dụ: Electron hóa trị của nguyên tử Li
nằm ở mức 2S.
Các dịch chuyển có thể:
nP → 2S, (n ≥ 2, ℓ=1)
nS → 2P, (n > 2, ℓ=0)
nD → 2P, (n > 2, ℓ=2)
nF → 3D, (n > 3, ℓ=3)

16


5.6.1. Mômen động lượng quỹ đạo
 Độ lớn momen động lượng quỹ đạo

𝐿=

ℓ ℓ+1 ℏ

Hình chiếu lên phương z

𝐿𝑧 = 𝑚ℓ ℏ
 Góc giữa 𝐿 và 𝐿𝑧 :

𝐿𝑧
cos 𝜃 =
=
𝐿

𝑚ℓ
ℓ(ℓ + 1)
17


5.6.2 Mômen từ
 Electron quay quanh hạt nhân tạo nên dòng điện 𝑖

chạy ngược với chiều chuyển động của electron
 Momen từ

𝜇Ԧ𝑚 = 𝑖 𝑆Ԧ
Ԧ = 𝜋𝑟 2 : diện tích
|𝑆|
𝑖 = 𝑒𝜈: cường độ dòng điện, 𝜈: tần số chuyển động
𝑒
𝜇Ԧ𝑚 = −
𝐿
2𝑚𝑒
𝑒ℏ
𝜇𝑚 = −
ℓ ℓ + 1 = 𝜇𝐵 ℓ(ℓ + 1)
2𝑚𝑒
𝜇𝐵 = 9,274. 10−24 J/T: Magneton Bohr
18


5.6.2 Mômen từ
 Hình chiếu mômen từ lên trục z:

𝑒
𝑒ℏ
𝜇𝑚𝑧 = −
𝐿𝑧 = −
𝑚ℓ = −𝑚ℓ 𝜇𝐵
2𝑚𝑒
2𝑚𝑒
 𝑚ℓ : số lượng tử từ
 Mômen từ bị lượng tử hóa
 Khi electron chuyển đổi trạng thái, 𝑚ℓ biến đổi
theo quy tắc:

Δ𝑚ℓ = 0, ±1
19


5.6.3. Hiệu ứng Zeeman
B≠0

Năng lượng

Năng lượng

B=0

Nguyên tử đặt trong từ
trường đều, thì moment từ
quĩ đạo sẽ tương tác với từ
trường ngoài, nhận thêm
năng lượng.
Hiện tượng tách vạch quang
phổ khi nguyên tử phát sáng
đặt trong từ trường

 Khi có từ trường, momen từ của electron sắp xếp theo phương song

song với từ trường
 Độ biến thiên năng lượng:

 
E = −  m B
20

5.6.3. Hiệu ứng Zeeman
 Chọn 𝑧Ԧ ∥ 𝐵: Δ𝐸 = −𝜇𝑚𝑧 𝐵 = 𝑚ℓ 𝜇𝐵 𝐵
 Năng lượng nguyên tử Hydro trong từ trường:

𝐸𝑛′ = 𝐸𝑛 + Δ𝐸 = 𝐸𝑛 + 𝑚ℓ 𝜇𝐵 𝐵
 Tần số quang phổ nguyên tử trong từ trường:


𝜈′

=

𝐸2′ −𝐸1′
ℎ

=

𝐸2 −𝐸1
ℎ

+

𝑚ℓ2 −𝑚ℓ1 𝜇𝐵 𝐵
ℎ

=

𝐸2 −𝐸1

ℎ

𝜇𝐵 𝐵
+ Δ𝑚ℓ
ℎ
𝜇 𝐵

 Quy tắc lọc lựa: Δ𝑚ℓ = 0, ±1, ⇒ 𝜈 ′ =

𝜈+ 𝐵
ℎ
𝜈
𝜇𝐵 𝐵
𝜈−
ℎ

 Khoảng cách giữa các vạch:

𝜇𝐵 𝐵
𝑑=
ℎ
21


5.7.1. Thí nghiệm Stern - Garlach
 Chiếu

chùm Ag
trạng thái 1s qua từ
trường mạnh không

đều
 Nếu chỉ xét momen
từ, số vạch kỳ vọng
là lẻ
 Kết quả nhận được: Số vạch xuất hiện trên kính ảnh luôn

chẵn, ngay cả khi nguyên tử ở trạng thái 1s cũng có hai
vạch xuất hiện trên kính ảnh

22


5.7.2. Spin của electron
Năm 1925, Uhlenbeck và Goudsmit cho rằng, ngoài moment từ quĩ
đạo đã biết, điện tử còn có moment từ riêng gọi là moment spin,
ký hiệu 𝜇Ԧ𝑠
𝑒
𝜇Ԧ𝑠 = −

 Spin có độ lớn xác định

𝑚𝑒

𝑆=

𝑠 =

𝑆Ԧ

𝑠(𝑠 + 1)ℏ

1
: số lượng tử spin
2

Chiếu lên phương z

𝑆𝑧 = 𝑚𝑠 ℏ
 𝑚𝑠 =

1
± , số lượng tử từ riêng
2


5.7.3. Trạng thái và năng lượng electron trong nguyên tử
Ngoài moment quĩ đạo, điện tử còn có moment spin nên
moment động lượng toàn phần là tổng của hai moment:
Momen động lượng toàn phần:
Độ lớn
𝐽 = 𝑗(𝑗 + 1)ℏ

𝐽Ԧ = 𝐿 + 𝑆Ԧ

𝑗 = ℓ ± 𝑠 = |ℓ ±
Chiếu lên trục z:
Jz = mj ℏ

1
|:

2

số lượng tử toàn phần

với 𝑚𝑗 = 𝑗, 𝑗 − 1, … 0, … -j

Khi xét đến spin, trạng thái electron phụ thuộc vào bốn số lượng
tử:
𝑛, ℓ, 𝑚ℓ , m𝑠 hay
𝑛, ℓ, 𝑚ℓ , 𝑗


5.7.3. Trạng thái và năng lượng electron trong nguyên tử
Ứng với một giá trị n sẽ có 2n2 trạng thái lượng tử khác nhau
n −1

2 (2 + 1) = 2n 2
 =0

Năng lượng toàn phần của electron phụ thuộc vào ba số lượng tử: 𝑛, ℓ, 𝑗
Trong vật lí nguyên tử,
 Ký hiệu trạng thái:

nxj , 𝑥 = s, p, d, f, …
 Ký hiệu mức năng lượng:

n2 Xj , 𝑋 = S, P, D, F, …