Quy hoach trực giao cấp 1

VÍ DỤ VỀ QUI HOẠCH
TRỰC GIAO CẤP 1


Ví dụ 1:
Nghiên cứu tốc độ phản ứng hóa học của
một phản ứng đã cho phụ thuộc vào: nhiệt
độ, nồng độ và áp suất.


Ví dụ 1.

* Xác lập ma trận thực nghiệm:
Các biến độc lập được chọn là:
- Nhiệt độ Z1 mức cao: 300oC mức thấp 200oC
- Nồng độ Z2 mức cao: 45 g/l mức thấp 35 g/l
- Áp suất Z3 mức cao: 1,25 at mức thấp 0,75
at


Ví dụ 1.

Phương án thí nghiệm được viết dưới dạng
ma trận (TYT: thực nghiệm yếu tố toàn phần)
2 mức thí nghiệm, số biến độc lập k = 3. Số
thí nghiệm được thực hiện là:
N = 23 = 8
Phương án thí nghiệm và kết quả thí nghiệm
được trình bày trên bảng

Ví dụ 1. Mã hóa dữ liệu
MA TRẬN TYT 23 = 8
Số thí
nghiệm

1
2
3
4
5
6
7
8

Biến thực

Biến mã hóa

Kết quả

Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

Y

300
200
300
200
300
200
300
200

45
35
35
45
45
35
35
45

1,25
1,25
1,25
1,25
0,75
0,75
0,75
0,75

+
+
+
+
-

+
+
+
+

+
+
+
+
-

296
122
239
586
232
292
339
383


Ví dụ 1. Mã hóa dữ liệu
Để thuận tiện cho nghiên cứu người ta hàm biến ảo xo, xo = 1

Ma trận qui hoạch với biến ảo TYT
Số thí
nghiệm

X0

X1

X2

X3

Y

1

+

+

+

+

Y1

2

+

-

-

+

Y2

3

+

+

-

+

Y3

4

+

-

+

+

Y4

5

+

+

+

-

Y5

6

+

-

-

-

Y6

7

+

+

-

-

Y7


Ví dụ 1. Xác định các hệ số của phương trình hồi quy

Ma trận qui hoạch đảm bảo tính trực giao.
N

∑x
i =1

ui

.x ji = 0,u ≠ j , u, j = 0 ÷ k

N

Và

∑x
i =1

ji

= 0;

j = 1 ÷ k; j ≠ 0

* Xác lập phương trình hồi qui
Nếu dùng phương trình hồi qui tuyến tính dưới
dạng:
^

Y = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x 3


Ví dụ 1. Xác định các hệ số của phương trình hồi quy

TN x0 x1 x2 x3

y

x0y

x1y

x2y

x3y

1

+ + + + 296

296

296

296

296

2

+

-

-

+ 122

122

- 122

- 122

122

3

+ +

-

+ 239

239

239

- 239

239

4

+

+ + 586

586

- 586

586

586

5

+ + +

- 232

232

232

232

-232

6

+

-

-

- 292

292

- 292

- 292

-292

7

+ +

-

- 339

339

339

- 339

-339

8

+

+

- 383

383

- 383

383

- 383

2489

-277

505

-3

-

-

Tổng
Trung bình(Tổng/N)

311,125 -34,625 63,125 -0,375
b0

b1

b2

b3


Ví dụ 1. Xác định các hệ số của phương trình hồi quy

Vậy ta có phương trình:

$

y = 311,125 − 34,625 x1 + 63,125 x2 − 0,375 x3


Ví dụ 1. Kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy

Ta đi kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy mức ý
nghĩa

α =0,05. Xét n0 = 3 thí nghiệm lặp tại tâm:

Số thí
nghiệm

Biến thực

Biến mã hóa

Kết quả

X2

X3

y0i

Z1

Z2

Z3

X1

1

250

40

1

0

0

0

295

2

250

40

1

0

0

0

312

3

250

40

1

0

0

0

293


Ví dụ 1. Kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy

TN y0i
1

295

2

312

3

293

y0
300

y0i − y0

(y0i − y0)2

-5

25

12

144

-7

49

i
2
(
y

−
y
)
∑ 0 0

218

1 1
y0 = ( y0 + y02 + y03 ) = 300
3
n0
1
2
i
2
(
y
−
y
)
Phương sai tái sinh sts =
∑
0
0
n0 − 1 i =1

1
= 218 = 109
2

Ví dụ 1. Kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy

Ta tính được

sts = 10, 44

sts
= 3,691
Ta có sbj =
N
bj
Giá trị thực nghiệm tbj =
sbj

, thay số ta có bảng

t0

t1

t2

t3

84,29

-9,38

17,1

-0,1

Dựa vào bảng Student ta tính được

α
tα = t (n0 − 1,1 − ) = t (2;0,975) = 4,3
2

Ta thấy chỉ có hệ số t3 thỏa mãn |t3| < tα nên hệ số b3
không có nghĩa


Ví dụ 1. Kiểm định sự phù hợp của mô hình

Kiểm định sự phù hợp của mô hình
với mức ý nghĩa α = 0,05
Số hệ số có nghĩa L = 3
Số thí nghiệm N = 8.
Phương trình kiểm định: $
y = 311,125 − 34,625 x1 + 63,125 x2
Ta tính

$
y thông qua phương trình trên:


Ví dụ 1. Kiểm định sự phù hợp của mô hình

$

y = 311,125 − 34,625 x1 + 63,125 x2
TN x0 x1 x2 x3

y

$
y

1

+ + + + 296 339,625

2

+

-

3

y−$
y

(y − $
y)2

-43,625

1903,1

-

+ 122 282,625 -160,625

25800,4

+ +

-

+ 239 213,375

25,625

656,6

4

+

+ + 586 408,875 177,125

31373,3

5

+ + +

- 232 339,625 -107,625

6

+

-

-

- 292 282,625

9,375

87,9

7

+ +

-

- 339 213,375 125,625

15781,6

8

+

+

- 383 408,875

-

-

Tổng

-25,875

11583,1

669,5
87855,5


Ví dụ 1. Kiểm định sự phù hợp của mô hình

Phương sai dư:
N
1
87855,5
2
2
µ
sdu =
( yi − yi ) =
= 17571,1
∑
N − L i =1

8−3

2
du
2
ts

s
17571,1
µ
=
= 161, 2
Giá trị thực nghiệm F =
s
109
Tra bảng phân vị phân phối Fisher với α = 0,05,
bậc của tử số là: N – L = 5,
bậc của mẫu số là: n0 – 1 = 2

= F0,95 (5; 2) = 19,3
µ > F nên ta có kết luận mô hình chưa phù
F
α

ta có Fα
Do
hợp


Ví dụ 1.

Để xét^ mô hình đầy đủ hơn

Y = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x 3 + b12 x1 x 2 + b13 x1 x 3 + b23 x 2 x 3
Ma trận qui hoạch được mở rộng

Số thí
nghiệm

X0 X1

X2

X3

X1X2

X1X3

X2X3

Y

1

+

+

+

+

+

+

+

296

2

+

-

-

+

+

-

-

122

3

+

+

-

+

-

+

-

239

4

+

-

+

+

-

-

+

586

5

+

+

+

-

+

-

-

232

6

+

-

-

-

+

+

+

292

7

+

+

-

-

-

-

+

339

8

+

-

+

-

-

+

-

383


Ví dụ 1. Xác định các hệ số của phương trình hồi quy

Các hệ số cần tính thêm là b12, b13, b23
TN x1 x2 x3

y

x1x2y

x1x3y

x2x3y

1

+

+

+ 296

296

296

296

2

-

-

+ 122

122

-122

-122

3

+

-

+ 239

-239

239

-239

4

-

+

+ 586

-586

-586

586

5

+

+

-

232

232

-232

-232

6

-

-

-

292

292

292

292

7

+

-

-

339

-339

-339

339

8

-

+

-

383

-383

383

-383

Tổng

-605

-69

537

Tổng/N

-75,625

-8,625

67,125

b12

b13

b23


Ví dụ 1.

Phương trình hồi qui lúc này có dạng
Y = 311,125 + 34,625x1 + 63,125x2 – 0,375x3
– 75,625x1x2 - 8,625x1x3 + 67,125x2x3

Ví dụ 1.

* Kiểm định tính ý nghĩa cũa các hệ số phương trình hồi
qui

- Vì ma trận (XTX)-1 là ma trận đường chéo
nên các hệ số độc lập với nhau.
- Loại bỏ các hệ số không có nghĩa không ảnh
hường đến hệ số còn lại.
- Các hệ số kiểm định theo tiêu chuẩn Student
(t).
- Mọi hệ số của phương trình được xác định
s th
với độ chính xác. s bj =
N


Ví dụ 1.

- Không làm thí nghiệm song song để xác định
phương sai tái sinh sts ta làm 3 thí nghiệm ở tâm
phương án ta nhận 3 giá trị.
Số thí
nghiệm

Biến thực

Biến mã hóa

Kết quả

Z10

Z 20

Z 30

X1

X2

X3

Y0

1

250

40

1

0

0

0

295

2

250

40

1

0

0

0

312

3

250

40

1

0

0

0

293


Ví dụ 1.
3

Y =
o

o
y
∑ 4

3

∑( y
3

s =
2
ts

295 + 312 + 293
=
= 300
3

1

1

o
4

−y

3− 1

o

)

2

= 109

sts = 109 = 10,440
sts 10,440
stj =
=
= 3,69
N
8


Ví dụ 1.

Ý nghĩa của các hệ số được kiểm định theo tiêu
chuẩn Student t

tj =

|bj |
sb j

Ta tính được: t = 311,125 = 84,315
o

3,69

t1 = 9,38 ,

t2 = 17,107 , t3 = 0,1016,

t12 = 20,494 , t13 = 2,337 , t23 = 18,191


Ví dụ 1.

Tra bảng tp(f) với p = 0,975, f = 2
f = l - 1 bậc tự do tái hiện
l số thí nghiệm song song ở tâm
t0,975 (2) = 4,3
Vì t3 < tp(f), t13 < tp(f)
Các hệ số b3, b13 bị loại phương trình lúc này
có dạng:
^

Y = 311,125 − 34,625 x1 + 63,125 x 2 + 75,625 x1 x 2 + 67,125 x 2 x 3

Ví dụ 1.

* Kiểm định sự tương thích của phương trình hồi qui:
Sự tương tích của phương trình hồi qui được kiểm
định bằng tiêu chuẩn Fisher.
2
s du
F= 2
s th
N

Trong đó: s

2
du

=

∑(y
i =1

^

i

− yi )2

N −l

N – số thí nghiệm
l - số thí nghiệm ở tâm


Ví dụ 1.

Thay số

s

2
du

6056,3742
=
= 2018,791
3

2
s du
2018,791
F= 2 =
= 18,521
109
s th

Tra bảng F1p (f1, f2) với p = 0,05 f1 = 3, f2 = 2
f1 – bậc tự do phương sai tương thích
f1 = N – l

N số thí nghiệm : 8
l hệ số có nghĩa trong phương trình hồi qui: 5