Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ

Ngành: Toán học

,

Mã số: 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. VŨ THỊ NGỌC HÀ
2. TS. TRẦN THỊ LOAN

Hà Nội - 2020


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

1.2

1.3

9

Không gian nội suy, các định lý nội suy . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Không gian nội suy phức . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . .

10

Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1

Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.3

Hàm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
20

TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY

2.1

Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính

. .

2.2

Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

21

và tính ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . .

25

2.2.2

Phương trình tổng quát hóa đối với động lực học
thủy khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

31


Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HOÀN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

36

3.1

Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.1

Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . .

37

3.1.2

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . .

40

Nghiệm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
4.1

4.2

47

Ứng dụng vào phương trình của động lực học thủy khí . .

47

4.1.1

Phương trình Navier-Stokes-Oseen . . . . . . . . .

47

4.1.2

Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng

52

4.1.3

Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov

55

Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương
trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2.1

Phương trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . .

57

4.2.2

Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . .

62

4.3

Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . .

63

4.4

Ứng dụng vào phương trình truyền sóng . . . . . . . . . .

68

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . .

74

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác
giả. Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung
thực, và không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất kỳ hình thức
nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được thực hiện trích dẫn và ghi
nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định.
Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020
Tập thể hướng dẫn

TS. Vũ Thị Ngọc Hà

Tác giả

TS. Trần Thị Loan

1

Vũ Thị Mai


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ
Thị Ngọc Hà, TS. Trần Thị Loan, hai cô đã tận tình giúp đỡ tôi trên con
đường nghiên cứu khoa học. Các cô đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo
ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì

tôi may mắn được tiếp nhận từ những người cô đáng kính của mình. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các cô.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy, một
nhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi,
cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.
Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phương
trình vi phân và ứng dụng” tại trường ĐH Bách khoa Hà Nội do PGS.TSKH.
Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã
nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi
xin được chân thành cảm ơn.
Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám
hiệu, Khoa Toán và KHTN Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và
toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên
con đường toán học mình đã chọn.
Tác giả

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

R−

: tập các số thực không dương.

Z

: tập các số nguyên.

C

: tập các số phức.
1/p

Lp (R)

:=

u:R→R u

p

p

|u(x)| dx

=

< +∞ , 1 ≤ p < ∞.

R

L∞ (R)

:= u : R → R u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞ .
x∈R

X, Y
L(X, Y )
L(X)
Cb (R+ , X)

: không gian Banach.
: không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y .
: không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào chính nó.
:= v : R+ → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ ,
t∈R+

với chuẩn v
Cb (R, X)

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+

:= v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞
t∈R

với chuẩn v
A
(e−tA )t≥0

Cb (R,X)

:= sup v(t) .
t∈R

: toán tử tuyến tính.
: nửa nhóm sinh bởi toán tử −A.

3


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Bài toán về hệ phương trình Navier - Stokes được đưa ra từ năm

1882, mô tả các hình dạng của sóng, sự chuyển động của đại dương, sự
hình thành của bão, sự chuyển động của không khí,...Bên cạnh hệ phương
trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏng
thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi ý nghĩa về mặt toán học
và tầm quan trọng của chúng cũng như những thách thức khó khăn khi
nghiên cứu.
Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng
quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển
gần đây của toán học như khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy,
định lý nội suy,... để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm
phương trình đó.
Bài toán tìm nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong các
miền Ω không bị chặn về mọi hướng được Maremonti [1] phát biểu dưới
dạng sau:
Bài toán A:
“Ký hiệu f (t, x) là ngoại lực và u(t, x) là một nghiệm của phương trình
Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X và Y là hai không gian
Banach với chuẩn ·

X

và ·

Y

tương ứng. Nếu f (t, ·) ∈ X với f (t, ·)

bị chặn đều theo thời gian, thì u(t, ·) ∈ Y với u(t, ·)

Y

X

cũng bị chặn đều

theo thời gian.”
Trong trường hợp, nếu Ω là bị chặn (theo hướng nào đó), thì bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Poincaré và một số định lý nhúng Sobolev compact,
người ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán A. Khi miền là không bị chặn
theo mọi hướng thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều vì bất đẳng thức
Poincaré không còn đúng nữa và các định lý nhúng compact cũng không
4


khả dụng. Vì thế, có nhiều cách tiếp cận được đưa ra để vượt qua khó khăn
này. Như một số đường hướng của Maremonti [1, 2] và Maremonti-Padula
[3], của Galdi và Sohr [4], của Yamazaki [5], và của Thieu Huy Nguyen [6].
Bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không bị chặn và chứng
minh sự ổn định của nghiệm là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứng
dụng trong các vấn đề về luồng thủy khí qua các vật cản đứng yên hay
quay tròn như là Tuabin hay cánh quạt.
Một số kết quả nền móng ban đầu đã đạt được bởi Thieu Huy Nguyen
và một số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]). Chúng tôi sẽ phát triển và
hoàn thiện các kết quả về tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hoàn của nghiệm
các phương trình tiến hóa trong các không gian nội suy để nhận được các
kết quả tổng quát và ứng dụng vào các phương trình cụ thể của động lực
học thủy khí.
Luận án “Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến
hóa và động lực học thủy khí”. Luận án nhằm nghiên cứu và đánh giá sự
tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn định của nghiệm của các phương

trình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy. Từ đó, áp dụng vào
các bài toán cụ thể của động lực học thủy khí. Chúng tôi tổng quát hóa
cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen, đó là khai thác đặc
trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld -yếu để chỉ ra
nghiệm bị chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa. Cùng với đó
là kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thế
giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm
liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy, vv...
Cụ thể như sau: Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach
Y1 , Y2 , và không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa
nhóm trên đó để có thể rút ra được nghiệm bị chặn của các phương trình
tiến hóa dạng:
du(t)
+ Au(t) = B(G(u)), t ≥ 0
(1)
dt
trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ , trong đó −A là toán tử sinh ra nửa nhóm; B
là “toán tử liên kết”; G là toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương.
5


2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1 , Y2 , và
không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm
trên đó để có thể chứng minh được sự tồn tại của nghiệm bị chặn
của các phương trình tiến hóa (1) trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ .
Sau đó chỉ ra nghiệm bị chặn đó là ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức
dạng Lp − Lq và chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn hay hầu tuần
hoàn.

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụ
thể trong động học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóa
tổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng.
Xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y1 ,Y2 và lớp
các không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tại
nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.
Dưới các điều kiện và hệ tiên đề sẽ xây dựng, chứng minh nghiệm
bị chặn là ổn định.
Xét một số lớp phương trình tiến hóa là mô hình của các quá
trình xảy ra trong bài toán cơ học thủy khí: phương trình NavierStokes qua vật cản xoay, qua các miền có lỗ thủng, phương trình
Navier - Stokes trong không gian Besov. Đồng thời xét một số ví
dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình
truyền nhiệt với hệ số thô...
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính và
các đánh giá Lp − Lq để đưa ra những đặc trưng nội suy của lớp các
hàm đối ngẫu đặc biệt
6


• Sử dụng các không gian nội suy và hàm tử nội suy để chứng minh
tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.
• Mở rộng các hàm tử nội suy để xét bài toán có nghiệm ổn định.
• Sử dụng các đặc trưng tô-pô và lý thuyết các không gian hàm chấp
nhận được cùng với các khái niệm nghiệm khác nhau (đủ tốt, đủ tốt
yếu, rất yếu,...) để xét bài toán nghiệm hầu tuần hoàn.
4. Ý nghĩa các kết quả của luận án
Như trên đã nói, bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không

bị chặn và chứng minh sự ổn định của nó là bài toán thời sự và mang
đến nhiều ứng dụng trong các vấn đề của luồng thủy khí qua các vật như
là Tuabin hay cánh quạt, hoặc là bài toán dao động của sóng đại dương.
Việc nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn
định của nó của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không gian
nội suy không những có ý nghĩa rất lớn về việc mở rộng lý thuyết nghiệm
của các phương trình tiến hóa mà còn có thể áp dụng để nghiên cứu các
phương trình của động lực học thủy khí và một số vấn đề ứng dụng khác.
Việc khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không
gian Ld -yếu (theo cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen) cho
phép mở ra một hướng tiếp cận độc đáo để tìm hiểu sự tồn tại nghiệm bị
chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa và xét tính ổn định của
chúng và cho phép kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa
chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý
thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội
suy vào một đường hướng thống nhất và mang lại ứng dụng phong phú
vào các bài toán của động học thủy khí.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ sở
sử dụng trong các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không
7


gian hàm Lorentz và tính chất của nó. Tiếp theo là khái niệm không
gian nội suy, định lý nội suy tổng quát. Cuối cùng là khái niệm về
nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq .
• Chương 2. Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong
không gian nội suy: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

bị chặn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy. Chứng
minh sự ổn định của các nghiệm bị chặn.
• Chương 3. Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương
trình tiến hóa: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính dựa
trên sự ổn định có điều kiện của nửa nhóm. Nghiên cứu sự tồn tại
duy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa trên lý
thuyết nội suy kết hợp với các bất đẳng thức vi phân.
• Chương 4. Ứng dụng: Trong chương này, chúng tôi áp dụng các
kết quả của chương 2 và 3 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của các phương trình động lực học thủy khí, phương trình
Navier - Stokes và phương trình truyền sóng.
Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở
“Danh mục công trình đã công bố của luận án”. Các kết quả
của luận án được báo cáo tại seminar “Phương trình vi phân và ứng
dụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

8


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
của các không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm
liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá Lp − Lq .

1.1

Không gian nội suy, các định lý nội suy

1.1.1

Định nghĩa

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội
suy, (xem [10, 11, 12]). Lý thuyết nội suy đóng vai trò quan trọng trong
các nghiên cứu về tính bị chặn, ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X0 , X1 là các không gian tuyến tính tựa chuẩn.
Cặp (X0 , X1 ) được gọi là cặp nội suy nếu X0 , X1 được nhúng vào trong
không gian tôpô Hausdorff V .
Cho cặp nội suy X0 , X1 , khi đó X0 ∩ X1 được trang bị tựa chuẩn
x

X0 ∩X1

:= x

X0

+ x

X1 .

Tổng X0 + X1 được trang bị tựa chuẩn
x

X0 +X1

:= inf{ x0

X0

+ x1

X1

: x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }.

Không gian véc tơ X được gọi là không gian nội suy của cặp nội suy
(X0 , X1 ) nếu X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , và các phép nhúng là liên tục.

1.1.2

Không gian nội suy phức

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội
suy phức, (xem [10], phần 2.1).
9


Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach phức, ta định nghĩa
dải
S := {x + iy ∈ C : 0 ≤ x ≤ 1}.
Cho tập F(X0 , X1 ) là không gian của các hàm f : S → X0 + X1 thỏa mãn
các tính chất sau:
(i) f liên tục trên S và giải tích trong S,
(ii) t → f (it) ∈ C(R, X0 ),t → f (1 + it) ∈ C(R, X1 ) và
f

F(X0 ,X1 )

:= max sup f (it)
t∈R

X0 , sup
t∈R

f (1 + it)

X1

< ∞.

Định nghĩa 1.1.2. Cho θ ∈ [0, 1] và (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không
gian Banach phức. Không gian nội suy phức [X0 , X1 ]θ được xác định bởi
[X0 , X1 ]θ := {f (θ) : f ∈ F(X0 , X1 )} ,
với chuẩn
x

[X0 ,X1 ]θ

:= inf

f

F (X0 ,X1 )

: f (θ) = x .

Mệnh đề 1.1.3. Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của không

gian Banach phức, T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) và θ ∈ (0, 1). Khi đó
T ∈ L([X0 , X1 ]θ , [Y0 , Y1 ]θ ),
và
T

1.1.3

L([X0 ,X1 ]θ ,[Y0 ,Y1 ]θ )

≤ T

1−θ
L(X0 ,Y0 )

T

θ
L(X1 ,Y1 ) .

Không gian nội suy thực

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về không gian nội
suy thực và các tính chất của nó.
Trước hết ta định nghĩa phiếm hàm K:
Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn và định
nghĩa
K(t, x, X0 , X1 ) := inf { x0

X0

+ t x1
10

X1 , x

= x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } ,


với x ∈ X0 + X1 ,

t ∈ [0, ∞).

Để ngắn gọn, ký hiệu K(t, x) = K(t, x, X0 , X1 ).
Cho θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞], không gian nội suy thực được định nghĩa như
sau
(X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x

(X0 ,X1 )θ,q

<∞ ,

ở đó, nếu q < ∞ thì
∞

x

(X0 ,X1 )θ,q

:=
0

1
q

dt
[t−θ K(t, x)]q
t

,

nếu q = ∞ thì
x

(X0 ,X1 )θ,∞

:= sup t−θ K(t, x).
t∈(0,∞)

Hơn nữa, đối với không gian Banach X0 và X1 , không gian nội suy liên tục
được đưa ra bởi
(X0 , X1 )0θ,∞ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 .
t→∞

t→0

Sau đây là một số tính chất cơ bản của các không gian này.
Mệnh đề 1.1.4. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian tuyến tính
tựa chuẩn, θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta có:
(a) Không gian nội suy thực (X0 , X1 )θ,q là không gian tuyến tính tựa chuẩn.
Nếu X0 và X1 là đủ thì không gian nội suy thực liên tục cũng đủ.

(b) Nếu X0 và X1 là các không gian tuyến tính định chuẩn thì không gian
(X0 , X1 )θ,q cũng là không gian tuyến tính định chuẩn.
(c) Nếu q < ∞ thì X0 ∩ X1 là trù mật trong (X0 , X1 )θ,q . Nếu thêm điều
kiện X0 hoặc X1 tách được và q < ∞, thì (X0 , X1 )θ,q cũng tách được.
Mệnh đề 1.1.5. Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của không
gian tựa chuẩn. Cho T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) với θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞].
Khi đó T ∈ L((X0 , X1 )θ,q , (Y0 , Y1 )θ,q ) với chuẩn được tính bởi
T

L((X0 ,X1 )θ,q ,(Y0 ,Y1 )θ,q )

≤ T
11

1−θ
L(X0 ,Y0 )

T

θ
L(X1 ,Y1 ) .


Mệnh đề 1.1.6. (xem [10], Mệnh đề 1.17) Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy
của không gian Banach. Khi đó (X0 , X1 )0θ,∞ trùng với bao đóng của X0 ∩X1
trong (X0 , X1 )θ,∞ và (X0 , X1 )0θ,∞ cũng là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.7. Cho hai không gian véc tơ tựa chuẩn X và Y , một
toán tử T : X → Y được gọi là toán tử dưới tuyến tính nếu
T (λx)
T (x0 + x1 )

Y

Y

= |λ| T (x)

≤ M ( T (x0 )

Y

Y , ∀x

∈ X, λ ∈ R

+ T (x1 )

Y)

∀x0 , x1 ∈ X

ở đó M ≥ 0 độc lập với x0 và x1 . Hằng số M được gọi là tựa chuẩn của T .
Định lý 1.1.8 (Định lý nội suy tổng quát). (xem [11],Định lý 3.11.2)
Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho
T : X0 + X1 → Y0 + Y1 sao cho T : X0 → Y0 và T : X1 → Y1 là dưới tuyến
tính với tựa chuẩn M0 và M1 . Khi đó với bất kỳ θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]
có T : (X0 , X1 )θ,q → (Y0 , Y1 )θ,q là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M bị chặn
bởi
M ≤ M01−θ M1θ .
Mệnh đề 1.1.9. (xem [10], Định lý 1.23) Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của

không gian Banach, θ0 , θ1 , θ, ∈ (0, 1) và q0 , q1 , q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính
chất sau là đúng
((X0 , X1 )θ0 ,q0 , (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q
((X0 , X1 )0θ0 ,∞ , (X0 , X1 )0θ1 ,∞ )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q
(X, (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )θθ1 ,q .
Các không gian đối ngẫu của không gian nội suy thực có mối quan hệ
như sau
Mệnh đề 1.1.10. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach sao
cho X0 ∩ X1 là trù mật trong X0 và X1 . Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi
đó các tính chất sau là đúng
((X0 , X1 )θ,q ) = (X0 , X1 )θ,q ; 1 =
12

1 1
+
q q


((X0 , X1 )0θ,∞ ) = (X0 , X1 )θ,1 .
Bổ đề 1.1.11. Cho Z1 , Z2 là cặp nội suy của không gian Banach sao
cho Z1 ∩ Z2 là trù mật trong Z1 , Z2 và θ, θ˜ ∈ (0, 1). Giả sử (xn )n∈N ⊂
(Z1 , Z2 )θ,∞ ∩ (Z1 , Z2 )θ,∞
thỏa mãn
˜
xn → x trong tôpô chuẩn của (Z1 , Z2 )θ,∞ ,
xn → y

(1.1)

trong tôpô yếu* của (Z1 , Z2 )θ,∞

˜ ,

(1.2)

Khi đó x = y.

1.2

Nửa nhóm

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm về nửa nhóm liên tục
mạnh, nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq . Tài liệu tham khảo được
sử dụng ở đây là ([13, 14])

1.2.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Trong phần này, cho X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1. Một họ toán tử (T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa
nhóm nếu
(1) T (0) = Id,
(2) T (t + s) = T (t)T (s) ∀t, s ∈ [0, ∞).
Nếu thêm lim T (t)x = x với mỗi x ∈ X, ta gọi (T (t))t≥0 là nửa nhóm
t 0

liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm.
Cận tăng trưởng ω(T ) = inf ω ∈ R : ∃Mω ≥ 1, ∀t ≥ 0 : T (t)
• Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là bị chặn, nếu supt≥0 T (t)

L(X)

L(X)

C > 0.
• Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là co, nếu supt≥0 T (t)
13

L(X)

≤ 1.

≤ Mω eωt .

≤ C với


• Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định mũ, nếu ω(T ) < 0.
Đặt
D(A) :=

1
x ∈ X : lim (T (t) − Id)x tồn tại ,
t→0 t

và

1
Ax := lim (T (t) − Id)x với mỗi x ∈ D(A).
t→0 t

Toán tử A được gọi là toán tử sinh của (T (t))t≥0 . Nó luôn được xác định
duy nhất, đóng, trù mật và giao hoán với nửa nhóm trên D(A). Với toán
tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tương ứng sẽ thường
được kí hiệu bởi (etA )t≥0 .
Cho C0 -nửa nhóm (etA )t≥0 với toán tử sinh A, họ liên hợp (etA )t≥0 cũng là
nửa nhóm, nhưng không nhất thiết là liên tục mạnh. Tuy nhiên, do mối
quan hệ liên hợp, dễ dàng thấy rằng nửa nhóm liên hợp là liên tục yếu*.
Điều này có nghĩa
lim x, (etA )∗ x = x, (et0 A )∗ x ,
t→0

với mỗi x ∈ X, x ∈ X và t0 ≥ 0. Sử dụng tôpô yếu*, có thể định nghĩa
một toán tử liên kết với nửa nhóm liên hợp. Đặt
D(Aσ ) :=

1
x ∈ X : lim ((etA ) x − x ) tồn tại trong tôpô yếu* ,
t→0 t

và định nghĩa

1
Aσ x := yếu* − lim ((etA ) x − x ),
t→0 t
với mỗi x ∈ D(Aσ ). Có thể thấy rằng Aσ trùng với A - là toán tử liên hợp
của toán tử A. Với lý do này, ta cũng gọi A là toán tử sinh của ((etA ) )t≥0
và ta có etA := (etA ) ,(xem [14]).

1.2.2

Nửa nhóm giải tích

Cho δ ∈ (0, π], ta định nghĩa quạt
Σδ := {λ ∈ C : |argλ| < δ|} \ {0} .
14


Định nghĩa 1.2.2. Cho X là không gian Banach và θ ∈ (0, π2 ). Nửa nhóm
(T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa nhóm giải tích bị chặn với góc θ nếu có
mở rộng giải tích bị chặn của T lên Σθ với mọi θ ∈ (0, θ).
Ta có tính chất sau của toán tử sinh A.
Mệnh đề 1.2.3. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích bị chặn
ezA

z∈Σθ ∪{0}

với θ ∈ (0, π2 ). Khi đó etA x ⊂ D(A) với mỗi t ∈ (0, ∞) và

x ∈ X,và tồn tại hằng số M sao cho
sup

tAetA

t∈(0,∞)

1.2.3

L(X)

≤ M.

Nửa nhóm hyperbolic

Định nghĩa 1.2.4. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian
Banach Y được gọi là hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn
tại phép chiếu (tuyến tính, bị chặn)P trên Y và hằng số M, ν > 0 sao cho
với mỗi T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , và
T (t)x ≤ M e−νt x với mọi t ≥ 0 và x ∈ ImP := P Y,
eνt
x với mọi t ≥ 0 và x ∈ KerP := (I − P )Y. (1.3)
T (t)x ≥
M
Trong trường hợp này, phép chiếu P được gọi là phép chiếu nhị phân
với nửa nhóm hyperbolic (T (t))t≥0 , còn M, ν được gọi là hằng số nhị phân.
Đặc biệt, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định mũ nếu nó là hyperbolic
với phép chiếu nhị phân P = Id, toán tử đồng nhất trên Y. Rõ ràng, từ
định nghĩa trên ta thấy nếu (T (t))t≥0 là hyperbolic thì hạn chế T (t) |KerP
của T (t) lên KerP là đẳng cấu T (t) |KerP : KerP → KerP. Ta định nghĩa
nghịch đảo của nó bởi T (−t) := (T (t) |KerP )−1 với t > 0. Điều đó có
nghĩa là hạn chế của nửa nhóm T (t) lên KerP có thể mở rộng tới nhóm
(T (t))t∈R trên không gian Banach KerP. Hơn nữa, dễ thấy P Y = {x ∈ Y :
supt≥0 T (t)x < ∞.}
Với (T (t))t≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số N, ν >
15


0, thì hàm Green được xác định bởi:
G(t) :=

P T (t) t ≥ 0,

(1.4)

−T (t)(I − P ) t < 0.

Ở đây chú ý nếu t < 0 ta có T (t) := (T (−t) |KerP )−1 được xác định trên
KerP = (IP )X.
Ngoài ra, G(t) thỏa mãn đánh giá
G(t) ≤ (1 + P )M e−ν|t|

1.3

với t ∈ R.

(1.5)

Một số không gian hàm

1.3.1

Không gian Lorentz

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất về không
gian Lorentz (xem [11, 12, 15, 16, 17]).
Cho Ω là miền thuộc C 3 -lớp trong Rd với d ≥ 3. Ở đây, ta sử dụng các
không gian sau
∞
C0,σ
(Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = 0 trong Ω},
∞ (Ω)

Lpσ (Ω) := C0,σ

·

Lp

.

(1.6)

Định nghĩa 1.3.1. Cho 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz
được định nghĩa như sau:
Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : u

p,q

<∞ ,

ở đó
∞

u

p,q

1/p

sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})

=

0

q

ds
s

1/q

với 1 ≤ q < ∞;

và
u

p,∞

= sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p với q = ∞.
s>0

16


Định nghĩa 1.3.2.
Lp,∞ (Ω) := Lpw (Ω) được gọi là không gian Lp − yếu.
Sử dụng hàm tử nội suy thực (·, ·)θ,q ta có:
Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q ,
ở đó 1 < p0 < p < p1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 < θ < 1 thỏa mãn
θ
1 1−θ
=

+
p
p0
p1
Bất đẳng thức H¨older yếu:
Bổ đề 1.3.3. (xem [16, Bổ đề 2.1])
Cho 1 < p ≤ ∞, 1 < q < ∞ và 1 < r < ∞ thỏa mãn

1
p

+

1
q

= 1r . Nếu

f ∈ Lpω (Ω), g ∈ Lqω (Ω) thì f g ∈ Lrω (Ω) và
fg

r,ω

≤C f

p,ω

g

q,ω ,

∞
với C là hằng số phụ thuộc vào p, q. Ở đây, ta hiểu L∞
ω (Ω) = L (Ω).

Với mỗi 1 < r < ∞, cho P = Pr là phép chiếu Helmholtz trên Lr (Ω),
nghĩa là phép chiếu trên Lrσ (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz của
Lr -trường véc tơ ([16, 17]):
¯
Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)}
Ta có định nghĩa sau đây về không gian Lorentz solenoidal
r0
r1
Lr,q
σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q

ở đó 1 < r0 < r < r1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn

1
r

=

1−θ
r0

+

θ
r1 .

Bởi định lý

nội suy, P = Pr,q xác định cho ta một phép chiếu bị chặn trên không gian
Lorentz Lr,q (Ω) và
Lr,q
σ (Ω) = ImPr,q
Hơn nữa, (xem [16, Định lý 5.2])
r,q
Lr,q = Lr,q
σ Ω⊕G ,

17


¯
ở đó Gr,q = {∇p ∈ Lr,q Ω : p ∈ Lr,q
loc (Ω)}.
Trong trường hợp q = ∞, thì Lrσ,w (Ω) := Lr,∞
σ (Ω).
Ta định nghĩa
v

∞,r,ω

·

:= sup v(t)

không gian

là chuẩn trong Cb (R+ , Lsσ,ω (Ω)), tức là

∞,r,ω

t∈R+
Lrω (Ω).

r,ω

với v ∈ Cb (R+ , Lsσ,ω (Ω)),

·

r,ω

là chuẩn trong

Hơn nữa, nếu 1 ≤ q < ∞ thì
r ,q
(Lr,q
ở đây r =
σ ) = Lσ

1.3.2

r
q
, q =
và q = ∞ nếu q = 1.

r−1
q−1

(1.7)

Không gian Besov

Có nhiều tài liệu đưa ra định nghĩa về không gian Besov, ở đây chúng
tôi sử dụng tài liệu [18].
Cho χ ∈ C ∞ (Rd , R) sao cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), 0 ≤ χ ≤ 1 và χ ≡ 1 trong
B(0, 4/3).
Tập φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) và h := F −1 φ, với F là biến đổi Furier.
˙ j )j∈Z được xác định bởi
Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆
˙ j u(x) = 2jd
∆

h(2j y)u(x − y)dy = (F −1 φ(2−j ·)Fu)(x).
Rd

Hơn nữa, chúng tôi xét toán tử S˙ j u =

˙ u.

j ≤j−1 ∆j

Lấy s ∈ R và p, q ∈ [1, ∞], không gian thuần nhất Besov được định nghĩa
s
bởi B˙ p,q
(Rd ) = {u ∈ S : u ˙ s < ∞}, với S là tập tất cả các hàm suy

h

h

Bp,q

rộng ôn hòa u sao cho limj→−∞ Sj u = 0 trong tôpô của hàm suy rộng ôn
hòa và

1/q


u

s
B˙ p,q

˙ ju
2sqj ∆

=

q 
Lp

,

q<∞

j∈Z

u

1.3.3

s
B˙ p,q

˙ ju
= sup 2sj ∆

Lp ,

q = ∞.

j∈Z

Hàm hầu tuần hoàn

Có thể xem chi tiết về hàm hầu tuần hoàn trong [19]
18


Định nghĩa 1.3.4. Cho X là không gian Banach hoặc tựa Banach. Hàm
liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi ε > 0 tồn tại
một số thực Lε > 0 sao cho ∀a ∈ R có thể tìm được T ∈ [a, a + Lε ] sao cho
f (t + T ) − f (t) < ε, ∀t ∈ R.
Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn ta cần
bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.5. Nếu hàm f : R → X là hàm hầu tuần hoàn và lim f (t) = 0

t→+∞

thì f ≡ 0 trên R.
Chứng minh. Từ lim f (t) = 0 ta có với mọi ε > 0 tồn tại số thực M =
t→+∞

M (ε) > 0 sao cho
f (t) < ε, ∀t ≥ M.
Cố định t1 ∈ R và chọn a = M + |t1 |. Khi đó tồn tại T ∈ [a, a + Lε ] sao
cho f (t + T ) − f (t) < ε, ∀t ∈ R. Từ đó ta có
f (t1 )−f (0) ≤ f (t1 )−f (t1 +T ) + f (T )−f (0) + f (t1 +T ) + f (T ) < 4ε
Do đó f (t1 ) = f (0),

∀t1 ∈ R. Vì thế f ≡ 0 trên R.

Kết luận Chương 1
Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều
tài liệu tham khảo khác nhau. Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ
sở nghiên cứu cho các chương sau của luận án.

19


Chương 2
NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN
HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY
Năm 1991 khi nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho các phương trình
chất lỏng trong miền không bị chặn theo mọi hướng, Maremonti [1] đã
công bố bài toán quan trọng (Bài toán A ở trong phần mở đầu) liên quan
đến nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong miền không bị

chặn. Với trường hợp miền Ω bị chặn theo một hướng nào đó thì ta có thể
áp dụng bất đẳng thức Poincaré và một số phép nhúng compact vẫn đúng.
Tình huống thực sự phức tạp khi Ω không bị chặn theo mọi hướng thì
không thể áp dụng bất đẳng thức Poincaré và phép nhúng compact không
đúng. Do đó, ta cần các cách tiếp cận mới.
Trong chương này, chúng tôi đưa ra một phương pháp tổng quát để chứng
minh tính bị chặn theo thời gian và ổn định của phương trình tiến hóa
trong không gian nội suy với miền không bị chặn, cụ thể lấy ý tưởng từ
[7], chúng tôi nghiên cứu phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổng
quát
u + Au = Bg(t, u),

(2.1)

trong đó −A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 trong không gian
nội suy Y := (Y1 , Y2 )θ,∞ và B là “toán tử liên kết” giữa không gian chứa
giá trị của g và Y . Trong trường hợp các phương trình nảy sinh từ dòng
chất lỏng không nén được, toán tử A là toán tử Stokes (A := −P∆) và B
sẽ là Pdiv với P là phép chiếu Helmholtz. Tuy nhiên, trong một số trường
hợp khác có thể chọn B = Id.

20


2.1

Nghiệm bị chặn của phương trình tiến
hóa tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại và ổn định

của nghiệm đủ tốt 1 của phương trình tiến hóa tuyến tính trong không gian
nội suy.
Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất với hàm chưa biết u(t)
du
dt

+ Au = Bf (t),

(2.2)

u(0) = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ,

trong đó −A sinh ra C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 trên (Y1 , Y2 )θ,∞ , f (t) ∈ X,
t ≥ 0, với X, Y1 , Y2 là không gian Banach, và (Y1 , Y2 )θ,∞ là không gian nội
suy thực với 0 < θ < 1. Toán tử B là “toán tử liên kết” giữa X và (Y1 , Y2 )θ,∞
sao cho e−tA B thoả mãn đánh giá (2.5) ở dưới. (Chú ý trong phương trình
động lực học chất lỏng, B = Pdiv, là hợp thành của phép chiếu Helmholtz
và toán tử phân kỳ 2 . Trong một số trường hợp khác, người ta có thể lấy
B = Id, toán tử đồng nhất).
Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) là một hàm u thỏa mãn công
thức nghiệm sau:
t
−tA

u(t) = e

e−(t−τ )A Bf (τ )dτ.

u(0) +

(2.3)

0

Để chỉ ra sự tồn tại và ổn định của nghiệm đủ tốt bị chặn theo thời
gian của phương trình (2.2), chúng tôi cần đến các không gian các hàm
liên tục bị chặn với giá trị trong không gian Banach X (với chuẩn

·

X

)

được định nghĩa như sau:
Cb (R+ , X) := {v : R+ → X | v là liên tục và sup v(t)
t∈R+

với chuẩn
v

∞,X

:= sup v(t)
t∈R+

1
2

Tiếng Anh: mild solution

Tiếng Anh: divergent

21

X.

X

< ∞}

(2.4)