Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Bài toán về hệ phương trình Navier - Stokes được đưa ra từ năm
1882, mô tả các hình dạng của sóng, sự chuyển động của đại dương, sự
hình thành của bão, sự chuyển động của không khí,...Bên cạnh hệ phương
trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏng
thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi ý nghĩa về mặt toán học
và tầm quan trọng của chúng cũng như những thách thức khó khăn khi
nghiên cứu.
Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng
quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển
gần đây của toán học như khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy,
định lý nội suy,... để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm
phương trình đó.
Bài toán tìm nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong các
miền Ω không bị chặn về mọi hướng được Maremonti phát biểu dưới dạng

sau:
Bài toán A:
“Ký hiệu f (t, x) là ngoại lực và u(t, x) là một nghiệm của phương trình
Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X và Y là hai không gian
Banach với chuẩn · X và · Y tương ứng. Nếu f (t, ·) ∈ X với f (t, ·) X
bị chặn đều theo thời gian, thì u(t, ·) ∈ Y với u(t, ·) Y cũng bị chặn đều
theo thời gian.”
Trong trường hợp, nếu Ω là bị chặn (theo hướng nào đó), thì bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Poincaré và một số định lý nhúng Sobolev compact,
người ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán A. Khi miền là không bị chặn
theo mọi hướng thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều vì bất đẳng
thức Poincaré không còn đúng nữa và các định lý nhúng compact cũng
không khả dụng. Vì thế, có nhiều cách tiếp cận được đưa ra để vượt qua
khó khăn này. Như một số đường hướng của Maremonti và MaremontiPadula, của Galdi và Sohr, của Yamazaki, và của Thieu Huy Nguyen.
Bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không bị chặn và chứng
minh sự ổn định của nghiệm là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứng
dụng trong các vấn đề về luồng thủy khí qua các vật cản đứng yên hay
quay tròn như là Tuabin hay cánh quạt.
Một số kết quả nền móng ban đầu đã đạt được bởi Thieu Huy Nguyen
và một số tác giả khác. Chúng tôi sẽ phát triển và hoàn thiện các kết quả
về tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hoàn của nghiệm các phương trình tiến
hóa trong các không gian nội suy để nhận được các kết quả tổng quát và
ứng dụng vào các phương trình cụ thể của động lực học thủy khí.
Luận án “Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến
hóa và động lực học thủy khí”. Luận án nhằm nghiên cứu và đánh giá sự
1


tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn định của nghiệm của các phương
trình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy. Từ đó, áp dụng vào

các bài toán cụ thể của động lực học thủy khí. Chúng tôi tổng quát hóa
cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen, đó là khai thác đặc
trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld -yếu để chỉ ra
nghiệm bị chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa. Cùng với đó
là kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thế
giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm
liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy, vv...
Cụ thể như sau: Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach
Y1 , Y2 , và không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa
nhóm trên đó để có thể rút ra được nghiệm bị chặn của các phương trình
tiến hóa dạng:
du(t)
+ Au(t) = B(G(u)), t ≥ 0
(1)
dt
trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ , trong đó −A là toán tử sinh ra nửa nhóm; B
là “toán tử liên kết”; G là toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1 , Y2 , và
không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm
trên đó để có thể chứng minh được sự tồn tại của nghiệm bị chặn
của các phương trình tiến hóa (1) trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ .
Sau đó chỉ ra nghiệm bị chặn đó là ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức
dạng Lp − Lq và chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn hay hầu tuần
hoàn.
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụ
thể trong động học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóa
tổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng.

Xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y1 ,Y2 và lớp
các không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tại
nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.
Dưới các điều kiện và hệ tiên đề sẽ xây dựng, chứng minh nghiệm
bị chặn là ổn định.
Xét một số lớp phương trình tiến hóa là mô hình của các quá
trình xảy ra trong bài toán cơ học thủy khí: phương trình NavierStokes qua vật cản xoay, qua các miền có lỗ thủng, phương trình
Navier - Stokes trong không gian Besov. Đồng thời xét một số ví
dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình
truyền nhiệt với hệ số thô...
3. Phương pháp nghiên cứu
2


Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính và
các đánh giá Lp − Lq để đưa ra những đặc trưng nội suy của lớp các
hàm đối ngẫu đặc biệt
• Sử dụng các không gian nội suy và hàm tử nội suy để chứng minh
tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.
• Mở rộng các hàm tử nội suy để xét bài toán có nghiệm ổn định.
• Sử dụng các đặc trưng tô-pô và lý thuyết các không gian hàm chấp
nhận được cùng với các khái niệm nghiệm khác nhau (đủ tốt, đủ tốt
yếu, rất yếu,...) để xét bài toán nghiệm hầu tuần hoàn.
4. Ý nghĩa các kết quả của luận án
Như trên đã nói, bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không
bị chặn và chứng minh sự ổn định của nó là bài toán thời sự và mang
đến nhiều ứng dụng trong các vấn đề của luồng thủy khí qua các vật như
là Tuabin hay cánh quạt, hoặc là bài toán dao động của sóng đại dương.
Việc nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn

định của nó của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không gian
nội suy không những có ý nghĩa rất lớn về việc mở rộng lý thuyết nghiệm
của các phương trình tiến hóa mà còn có thể áp dụng để nghiên cứu các
phương trình của động lực học thủy khí và một số vấn đề ứng dụng khác.
Việc khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không
gian Ld -yếu (theo cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen) cho
phép mở ra một hướng tiếp cận độc đáo để tìm hiểu sự tồn tại nghiệm bị
chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa và xét tính ổn định của
chúng và cho phép kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa
chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý
thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội
suy vào một đường hướng thống nhất và mang lại ứng dụng phong phú
vào các bài toán của động học thủy khí.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ sở
sử dụng trong các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không
gian hàm Lorentz và tính chất của nó. Tiếp theo là khái niệm không
gian nội suy, định lý nội suy tổng quát. Cuối cùng là khái niệm về
nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq .
• Chương 2. Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong
không gian nội suy: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
bị chặn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy. Chứng
minh sự ổn định của các nghiệm bị chặn.
3


• Chương 3. Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương
trình tiến hóa: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính dựa
trên sự ổn định có điều kiện của nửa nhóm. Nghiên cứu sự tồn tại
duy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa trên lý
thuyết nội suy kết hợp với các bất đẳng thức vi phân.
• Chương 4. Ứng dụng: Trong chương này, chúng tôi áp dụng các
kết quả của chương 2 và 3 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của các phương trình động lực học thủy khí, phương trình
Navier - Stokes và phương trình truyền sóng.
Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở
“Danh mục công trình đã công bố của luận án”. Các kết quả
của luận án được báo cáo tại seminar “Phương trình vi phân và ứng
dụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
của các không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm
liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá Lp − Lq .

1.1

Không gian nội suy, các định lý nội suy

1.1.1

Định nghĩa

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội
suy. Lý thuyết nội suy đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu về
tính bị chặn, ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X0 , X1 là các không gian tuyến tính tựa chuẩn.
Cặp (X0 , X1 ) được gọi là cặp nội suy nếu X0 , X1 được nhúng vào trong
không gian tôpô Hausdorff V .
Cho cặp nội suy X0 , X1 , khi đó X0 ∩ X1 được trang bị tựa chuẩn
x

X0 ∩X1

:= x

X0

+ x

X1 .

Tổng X0 + X1 được trang bị tựa chuẩn
x

X0 +X1

:= inf{ x0

X0

+ x1

X1

: x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }.

Không gian véc tơ X được gọi là không gian nội suy của cặp nội suy
(X0 , X1 ) nếu X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , và các phép nhúng là liên tục.

1.1.2

Không gian nội suy phức

Định nghĩa 1.1.2. Cho θ ∈ [0, 1] và (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không
gian Banach phức. Không gian nội suy phức [X0 , X1 ]θ được xác định bởi
[X0 , X1 ]θ := {f (θ) : f ∈ F(X0 , X1 )}
với chuẩn
x

[X0 ,X1 ]θ

:= inf

f

F (X0 ,X1 )

: f (θ) = x .

Mệnh đề 1.1.3. Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của không
gian Banach phức, T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) và θ ∈ (0, 1). Khi đó
T ∈ L([X0 , X1 ]θ , [Y0 , Y1 ]θ )

và
T

L([X0 ,X1 ]θ ,[Y0 ,Y1 ]θ )

≤ T
5

1−θ
L(X0 ,Y0 )

T

θ
L(X1 ,Y1 ) .


1.1.3

Không gian nội suy thực

Cho θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞], không gian nội suy thực được định nghĩa như
sau
(X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x

(X0 ,X1 )θ,q

<∞

ở đó, nếu q < ∞ thì

∞

x

(X0 ,X1 )θ,q

−θ

:=

q dt

[t K(t, x)]

1
q

t

0

,

nếu q = ∞ thì
x

(X0 ,X1 )θ,∞

:= sup t−θ K(t, x).
t∈(0,∞)

Định lý 1.1.4 (Định lý nội suy tổng quát). Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là
cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho T : X0 + X1 → Y0 + Y1 sao cho
T : X0 → Y0 và T : X1 → Y1 là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M0 và M1 .
Khi đó với bất kỳ θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞] có T : (X0 , X1 )θ,q → (Y0 , Y1 )θ,q là
dưới tuyến tính với tựa chuẩn M bị chặn bởi
M ≤ M01−θ M1θ .
Mệnh đề 1.1.5. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach,
θ0 , θ1 , θ, ∈ (0, 1) và q0 , q1 , q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính chất sau là đúng
((X0 , X1 )θ0 ,q0 , (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q
((X0 , X1 )0θ0 ,∞ , (X0 , X1 )0θ1 ,∞ )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q
(X, (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )θθ1 ,q .
Các không gian đối ngẫu của không gian nội suy thực có mối quan hệ
như sau
Mệnh đề 1.1.6. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach sao
cho X0 ∩ X1 là trù mật trong X0 và X1 . Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi
đó các tính chất sau là đúng
((X0 , X1 )θ,q ) = (X0 , X1 )θ,q ; 1 =

1 1
+
q q

((X0 , X1 )0θ,∞ ) = (X0 , X1 )θ,1 .
Bổ đề 1.1.7. Cho Z1 , Z2 là cặp nội suy của không gian Banach sao cho Z1 ∩
Z2 là trù mật trong Z1 , Z2 và θ, θ˜ ∈ (0, 1). Giả sử (xn )n∈N ⊂ (Z1 , Z2 )θ,∞ ∩
(Z1 , Z2 )θ,∞
thỏa mãn
˜
xn → x trong tôpô chuẩn của (Z1 , Z2 )θ,∞ ,

xn → y

trong tôpô yếu* của (Z1 , Z2 )θ,∞
˜ ,

Khi đó x = y.
6

(1.1)
(1.2)


1.2
1.2.1

Nửa nhóm
Nửa nhóm liên tục mạnh

Trong phần này, cho X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1. Một họ toán tử (T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa
nhóm nếu
(1) T (0) = Id,
(2) T (t + s) = T (t)T (s) ∀t, s ∈ [0, ∞)
Nếu thêm lim T (t)x = x với mỗi x ∈ X, ta gọi (T (t))t≥0 là nửa nhóm
t

0

liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm.
Đặt

D(A) :=

1
x ∈ X : lim (T (t) − Id)x tồn tại
t→0 t

và

1
Ax := lim (T (t) − Id)x với mỗi x ∈ D(A)
t→0 t
Toán tử A được gọi là toán tử sinh của (T (t))t≥0 .

1.2.2

Nửa nhóm giải tích

Cho δ ∈ (0, π], ta định nghĩa quạt
Σδ := {λ ∈ C : |argλ| < δ|} \ {0}
Định nghĩa 1.2.2. Cho X là không gian Banach và θ ∈ (0, π2 ). Nửa nhóm
(T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa nhóm giải tích bị chặn với góc θ nếu có
mở rộng giải tích bị chặn của T lên Σθ với mọi θ ∈ (0, θ).
Ta có tính chất sau của toán tử sinh A.
Mệnh đề 1.2.3. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích bị chặn
ezA z∈Σθ ∪{0} với θ ∈ (0, π2 ). Khi đó etA x ⊂ D(A) với mỗi t ∈ (0, ∞) và
x ∈ X,và tồn tại hằng số M sao cho
sup

tAetA

t∈(0,∞)

1.2.3

L(X)

≤ M.

Nửa nhóm hyperbolic

Định nghĩa 1.2.4. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian
Banach Y được gọi là hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn

7


tại phép chiếu (tuyến tính, bị chặn)P trên Y và hằng số M, ν > 0 sao cho
với mỗi T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , và
T (t)x ≤ M e−νt x với mọi t ≥ 0 và x ∈ ImP := P Y,
eνt
x với mọi t ≥ 0 và x ∈ KerP := (I − P )Y. (1.3)
T (t)x ≥
M

1.3

Một số không gian hàm

1.3.1

Không gian Lorentz

Cho Ω là miền thuộc C 3 -lớp trong Rd với d ≥ 3. Ở đây, ta sử dụng các
không gian sau
∞
C0,σ
(Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = 0 trong Ω},
∞ (Ω)
Lpσ (Ω) := C0,σ

·

Lp

.

(1.4)

Định nghĩa 1.3.1. Cho 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz
được định nghĩa như sau:
Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : u

p,q

<∞

ở đó
∞

u

p,q

1/p

sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})

=

q

0

ds
s

1/q

với 1 ≤ q < ∞;

và
u

p,∞

= sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p với q = ∞.
s>0

Bổ đề 1.3.2. Bất đẳng thức H¨older yếu: Cho 1 < p ≤ ∞, 1 < q < ∞ và
1 < r < ∞ thỏa mãn p1 + 1q = 1r . Nếu f ∈ Lpω (Ω), g ∈ Lqω (Ω) thì f g ∈ Lrω (Ω)

và
f g r,ω ≤ C f p,ω g q,ω
∞
với C là hằng số phụ thuộc vào p, q. Ở đây, ta hiểu L∞
ω (Ω) = L (Ω).

Với mỗi 1 < r < ∞, cho P = Pr là phép chiếu Helmholtz trên Lr (Ω),
nghĩa là phép chiếu trên Lrσ (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz của
Lr -trường véc tơ
¯
Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)}
Ta có định nghĩa sau đây về không gian Lorentz solenoidal
r0
r1
Lr,q
σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q

ở đó 1 < r0 < r < r1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn
8

1
r

=

1−θ
r0

+

θ
r1 .


1.3.2

Không gian Besov

Cho χ ∈ C ∞ (Rd , R) sao cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), 0 ≤ χ ≤ 1 và χ ≡ 1
trong B(0, 4/3).
Tập φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) và h := F −1 φ, với F là biến đổi Furier.
˙ j )j∈Z được xác định bởi
Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆
˙ j u(x) = 2jd
∆

h(2j y)u(x − y)dy = F−1 φ(2−j )F)(x).
Rd

˙ j u.
Hơn nữa, chúng tôi xét toán tử S˙ j u = j ≤j−1 ∆
Lấy s ∈ R và p, q ∈ [1, ∞], không gian thuần nhất Besov được định nghĩa
s
< ∞}, với Sh là tập tất cả các hàm suy
bởi B˙ p,q
(Rd ) = {u ∈ Sh : u B˙ p,q
s
rộng ôn hòa u sao cho limj→−∞ Sj u = 0 trong tôpô của hàm suy rộng ôn
hòa và
1/q


u

s
B˙ p,q

˙ ju
2sqj ∆

=

q 
Lp

,

q<∞

j∈Z

u

1.3.3

s
B˙ p,q

˙ ju
= sup 2sj ∆

Lp ,

q = ∞.

j∈Z

Hàm hầu tuần hoàn

Định nghĩa 1.3.3. Cho X là không gian Banach hoặc tựa Banach. Hàm
liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi ε > 0 tồn tại
một số thực Lε > 0 sao cho ∀a ∈ R có thể tìm được T ∈ [a, a + Lε ] sao cho
f (t + T ) − f (t) < ε, ∀t ∈ R.

Kết luận Chương 1
Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều
tài liệu tham khảo khác nhau. Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ
sở nghiên cứu cho các chương sau của luận án.

9


Chương 2
NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN
HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY

2.1

Nghiệm bị chặn của phương trình tiến
hóa tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại và ổn định
của nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa tuyến tính trong không gian
nội suy. Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất với hàm chưa biết
u(t)
du
dt + Au = Bf (t)
(2.1)
u(0) = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ,
trong đó −A sinh ra C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 trên (Y1 , Y2 )θ,∞ , f (t) ∈ X,
t ≥ 0, với X, Y1 , Y2 là không gian Banach, và (Y1 , Y2 )θ,∞ là không gian nội
suy thực với 0 < θ < 1. Toán tử B là “toán tử liên kết” giữa X và (Y1 , Y2 )θ,∞
sao cho e−tA B thoả mãn đánh giá (2.3) ở dưới. (Chú ý trong phương trình
động lực học chất lỏng, B = Pdiv, là hợp thành của phép chiếu Helmholtz
và toán tử phân kỳ 1 . Trong một số trường hợp khác, người ta có thể lấy
B = Id, toán tử đồng nhất).
Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) là một hàm u thỏa mãn công
thức nghiệm sau:
t
−tA

u(t) = e

e−(t−τ )A Bf (τ )dτ.

u(0) +

(2.2)

0

Giả thiết 2.1.1. Cho (Y1 , Y2 ) là cặp nội suy. Giả thiết Yi có tiền đối ngẫu
Zi với i = 1, 2 sao cho Z1 ∩ Z2 trù mật trong Zi với i = 1, 2. Cho −A sinh
ra C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 trên Y1 và Y2 . Hơn nữa, giả sử tồn tại
hằng số α1 , α2 ∈ R với 0 < α2 < 1 < α1 và K > 0 sao cho
e−tA Bv

Y1

≤Kt−α1 v

X,

t > 0,

e−tA Bv

Y2

≤Kt−α2 v

X,

t > 0,

(2.3)

trong đó B được đưa ra như trên.
Bổ đề 2.1.2. Giả sử các Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Xét θ ∈ (0, 1) sao
cho 1 = (1 − θ)α1 + θα2 . Khi đó bất đẳng thức sau là đúng.
∞

B e−ξA ϕ

X

˜ ϕ
dξ ≤ M

0
1

Tiếng Anh: divergent

10

(Z1 ,Z2 )θ,1 .

(2.4)


Định lý 2.1.3. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn. Khi
đó, với f ∈ Cb (R+ , X) và mỗi u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ tồn tại nghiệm đủ tốt
u ∈ Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ) của phương trình (2.1) thỏa mãn
u

∞,(Y1 ,Y2 )θ,∞

≤ M u0

(Y1 ,Y2 )θ,∞

˜ f
+M

∞,X ,

(2.5)

˜ > 0 nào đó.
với hằng số M ≥ 1, M
Hệ quả 2.1.4. Xét các không gian Banach X, (Y1 , Y2 )θ,∞ như trong Định
lý 2.1.3. Giả sử tồn tại không gian Banach V và hằng số α1 > 1 > α2 > 0,
sao cho X = V , 1 = (1 − θ)α1 + θα2 , và
B e−tA ϕ

V

≤Kt−α1 ϕ

Z1 ,

B e−tA ϕ

V

≤Kt−α2 ϕ

Z2 .

(2.6)

Khi đó, tất cả các khẳng định của Định lý 2.1.3 vẫn đúng.

2.2

2.2.1

Nghiệm bị chặn của phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính và tính ổn định đa
thức
Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho các không gian Banach (Y1 , Y2 )θ,∞ và X. Bây giờ chúng tôi xét
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
ut + Au = Bg(t, u),
u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ,

(2.7)

trong đó toán tử −A và B thỏa mãn giả thiết của định lý 2.1.3, và hàm g
thỏa mãn (2.9).
Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.7) là hàm u thỏa mãn phương trình
sau
t
u(t) = e−tA u0 +

e−(t−τ )A Bg(τ, u)dτ.

(2.8)

0

Giả thiết 2.2.1. Cho g : R+ × (Y1 , Y2 )θ,∞ → X thỏa mãn
(1) g liên tục theo thời gian t và tồn tại γ > 0 sao cho g(t, 0)

X

≤γ

với mọi t ∈ R+ ,
(2) tồn tại L > 0 và ρ > 0 sao cho

g(t, v1 ) − g(t, v2 )

X

≤ L v1 − v2

với mọi t ∈ R+ , và v1 , v2 ∈ Bρ := {v ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ : v

11

(Y1 ,Y2 )θ,∞

(Y1 ,Y2 )θ,∞

≤ ρ}.
(2.9)

Định lý 2.2.2. Xét phương trình (2.8) với giả thiết u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ . Cho
A và B thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và cho g thỏa mãn điều kiện
trong (2.9). Khi đó, nếu u0 (Y1 ,Y2 )θ,∞ , γ và L là đủ nhỏ, thì phương trình
(2.8) có một và chỉ một nghiệm bị chặn uˆ (tức là, uˆ là nghiệm đủ tốt bị
chặn duy nhất của (2.7) trên hình cầu nào đó của Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ).
Giả thiết 2.2.3. (a) Tồn tại hằng số β1 > 1 > β2 > 0, không gian Banach
−1
ta có
W và một cặp nội suy Banach (Θ1 , Θ2 ) sao cho với ζ = ββ11−β
2
(Θ1 , Θ2 )ζ,∞ có tiền đối ngẫu Banach và
e−tA Bψ
e−tA Bψ

Θ1

≤M t−β1 ψ

W

Θ2

≤M t−β2 ψ

W

(2.10)

với một số hằng số M > 0 độc lập với t và ψ. Hơn nữa, tồn tại hằng
số β > 1 sao cho

e−tA ψ
e

−tA

Bψ

(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞
(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞

≤ M t1−β ψ
≤ Mt

−β

ψ

(Y1 ,Y2 )θ,∞
X.

(2.11)

(b) Cho bán kính ρ như trong (2.9) tồn tại L1 > 0 sao cho toán tử g thỏa
mãn
g(t, v1 ) − g(t, v2 ) W ≤ L1 v1 − v2 (Θ1 ,Θ2 )ζ,∞
(2.12)
với mọi v1 , v2 ∈ Bρ ∩ (Θ1 , Θ2 )ζ,∞ = {v ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ∩ (Θ1 , Θ2 )ζ,∞ :
v (Y1 ,Y2 )θ,∞ ≤ ρ} và với mọi t ∈ R+ .
Định lý 2.2.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 và các Giả thiết
2.1.1 được thỏa mãn. Khi đó, nghiệm bị chặn uˆ của (2.7) là ổn định, tức

là với nghiệm bất kỳ u ∈ Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ) của (2.7) sao cho u(0) −
uˆ(0) (Y1 ,Y2 )θ,∞ , L, L1 , và uˆ ∞,(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ là đủ nhỏ thì ta có
u(t) − uˆ(t)

2.2.2

(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞

≤

C
tβ−1

với mọi t > 0.

(2.13)

Phương trình tổng quát hóa đối với động lực
học thủy khí

Đối với phương trình nảy sinh trong động lực học thủy khí chúng tôi
thường xét u là một trường véc tơ chưa biết trên Rd và F - là một trường
ten-sơ bậc hai cho trước. Xét phương trình cụ thể sau:
ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t))
u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ,

(2.14)

trong đó −A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 trên
(Y1 , Y2 )θ,∞ , F (t) ∈ X, t ≥ 0, B := Pdiv và P là phép chiếu Helmholtz,

12


g(t, u) = G(u) + F (t) thỏa mãn các điều kiện trong (2.9).
Các ví dụ cụ thể của A và G được trình bày trong chương 4.
Hơn nữa, thay B bởi Pdiv trong phương trình (2.8), ta có khái niệm
sau đây về nghiệm đủ tốt
t

u(t) = e

−tA

e−(t−τ )A Pdiv(G(u) + F (τ ))dτ.

u(0) +

(2.15)

0

Giả thiết 2.2.5. Giả sử toán tử −A sinh ra C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0
d
:
thỏa mãn đánh giá trơn sau đây với mọi 1 < p < d−2
1

∇e−tA x

d

d−2 ,1

d 1

≤ M t− 2 − 2 ( p −
d/2

d−2
d )

x

p,∞ .

(2.16)

2

Hơn nữa, giả sử F ∈ Cb (R+ , Lw (Ω)d ), và toán tử phi tuyến G :
2
d/2
Ldσ,w (Ω) → Lw (Ω)d thỏa mãn
(1) G(0) = 0, và
(2) G(v1 ) − G(v2 )

d/2,w

≤ (κ + v1

+ v2

d,w

d,w )

v1 − v2

d,w

với mọi v1 , v2 ∈ Ldσ,w (Ω), κ ≥ 0 là hằng số.
(2.17)
Những giả thiết này trên G là tương đương với các giả thiết trên g
trong (2.9) trong đó chúng ta có thể lấy L = κ + 2ρ với v1 , v2 ∈ Bρ và
γ := F ∞,d/2,w .
Hơn nữa, Giả thiết 2.2.3 là tương đương với giả thiết sau
Giả thiết 2.2.6. Giả sử toán tử −A và toán tử đối ngẫu của nó −A sinh
ra C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 và (e−tA )t≥0 thỏa mãn đánh giá Lp − Lq
(1) Với r > d:
e−tA x

r,w ,

d 1

e−tA x

r,w

1

≤ M t− 2 ( d − r ) x

d,w .

(2.18)

(2) Với r > d:
3

∇e−tA x
và với 1 < p <
∇e−tA x

dr
dr−r−d ,

d
d−2 ,1

(2.19)

r
r−1 ,1

giả sử rằng
1

dr
dr−r−d ,1

d

≤ M t− 2 + 2r x

d 1

≤ M t− 2 − 2 ( p −

dr−r−d
)
dr

x

p,∞

với mọi x ∈ Ldσ,w (Ω),
(2.20)

(3) Với hằng số κ ≥ 0, v1 , v2 ∈ Ldσ,w (Ω) ∩ Lrσ,w (Ω), G thỏa mãn
G(v1 ) − G(v2 )

dr
d+r ,w

≤(κ + v1

13

d,w

+ v2

d,w )

v1 − v2

r,w .

(2.21)


d/2

2

Định lý 2.2.7. Cho F ∈ Cb (R+ , Lw (Ω)d ). Giả sử G : Ldσ,w (Ω) →
2
d/2
Lw (Ω)d thỏa mãn các điều kiện trong (2.17), −A thỏa mãn Giả thiết
2.2.5, 2.2.6, và u0 ∈ Ldσ,w (Ω). Khi đó các khẳng định sau là đúng
(1) Nếu κ, u0 d,ω , F ∞, d ,w và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (2.14) có duy
2
nhất nghiệm đủ tốt uˆ trong hình cầu
Bρ := {v ∈ Cb (R+ , Ldσ,w (Ω)) : v

∞,d,w

≤ ρ}.

(2) Nghiệm uˆ của (2.14) là ổn định theo nghĩa với bất kỳ nghiệm nào khác
u ∈ Cb (R+ , Ldσ,w (Ω)) của (2.14) sao cho u(0) − uˆ(0) d,w là đủ nhỏ ta
có
C
u(t) − uˆ(t) r,w ≤ 1 d với mọi t > 0,
(2.22)
t 2 − 2r
với r > d như trong (2.19).

Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Sử dụng độ trơn của nửa nhóm, không gian nội suy và định lý nội
suy, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn của
của phương trình tiến hóa tuyến tính tổng quát;
• Sử dụng nguyên lý điểm bất động chúng tôi chứng minh được sự tồn
tại duy nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến
tính trong không gian nội suy. Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh
được sự ổn định cấp đa thức của nghiệm bị chặn của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát và hoàn toàn phù hợp với lớp
phương trình tổng quát hóa đối với động lực học thủy khí.
Mục tiêu của Chương 2 là tìm nghiệm bị chặn theo thời gian, sau đó
chứng minh tính ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa. Để thực hiện
mục tiêu đó, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính. Tiếp theo, chúng tôi
sử dụng nguyên lý điểm bất động để mở rộng kết quả của phương trình
tuyến tính cho phương trình phi tuyến. Các kết quả chính của Chương
này là: Định lý 2.2.2 về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt bị chặn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian nội suy với phần
phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz; sau khi có được nghiệm bị chặn
cùng với các giả thiết về tính trơn của nửa nhóm ta nhận được tính ổn

định nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong Định lý 2.2.4;
Định lý 2.2.7 là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.4.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục
công trình đã công bố của luận án.
14


Chương 3
NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HOÀN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

3.1

Nghiệm tuần hoàn

3.1.1

Phương trình tiến hóa tuyến tính

Trong phần này chúng tôi xét tính ổn định có điều kiện và nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính.
u − Au = f (t),
u(0)
= u0 ∈ Y,

(3.1)

ở đây, A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên Y , f
thuộc vào Cb (R+ , Y ) := h : R+ → Y | h liên tục và supt≥0 h(t) Y < ∞
với chuẩn h Cb (R+ ,Y ) := supt≥0 h(t) Y .

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) được cho bởi công thức:
t

u(t) = T (t)u0 +

T (t − s)f (s)ds

(3.2)

0

Định nghĩa 3.1.1. Cho ϕ : (0, ∞) → R là hàm liên tục thỏa mãn
limt→∞ ϕ(t) = 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ϕ-ổn định nếu
T (t)x

Y

≤ ϕ(t) x

Y

với mọi x ∈ Y sao cho sup T (t)x

Y

< ∞. (3.3)

t≥0

Định lý 3.1.2. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm ϕ-ổn định có điều kiện, f ∈

Cb (R+ , Y ). Giả sử tồn tại x0 ∈ Y sao cho nghiệm đủ tốt u(t) = T (t)x0 +
t
0 T (t − s)f (s)ds, t ≥ 0, thuộc vào Cb (R+ , Y ) thỏa mãn u Cb (R+ ,Y ) ≤
M f Cb (R+ ,Y ) . Khi đó, nếu f là T -tuần hoàn theo thời gian thì tồn tại duy
nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ của (3.1) với
uˆ

3.1.2

Cb (R+ ,Y )

˜ f
≤M

Cb (R+ ,Y )

˜ := (M + T ) sup
với M

T (t) .

(3.4)

0≤t≤T

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
u (t) = Au(t) + g(u)(t),
u(0) = u0 ∈ X

15

(3.5)


trong đó A là toán tử thỏa mãn các giả thiết của phương trình tuyến tính,
và toán tử Nemytskii’s g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn
(1) g(0)

Cb (R+ ,Y )

≤ γ với γ là hằng số không âm,

(2) g là ánh xạ cho tương ứng hàm T -tuần hoàn thành hàm T -tuần hoàn,
(3) Tồn tại hằng số dương ρ và L sao cho
g(v1 ) − g(v2 )

≤ L v1 − v2

Cb (R+ ,Y )

với mọi v1 , v2 ∈ Cb (R+ , Y ) và v1

Cb (R+ ,Y )

(3.6)

Cb (R+ ,Y )

≤ ρ, v2

Cb (R+ ,Y )

≤ ρ.

Hơn nữa, ta xét nghiệm đủ tốt của phương trình (3.5) thỏa mãn phương
trình tích phân sau:
t

u(t) = T (t)u0 +

T (t − s)g(u)(τ )dτ với mọi t ≥ 0

(3.7)

0

Định lý 3.1.3. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1.2 thỏa mãn, g được
thỏa mãn các điều kiện trong (3.6). Khi đó, nếu L và γ đủ nhỏ thì phương
trình (3.5) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ trong hình cầu
nhỏ của Cb (R+ , Y ).

3.2

Nghiệm hầu tuần hoàn

Trước hết, xét phương trình tiến hóa tuyến tính trên toàn trục thời
gian
ut + Au = PdivF (t), t ∈ R
(3.8)

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.8) được cho bởi công thức
t
−(t−s)A

u(t) = e

e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ,

u(s) +

t ≥ s,

t, s ∈ R

(3.9)

s

Bổ đề 3.2.1. Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết 2.2.6 và giả sử trường
d/2
ten-xơ bậc hai F ∈ Cb (R, Lσ,ω (Ω)d×d )) là hầu tuần hoàn. Khi đó phương
trình (3.8) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong Cb (R, Ldσ,ω (Ω))
và nghiệm này có dạng
∞

t
−τ A

u(t) =

e

e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ,

PdivF (t − τ )dτ =

∀t ∈ R

−∞

0

Sau đây chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt
hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trên toàn bộ
đường thẳng:
zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)), t ∈ R,
(3.10)
ở đó toán tử phi tuyến G thỏa mãn điều kiện (2.17)
16


Định lý 3.2.2. Giả sử Giả thiết 2.2.6 và các điều kiện trong (2.17) được
d

2
(Ω)d×d ) là hầu tuần hoàn.
thỏa mãn và trường ten-xơ bậc hai F ∈ Cb (R, Lσ,ω
Khi đó, nếu chuẩn F ∞, d ,ω đủ nhỏ thì phương trình (3.10) có duy nhất
2
nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong hình cầu đóng của Cb (R, Ldσ,ω (Ω)).

Kết luận Chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Chúng tôi sử dụng tính bị chặn và điều kiện ϕ-ổn định có điều kiện
của nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ
ban đầu từ đó đưa ra nghiệm tuần hoàn;
• Sử dụng đánh giá đối ngẫu, tính chất trơn của nửa nhóm và sử dụng
định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử Stokes,
và nguyên lý điểm bất động, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn
tại và ổn định của nghiệm hầu tuần hoàn bị chặn của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính.
Các kết quả mà chúng tôi thu được trong chương này là: Định lý 3.1.2,
Định lý 3.1.3 chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn của
phương trình tiến hóa trong không gian Banach một cách trực tiếp và đơn
giản hơn trong [36, 28] vì không sử dụng hàm tử nội suy và tính compact
agurment; Định lý 3.2.2 là kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ
tốt hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2], [3] trong Danh
mục công trình của tác giả liên quan đến luận án.

17


Chương 4
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

4.1
4.1.1

Ứng dụng vào phương trình của động

lực học thủy khí
Phương trình Navier-Stokes-Oseen

Xét phương trình sau:

vt + (v · ∇)v − ∆v + ∇π




divv


v(y, t) |∂Ω(t)

lim v(y, t)



|y|→∞


v(y, 0)

= divG,
= 0 trong Ω(t)(t > 0),
= (ξ + ω × y) |∂Ω(t) ,
= 0,

(4.1)

= v0 (y).

Khi đó, bằng các phép biến đổi ta được phương trình
zt + La,k z = Pdiv(G(z + F))
z |t=0 = z0 ∈ L3σ,ω (Ω),

(4.2)

3/2

Định lý 4.1.1. Giả sử F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω (Ω)3×3 ). Khi đó các khẳng định
sau là đúng
(a) Nếu F ∞, 23 ,ω , |a|, |k| và z0 3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.2) có duy nhất
nghiệm đủ tốt trong hình cầu đóng của Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)).
(b) Nghiệm đủ tốt zˆ của phương trình (4.2) là ổn định, tức là với nghiệm đủ
tốt bất kỳ z ∈ Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) của phương trình (4.2) sao cho z(0) −
zˆ(0) 3,ω là đủ nhỏ, ta có
z(t) − zˆ(t)

1

r,ω

3

≤ Ct− 2 + 2r ,

∀t ≥ 0,

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > 3.
3

2
(c) Giả sử phương trình (4.2) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb (R, Lσ,ω
(Ω)3×3
là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu F ∞, 23 ,ω , |a|, |k| đủ nhỏ, thì phương trình
(4.2) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

18


4.1.2

Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ
thủng

Cho Ω ∈ R3 là miền có lỗ thủng với biên trơn ∂Ω. Xét phương trình
sau

ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p




divu

u(x, t)



u(x, 0)



M u(x, t)ndσ

= divF trong Ω × (0, ∞),
= 0 trong Ω × (0, ∞),
= 0 trên ∂Ω × (0, ∞),
= u0 (x) trong Ω,
= 0.

(4.3)

Áp dụng phép chiếu Helmholtz, phương trình trên không gian L3σ,ω (Ω) được
viết lại như sau
ut + Au = Pdiv(G(u) + F ),
u |t=0 = u0 ∈ L3σ,ω (Ω).

t>0

(4.4)

Khi đó nghiệm đủ tốt của phương trình (4.4) được cho bởi
t

u(t) = e

−tA

e−(t−τ )A Pdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ,

u0 +

t ∈ R+ .

(4.5)

0
3/2

Định lý 4.1.2. Giả sử F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω (Ω)3×3 ). Khi đó các khẳng định
sau là đúng
(a) Nếu F ∞, 23 ,ω và u0 3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.4) có duy nhất nghiệm
đủ tốt bị chặn trong hình cầu đóng nhỏ của Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)).
(b) Nghiệm đủ tốt bị chặn uˆ của phương trình (4.4) là ổn định theo nghĩa
với nghiệm đủ tốt khác bất kỳ u ∈ Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) của phương trình
(4.4) sao cho u(0) − uˆ(0) 3,ω là đủ nhỏ, ta có
u(t) − uˆ(t)

1

r,ω

3

≤ Ct− 2 + 2r ,

∀t > 0,

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > 3.
3

2
(c) Giả sử phương trình (4.3) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb (R, Lσ,ω
(Ω)3×3
là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu F ∞, 32 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.4) có
duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

4.1.3

Phương trình Navier-Stokes trong không gian
Besov

Chúng tôi xét phương trình Navier-Stokes trên Rd trong không gian
Besov

 ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF trong Rd × R+ ,
(4.6)
∇u = 0 trong Rd × R+ ,

u(t0 , ·) = u0 (·).
19


Phương trình (4.6) có thể được viết lại dưới dạng
u (t) − ∆u(t) = Pdiv(G(u) + F (t)), t ∈ R+ ,
u(0) = u0 ,

(4.7)

Trong đó G(u) = −u ⊗ u.
Hơn nữa, bởi nghiệm đủ tốt của phương trình (4.7) được cho bởi
t
−tA

u(t) = e

e−(t−τ )A Pdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ,

u0 +

t > 0.

(4.8)

0

Định lý 4.1.3. Giả sử 0 < s ∈ R, p ∈ [2, d) và 3 ≤ d ∈ R sao cho
s = dp − 1. Cho F ∈ Cb (R, X) Khi đó các khẳng định sau là đúng
(a) Nếu F (Cb (R,X) và u0 Y đủ nhỏ, thì phương trình (4.7) có duy nhất
nghiệm đủ tốt bị chặn trong hình cầu đóng nhỏ của Cb (R+ , Y ).
(b) Nghiệm đủ tốt bị chặn uˆ của phương trình (4.7) là ổn định theo nghĩa
s
với nghiệm đủ tốt khác bất kỳ u ∈ Cb (R+ , B˙ p,∞
(Rd ) của phương trình
(4.7) sao cho u(0) − uˆ(0) B˙ p,∞
s
(Rd ) là đủ nhỏ, ta có
u(t) − uˆ(t)

1

s
B˙ p,∞
(Rd )

s

≤ Ct− 2 + 2r ,

∀t > 0,

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > s.
3

2
(c) Giả sử phương trình (4.7) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω
(Ω)3×3
là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu F ∞, 32 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.7) có
duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

4.2

4.2.1

Ứng dụng vào phương trình OrnsteinUhlenbeck và phương trình truyền nhiệt
với hệ số thô
Phương trình Ornstein-Uhlenbeck

Chúng tôi xét phương trình Ornstein-Uhlenbeck trên miền ngoại vi Ω ⊂ Rd
với C 1,1 biên:

 ut − ∆u − M x · ∇u = g(t, u), t > 0, x ∈ Ω,
u = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω,
(4.9)

u(0) = u0 , x ∈ Ω,
trong đó g(t, u) = |u|m−1 u + F (t) cho một số cố định m ∈ N nào đó,
M ∈ Rd×d và F là hàm bị chặn (trên R+ ). Cho L được cho như sau:
Lu(x) := ∆u(x) + M x · ∇u(x), x ∈ Ω.
20


Khi đó, chúng tôi định nghĩa toán tử Ornstein-Uhlenbeck L trên Lp (Ω) bởi
Lu := Lu,

D(L) := {u ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) : M x · ∇u ∈ Lp (Ω)}.

Phương trình (4.9) có thể được viết lại thành
u (t) − Lu(t) = g(t, u),
u(0)
= u0 .

t > 0,

(4.10)

d

Định lý 4.2.1. Cho Y được định nghĩa như trên, m ∈ N với d−2
4m
và m−1 > d ≥ 3. Giả sử rằng M ∈ Rd×d thỏa mãn Tr M > 0 và giả sử
F ∈ L∞ (R+ ; Y ).

(a) Nếu u0 Y , F ∞,Y và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (4.10) có duy nhất
nghiệm đủ tốt uˆ trong hình cầu Bρ := {u ∈ Cb (R+ ; Y ) : u ∞,Y ≤ ρ}.
(b) Nghiệm uˆ của (4.10) là ổn định theo nghĩa nếu có nghiệm bất kỳ khác
u ∈ Cb (R+ , Y ) của (4.10) sao cho u(0) − uˆ(0) Y là đủ nhỏ thì ta có
u(t) − uˆ(t)
với số bất kỳ r >

4.2.2

Lr,∞ (Ω)

d(m−1)
d(m−1)−2m

>

C

≤
t

1 d(m−1)
2 − 4rm

với mọi t > 0,

(4.11)

d(m−1)
2m .

Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô

Xét hàm đo được b : Rd → C thỏa mãn
b ∈ L∞ (Rd ) và Re b ≥ δ > 0 với δ > 0.

(4.12)

Trong phần này chúng tôi tìm nghiệm bị chặn của phương trình
ut − b∆u = g(t, u),
u(0)
= u0 ,

t > 0, x ∈ Rd ,

(4.13)

Phương trình (4.13) có thể được viết lại dưới dạng
u (t) + Lu(t) = g(t, u),
u(0)
= u0 .

t > 0,

(4.14)

4m
d
< m < 5 và m−1
> d ≥ 3. Giả sử b
Định lý 4.2.2. Cho m ∈ N với d−2
thỏa mãn (4.12) và F ∈ L∞ (R+ ; Y ) với Y được định nghĩa như trong (??).

(a) Nếu u0 Y , F ∞,Y và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (4.14) có duy nhất
nghiệm đủ tốt uˆ trong hình cầu Bρ := {u ∈ Cb (R+ ; Y ) : u ∞,Y ≤ ρ}.
21


(b) Nghiệm bị chặn uˆ là ổn định, tức là với nghiệm bất kỳ khác u ∈
Cb (R+ , Y ) của (4.14) sao cho u(0) − uˆ(0) Y là đủ nhỏ ta có
u(t) − uˆ(t)
và với số bất kỳ r >

4.3

Lr,∞ (Rd )

d(m−1)
d(m−1)−2m

C

≤
t

>

1 d(m−1)
2 − 4rm

với mọi t > 0,

d(m−1)
2m .

Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic

Bổ đề 4.3.1. Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị
phân P và hằng số M, ν > 0. Cho f ∈ Cb (R+ , Y ) và g : Cb (R+ , Y ) →
Cb (R+ , Y ) thỏa mãn các điều kiện trong (3.6). Khi đó, các khẳng định sau
là đúng
(a) Cho v ∈ Cb (R+ , Y ) là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.2) (tức là
nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1)). Khi đó v có thể được viết lại
dưới dạng
∞

v(t) = T (t)ξ0 +

G(t − τ )f (τ )dτ

với ξ0 ∈ P Y,

(4.15)

0

(b) Cho u ∈ Cb (R+ , Y ) là nghiệm của phương trình (3.7) sao cho
supt≥0 u(t) Y ≤ ρ với ρ > 0 cố định. Khi đó, với t ≥ 0 hàm u có thể
được viết dưới dạng
∞

u(t) = T (t)v0 +

G(t − τ )g(u)(τ )dτ

với v0 ∈ P Y,

(4.16)

0

với G như trong phần (a).
Định lý 4.3.2. Xét phương trình (3.2) và (3.7). Cho nửa nhóm (T (t))t≥s≥0
là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số M, ν. Cho f ∈ Cb (R+ , Y )
là T -tuần hoàn và g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn các điều kiện trong
(3.6) với các hằng số đã cho σ, L, γ. Khi đó, các khẳng định sau là đúng
(a) Phương trình (3.2) có duy nhất nghiệm T -tuần hoàn.
(b) Với L, γ đủ nhỏ phương trình (3.7) có duy nhất nghiệm T -tuần hoàn.
Định lý 4.3.3. Cho các giả thiết của Định lý 4.3.2 được thỏa mãn. Giả sử
uˆ là nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.7) thu được trong khẳng định
(b) của Định lý 4.3.2. Cho Bρ (0) là hình cầu chứa uˆ như trong khẳng định
(b) của Định lý 4.3.2. Giả sử tồn tại hằng số dương L1 sao cho g(v1 −
g(v2 ) Cb ≤ L1 v1 − v2 Cb với mọi v1 , v2 ∈ B2ρ (0). Khi đó, nếu L1 là đủ nhỏ,
ρ (P u
ˆ(0)) ∩ P X có một và chỉ một nghiệm u(t)

tương ứng với mỗi v0 ∈ B 2M
của phương trình (3.7) trên R+ thỏa mãn điều kiện P u = v0 và u ∈ Bρ (ˆ
u).
22


Hơn nữa, nghiệm uˆ là ổn định có điều kiện theo nghĩa sau: với mọi nghiệm
u(t) có đánh giá
u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P u(0) − P uˆ(0) , với t ≥ 0.

(4.17)

với hằng số dương C và µ nào đó độc lập với u và uˆ.

4.4

Ứng dụng vào phương trình truyền sóng

Giả sử A là toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải compact trong
1
không gian Hilbert H và r : D(A 2 ) → H thuộc lớp C1 với r(0) = 0, r (0) =
0. Ta xét phương trình truyền sóng

 u¨ + αu˙ + Au + ωu = r(u) + f (t), t > 0,
u(0) = u0 , t > 0,
(4.18)

u(0)
˙
= u1 ; u0 , u1 ∈ H,

ở đó α > 0, ω ∈ R là hằng số, f ∈ Cb (R+ , H) là ngoại lực.
Ta chuyển đổi phương trình này sang dạng phương trình u (t) − Au(t) =
g(u)(t)
Định lý 4.4.1. Cho A là toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải thức
compact trong không gian Hilbert H, α > 0 và ω ∈ R sao cho −ω ∈
/ σ(A).
1
1
Giả sử r : D(A 2 ) → H thuộc lớp C với r(0) = r (0) = 0. Cho f ∈
Cb (R+ , H) là T -tuần hoàn. Khi đó nếu f Cb (R+ ,H) là đủ nhỏ thì phương
trình (4.18) có duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ trong lân cận nhỏ
của 0. Hơn nữa, nghiệm uˆ này là ổn định có điều kiện theo nghĩa của Định
lý 4.3.3.

Kết luận Chương 4
Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết đạt được trong Chương 2
để ứng dụng vào các phương trình Ornstein - Uhlenbeck và phương trình
nhiệt với hệ số thô. Các kết đạt được trong Chương 2, 3 đã được ứng dụng
vào các phương trình: phương trình Navier-Stokes-Oseen (Định lý 4.1.1),
phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng (Định lý 4.1.2), phương
trình Navier-Stokes trong không gian Besov (Định lý 4.1.3). Trong phần
3.1 Chương 3, với nửa nhóm (T (t))t≥0 là ϕ-ổn định có điều kiện, chúng tôi
áp dụng cho nửa nhóm hyperbolic và phương trình truyền sóng. Kết quả
đạt được là chỉ ra là sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định của nghiệm bị
chặn, chỉ ra điều kiện ổn định của nghiệm tuần hoàn của các phương trình
trên.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1], [2], [3] trong Danh
mục công trình của tác giả liên quan đến luận án.

23

KẾT LUẬN
Luận án đã sử dụng tính chất trơn của nửa nhóm, tính Lipschitz của g
và sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử
Stokes kết hợp với đánh giá đối ngẫu và nguyên lý ánh xạ co, chứng minh
được sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm bị chặn của
phương trình tiến hóa.
Luận án sử dụng tính bị chặn và điều kiện ϕ-ổn định của nửa nhóm
tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đó đưa ra
nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa.
Đưa ra các ứng dụng vào các phương trình cụ thể minh họa cho phần
lý thuyết đã trình bày.
Những kết quả chính luận án đạt được là:
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất, tính bị chặn và ổn định của
nghiệm các phương trình tiến hóa
ut + Au = Bg(t, u)
u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ,
ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t))
u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ .
Kết quả trên được áp dụng cho các phương trình cụ thể như phương
trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình truyền nhiệt với hệ số thô.
• Chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần hoàn của phương
trình tiến hóa với tính bị chặn và ϕ-ổn định có điều kiện của nửa
nhóm (T (t))t≥0 .
u − Au = f (t),
u(0)
= u0 ∈ Y,
u (t) = Au(t) + g(u)(t),
u(0) = u0 ∈ X.

Chúng tôi áp dụng những kết quả trừu tượng trên cho nửa nhóm
hyperbolic và phương trình truyền sóng.
• Chứng minh sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm hầu tuần
hoàn bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát.
zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)),

t ∈ R.

• Các kết quả trên được áp dụng cho các phương trình động lực học
thủy khí.
Luận án có thể tiếp tục theo một số chủ đề sau:
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tuần hoàn của phương trình
Navier - Stokes trên đa tạp không compact.
24