Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông 001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ ĐÌNH NGÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ ĐÌNH NGÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại
học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công
tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS.TS. Nguyễn Nhụy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình làm việc để Luận văn được hoàn chỉnh và hoàn thành đúng thời hạn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu cùng các thầy
cô giáo tổ Toán- Tin và các em học sinh trường THPT Khoái Châu – Khoái
Châu – Hưng Yên đã nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trong quá trình thực
nghiệm sư phạm để đề tài được thực hiện đáp ứng được yêu cầu đặt ra.
Sự quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi của gia đình, bạn bè
và các đồng nghiệp trong quá trình học tập, thực hiện nghiên cứu đề tài là
nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả. Tác giả xin chân
thành cảm ơn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn Luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu
của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hưng Yên, ngày 08 tháng 11 năm 2014
Tác giả

Đỗ Đình Ngân

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ Viết tắt

Chữ viết đầy đủ

ĐKXĐ

Điều kiện xác định

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

L

Loại

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

VN

Vô nghiệm

ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn..................................................................................................................................... i
Danh mục các chữ viết tắt....................................................................................................... ii
Mục lục......................................................................................................................................... iii
Danh mục các hình..................................................................................................................... v
MỞ ĐẦU....................................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN.......................................................................................... 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán........................................................................................ 6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng......................................................................................................... 6
1.1.2. Kỹ năng giải toán........................................................................................................... 7
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán..................................................................................... 8
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán.......................................................................... 9
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở
một số trường Trung học phổ thông.................................................................................. 11
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên
địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên........................................................................... 11
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên.................................... 13

1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên.................................... 14
1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
Phương trình lượng giác........................................................................................................ 15
1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán “Phương trình lượng giác”.............23
1.3.1. Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm............................................................. 23
1.3.2. Kĩ năng phân tích những sai lầm thường mắc phải trong quá trình
giải các bài toán về Phương trình lượng giác................................................................ 24
1.3.3. Kĩ năng hệ thống hóa các dạng toán về Phương trình lượng giác.............25
1.3.4. Kĩ năng tính toán.......................................................................................................... 25
iii


CHƯƠNG 2:

BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH........................................... 26
2.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông................................................................................................ 26
2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông................................................................................................ 26
2.1.2. Những chú ý khi dạy nội dung Phương trình lượng giác trong
chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thông....................................... 27
2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình lượng giác”
nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh............................................................ 28
2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản............................................................................. 28
2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx....................................................... 35
2.2.3. Phương trình lượng giác có thể đại số hóa......................................................... 40
2.2.4. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.............................................. 55

2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn............................... 67
2.2.6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.......................................................... 80
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................... 86
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm.............................................. 86
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm..................................................................... 86
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm.................................................................... 86
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm......................................................................... 86
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm........................................................ 87
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm.................................................. 87
3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm............................................................................. 87
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm............................................................................. 103
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm................................................................................. 103
3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm......................................... 103
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm.............................................................................. 107
3.6. Tổng kết............................................................................................................................ 110
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ................................................................................. 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................................. 112

iv


DANH MỤC CÁC BIỂU
TT

Tên biểu

Trang

Biểu đồ 3.1. So sánh kết quả bài kiểm tra số 1 tại trường THPT Khoái
Châu- Hưng Yên

107

Biểu đồ 3.2. So sánh kết quả bài kiểm tra số 2.......................................................... 108

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với
hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội. Đây là một trong những mục tiêu cơ bản và quan trọng
mà Đảng và Nhà nước ta đang hướng tới.
Nghị quyết "Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp
ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường
định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" đã được Hội nghị T.Ư 8
(Khóa XI) thông qua. Nghị quyết nêu rõ quan điểm chỉ đạo, mục tiêu và các
nhiệm vụ, giải pháp thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nước nhà.
Nhằm thực hiện mục tiêu phát triển căn bản và toàn diện giáo dục, trong
những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới
nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu then chốt để thực
hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Thực tế cho thấy thói quen "cầm tay chỉ việc" đã trở thành "mẫu số
chung" của giáo viên ở nhiều trường học. Việc đổi mới nhằm khắc phục lối
truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, giáo viên tập

trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học theo phương châm “giảng ít, học
nhiều”, bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng
nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy.
Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư
duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc
chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tòi, sáng tạo
thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần
1


lấy học sinh làm trung tâm, với vai trò là người tự khám phá kiến thức cho
mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ không truyền thụ
kiến thức. Khoa học, công nghệ phát triển liên tục, ngành nghề, kỹ thuật luôn
đổi mới đòi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc học phổ
thông đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều quan trọng
trong đổi mới phương pháp dạy học là phải rèn luyện phương pháp tự học của
học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh với nhau, tương tác
với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy để chiếm lĩnh được tri
thức.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông nội dung về “Lượng giác”
được dạy từ lớp 10 đến lớp 11 và đây là một nội dung thường xuất hiện trong
các đề thi đại học, cao đẳng trong nhiều năm nay. Các bài tập về phương trình
lượng giác có nhiều công thức lượng giác khó nhớ, các dạng bài tập phong phú
với nhiều cách giải khác nhau, do đó cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng
giải dạng toán này.
Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu
là hoạt động giải toán. Trong quá trình đi tìm và trình bày lời giải cho bài toán,
học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu vì
các em thiếu kỹ năng giải toán. Trên thực tế số lượng các bài tập và các dạng
bài tập về phương trình lượng giác cũng rất nhiều, học sinh không thể giải từng

bài một mà cần phải phân lớp các dạng bài. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận
thấy học sinh thường gặp khó khăn mỗi khi giải các bài tập về lượng giác, do
không có kỹ năng giải toán. Từ những kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy,
tôi đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải
các bài toán về phương trình lượng giác chương trình Đại số và Giải tích lớp
11 Trung học phổ thông.
Chính vì những lý do trên nên tôi chọn tên đề tài là:
“Rèn luyện kỹ năng giải toán Phương trình lượng giác cho học sinh lớp
11 Trung học phổ thông”
2


2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về Lượng giác như Phan

Huy Khải, Trần Phương, Lê Hồng Đức, … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó
mới mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy và học Toán.
Ngoài ra, các thầy giáo như Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim cũng
đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học
môn Toán. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh mới chỉ là lý luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong
quá trình thực hiện đề tài.
Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội
dung Toán học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ,…
nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải Phương
trình Lượng giác cho học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài
tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho

học sinh Trung học Phổ thông qua chủ đề này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học

chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý

luận khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp

dụng vào giảng dạy.
5. Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

5.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học môn Toán ở một số trường Trung học phổ thông.
3


5.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.2.1. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình hình thành kỹ năng giải toán của học sinh.
5.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11 phần “Phương trình lượng
giác”.
6. Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
- Kỹ năng và kỹ năng giải toán.
- Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học

sinh khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Những kỹ năng cần rèn luyện khi học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
7. Mẫu khảo sát

Kỹ năng giải toán của học sinh ở các lớp 11A2 và 11A3 (Ban cơ bản) của
trường Trung học Phổ thông Khoái Châu – Hưng Yên, năm học 2014– 2015.

8. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập theo từng dạng trong chủ đề
“Phương trình lượng giác” phù hợp, đồng thời có sự hướng dẫn của giáo viên
với các phương pháp sư phạm hợp lý thì có thể hình thành và phát triển các kỹ
năng giải toán cho học sinh.
Thêm vào đó, việc làm này sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học,
phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao
hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán.
9. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo

trình phương pháp giảng dạy toán, các sách tham khảo, các đề thi Đại học –
Cao đẳng trong những năm gần đây, Luận văn, Luận án có liên quan đến chủ
đề Phương trình lượng giác.
4


- Phương pháp quan sát điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận

văn được chia làm ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình
lượng giác” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Những định nghĩa này
thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người
viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành
khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình
lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn có
chủ đích và định hướng rõ ràng.
Theo tâm lý học, kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một hành động bằng
cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hành động này để tiến hành phù
hợp với những điều kiện cho phép, vì vậy kỹ năng không chỉ là mặt kỹ thuật
của hành động mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể. Nếu tạm thời tách tri
thức và kĩ năng để xem xét riêng thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc
khả năng “biết”; còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết
làm”.
Nói đến kỹ năng, A.V. Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, các
tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý
luận hay thực hành xác định, được gọi là các kỹ năng.

Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng.
GPolya đã khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải
các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các
lời giải và chứng minh nhận được, kỹ năng trong toán học quan trọng hơn
nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.
Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng, do đó có thể đi
đến một khái niệm chung về kỹ năng. Tuy nhiên trong các cách phát biểu về kỹ
6


năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó là nói đến cách thức, thủ thuật
và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Khi
nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra. Khi
nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện các thao tác, trình
tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu về kỹ năng như sau:
Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có
một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết
quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,
nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù
hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc
sống. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển
trong hoạt động và bằng hoạt động.
Để một người có kỹ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:
- Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung,

mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện… của hành động.

- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian tương ứng.
- Đạt kết quả hành động ngay trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả

những điều kiện thay đổi nhất định.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải toán phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động
theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những
điều kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán
của học sinh như sau: "Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích
những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện
có hiệu quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một
cách khoa học"
7


Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải
các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …).
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp. Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát
triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ năng có
thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các môn học khác: Kỹ năng trên
bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học
khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi
hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ
môn.

Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng
của môn Toán, nó cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng
tương ứng. Tuỳ theo nội nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ
năng khác nhau.
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
8


thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn
luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh,
giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ
yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,

yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh
biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các

bài tập, các đối tượng cùng loại.

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến

thức tương ứng.
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách

giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Tóm

lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán
học cho học sinh.
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản
thành bốn nhóm: kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức hoạt
động nhận thức và kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá [6,tr. 171].
1.1.4.1. Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả
năng nắm bắt một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc [6, tr. 172].
9


Việc rèn cho học sinh kỹ năng nhận thức là rất quan trọng vì:
- Nó giúp chúng ta ứng xử, hành động phù hợp với điều kiện, hoàn cảnh

của mình.
- Nhận ra điểm mạnh của bản thân để phát huy.

- Nhận ra điểm yếu để khắc phục.
- Biết rõ bản thân mình muốn gì, có những năng lực gì, gặp những khó

khăn, thách thức nào để có thể đặt ra cho mình mục tiêu phù hợp và khả thi.
1.1.4.2. Kỹ năng thực hành
Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức
vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong
bài toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực
tế [6, tr 173].
Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học đối với mỗi học sinh. Kỹ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả vào
hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời
giải của bài toán.
Trong hoạt động giải toán cũng cần chú ý rèn luyện cho học sinh các kỹ
năng như:
- Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch;
- Kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau;
- Kỹ năng tính toán: đòi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý. Kỹ năng

này được rèn luyện thông qua bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, bảng số,
máy tính...
- Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, đồ thị hàm số...
- Kỹ năng ước lượng, đo đạc...
- Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn.

1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế
hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân
nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn.
10

1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Người học phải biết tự kiểm tra đánh giá bản thân mình để biết xem
mình đã đạt đến đâu, đạt được cái gì, điểm nào mạnh, điểm nào còn yếu… từ
đó có kế hoạch điều chỉnh hoạt động học tập của bản thân để đạt được kết quả
cao hơn.
Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra

từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy
mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân.
Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy… đã xét kỹ năng tự kiểm
tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng
vận dụng toán học vào đời sống.
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở một
số trường Trung học phổ thông
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên địa
bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào tạo
có chủ chương đổi mới nội dung và PPDH. Nhưng thực tế ở các trường phổ thông
hiện nay các PPDH chủ yếu vẫn là phương pháp truyền thống. Vấn đề cải tiến
PPDH theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo cho học sinh rèn luyện
khả năng tự học đã được đặt ra nhưng kết quả chưa đạt được như mong muốn.
Giáo viên đã có ý thức lựa chọn PPDH chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở
môn Toán nhưng nhìn chung còn có những vấn đề chưa được giải quyết, phương
pháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến. Những PPDH có khả năng phát huy tính
tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề,
dạy học phân hoá, dạy học kiến tạo… thì giáo viên ít sử dụng. Giáo viên chưa
được hướng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết kế bài giảng phù

hợp. Vì vậy khi sử dụng các PPDH mới khó hoàn thành nội dung chương trình
dạy học trong khuôn khổ thời gian quy định.
11


Thực tế ở trường phổ thông hiện nay việc dạy học Toán được mô tả như
sau: Phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề, theo các bước, đặt vấn đề,
giảng giải dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp đàm thoại, vấn đáp, gợi mở nhằm
uốn nắn những lệch lạc (nếu có), củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn
công việc học tập ở nhà. Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít
phút tại lớp, giáo viên gọi một hoặc một vài học sinh lên bảng chữa, những học
sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó
củng cố hiểu biết cho học sinh. Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng
khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá cho đối tượng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện tư duy lô gíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít
khi chú ý đến việc dạy toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi
dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các tình
huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải
pháp. Còn nhiều giáo viên sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình, đàm
thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học.
Thực tế ở các trường phổ thông hình thức dạy học chưa phong phú, đa
dạng, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh,
học sinh nhiều khi tiếp nhận kiến thức còn bị động. Những kỹ năng cần thiết
của việc tự học chưa được chú ý đúng mức. Do vậy việc dạy học Toán ở
trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều khuyết điểm và cần đổi mới. Đó là
học sinh chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động sáng tạo,
chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng vào thực
tiễn còn yếu. Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức dạy học
sinh cách chứng minh, phán đoán và một số thói quen làm việc nhất định chứ

chưa kích thích học sinh tìm đoán, sáng tạo bài toán. Hơn nữa do thời gian hạn
chế, khối lượng kiến thức cần truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng
phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập, sáng
12


tạo học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, tìm tòi
và nghiên cứu.
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Trong quá giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và trao đổi với
giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó đối với nhiều
học sinh trong chương trình toán học trung học phổ thông. Mặc dù, SGK mới
đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt
phần lượng giác không đơn giản. Qua tìm hiểu từ các em học sinh đa số các em
đều có những quan điểm chung như:
Việc học lý thuyết:
- Công thức lượng giác rất nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn.
- Công thức lượng giác học được học ở cuối lớp 10 nên sang đầu lớp 11

học giải phương trình lượng giác thì học sinh lại phải vừa ôn lại công thức đã
học ở lớp 10, lại vừa phải tiếp nhận kiến thức mới. Do đó, học sinh nào không
ôn tập thì việc tiếp thu kiến thức mới sẽ khó khăn. Vì vậy học tập bị ngắt
quãng, dẫn đến lỗ hổng kiến thức trong không ít học sinh.
- Để vận dụng được công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải

dành khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập.
Khi làm bài tập:
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khác khá nhiều so với

đại số nên học sinh phần lớn là gặp khó khăn khi bắt đầu học, dễ gây chán nản
cho học sinh.
- Do lượng giác là lĩnh vực khác nhiều so với đại số nên học sinh khó

diễn đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện.
- Khi làm bài tập học sinh thường vận dụng một cách máy móc theo

những dạng phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những bài toán không
phải dạng đã gặp thì học sinh lúng túng, không giải quyết được.
- Để nắm được phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách

vững chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng
13


ở lớp 11 dành cho phần này chỉ 16 tiết nên học sinh khó có thể mở rộng, tư duy

linh hoạt đối với các dạng bài tập khác. Do đó, để học sinh làm tốt các bài tập
lượng giác khi đi thi đại học thì giáo viên cần có chiến lược giảng dạy tốt chủ
đề này.
- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình

giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Theo chương trình cải cách giáo dục (từ năm 2007), các công thức lượng
giác được đưa xuống dạy ở cuối lớp 10; phương trình lượng giác được dạy ở
đầu lớp 11. Chính vì vậy đây là nội dung được nhiều thầy cô giáo và các em
học sinh quan tâm. Nhưng để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của các bài
toán lượng giác thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và

công sức nghiên cứu. Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để đúc rút
được kinh nghiệm giảng dạy phần môn học này. Học sinh cũng mất một
khoảng thời gian để vừa ôn lại kiến thức cũ, vừa lĩnh hội kiến thức mới để có
thể làm chủ kiến thức lâu hơn khi học các nội dung khác.
Để tìm hiểu được thực trạng dạy học Phương trình lượng giác ở trường
THPT tôi đã tiến hành dự giờ quan sát, thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh
thu được kết quả như sau:
Khi dạy lý thuyết:
- Giáo viên vừa phải lồng ghép việc ôn kiến thức cũ với việc truyền đạt

kiến thức mới trong khi phân phối chương trình còn nhiều bất cập.
- Đây là nội dung khó nên giáo viên thường gặp khó khăn trong việc

phân hoá học sinh, chính vì vậy mất nhiều thời gian phân bậc kiến thức.
- Việc giúp cho học sinh nhớ hết được các công thức lượng giác đòi hỏi

giáo viên phải có nhiều kinh nghiệm mới có thể giúp học sinh nhớ lâu được các
công thức này.
Khi dạy bài tập:
14


- Do dạng bài tập của phần Phương trình lượng giác rất đa dạng và

phong phú, giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát thành một hệ
thống bài tập phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh. Đối với những
bài toán quen thuộc thì cách hướng dẫn có phần đơn giản, nhưng gặp dạng toán
không quen thuộc, giáo viên phải mất nhiều thời gian và công sức để hướng
dẫn. Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm, tự học để học
tốt phần này.

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên phải

chữa một số lượng lớn bài tập với đầy đủ các dạng và các bước sau:
+ Củng cố lại lý thuyết.
+ Hướng dẫn học sinh dạng bài tập, mô hình hoá các tình huống để vận
dụng công thức cho đúng.
+ Chữa mẫu một số bài tập cơ bản.
+ Hướng dẫn HS cách trình bày lời giải cô đọng, dễ hiểu, xúc tích. +
Dành nhiều thời gian để tìm hiểu, giải thích những sai lầm của HS.
+ Dành thời gian dạy phân hóa: rèn kỹ năng cho HS trung bình và
hướng dẫn HS khá, giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ.
Dạy và học phần Phương trình lượng giác rất vất vả nhưng giáo viên tạo
được hứng thú cho học sinh bằng cách hướng dẫn khuyến khích các em tự sáng
tạo ra bài tập tương tự. Ngoài ra còn giúp các em thử sức với những bài tập mở
rộng hay phát triển bài toán mới…
1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải Phương
trình lượng giác
Việc chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song
điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó.
Ngoài ra, theo chúng tôi bên cạnh việc chỉ ra những sai lầm, phân tích được
nguyên nhân, giáo viên cũng cần nghiên cứu và đề ra các biện pháp tích cực
nhằm sửa chữa các sai lầm đó, làm được điều này chính là đã nâng cao năng
lực toán học của học sinh. Để tiến hành tốt việc giải phương trình lượng giác,
15


người giáo viên phải có năng lực sư phạm tốt: phải nắm vững chương trình, có
trình độ tư duy toán học tốt, phải nắm chắc trình độ, năng lực học tập và tính
cách của học sinh. Theo tôi, những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm
thường gặp của học sinh khi giải các Phương trình lượng giác có thể là:

- Không hiểu được khái niệm, kí hiệu.
- Tính toán nhầm lẫn.
- Nhớ sai công thức.
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi phương trình làm

thay đổi tập xác định của phương trình.
- Xét thiếu trường hợp
- Lập luận thiếu lôgic
- Diễn đạt kém
- Không hiểu hoặc hiểu sai đề toán

Như vậy trong hoạt động giải phương trình lượng giác học sinh mắc sai
lầm có nhiều nguyên nhân như: tư duy thuật toán của học sinh còn yếu, tư duy
lô gíc chưa tốt; khả năng lĩnh hội và tái hiện kiến thức còn hạn chế; kỹ năng
tính toán chưa thành thạo. Dưới đây thông qua các ví dụ cụ thể, chúng tôi sẽ
phân tích các dạng sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình
lượng giác, vạch ra một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục những sai lầm đó.
1.2.4.1. Hiểu không đúng khái niệm, ký hiệu
Trong sách giáo khoa đã nêu định nghĩa phương trình dựa vào mệnh đề
chứa biến. Theo định nghĩa này, phương trình sin x a có tập xác định là R (tập
số thực) và có tập nghiệm là tập tất cả các số thực x0 sao cho mệnh đề
" sin x0

a" là mệnh đề đúng. Nếu theo định nghĩa này, trong các phương

trình lượng giác, ẩn x chỉ các số thực cần tìm và x không phải là góc hay cung
lượng giác, do đó x không có số đo, không có đơn vị đo. Tuy nhiên, trong thực
tế vẫn thường gặp các bài toán đơn giản như tìm các góc x (hình học) có
sinx

1

, trong các bài toán như thế x chỉ các góc hình học mà ta vẫn dùng 2
16


chung một ký hiệu với số đo của nó. Nếu đo góc theo đơn vị độ thì x

300

1500, nếu đo góc theo radian thì x
6
mở rộng thành bài toán tìm tất cả các góc, cung lư

hoặc
được

1

sinx

2
thể chọn đáp số là x
Như vậy trong chương trình, đồng hành cả hai quan niệm về phương
trình lượng giác, do đó trong từng bài toán cụ thể cần nhận thức được là
phương trình được hiểu theo nghĩa nào. Ví dụ. Giải các phương trình:
a)sin 3x

1
1200

b) sin x
c) cos3x

sin x

2

1

cos2x

2

sin2x

3

Trong phương trình (1) nhất thiết phải được hiểu theo nghĩa hàm mệnh
đề và các số 1 và 2 là những số thực. Trong phương trình (2) phải được hiểu
theo nghĩa mở rộng: tìm góc x (hoặc số đo của góc lượng giác tính bằng độ)
thoả mãn đẳng thức sin x 1200 cos2x . Trong phương trình (3) có thể được hiểu
theo cả hai nghĩa.
Như vậy học sinh viết kết quả của phương trình (1) dưới dạng
x

3

k180

0

và x 1 450 k3600 thì HS đó phạm sai lầm không hiểu đúng 2

khái niệm và ký hiệu. Tương tự, nếu viết nghiệm của (2) là x
x

21

7 2k

và 18 3

2k thì cũng mắc sai lầm nói trên. Để khắc phục các sai lầm loại 18

này, cần làm cho học sinh quán triệt quan điểm hàm mệnh đề trong định nghĩa
phương trình lượng giác với nghĩa bổ xung như đã nói ở trên. Mặt khác, để
17


hiểu rõ khái niệm phương trình lượng giác, học sinh cần phải nắm chắc khái
niệm hàm số lượng giác.Vì vậy giáo viên cần ý thức việc giảng dạy chu đáo,
kỹ lưỡng bài Hàm số lượng giác, để tạo tiền đề tốt cho việc giảng dạy bài
phương trình lượng giác.
1.2.4.2.Tính toán nhầm lẫn
Ngoài những lỗi phổ biến do tính toán nhầm lẫn như: thực hiện không
đúng các phép toán số học, giải phương trình bậc hai, phương trình đại số sai...
còn một loại nhầm lẫn có tính đặc trưng của hoạt động giải phương trình lượng
giác, đó là việc nhận biết các giá trị đặc biệt của các hàm số lượng giác để tìm
một nghiệm riêng của phương trình lượng giác cơ bản. Chẳng hạn như

nhiều học sinh viết
này có thể gặp ở tất cả loại học sinh, từ yếu kém đến khá giỏi.Vì vậy giáo viên
cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện cho học sinh trong việc giải các
phương trình cơ bản. Một biện pháp có tính chất kỹ thuật để giúp học sinh khắc
phục loại sai lầm này là hướng dẫn học sinh thành lập bảng giá trị hàm số
lượng giác các góc đặc biệt.
1.2.4.3. Nhớ sai công thức, tính chất
Loại sai lầm này cũng khá phổ biến trong học sinh.
150

Ví dụ 1. Khi giải phương trình cos x
như sau: vì cos 450

2

2

có học sinh đã "giải" 2

nên x 150 450 x 600 là một nghiệm của 2

phương trình, do đó tất cả các nghiệm của phương trình là x 600 k3600 . Giải
như vậy học sinh đã làm thừa rất nhiều nghiệm ( x 600 k3600 không là nghiệm
của phương trình) và cũng làm thiếu rất nhiều nghiệm (thiếu các nghiệm x 300
k3600 ). Lý do dẫn đến sai lầm trên là học sinh đã lẫn lộn giữa công thức
nghiệm của phương trình cơ bản và phương trình gần cơ bản. Phương trình đã
cho là phương trình gần cơ bản, nếu đặt t x 150 thì
18