Khắc phục, sửa chữa các khó khăn, sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán nguyên hàm, tích phân cho học sinh trung học phổ thông

Lời cảm ơn
Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận,
ngời thầy đà nhiệt tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian
qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy cô giáo đà tham gia
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên
đề thạc sĩ khoá 16, ngành Toán tại trờng Đại học Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trờng
THPT Dơng Đình Nghệ - Thiệu Hoá - Thanh Hoá, nơi tôi đang công tác
giảng dạy, đà giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực
nghiệm s phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của
các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn
Toán.
Cuối cùng, tôi xin đợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp những ngời luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.
Tuy đà có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của
các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

HS

:

Học sinh

Nxb

:

Nhà xuất bản

CH

:

C©u hái

SGK

:

Sách giáo khoa

THPT

:

Trung học phổ thông

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. NhiƯm vơ nghiªn cøu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
7. Cấu trỳc ca lun vn
Chng I:. Một số khó khăn, sai lầm của học sinh

Trang
1
1
3
3
4
4
4
4

Trong quá trình học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân.
1.1. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK
1.1.1. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK S1
1.1.2. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK S2
1.1.3. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK S3
1.1.4. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK S4
1.1.5. So sánh những điểm khác nhau giữa sách S1, S2, S3, S4

1.2. Khó khăn trong quá trình học khái niệm Nguyên hàm, Tích phân
1.2.1. Khái niệm
1.2.2. Khó khăn trong quá trình học khái niệm Nguyên hàm
1.2.3. Khó khăn trong quá trình nắm vững bản chất khái niệm Tích phân

5
5
5
10
14
16
20
22
22
23
24

1.3. Khó khăn trong quá trình giải các bài toán về Nguyên hàm, Tích phân
1.3.1. Khó khăn trong việc tìm nguyên hàm bằng định nghĩa
1.3.2. Khó khăn trong việc tìm phơng pháp giải đối với bài toán tìm nguyên

27
27

hàm, tích phân
1.3.3. Khó khăn trong việc vận dụng các tính chất của nguyên hàm để đa

29

một nguyên hàm về các nguyên hàm cơ bản

31


1.3.4. Khó khăn trong việc áp dụng phơng pháp đổi biến số vào việc tìm
nguyên hàm, tích phân
1.3.5. Khó khăn trong việc sử dụng phơng pháp lấy nguyên hàm hoặc tích

32

phân từng phần vào giải bài toán tìm nguyên hàm, tích phân
1.3.6. Khó khăn trong việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng,

36

thể tích của vật thể
1.4. Một số sai lầm thờng gặp trong quá trình giải toán Nguyên hàm, Tích

37

phân
1.4.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng
1.4.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
1.4.3. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan.
1.4.4. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng

40
41
43
45

định lí
1.4.5. Sai lầm liên quan đến các thao tác t duy
1.4.6. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng ứng
1.4.7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
1.4.8. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
1.4.9. Sai lầm liên quan đến suy luận
1.4.10. Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất của đối tợng
1.5. Kt lun chng I
Chng II: Một số BIN PHP SƯ PHạM NHM KHC PHC, sửa

46
49
50
51
52
53
55
56

chữa các KHể KHN, sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán
nguyên hàm, tích phân cho học sinh THPT

57

2.1. Cơ sở lí luận về kĩ năng và giải bài tập toán
2.2. Định hớng xây dựng các biện pháp s phạm
2.3. Các biện pháp s phạm rèn luyện kĩ năng giải toán Nguyên hàm, Tích

57

66

phân nhằm khắc phục, sữa chữa các khó khăn, sai lầm cho học sinh THPT
trong học tập chủ đề này

67


2.3.1. Biện pháp 1: Tăng cờng các tình huống s phạm, tạo tiền đề
xuất phát để hình thành khái niệm Nguyên hàm, Tích phân
2.3.2. Biện pháp 2: Tăng cờng khả năng nhận dạng, thể hiện trong giải toán

67

Nguyên hàm, Tích phân
2.3.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh phát hiện thực hành quy tắc thuật

72

giải, tựa thuật giải
2.3.4. Biện pháp 4: Tăng cờng sử dụng phơng tiện trực quan và quá trình t

83

duy phối hợp hai phơng diện đại số và hình học trong việc ứng dụng tích
phân để tìm diện tích và thể tích
2.3.5. Biện pháp 5: Tổ chức cho học sinh phân tích, lựa chọn, tách

90

biệt nhóm dấu hiệu đặc trng và mối quan hệ bản chất, từ đó tìm ra
cách giải quyết bài toán

95

2.3.6. Biện pháp 6: Hạn chế và khắc phục sai lầm
2.5. Kt lun chương 2

98
100
101
101
101
101
101
101
112
113
114

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Chän líp thực nghiệm
3.3.2. TiÕn tr×nh thùc nghiƯm
3.4. KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm s ph¹m
KẾT LUẬN CHUNG CỦA LUẬN VĂN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải
hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục
tiêu lớn của đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm
2005, tr. 1).
Về phơng pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đà đề ra:
Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng
pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện
và thời gian tự học, tự nghiên cứu .
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học
sinh, ; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, høng thó häc tËp cho häc
sinh”.
1.2. Giải tích là một nội dung khó khơng những đối với học sinh mà
thậm trí là cả sinh viên các trường đại học. Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân
trước đây là một phần kiến thức giải tích cổ điển, chủ đề này thuộc chương
trình bậc đại học, sau này được đưa xuống bậc THPT, là chương cuối cùng
của giải tích lớp 12. Do vậy chủ đề Nguyên hàm, Tích phân là một phần giải
tích tương đối khó và trừu tượng đối với học sinh THPT.
1.3. Đã có nhiều quan điểm sư phạm khi trình bày chủ ®Ị Ngun hàm,
Tích phân trong chương trình THPT. Sách giáo khoa giải tích cũ có nhiều
quan điểm khi trình bày chủ đề Ngun hàm, Tích phân, có sách giáo khoa

xem chủ đề Nguyên hàm chỉ là một cơng cụ để phục vụ cho việc trình bày


định nghĩa tích phân. Có SGK lại xem Ngun hàm có vị trí ngang hàng với
Tích phân và dành cho nó cả một chương. Về Tích phân, có SGK định nghĩa
Tích phân là giới hạn của các tổng tích phân Riemann, có SGK định nghĩa
Tích phân (của các hàm số liên tục) bằng công thức Newton - Leibniz, Trong
sách giải tích 12 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 cđa nhóm tác giả: GS. Ngô Thúc
Lanh, GS Vũ Tuấn, PGS Ngô xuân Sơn đã trình bày theo quan điểm Nguyên
hàm chỉ là một công cụ phục vụ cho việc định nghĩa tích phân của các hàm số
liên tục theo cơng thức Newton-Leibniz.
Và bây giờ SGK cđa nhóm tác giả (Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị
Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, ...) cũng trình bày theo quan
điểm Nguyên hàm là cơng cụ phục vụ để định nghĩa Tích phân.
1.4. Chính những sự thay đổi trong chương trình như vậy đã tạo ra sự
thiếu ổn định và gây nên sự khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy trên
lớp. Mặc dù đã có những đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kì, những đợt
tập huấn chương trình thay sách giáo khoa mới, nhưng vẫn chưa đủ để làm
cho giáo viên có những cái như là sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ
những điểm, những lí do và mức độ thay đổi về chương trình và nội dung.
Nội dung chủ đề Ngun hàm và Tích phân khó và trừu tượng đối với
học sinh nhưng chưa có nhiều tác giả nghiên cứu về đề tài này, vµ tiÕp cận dới
nhiều hình thức khác nhau
1.5. Trong quỏ trỡnh ging dạy ở trường THPT chóng tơi đã băn khoăn
trăn trở nhiều về việc dạy và học như thế nào về chủ đề Nguyên hàm, Tích
phân, bởi những lí do sau:
- Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân là một phần kiến thức quan trọng
nằm trong chương trình lớp 12, lớp cuối cấp của bậc học phổ thơng. Chủ đề
này góp một phần kiến thức quan trọng trong việc thi tốt nghiệp, thi vào các
trường đại học, cao đẳng và THCN của học sinh.

- Phần đông học sinh khi học tập chủ đề này đã gặp những khó khăn
như: khơng nắm rõ bn cht, con ng hỡnh thnh định nghĩa Tớch phõn; khó
khăn trong việc nhận dạng các hàm số dưới dấu Nguyên hàm, Tích phân để rồi


tìm ra phương pháp giải; khó khăn trong q trình đổi biến số, trong việc tìm
cận của tích phân, khơng nắm rõ bản chất của những bài tốn diện tích, thĨ
tÝch ... và cịn nhiều những khó khăn khác nữa. Chính những khó khăn đó
phần nào làm cho các em thiếu tự tin trong quá trình lĩnh hội tri thức, không
gây hứng thú học tập cho học sinh và đôi khi dn n tỡnh trng ngại tiếp xúc
với những bài toán về chủ đề này.
- Ni dung Tớch phõn cũn có nhiều ứng dụng trong thực tế, có nhiều vật
dụng, hình vẽ rất khó trong việc tính diện tích như hình thang cong, hình n
ngựa, ... nhưng có thể áp dụng tích phân vào việc làm này. Có điều đối với
học sinh khi học tập phần này chỉ áp dụng một cách máy móc cơng thức tính
diện tích, thể tích mà khơng hình dung ra mình đang tính diện tích, thể tích
của vật có hình dạng thế nào?
Vì những lí do trên đây nên tôi chọn đề tài nghiên cứu ca lun vn l:
"Khắc phục, sửa chữa các khó khăn, sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán
Nguyên hàm, Tích phân cho học sinh trung học phổ thông"
II. Mc đích nghiên cứu
- Nghiên cứu một số khó khăn của học sinh trong quá trình lĩnh hội
kiến thức về Nguyên hm, Tớch phõn.
- Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Nguyên hàm,
Tích phân.
- Nghiờn cứu cách thức bồi dưỡng kĩ năng giải toán Nguyên hàm, Tích
phân.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu, phân tích, so sánh, đối chiếu, nội dung chủ đề Nguyên hàm,
Tích phân trong SGK Tốn 12 hiƯn hµnh và trước đây.

- Làm sáng tỏ những khó khăn của học sinh khi hc tp ch ny.
- Làm sáng tỏ những sai lầm của học sinh khi học chủ đề này.
- Xây dùng những biện pháp khắc phục khó khăn, s÷a ch÷a sai lầm và
rốn luyn k nng cho hc sinh khi học chủ đề này.


- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm.
IV. Giả thuyết khoa học
Có thể làm sáng tỏ những khó khăn, sai lÇm của học sinh khi giải tốn
Ngun hàm, Tích phõn và đ ra nhng bin phỏp s phm phù hỵp để khắc
phục và båi dìng kĩ năng giải tốn Nguyên hàm, Tích Phân nh»m nâng cao
hiệu quả dạy và học chủ đề này.
V. Phư¬ng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy.
5.3. Thực nghiệm sư phạm.
VI. Đóng góp của luận văn
6.1. Đóng góp về mặt lí luận
Góp phần làm rõ những kiến thức, kÜ năng, nhn dng th hin, dy hc
gii bi tp toỏn.
6.2. Đóng góp về mặt thực tiễn
Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học
sinh trong quá trình giảng dạy và học tập chủ đề Nguyên hàm, Tích phân ở
trường THPT.
VII. Cấu trúc của luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu kết luận và tài liệu tham khảo có 3
chương.
Chương I: Mét sè khó khăn, sai lầm của học sinh trong quá trình học
chủ đề Nguyên hàm, Tích phân

Chng II: Mt s bin phỏp s phm nhằm khắc phục, sữa chữa các
khó khăn, sai lầm và rèn luyện k nng gii toỏn Nguyờn hàm, Tích phân cho
häc sinh THPT
Chương III: Thực nghiệm sư phạm


Chơng I:
Một số khó khăn, sai lầm của học sinh THPT
trong quá trình học chủ đề nguyên hàm, tích phân.
1.1. Chủ đề Nguyên hàm và Tích phân trong SGK
Trong luận văn này chúng tôi cập đề bốn quyển SGK dùng để dạy học
chủ đề Nguyên hàm, Tích phân.
- Sách "cải cách" đợc sử dụng ở các tỉnh phía Bắc từ năm 1990 đến năm
2000: Giải tích12 của Giáo s Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô Xuân Sơn, Nhà
xuất bản Giáo dục năm 1992.
- Sách "cải cách" đợc sử dụng ở các tỉnh phía Nam từ năm 1990 đến năm
2000: Giải tích12 của Giáo s Trần Văn Hạo chủ biên, Nhà xuất bản Giáo dục
năm 1997.
- Sách "chỉnh lý hợp nhất" đợc sử dụng thống nhất trong cả nớc từ năm
2000 đến năm 2007: Giải tích12 của Giáo s Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô
Xuân Sơn, Nhà xuất bản Giáo dục năm 2000.
- Sách "nâng cao" đợc sử dụng từ năm 2008 cho đến nay: Giải tích12 của
Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phơng Dung - Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Nhà xuất bản Giáo dục ấn hành.
Chúng tôi kí hiệu bốn quyển sách giáo khoa trên lần lợt là: S1, S2, S3, S4.
1.1.1. Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trong SGK S1.
Sách S1 xem Nguyên hàm có vị trí ngang hàng với Tích phân, sách S1
dành hai chơng để trình bày chủ đề Nguyên hàm, Tích phân. Chơng III Nguyên hàm, Chơng IV - Tích phân.
Chơng III trình bày các chủ đề: định nghĩa Nguyên hàm và các tính chất
của Nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản, các phơng pháp tính Nguyên
hàm

Khái niệm Nguyên hàm của hàm số trên khoảng (a,b) và trên đoạn [a, b] đợc
xây dựng đầu tiên. Sau khi chứng minh hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ
sai khác nhau một hằng số sách S1 định nghĩa: " KÝ hiƯu biĨu thøc F(x) + C lµ


f ( x)dx đọc là tích phân của f(x)dx. Dấu gọi là dấu tích phân; f(x) gọi là
hàm số dới dấu tích phân, f(x)dx gọi là biểu thức dới dấu tích phân".
Nh vậy trong sách này không dùng cụm từ "tích phân bất định" mà gọi là
tích phân của f(x)dx.
Có ba tính chất của Nguyên hàm đợc sách S1 thiÕt lËp.
1. ( ∫ f ( x)dx ), = f(x)
2. NÕu a lµ h»ng sè: ∫af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx
3. ∫( f 1 ( x) + f 2 ( x))dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx
S¸ch S1 cịng giíi thiƯu bảng các Nguyên hàm cơ bản:
I. Vì (x), = 1 nªn ∫ f ( x)dx = x + c
II.

(

x α +1

x α +1 ,
) = xα
α +1

III. (ln|x|), =

+c
nªn ∫x αdx =
α +1

1
x

1

nªn ∫ x dx = ln x
nªn ∫ e Ï dx = e Ï

IV. (ex), = ex
V.

ax
= ax
ln a

+c

(α ≠ −1)
( x ≠ 0)

+c

ax

+c
nªn ∫ a x dx =
ln a

VI. (sinx), = cosx nªn ∫ coxdx = sin x + c

VII. (-cosx), = sinx nªn ∫ sixdx = −cos x + c
VIII. (tanx), =

1
nªn
cos 2 x

IX. (-cotanx), =
X. arcsinx =

∫

1

∫ cos

1
nªn
sin 2 x
1

1− x

2

dx  arcsin x + c
(-1=
1 − x2  − arccos x + c

,

2

x

dx = tan x + c

1

∫ sin

2

x

(x ≠

dx = − cot anx + c

(- arccosx), =

1
1− x2

π
+ kπ , k ∈ z )
2
( x ≠ kπ , k ∈ z )

nªn


1
1
,
XI. (arctanx), =
2 , (-arccotanx) =
1+ x
1+ x2

nªn

1  a r tan x + c
∫ 1+ x2 dx =  arccotanx+ c

Cũng trong chơng này định lí về sự tồn tại nguyên hàm của hàm số đợc
thừa nhận: "Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên đoạn
đó". Có ba phơng pháp tính nguyên hàm đợc trình bày: phơng pháp đa về các
nguyên hàm cơ bản, phơng pháp đổi biến số, phơng pháp lấy nguyên hàm từng
phần. Cuối chơng nhằm cung cấp các ví dụ minh hoạ và các tích phân tiêu biểu.
Các bài tập trong chơng này chỉ yêu cầu tính các nguyên hàm mà phần bài học
đà cung cấp đầy đủ kỹ thuật giải quyết.
Chơng IV trình bày các chủ đề: Định nghĩa và các tính chất của tích phân,
định lý về sự tồn tại tích phân, liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm công thức
Niutơn - Laibơnít, các phơng pháp tính tích phân, ứng dụng hình học và vật lí
của tích phân.
Từ bài toán tìm diện tích, diện tích hình thang cong ( khái niệm diện tích
hình thang cong không đợc định nghĩa), sách S1 định nghĩa tích phân trên đoạn
[a,b] nh sau: "Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a,b], a

thực hiện các bớc sau:
1. Chia đoạn [a,b] thành những đoạn nhỏ (không nhất thiết phải bằng
nhau) bởi các điểm: a = x0 lớn nhất trong các hiệu đó đợc kí hiệu là: max xi .
2. Trong mỗi đoạn [xi-1,xi] chän mét ®iĨm t ý ξi ,

xi −1 ≤ ξi ≤ xi

(1 ≤ i ≤ n )

vµ tÝnh f( ξi )
3. Lập tích f( i ) xi trên mỗi đoạn chia.
4. Lập tổng các tích đó: Sn=

n

f ( )x
i =1

i

i

= f (ξ 1 )∆x1 + f (ξ 2 )∆x 2 + ... + f (ξ n )∆x n

Tæng Sn đợc gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]


5. thực hiện những phép chia trên [a,b] thành những đoạn ngày càng nhỏ
n

sao cho max xi dần tới 0. NÕu tån t¹i giíi h¹n

lim ∑ f (ξ )∆x

max ∆xi 0 i =1

i

i

và giới

hạn này không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm i
trên đoạn [xi-1,xi] thì giới hạn đó đợc gọi là tích phân của hàm số f(x) lấy trên
b

đoạn [a,b] và đợc kÝ hiƯu lµ

∫ f ( x)dx nghÜa lµ:
a

n

b

∫ f ( x)dx = max ∆x →0 ∑ f (ξ i )∆xi ".
lim i=1
a

i

b

f ( x)dx : đọc là tích phân từ a đến b của f(x)dx

KH

a

a gọi là cận dới của tích phân
b gọi là cận trên của tích phân
x gọi là biến số của tích phân
Sách đa vào điều kiện tồn tại tích phân: " Với mọi hàm hàm số f(x) liên
b

tục trên [a,b] thì tích phân

f ( x)dx tồn tại".
a

Từ điều kiện này cho phép tính tích phân của một hàm số liên tục trên
[a,b] nhờ định nghĩa và một phép phân hoạch đặc biệt, nhiều bài tập tính tích
phân bằng định nghĩa đợc đề nghị.
Ví dụ: Tính các tích phân sau.
3

2

0

0

2
(2x +1)dx, 4 x dx ,

...

Cã ba tÝnh chÊt cđa tÝch ph©n
b

b

a

1.

b

a

a

∫ ( f1 ( x) + f 2 ( x))dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx
b

2.

∫ kf ( x)dx = k
a

b

3.

∫
a

b

∫ f ( x)dx (k lµ h»ng sè)
a

c

b

a

c

f ( x )dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x)dx


Về sự liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm sách đà đa ra định lí Niutơn Laibơnit: "Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b], giả sử F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) thế thì:
b

f ( x)dx = F(b) -F(a) " và cách chứng minh định lí.
a

Về các phơng pháp tính tích phân sách nêu ba phơng pháp : phơng pháp
áp dụng trực tiếp công thc Niutơn - Laibơnit, phơng pháp đổi biến số, phơng
pháp tính tích phân từng phần.
Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Niutơn - Laibơnit sách đa ra
b

công thức:

b

f ( x)dx = F (x)|a = F(b) - F(a) vµ một số ví dụ minh hoạ áp
a

dụng
trực tiếp công thức.
3

Ví dô:

3
x4
34
( −1) 4
∫ ( x + 1)dx = ( 4 + x)|−1 = ( 4 + 3) − ( 4 + (1)) = 24,...
1
3

Phơng pháp đổi biến số sách S1 ®a ra quy t¾c: PhÐp ®ỉi biÕn sè trong
mét tÝch phân đợc thực hiện nh trong một nguyên hàm, sau khi đặt x = (t ) ,

ta thay các cận a, b bởi các giá trị tơng ứng và của biến số mới t. Sách
cũng đa ra bốn ví dụ minh hoạ trong đó có hai ví dụ đặt x = (t ) , và hai ví dụ
đặt t = (x) .
Phơng pháp tính tích phân từng phần sách đa ra công thức:
b

b

b

uv' dx = (uv)| vu ' dx
a

a

và ba ví dụ minh hoạ.

a

Diện tích hình phẳng sách đa ra hai công thức.
Thứ nhất đó là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = f(x) liên tục trên [a,
b

b], trục hoành, đờng thẳng x = a, x = b là: S = | f ( x) | dx
a

Thứ hai đó là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b và đồ thị
hai hàm số y1= f1(x), y2 = f2(x) liên tục trên đoạn [a, b] sao cho f 1(x) ≥ f2(x) víi

b

mọi x [a, b], đợc cho bởi công thức S = ∫ ( f1 ( x) − f 2 ( x))dx sách có đa ra ba ví
a

dụ về tính diện tích hình phẳng và hình vẽ minh hoạ của tõng vÝ dơ.
ThĨ tÝch cđa c¸c vËt thĨ s¸ch cã đa ra công thức tính thể tích nh sau:
Giả sử vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng song song β vµ α . Ta chän trơc ox sao
cho nã vuông góc với và , gọi giao điểm cđa ox víi α lµ a, víi β lµ b (a <
b). Giả sử mặt phẳng vuông góc với ox và cắt ox tại điểm có hoành độ là x (
(a ≤ x ≤ b) . Ta gi¶ thiÕt rằng thiết diện của mặt phẳng với vật thể T cã diƯn tÝch
lµ S(x) mµ ta cã thĨ xem là một hàm số trên [a, b], S(x) liên tục trên [a, b].
b

Thể tích của vật thể T là: V =

S ( x)dx .
a

Từ đó sách chứng minh

Bh
3

là công thøc tÝnh thĨ tÝch h×nh nãn, h×nh

chãp, h×nh nãn cơt, hình chóp cụt.
Thể tích hình nón, hình chóp là: V =

Bh

3

(B là diện tích đáy, h làchiều

cao của hình nón (h×nh chãp) )
ThĨ tÝch cđa h×nh nãn cơt , h×nh chãp cơt lµ: V =

H
( B + BB ' + B' )
3

(B, B'

là diện tích của hai đáy, H là chiỊu cao cđa h×nh chãp cơt ( h×nh nãn cơt) )
Sách đa ra công thức tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành từ hình phẳng giới
hạn bởi các ®êng y = f(x), x = a, x = b, y = 0, quay xung quanh trơc ox lµ: V =
b

y 2 dx
a

Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đờng x = g(y), y =a, y = b và x = 0 quay
xung quanh trục oy thì thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi trục đợc tÝnh theo
c«ng thøc:
b

V = π ∫ x 2 dy
a

1.1.2. Chđ đề Nguyên hàm, Tích phân trong SGK S2

Sách S2 dành một chơng để trình bày chủ đề Nguyên hàm, Tích ph©n:


Chơnhg IV - Tích phân. Chơng này đề cập đến các chủ đề: Nguyên hàm, Tích
phân, các phơng pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân.
Sách chỉ định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên khoảng mở (a, b) và
trong R, không đa ra KH cho nguyên hàm, không định nghĩa nguyên hàm trên
khoảng đóng [a, b].
Sau khi chứng minh hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ sai khác
nhau một hằng số C, sách đa ra bảng các nguyên hàm với C = 0.

Hàm số

Nguyên hàm

1
x

x
x +1
α +1

( α ≠ −1 )
1
x

ln|x|

ex

ex

ax ( a > 0, a ≠ 1)

a x·
ln a

cosx

sinx

sinx

- cosx

1
cos 2 x
1
sin 2 x
1
1− x2

1
1+ x2

tanx
- cotanx
arcsinx hay -arccosx
arctanx hay - arccotanx

S¸ch S2 giíi thiệu hai tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), G(x) là một
nguyên hàm của hàm số g(x) thì: F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) + g(x), F(x) - G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) - g(x)


Tính chất 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), thì với mọi số
thực a ta có: aF(x) là một nguyên hàm của hàm số af(x).
Sau khi xét bài toán tổng quát tính diện tích hình thang cong sách S2
định nghĩa tích phân nh sau: "cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (, ), F(x)
là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng đó và a, b là hai số thực thuộc
khoảng (, ). Ta gọi tích phân từ a đến b của hàm sè f(x) lµ sè thùc F(b) b

F(a). Ta dïng kÝ hiệu

f ( x)dx hoặc kí hiệu [F(x)] ab để chỉ số thực đó. Nh
a

b

vậy theo định nghĩa

f ( x)dx = F(x)|ab = F(b) - F(a)".
a

Sách S2 định nghĩa tích phân dựa vào công thức Niutơn - Laibơnit, không
nh sách S1, công thức Niutơn - Laibơnit chỉ là một định lí. Tuy nhiên sách S2
không định nghĩa khái niệm nguyên hàm trên khoảng đóng [a, b] do đó khi
định nghĩa tích phân sách S2 phải giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)
trên khoảng mở (, ) chứa a, b để ngầm đảm bảo F là một nguyên hàm của

hàm f trên [a, b] hoặc [b, a].
2

Nh vậy, theo định nghĩa của sách S2 thì tích phân I =



4 x 2 dx

không

0

tồn tại vì không tìm ra khoảng (, ) chứa [0, 2] để hàm số y =

4 x2

liên tục,

tuy nhiên trong một vÝ dơ ë trang 129, s¸ch S2 vÉn tÝnh tÝch phân này bằng cách
đặt x =2sint,

t [



, ]
2 2

rồi u = 2t và đi đến I =

Tơng tự, trong sách S2 còn có hai bài tập khác liên quan đến những tích
phân không hợp thức đối với định nghÜa: bµi 4.8 trang 126 víi J =
11

∫ ( x + 7 + 11 − x )dx

5

vµ bµi 4. 26d trang 146 với K =

7



x 2 9dx .

3

Dới đây là các tính chất của tích phân đợc trình bày trong S2:
a

1.

∫ f ( x)dx = 0
a

b

2.

∫
a

a

f ( x )dx = −∫ f ( x)dx
b


3. Khi cho t biến thiên trong khoảng ( , ) thì hàm số G(t) =

t

f (t )dt là
a

một nguyên hàm của hàm f(t) thoả mÃn G(a) = 0
b

ta cã:

c

c

a

4. Víi mäi a, b, c

∈ (α, β )

b

a

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

b

a

5. Víi mäi sè thùc k ta cã:

a

b

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

6. NÕu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên (, β) , vµ a, b∈ (α, β ) sao
b

cho a < b vµ f(x) ≥0 víi mäi x thc [a, b] thÕ th×:

∫ f ( x)dx ≥ 0
a

7. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [a, b] và f(x) g(x) với mọi
x thuộc [a, b] thì:

b


a

a

f ( x) dx ≥ ∫ g ( x) dx
b

8. NÕu f(x) liªn tơc [a, b], m ≤ f(x) ≤ M mäi x thuéc [a, b] thÕ th×:
b

∫ f ( x)dx ≤ M(b - a).

M(b - a) ≤

a

So víi s¸ch S1 phần ví dụ và bài tập sách S2 có đa thêm bài tập về tích
phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, và bất đẳng thức tích phân.
Về các phơng pháp tính tích phân sách S2 trình bày 2 định lí:
Định lý 3 ( phơng pháp đổi biến số): Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên [a,
b], nếu x = (t ) là một hàm số thoả mÃn các điều kiện sau:
a. (t ) có đạo hàm liên tục trên [, ] , trong đó a = ϕ(α) , b = ϕ( β)
b. Khi t biÕn thiªn trong [, ] thì x biến thiên trong [a, b]
b

thì:

a



f ( x) dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ' (t ) dt


Định lí 4( phơng pháp tích phân từng phần): Nếu u(x) và v(x) là hai hàm
b

số có đạo hàm trên [a, b] th× :

a

a

b

b
∫u ( x)v' ( x)dx = [u ( x)v( x)]a − ∫u ' ( x)v( x)dx


Vì không xây dựng khái niệm vi phân nên sách S2 quy ớc u'(x)dx = du,
v'(x)dx = dv để đơn giản hoá công thức trên thành công thức:
b

b

a

a

b
udv = [uv]a vdu

Về ứng dụng của tích phân vào việc tính diện tích sách trình bày nh sách
S1, không đa vào công thức tính thể tích của vật thể bất kì, không đa vào công
thức tính thể tích trong trờng hợp hình phẳng xoay quanh trục ox.
1.1.3. Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trong SGK S3
Sách S3 dành một chơng cho chủ đề Nguyên hàm, Tích phân: chơng IIINguyên hàm và Tích phân, trong chơng này đề cập đến các chủ đề: Nguyên
hàm, Tích phân, các phơng pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân.
Cũng giống nh sách S1, sách S3 định nghĩa Nguyên hàm trên khoảng (a,
b), trên [a, b] và KH nguyên hàm, sau đó đa ra bốn tính chất, thêm một tính
chất 4 là: f (t )dt = F (t ) + C ⇒∫ f (u ( x))u ' ( x)dx = F (u ( x)) + C
Sau khi đa định lí về sự tồn tại Nguyên hàm, sách giới thiệu bảng các
Nguyên hàm cơ bản sau:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của các hàm số hợp ( dới

thờng gặp

đây u = u(x) )

∫ dx = x + c
∫x

α

dx =

x α +1
+c
α +1

1

∫ x dx = ln x + c
∫e

Ï

∫ du = u + c
(α ≠ −1)
( x ≠ 0)

dx = e Ï + c

x
∫ a dx =

ax
+c
ln a

∫u

α

du =

u α +1
+c
α +1

1

∫ u du = ln u + c
∫e

u

(α ≠ −1)
(u ≠ 0)

du = e u + c

u
∫ a du =

au
+c
ln a

∫ coxdx = sin x + c
∫ sixdx = −cos x + c

∫ coudu = sin u + c
∫sin udu = −cos u + c

∫ cos

dx = tan x + c

∫ cos

dx = − cot x + c

∫ sin

1

2

x

1

∫ sin

2

x

1

2

u

1
2

u

du = tan u + c

du = − cot u + c

Khác với sách S1, S2 bảng các nguyên hàm cơ bản đợc giới thiệu thêm
các nguyên hàm của các hàm số hợp, không có nguyên hàm của các hàm sè


1
1 x

2

,

1
1+ x2

vì trớc đó sách giáo khoa không giới thiệu hàm số ngựơc của các

hàm số lợng giác. Về sau khi tính tích phân của hai hàm số này học sinh phải
dùng phơng pháp đổi biến số.
Sau khi xét bài toán diện tích hình thang cong, sách S3 định nghĩa tích
phân tơng tự nh sách S2: "Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K, a,

b là hai phần tử bất kì thuộc K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu
b

số F(b) - F(a) đợc gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và đợc KH là

f ( x)dx
a

"
Nh đà phân tích trong 1.1.2, theo định nghĩa của sách S3, tích phân
b

f ( x)dx tồn tại khi và chỉ khi cã mét kho¶ng K chøa a, b sao cho f là một hàm
a

số liên tục trên K, nh vậy sách S3 cũng vi phạm điều kiện tồn tại của tích phân
1

vừa đợc thiết lập trớc đó khi tính các tÝch ph©n

∫

1 − x 2 dx

(trang 131),

0

a

R

∫

R − x dx
2

2

( trng 147),

∫

a 2 − x 2 dx

( trang 149)

0

−R

VỊ c¸c tính chất của tích phân sách trình bày tơng tự nh sách S2
So với sách S1, S2 sách S3 trình bày tờng minh cả hai dạng đổi biến số x
= u(t) và t = v(x) với đầy đủ điều kiện áp dụng.
Định lý đổi biến số dạng 1: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [, ]
2. Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định [, β]
3. u(α) = a, u( β ) = b
b

Th× ta cã

∫

b

f ( x )dx

a

=

∫ f [u (t )]u ' (t )dt
a

Định lí đổi biến số dạng 2: Nếu
1. Hàm số t= v(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b]
2. f(x)dx = g(t)dt


v (b)

b

Thì ta có



f ( x )dx

=

g (t )dt

v(a)

a

Hơn nữa trờng hợp t = v(x), sách còn đa ra cách trình bày ngắn gọn mà
các nhà toán học gọi là đa vi phân vào dới dấu tích phân, phơng pháp hệ số bất
định trong tích phân hàm hữu tỷ ®ỵc giíi thiƯu nhê mét vÝ dơ duy nhÊt: tÝnh
2

∫x
1

5( x 1)
dx .
2
x 6

Trong sách không có bài tập tính tích phân của các hàm số hữu

tỷ, ngay cả dạng hàm hữu tỷ đà cho trong ví dụ.
Về ứng dụng của tích phân, sách S3 trình bày các công thức tính diện tích
hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích vật thể tròn xoay và một ví dụ về tính nhiệt
lợng toả ra trên đoạn mạch thuần trở R trong thời gian T. Để tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x), y2 = f2(x) liªn tơc trªn [a, b]
b

nhê c«ng thøc S =

∫| f

1

( x) − f 2 ( x) | dx ,

sách S3 đa ra một quy tắc thuận lợi giúp

a

học sinh tránh việc khử dấu giá trị tuyệt đối trong khi tính tích phân. Giả sử các
nghiệm trên [a. b] của phơng trình f1(x) - f2(x) = 0 lµ α, β
α

b

( α < β ) . Khi ®ã S =

∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx

=|

a

β

1

( x ) − f 2 ( x )) dx |

+ |

a

b

α

∫( f

β

∫ ( f1 ( x) − f 2 ( x))dx |+ | ∫ ( f1 ( x) − f 2 ( x))dx |
Cịng nh s¸ch S1, sách S3 đa ra công thức tính thể tích vật thể tròn xoay

trong trờng hợp vật quay xung quanh trục oy
1.1.4. Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trong SGK S4
Sách S4 xem Nguyên hàm là công cụ để định nghĩa Tích phân, nên dành
một chơng trình bày chủ đề Nguyên hàm, Tích phân. Chơng IV - Nguyên hàm,
Tích phân.
Trong chơng này gồm những chủ đề: Nguyên hàm, một số phơng pháp
tìm nguyên hàm, một số phơng pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân để
tính diện tích hình phẳng ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể.
Về nguyên hàm sách định nghĩa nguyên hàm trên khoảng K bất kì và


trên [a, b], sau khi chứng minh định lí hai nghuyên àm của cùng một hàm số chỉ
khác nhau một hằng số C sách KH nguyên hàm: Họ tất cả các nguyên hàm của

hàm f trên K đợc KH là ∫ f ( x)dx vËy

∫ f ( x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
Ngêi ta còng dïng ∫ f ( x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm f
nên ta có: ( f ( x)dx )'= f(x), với cách hiểu nh vậy có nhiều u điểm:
- ViÕt ∫ f ( x)dx = F(x) + C lµ hoàn toàn chính xác.
- Chứng minh một cách dễ dàng công thức trong định lí 2 bài một.
b

- Dùng đợc KH trực quan và tiện lợi là:

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx | ,
b
a

a

S¸ch S4 giíi thiƯu hai tính chất của nguyên hàm, và bảng các nguyên
hàm cơ bản.
Bảng các nguyên hàm cơ bản:
1. odx =C , ∫ dx = x + C
x α +1

(α ≠ −1)

+C
2. ∫ x α dx =
α +1

1

3. ∫ dx = ln | x | +C
x
4. Với k là hằng số khác 0
a) ∫ sin kxdx = −
b) ∫ cos kxdx =
c) ∫ e kx dx =

cos kx
+C
k

sin kx
+C
k

e kx
+C
k
ax

+C
d) ∫ a x dx =
ln a

5. a)
b)

1

∫ cos

2

x

dx = tan x + C

1

∫ sin

2

(0 < a ≠ 1)

x

dx = − cot x + C

Hai tính chất của nguyên hàm đợc trình bày nh sau:
Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a) [ f ( x) + f ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx


b) víi mäi sè thùc k kh¸c 0 ta cã

∫kf ( x)dx = k f ( x)dx
Về phơng pháp tìm nguyên hàm sách S4 giới thiệu hai phơng pháp: phơng pháp đổi biến số, phơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
Phơng pháp đổi biến số sách trình bày nh sau: Cho hàm số u = u(x) có

đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên
K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tứ là f (u )du = F (u ) + C th×

∫ f [u ( x)]u ( x)' dx = F [u ( x)] +C
Về phơng pháp lấy nguyên hàm từng phần sách trình bày nh sách S3
Sau khi trình bày hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân sách định nghĩa tích
phân tơng tự nh sách S2, và sách S3: " Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên
khoảng K, a, b là hai phần tử bất kì thuộc K, F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên K. Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và đợc KH
b

là

f ( x)dx "
a

Sách giới thiệu 5 tính chất cơ bản cđa tÝch ph©n.
a

1.

∫ f ( x)dx = 0
a

b

a

2.

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx

3 . Víi mäi a, b, c

∈ (α, β )

b

ta cã:

∫
a

b

a

c

b

a

b

a

4.

b

c

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx

a

∫[ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
b

a

5. Víi mäi sè thùc k ta cã:

a

b

∫ kf ( x)dx = k f ( x)dx

So với sách S2 và S3 sách S4 đà giảm bớt kiến thức, bỏ đi hai tính chất về
bất đẳng thức tích phân và tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Về phơng pháp tính tích phân sách S4 trình bày hai phơng pháp:
Phơng pháp đổi biến số sách cũng trình bày hai cách

b

g ( x)dx . Nếu a viết đợc g(x) dới dạng

Cách 1. Giả sử ta cần tính

a

f[u(x)]u'(x) thì ta cã
b

u (b )

a

u(a)

∫ g ( x)dx = ∫ f (u )du


Cách 2:. Giả sử ta cần tính

thoả mÃn

= x(a ), = x(b)

f ( x)dx . Đặt x = x(t) (t ∈ K ) vµ a, b ∈ K

α

β

th× ta cã

∫

α

b

f ( x) dx = ∫ f [ x(t )] x ' (t )dt
a

Phơng pháp tích phân từng phần sách trình bày nh sách S3.
ứng dụng của tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng sách S3 đa ra
công thức tính diện tích giới hạn bởi hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b], trục
hoành, x = a, x = b lµ:
b

S=

∫|

f ( x ) | dx

và công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ-

a

ờng cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a, b] và hai đờng x = a, x = b lµ: S =

b

∫|

f ( x) g ( x) | dx ,

ngoài ra sách còn giới thiêuụ công thức bằng cách coi x là

a

hàm của biến y, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng x = g(y), x = h(y)
liên tục trên đoạn [c; d] và hai đờng y =c, y = d lµ :
b

S=

∫ | g ( y) − h( y ) | dx
a

Về ứng dụng của tích phân vào việc tính thể tích của vật thể, sách đa ra
b

công thức tính thĨ tÝch cđa vËt thĨ V =

∫ S ( x)dx
a

Tõ đó sách chứng minh công thức thể tích của khối chãp cơt, thĨ tÝch
cđa khèi chãp, trĨ tÝch cđa khèi tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi y =f(x),
x = a, x = b, trôc ox xoay quanh trôc ox đợc xác định bởi công thức

b

2
V = f ( x) dx
a


h
Từ đó sách chứng minh khối chỏm cầu V = πh 2 ( R − 3 ) , thÓ tÝch hình cầu

V=

4R 3
3

Sách đa ra công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng
giới hạn bởi các đờng x = g(y) không âm, liên tục trên [c; d] vµ y = c, y = d
d

trơc oy quay xung quanh trơc oy lµ: V = π ∫ g 2 ( y )dy
c

Từ đó chứng minh công thức tính thĨ tÝch khèi nãn cơt V =
1
πh( R 2 + Rr + r 2 )
3

, thÓ tÝch khèi nãn V = hR 2

Nh vậy sách đà chứng minh đợc những công thức tính thể tích của vật thể

mà trớc đây trong hình học không gian chúng ta mới thừa nhận.
Về phần bài tập sách S3 đà giảm bớt những bài tập lắt léo bởi theo quan
điểm của tác giả là trong bối cảnh máy tính đợc phổ biến rộng rÃi hiện nay,
những bài tập lắt léo về tính nguyên hàm, tích phân là không cần thiết bởi có
nhiều phần mềm giúp ta tìm đợc nguyên hàm, tích phân đó.
1.1.5. So sánh những điểm khác nhau giữa sách S1, S2, S3, S4.
Những điểm khác nhau giữa sách S1, S2, S3, S4 đợc trình bày trong bảng sau:
Sác
h

Sách S1

Sách S2

Sách S3

Sách S4

Kiến thức

Khái niệm
* Định nghĩa
Nguyên hàm trên (a; b),
trên [a; b]
* KH
ý nghĩa của
KH

f ( x)dx

Bảng các
nguyên hàm
cơ bản

*Định nghĩa
trên (a; b)
* Không KH

* Định nghĩa
trên (a; b), trên
[a; b]

* Định nghĩa
trên (a; b), trên
[a; b]

*KH f ( x)dx

*KH f ( x)dx

Họ các nguyên
hàm

Một nguyên
hàm của hàm
số f(x)

f ( x)dx
Họ các
nguyên hàm

Không KH

Mỗi cuốn sách có mỗi cách viết nhng nội dung không thay đổi,
riêng sách S1, S2 trình bày nguyên hàm của hàm số

1
1 x2

,

1
1+ x2