Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán đếm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYẾT VIẾT KHOA

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP
TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VIẾT KHOA

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP TRONG
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Vũ Đình Hoà

HÀ NỘI – 2013

2


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám
hiệu, quý thầy cô, Cán bộ quản lý Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn của
mình là PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa, thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Toán và Ban
Giám hiệu Trường Trung học Phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo
điều kiện, cộng tác và giúp đỡ tôi làm thực nghiệm tại Trường.
Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên cùng học tại lớp Lý luận và
phương pháp dạy học Bộ môn Toán K7, Trường Đại học Giáo dục, Đại học
Quốc gia Hà Nội đã dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tôi
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia
đình, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Mặc dù bản thân đã rất nghiêm túc, cố gắng nghiên cứu và thực hiện
luận văn này, nhưng vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất
mong được sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp
và những người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2013
Người thực hiện

Nguyễn Viết Khoa

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Ý nghĩa

Bộ GD&ĐT

Bộ Giáo dục và Đào tạo

BT

Bài tập

CNTT

Công nghệ thông tin

ĐH

Đại học

ĐHSPHN

Đại học sư phạm Hà Nội

ĐHQG

Đại học Quốc gia

GS.

Giáo sư

HS

Học sinh

Kc

Khoảng cách

Nxb

Nhà xuất bản

PGS.

Phó Giáo sư

TH

Trường hợp

THPT

Trung học phổ thông

TSKH

Tiến sĩ khoa học

ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn……..............................................................................................i
Danh mục các chữ viết tắt…………………………………………………. ii
Mục lục…………………………………………………………………. ... iii
Danh mục các bảng………………………………………………………… v
Danh mục các biểu đồ……………………………………………………... vi
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………... 1
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……………………….. 6
1.1. Kĩ năng……………………………………………………………….... 6
1.1.1. Khái niệm về kĩ năng……………………………………………….. 6
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn toán………………………………...… 8
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng…………………………………………………… 8
1.2. Một số yếu tố đặc trưng sư phạm cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán 11
1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn toán……………………………. 12
1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng
bài toán cho học sinh………………………………………………… 15

1.5. Tiếp cận phương pháp dạy học hiện đại, nâng cao năng lực tư duy
giải toán phần tổ hợp nói chung và nội dung bài toán đếm nói riêng……... 19
1.5.1. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các

hoạt động trí tuệ khác…………………………………………………….... 19
1.5.2. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào
việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới…………... 20
1.5.3. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu
dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học………….….. 21
1.5.4. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán
qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập…………………….……. .21
1.5.5. Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong

iii


dạy học bài tập tổ hợp 11………………………………………..…….…... 22
Kết luận chương 1………………………………………………….…...…. 25

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỌN TRONG CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ
TỔHỢP CHO HỌC SINH LỚP 11…………………………………...... 26
2.1. Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kĩ năng nhận
dạng bài toán cho học sinh dưới mọi góc độ………………………….……26
2.2. Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phép đếm………………. 40
2.2.1. Một số kiến thức cần nhớ………………………………………….... 40

2.2.2. Các phương pháp giải cơ bản……………………………………..…42
2.2.3. Một số bài toán cơ bản về phép đếm …………………………….….50
2.2.4. Một số bài tập áp dụng…………………………………………...……68

2.3. Một số bài tập nâng cao về tổ hợp……………………………………. 69
2.3.1. Phương pháp tổ hợp trong lí thuyết tập hợp………………………... 69
2.3.2. Mạng lưới ô vuông……………………………………………......… 72

2.4. Các tình huống thực tế học sinh thường mắc khi giải bài toán chọn.… 76
Kết luận chương 2…………………………………………………….....… 80

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………..…81
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm……………………………………… 81
3.2. Nội dung thực nghiệm…………………………………………..……. 81
3.2.1. Lớp thực nghiệm ………………………………………….…….…. 81
3.2.2. Tiến hành thực nghiệm……………………………………….….…. 81
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm……………………………………..…. 82
3.3.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm…………………….………. 82
3.3.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm………………………….………. 83
Kết luận chương 3………………………………………………….……… 86
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………………………………….…… 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................89
PHỤ LỤC………………………………………..……………………….. 91

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc
sống …………………………………………………………………..
Bảng 1.2. Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán.
Bảng 3.1. Bảng thống kê việc dạy kĩ năng giải toán của giáo viên..…
Bảng 3.2. Bảng thống kê việc rèn luyện kĩ năng giải toán của học
sinh…………………………………………………………………...

v

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ
năng giải Toán ……………………………………………………..
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phản ánh sự so sánh kết quả điểm của hai lớp
thực nghiệm và đối chứng………………………………………….

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin
bùng nổ. Cùng với đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả
năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật,
đời sống … Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã
chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo
dục. Như vậy rèn luyện kĩ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.
Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu
các môn học khác. Nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương
pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, giải
quyết các tình huống trong công việc và trong cuộc sống. Toán học có vai trò
to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt
chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ
thuật và đời sống. Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai
trò quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán

nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện
nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội
dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã
được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (1998): “…Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù
hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm
2002) cũng đã chỉ rõ: “...Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát
triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học

1


cần thiết cho cuộc sống, ... rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy
luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và
biểu đạt các vấn đề một cách chính xác …”.
Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn),
trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kĩ
năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu
cầu giải quyết vấn đề.
Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, …
đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học Đại số
nói chung và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh. Tác giả Lê Văn Hồng cho
rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ
giữa học và hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài
tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện
mục đích khác” [14, tr.46]. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn

luyện cho học sinh các kĩ năng trong dạy học Toán.
Trong môn toán ở Trường Trung học phổ thông, nội dung các bài toán
đếm không dễ, và đây cũng là phần kiến thức mới được đưa vào chương trình
lớp 11 nên cả giáo viên và học sinh đều có sự thích thú, tuy nhiên vẫn có ít
nhiều bỡ ngỡ khi dạy phần kiến thức này. Đặc biệt trong thời đại ngày nay các
bài toán đếm đã và đang được ứng dụng rất nhiều trong các ngành khoa học
như: Vật lý, Y học, Kinh tế học, Xã hội học… Vì vậy, rèn luyện cho học sinh
cách đếm chính xác các khả năng xảy ra trong từng sự việc cụ thể là hết sức
quan trọng và cần thiết.
Mặc dù các bài toán đếm đã được trình bày trong sách giáo khoa, bản
thân nó cũng đã phần nào giúp cho học sinh nhận thấy được ứng dụng của nó
trong đời sống. Tuy nhiên học sinh chưa thể lường hết các khả năng xảy ra.
Việc thiết kế những bài giảng như kịch bản cụ thể, tường tận sẽ giúp học sinh

2


khắc phục yếu tố trên. Từ đó học sinh có cách nhìn toàn diện, đa chiều trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học cuộc sống, có thể ứng dụng những
kiến thức đã được trang bị trong nhà trường vào công việc của mình sau này.
Vì lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là :
“Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán đếm cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông”.
2.
Ở

Lịch sử nghiên cứu
nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về tổ hợp như: Nguyễn Văn

Mậu, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận..., và nhiều tác giả như Hoàng Chúng,

Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim... có rất nhiều công trình nghiên cứu về lý
luận và thực tiễn về việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong học môn Toán.

Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể và chuyên sâu về giảng
dạy nội dung bài toán đếm dành cho chương trình toán 11 Ban Khoa học Cơ
bản (Trung học phổ thông). Những công trình, bài nghiên cứu trên đã có
những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình triển khai đề tài.
3.

Mục tiêu nghiên cứu
Dạy học nội dung phần tổ hợp trong chương trình Toán lớp 11 có gắn

liền với bài toán đếm. Lồng ghép các kĩ năng tính toán, suy luận các khả năng
xảy ra. Từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng của người học, đồng thời
rèn cho học sinh nhiều đức tính quý như: cần cù, nhẫn lại, tính tự lập cao và ý
chí vượt khó.
Giới thiệu một số ví dụ trong thực tiễn liên quan tới các khả năng lựa
chọn đếm các phương án giải quyêt cụ thể. Tiến hành điều tra quan sát mức
độ quan tâm của học sinh đến những ứng dụng thực tế của toán học và khai
thác những tình huống thực tế vào dạy học môn toán của giáo viên bậc Trung
học phổ thông.
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kĩ
năng giải một số bài toán đếm cho học sinh qua dạy học giải bài tập tổ hợp
lớp 11 Trung học phổ thông.

3


4.

Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán chọn trong chương trình toán 11 ở sách giáo

khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11 (Nxb Giáo dục – năm 2008).
Thời gian: Từ 02/2013 đến 11/2013.
5. Mẫu khảo sát
Học sinh các lớp 11A8, 11A9 trường Trung học phổ thông Tân lập, Đan
Phượng, Hà Nội.
6.

Vấn đề nghiên cứu
Dạy các bài toán đếm cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông như thế

nào thì rèn luyện được kĩ năng giải toán cho học sinh?
7.

Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông theo các

phương pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ tạo được kĩ năng giải toán
nhanh và chính xác cho người học.
8.
-

Phương pháp chứng minh luận điểm
Làm sáng tỏ hai quy tắc chọn, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,

các yếu tố đặc trưng của bài toán đếm.
Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập từ dễ
đến khó,

từ đơn giản đến phức tạp.
-

Bài tập có tính xâu chuỗi, hệ thống, từ một bài học sinh có thể tìm

được nhiều lời giải của một bài toán.
-

Đề xuất các biện pháp dạy học bài tập tổ hợp nhằm rèn luyện năng lực

giải các bài toán đếm cho học sinh. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập
phù hợp với nhận thức và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
9.

Kết quả nghiên cứu

9.1. Luận cứ lý luận
học

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy

môn Toán.
-

Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.


4

9.2. Luận cứ thực tế
tập

Quan sát việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài

sách giáo khoa.
-

Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp

học đối chứng trên cùng một đối tượng để bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu
quả của đề tài.
-

Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy và quá trình

nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng nghiệm có kinh nghiệm
ở

các trường phổ thông.

10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu
tham khảo, luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1: Cơ sở lý luận
và thực tiễn
Chương 2: Một số phương pháp dạy học rèn luyện kĩ năng giải các bài toán
chọn trong chủ đề đại số tổ hợp cho học sinh lớp 11 Chương 3: Thực nghiệm
sư phạm

5

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm về kĩ năng
Kĩ năng là sự thực hiện có hiệu quả một hành động bằng cách vận dụng
những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến hành phù hợp với những
điều kiện cho phép. Vì vậy, kĩ năng không chỉ là mặt kĩ thuật của hành động
mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể. Chính vì thế, để một người có được kĩ
năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:
-

Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung,

mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện v.v…của hành động;
-

Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian giới hạn

tương ứng;
-

Đạt kết quả hành động trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả trong

những điều kiện thay đổi nhất định.
Kĩ năng học tập là sự thực hiện có hiệu quả các hoạt động học tập như
hoạt động phân tích, mô hình hóa, khái quát hóa các đối tượng nhận thức…
bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến
hành phù hợp với những điều kiện cho phép. Vì vậy, kĩ năng học tập không

chỉ là mặt kĩ thuật của hoạt động, của các thao tác mà còn biểu hiện năng lực
thực tiễn, năng lực học tập của chủ thể. Bên cạnh các hoạt động học tập, kĩ
năng học tập còn bao gồm các kĩ năng tổ chức hoạt động của chủ thể như kĩ
năng lập kế hoạch, kĩ năng sử dụng thời gian, kĩ năng nghiên cứu, kĩ năng làm
việc nhóm, kĩ năng đọc, viết, ghi chép v.v…
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực
hành nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người cần sử
dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện
thực là bản chất đối với nhiệm vụ được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi
có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó. Với quá trình đó con người

6


dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kĩ năng để giải quyết các vấn
đề.
Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái
niệm kĩ năng như sau:
Quan điểm 1 cho rằng: Kĩ năng là sự nắm vững nhưng có ý thức các
phương thức hoạt động.
Quan điểm 2 cho rằng: Kĩ năng là sự sử dụng kiến thức và kĩ xảo đã có
để lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích
đặt ra.
Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [13, tr. 149].
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kĩ năng, chẳng hạn: “Kĩ
năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực
nào đó vào thực tế” [22, tr. 462] hoặc “Kĩ năng là sự lựa chọn trong tình

huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục
đích” .
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu
chung lại thì đều nói rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm,
cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết. Cơ sở lý thuyết
đó là kiến thức. Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kĩ năng (phải hiểu
mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần
thiết để triển khai các cách thức đó).
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không
chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kĩ
năng.

7


Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy
đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý
thức với tư cách là công cụ của hành động (kĩ năng). Nói cách khác, cần làm
sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong tri
thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt
ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối
tượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu.
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn toán
Có nhiều cách phân loại kĩ năng. Theo tâm lý giáo dục, người ta thường
chia kĩ năng học tập cơ bản thành ba nhóm:
1.1.2.1. Kĩ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ
năng nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,

trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…
1.1.2.2. Kĩ năng thực hành
Trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải
bài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc
trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
1.1.2.3. Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá
Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, … lại xem xét kĩ
năng toán học trên 3 bình diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng
vận dụng toán học vào đời sống.
Kĩ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kĩ năng là cơ sở
để tiến hành các thao tác tư duy và kĩ năng chỉ được hình hành thông qua quá
trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng
Rèn luyện kĩ năng phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy trong đó
khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có

8


tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp
đó mà thôi. Phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp
và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên
cứu của quá trình tự giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán
đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận.
Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán
đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các
luận điểm.
Rèn luyện kĩ năng suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật,
quy tắc nhất định (gọi là quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần

phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và
quy nạp, suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng
đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Rèn luyện kĩ năng phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để
phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần
khác nhau. Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt,
các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là
hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng
tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn
toán phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy
quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kĩ năng so sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm
xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự
bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên
quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có

9


thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố
bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai
hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ
ràng giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29] .

Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một
mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Rèn luyện kĩ năng khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác
tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại
theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định. Các thuộc
tính chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những
thuộc tính chung bản chất.
Theo GS. Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối
tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [14, tr.46].
Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt
đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát hơn.
Trong toán học người ta thường khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, đỉnh lý, bài toán... thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa.
Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng
trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử
đặc biệt hóa. Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng
minh dự đoán từ khái quát hóa. Nhưng nếu sai thì dừng lại.
Rèn luyện kĩ năng trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy
nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu
không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Tất nhiên sự

10


phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó
phụ thuộc mục đích hành động.
1.2. Một số yếu tố đặc trưng sư phạm cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán
Việc hình thành kĩ năng còn tùy thuộc vào đặc điểm tâm lí của mỗi cá

nhân. Tuy nhiên có thể khái quát thành những bước sau:
Bước 1: Hướng dẫn lý thuyết. Trong quá trình hình thành các kĩ năng, tri
thức có vai trò quan trọng, nhận thức càng đầy đủ, tích cực, kĩ năng càng
được nhanh chóng hoàn thiện sớm hơn. Vì vậy thầy giáo cần cung cấp những
tri thức rõ ràng về mục đích, tính chất bài luyện tập, tri thức về hành động cần
nắm vững, người học cần ghi nhớ kĩ mục đích, điều kiện, quy trình của việc
thực hiện hành động.
Bước 2: Làm mẫu. Người dạy thao tác mẫu, người học quan sát nhiều
lần, giải thích các thao tác và ý nghĩa của thao tác, những quy định, điều kiện
của hành động, những điều nên tránh.
Bước 3: Người học xây dựng kế hoạch thực hiện. Căn cứ vào những tri
thức về cách tiến hành hoạt động và biểu tượng về những thao tác, người học
vạch cho mình kế hoạch, cách thức, thứ tự các thao tác thực hiện.
Bước 4: Thực hành và luyện tập. Người học lặp lại các thao tác như thao
tác mẫu của giáo viên và luyện tập các thao tác đó trong những tình huống
khác nhau.
Bước 5: Tự kiểm tra. Người học tiến hành so sánh, đối chiếu với các thao
tác mẫu, phát hiện ra các thiếu sót, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm
trong hành động và sửa chữa. Trong các bước này sự đánh giá kịp thời, chính
xác chất lượng thao tác có tác dụng lớn đối với việc củng cố hành động, nếu
thao tác đúng chúng ta sẽ được củng cố, những thao tác không đúng, sai lầm
sẽ được khắc phục kịp thời.
Bước 6: Thao tác sáng tạo. Việc hình thành kĩ năng sư phạm là phải tiến
hành hoạt động sư phạm (các thao tác) trong các tình huống sư phạm khác
nhau, tức là biết vận dụng một cách linh hoạt mềm dẻo vào các hoàn cảnh,

11


tình huống mới. Vì vậy người thầy phải xây dựng các tình huống khác nhau

để người học giải quyết.
Tóm lại, có thể nói quy trình rèn luyện kĩ năng trải qua các giai đoạn:

Hiểu
cách
làm

1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn toán
Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết
vấn đề đã quan trọng, nhưng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và
được đánh giá rất cao. Thậm chí Albert Einstein còn cho rằng: "Việc thiết lập
vấn đề thường thiết yếu hơn việc giải quyết vấn đề đó, vì giải quyết chỉ là
công việc của kĩ năng toán học hay kinh nghiệm. Nêu được vấn đề mới,
những khả năng mới nhìn nhận những vấn đề cũ dưới một góc độ mới đòi hỏi
phải có trí tưởng tượng và nó đánh dấu bước tiến bộ thực sự của khoa học".
Sáng tạo chính là nêu vấn đề.
Với nhận thức như trên, trong dạy học kĩ năng phải luyện tập cho học
sinh thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình. Đồng
thời, đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi
hỏi phải đưa ra các mới đối với nhân loại. Nếu họ đương đầu với những vấn
đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu được
cái mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết quả bằng những thủ pháp
mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo.
Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình rèn
luyện kĩ năng trải qua bốn giai đoạn:
-

Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải

quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan.

12


-

Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn

đề một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các
hoạt động bổ xung cho vấn đề được quan tâm.
-

Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng

sáng" trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất
hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong
quá trình tìm kiếm lời giải.
-

Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển

khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải
quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định.
Quá trình hình thành kĩ năng có một số đặc điểm sau:
- Là tiền đề chuyển tri thức và kiến thức vào hoàn cảnh mới.
- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
- Nhận ra chức năng mới ở những điều kiện quen thuộc.
- Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
-

Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng

tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
-

Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong

khi đã biết được nhiều phương pháp truyền thống.
- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần, kiên định mục đích.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay
tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con
người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi cao độ”, khi đó các tư
tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo
cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những kết quả mới.
Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy
độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức
độ tư duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự
khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả

13


năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt
được. Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy
độc lập. Mặt khác, một số tác giả cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và
tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc
điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo".
Có thể biểu thị mối quan hệ giữa các loại hình tư duy như sau:
Tư duy tích cực

Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.Krutexcki
Nhà tâm lý học V.A Krutexcki lấy ví dụ cho ba loại hình tư duy:
-

Mức tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham

gia nhiệt tình vào bài giảng.
-

Mức tư duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề được

thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt
động độc lập theo dụng ý trước của thầy (định hướng).
-

Mức tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh

định lý đó.
Về mặt tâm lý học, tư duy sáng tạo có những dấu hiệu đặc trưng như:
- Sản phẩm của tư duy có tính mới mẻ và giá trị (có thể theo nghĩa chủ
quan hay khách quan).
-

Quá trình tư duy được chỉ đạo bởi tư tưởng, quan điểm, phương pháp

luận tiến bộ so với thực tại xã hội.
-

Quá trình tư duy còn được đặc trưng bởi sự tồn tại của động cơ mạnh,

của tính kiên trì vượt khó khăn, sự nỗ lực cá nhân vượt bậc và của nhiều
phẩm chất đặc biệt khác nhau thuộc nhân cách.

14


Tuy vậy, như một quá trình sáng tạo, tư duy sáng tạo có tính chất tương
đối: Tư duy sáng tạo của ai, trong hoàn cảnh nào? Cùng một chủ thể giải
quyết vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhưng không sáng
tạo trong điều kiện khác, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể đối với
người này là mang tính sáng tạo còn với người khác thì không như vậy.
1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận
dạng bài toán cho học sinh
Cho đến nay, trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng đã có nhiều
công trình nghiên cứu về kĩ năng giải toán cũng như về vấn đề bồi dưỡng, rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. Trên thế giới, thì những năm 50 của thế
kỷ XX trở lại đây các công trình nghiên cứu về năng khiếu và tài năng phát
triển rất mạnh mẽ.
Vào năm 1960, các nhà trắc nghiệm Mỹ J.W. Getzels và P.W. Jackson đã
thông báo các số liệu chứng tỏ không có sự phụ thuộc giữa các chỉ số trí tuệ
(chỉ số IQ) và năng lực sáng tạo (creativity). Vì vậy, để đánh giá năng lực
sáng tạo người ta dựa vào chỉ số CrQ với các tham số như: Tính linh hoạt của
tư duy (số lượng các ý tưởng xuất hiện trong một đơn vị thời gian), tính mềm
dẻo của tư duy (năng lực chuyển từ ý tưởng này sang ý tưởng khác), tính độc
đáo của tư duy (năng lực sản sinh ra các ý tưởng khác với các quan niệm đã
được công nhận chung), tính nhạy cảm (đối với các vấn đề trong thế giới xung
quanh), năng lực vạch ra các giả thuyết; tính viễn tưởng... Việc tách biệt giữa

các chỉ số IQ và chỉ số Cr đã đặt nền tảng cho việc đặt đối lập giữa logic và
sáng tạo.
V.A. Krutecxki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh.
Năng lực ở đây được hiểu theo hai nghĩa, hai mức độ:
+) Một là, theo nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.

15