Rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HẰNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CHO
HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Hà Nội – 2017


ĐẠI

HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HẰNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CHO
HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Vũ Đình Hịa

Hà Nội – 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại
học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công
tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lịng giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo PGS.TSKH. Vũ Đình Hịa – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình
chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và
các em học sinh trường THPT Nguyễn Thái Học – Khai Quang – Vĩnh Yên –
Vĩnh Phúc, Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc đã giúp đỡ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng của tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thân,
gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Toán K10 trường Đại
học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ
động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ giáo và các bạn. Tôi xin chân
thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT...............................................................ii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ..............................................................v
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................6
1.1. Kỹ năng......................................................................................................6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng................................................................................. 6
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng............................................................................6
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng..........................................................................8
1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng............................ 10
1.2. Kỹ năng giải toán.................................................................................... 10
1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán................................................................10
1.2.2. Vai trị của kỹ năng giải tốn...............................................................11
1.2.3. Phân loại kỹ năng trong mơn Tốn.....................................................12
1.2.4. Các mức độ kỹ năng giải toán............................................................. 14
1.3. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương
trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng.............................15
1.3.1. Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương
trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng.............................15
1.3.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
tốn“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông.....20

Kết luận chương 1..........................................................................................24
Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA “PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG” – HÌNH HỌC 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO
HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN.......................................... 25
2.1. Mục tiêu của “Phương trình đường thẳng” – hình học 10 trung học
phổ thơng........................................................................................................25
2.2. Một số kiến thức cơ bản..........................................................................26
2.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng....................................................26
2.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.....................................................27

iii


2.2.3. Phương trình tham số của đường thẳng.............................................27
2.2.4. Phương trình tổng quát của đường thẳng..........................................28
2.2.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng................................................. 28
2.2.6. Góc giữa hai đường thẳng...................................................................29
2.2.7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng............................... 29
2.3. Rèn luyện kỹ năng viết phương trình các loại
đường thẳng khi biết
phương và 1 điểm đi qua................................................................................31
2.3.1. Phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng
qt của đường thẳng....................................................................................31
2.3.2. Kỹ năng viết phương trình đường thẳng qua hai điểm......................33
2.3.3. Kỹ năng viết phương trình đoạn chắn................................................ 37
2.3.4. Kỹ năng viết phương trình đường thẳng biết một điểm đi qua và hệ số
góc...................................................................................................................41
2.4. Kỹ năng viết phương trình đường đối xứng với một đường thẳng cho
trước qua một đường thẳng hoặc một điểm đã biết......................................45
2.4.1. Kiến thức cơ bản:.................................................................................45

2.4.2. Bài tập minh họa..................................................................................46
2.4.3. Bài tập tương tự................................................................................... 48
2.5. Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách . 48

2.6. Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc giữa hai
đường thẳng................................................................................................... 58
2.7. Kỹ năng sử dụng phương trình đường thẳng để giải các bài tốn về
dựng tam giác.................................................................................................64
Kết luận chương 2..........................................................................................86
Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................87
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ................................................................113
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 114

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ
Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm..................................................109
Bảng 3.2 Bảng so sánh định lượng kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
109
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng.............................................................................................................110

v


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học, công nghệ và

hội nhập. Tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong
sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri
thức cho con người.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường trung học
phổ thơng, việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học học sinh có vai trị quan
trọng vì: đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải tốn là
hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư duy,
tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy
học tốn ở trường phổ thơng. Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh có tác
dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập
cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình
huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập
suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu.
Trong q trình giảng dạy mơn tốn ở lớp 10, ơn tập cho học sinh lớp 12
và ôn luyện cho học sinh thi vào các trường đại học, cao đẳng. Ở phần
phương pháp tạo độ trong mặt phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được
những bài tập hoặc chỉ làm được các bài có tính chất áp dụng cơng thức đơn
thuần. Những bài có tính chất tổng hợp thì khơng phân tích được bài tốn nên
khơng tìm được hướng giải, mặc dù đã được biết lý thuyết. Trong khi đó bài
tốn về tọa độ trong mặt phẳng đặc biệt là “Phương trình đường thẳng” lại là
một vấn đề quan trọng trong chương trình học và ln có mặt trong các đề thi
Đại Học – Cao Đẳng, học sinh giỏi hằng năm nên cần có hướng ơn tập tốt vấn
đề này.
Hơn nữa khi học phần phương trình đường thẳng ở lớp 10, chương trình
sách giáo khoa do thời lượng ít nên chưa đề cập hết được các vấn đề mà chỉ

1

dừng lại ở mức độ vận dụng và áp dụng cơng thức, chỉ giải được các bài tốn
đơn giản, chưa chú ý đến tự bồi dưỡng kiến thức, khi học các bài tốn mang
tính chất tổng hợp, khó hơn thì khơng phân tích được bài tốn, khơng thấy
được quan hệ giữa hình học thuần túy và tọa độ trong mặt phẳng, khơng thể
chuyển bài tốn tọa độ sang bài tốn hình học thuần túy để tìm lời giải.
Với lý do nêu trên tôi quyết định lựa chon đề tài luận văn của mình là:
“Rèn luyện kỹ năng giải tốn trong dạy học giải bài tập phương trình đường
thẳng cho học sinh lớp 10”.
2.

Lịch sử nghiên cứu
Từ trước đến nay, có nhiều tác giả nghiên cứu về Phương trình đường

thẳng trong mặt phăng như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hịa, Phan Huy Khải,
Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, … Tuy nhiên, những
nghiên cứu đó mới mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp
dạy và học Tốn.
Ngồi ra, các tác giả như: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim… cũng
đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh trong dạy
học mơn Tốn. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã có những gợi mở quan
trọng cho tơi trong q trình thực hiện đề tài.
Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực
trạng dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ
thơng ở một số trường trung học phổ thông trong giai đoạn hiện nay thì với
luận văn này, tơi xin được trình bày một ý tưởng rất hẹp và cụ thể là: vận dụng
lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học
sinh thơng qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học
phổ thơng nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường trung học

phổ thông.

2


3.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu và đề xuất ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải
tốn cho học sinh thơng qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học
10 trung học phổ thông.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.

-

Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng.
-

Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý

luận khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ
thơng.
-

Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp

dụng vào giảng dạy.
4.

Phạm vi nghiên cứu
-

Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 11/2015 đến

11/2016.
-

Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn

luyện cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10
trung học phổ thông.
5.

Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 10A3, 10A7 trường THPT Nguyễn Thái Học, tỉnh Vĩnh

Phúc.
6.

Vấn đề nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
-

Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

-

Vai trị của việc rèn luyện kỹ năng giải tốn là gì?

3


-

Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học

sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ
thơng.
-

Trong dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học

phổ thơng cần rèn luyện những kỹ năng giải tốn nào?
7.

Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải tốn cần cho học sinh khi dạy học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng thì sẽ giúp
học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu
kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học
mơn Tốn.

8.

Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu

về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên
quan đến môn học.
-

Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải

toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10
trung học phổ thơng ; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm.
-

Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ

chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp
dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực
trạng về rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh trong quá trình giảng dạy
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng của các giáo
viên.
-

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

trường THPT Nguyễn Thái Học tỉnh Vĩnh Phúc cung cấp bài tập và kiểm tra
kết quả sau thực nghiệm.

-

Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi

4


điều tra.
9.

Những đóng góp của luận văn
-

Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.

-

Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy

học “Phương trình đường thẳng hình học phẳng lớp 10”
-

Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông .
-

Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh

viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.

10.

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương
Chương 1 Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập của “Phương trình đường thẳng” –
Hình học 10 trung học phổ thơng” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

5


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người thuộc các lĩnh vực lí luận
thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được các công việc, con người cần
vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lí các vấn đề gặp phải. Yêu
cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng chung nhất cho từng trường hợp cụ thể.
Trong q trình đó, con người dần hình thành cho mình những kĩ năng giải
quyết vấn đề mình đặt ra.
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [12, tr 426]
Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”. [1, tr149]
Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ

năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để
giải quyết một nhiệm vụ mới”. [5, tr131]
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói
rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Trong vận dụng ta thường chú ý đến các đặc điểm của kỹ năng:
-

Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là kiến

thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích – biết cách thức đi

6


đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó.
-

Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các

thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
-

Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có:

+) Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều
kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động.
+) Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.

+) Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra.
+) Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau.
+) Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua
thời gian đủ dài.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được
vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát
hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối
liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này, tri
thức khơng biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến
thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không
biến thành cơ sở của kỹ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật. Như vậy để tri
thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết
lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri
thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động.
Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý
thuyết nhưng khơng vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, khơng biết lựa

7


chọn định nào vào bài toán nào cần giải quyết. Nguyên nhân của hiện tượng
đó là do kỹ năng chưa được hình thành.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho
việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được
hành động theo đúng mục đích u cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thơng
qua q trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư

duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để
tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới. Q trình tư duy diễn ra nhờ
các thao tác phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và khái qt hóa cho đến khi
hình thành được mơ hình về mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối
với việc giải bài tốn đã cho.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:
Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi
sau đó đề ra các bài tốn cần thiết để vận dụng những tri thức đó. Từ đó học
sinh sẽ phải tìm tịi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn
hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những
phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. Người ta còn gọi
con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề.
Con đường thứ 2: Dạy cho học sinh nhận biết được các dấu hiệu mà từ
đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng và vận dụng đường lối
đó vào bài tốn cụ thể.
Con đường thứ 3: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần
thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp này giáo viên không
những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu
và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử
dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra.
Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra

8


trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu
về các đối tượng, cịn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện
những hình thức, những hành động đối tượng.
Ở giai đoạn thứ 2, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ.

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh
các bài tốn trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để
tìm cách giải bài tốn qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó xây dựng được cho học
sinh các phương pháp giải toán. Tuy nhiên đểphát triển và khắc sâu các bài
toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải
khác nhau, tổng qt hóa bài tốn, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự
hóa…
Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic.
Người ta cịn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình
thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn. Trên thực tế khi hình thành
những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy nhiên trong
dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý
thức. Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những
dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích
hợp để làm điều đó.
Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năngnắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các
thơng tin chứa đựng trong bài tốn.
Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành:
-

Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố

phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
-

Giúp học sinh hình thành một một mơ hình khái qt để giải các bài

toán cùng loại.
9

-

Xác lập được mối quan hệ giữa các bài toán mơ hình khái qt và kiến

thức tương ứng.
Sự hoạt động để hoạt động các kỹ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng
bước đầu kiến thức và thực tiễn, cơng việc luyện tập để hồn thiện hành
dộngđó. Sự hình thành các kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngồi hoạt
động thực hành q trình đó cịn kèm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học
sinh nữa.
1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che
phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình
thành kĩ năng.
Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Việc
tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc
hình thành kĩ năng.
-

Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách tồn thể ở mức cao hay

thấp.

1.2. Kỹ năng giải toán
1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán
Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó
chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành
động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong

những điều kiện khác nhau. Trong giải tốn, chúng tơi quan niệm về kỹ năng
giải tốn của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những
tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết
quả một hệ thống hành động giải toán để đi đển lời giải của bài tốn một cách
khoa học”.
Để thực hiện nhiệm vụ mơn Tốn trong trường THPT, một trong những

10


yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật tốn và những kỹ năng
tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương
trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy
hàm, ….Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện
kỹ năng khác nhau.
Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giảiToán
Phương pháp gián tiếp. Cung cấp cho học sinh một số các bàitốn có

+

cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải tốn. Đây
là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và
khơng đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh.
+

Phương pháp trực tiếp. Giáo viên soạn thành những bài giảng vềnhững

kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ
nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.

1.2.2. Vai trị của kỹ năng giải tốn
Trong các mục đích của dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng tốn học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng khơng thành
thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập tốn chính là “mảnh đất” để rèn
luyện kỹ năng giải tốn. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh,
giáo viên cần tăng cường hoạt động giải tốn (đây cũng chính là hoạt động
chủ yếu khi dạy tốn). Cụ thể hơn thơng qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
-

Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét ra yếu tố đã cho,

11


yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học
sinh biết cách phân tích đặc điểm bài tốn.
-

Hướng cho học sinh hình thành mơ hình khái quát để giải quyết các

bài tập, các đối tượng cùng loại.
-

Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các

kiến thức tương ứng.
Ngồi ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
-

Nhìn bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách

giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
-

Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài tốn.

-

Tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải ngắn gọn trong khi giải tốn.

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trị quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy tốn
học cho học sinh.
1.2.3. Phân loại kỹ năng trong mơn Tốn
1.2.3.1. Kỹ năng chung
- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài tốn
Phân tích bài tốn, làm rõ các dự kiện đặt ra. Nếu bài tốn có tính chất là
một vấn đề thì cần tìm khâu nào cịn chưa biết, một quy tắc tổng qt hoặc
một phương pháp có yếu tố thuật tốn để giải bài tốn, xác định đó là trọng
tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải. Đây là kỹ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề, làquan trọng nhất khi giải bài tạp toán. Cần làm rõ thành phần
mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc
khơng có) trong bài tốn.

-

Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài tốn.

Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là
12


bài tốn hình học là đường lối giải. Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi
đến kết quả của bài tốn. Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài tốn bao
gồm hai q trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài tốn
cịn gọi là chiến thuật giải bài tốn. Hai q trình này độc lập và hỗ trợ nhau,
có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt. Yêu cầu
xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này. Có nhiều cách
để HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng bài
tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó. Phương
pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể.

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài tốn
bao gồm hai dạng. Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích
cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành. Dạng 2 là
những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá
trình tư duy sáng tạo.
-

Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài tốn.

-

Kỹ năng kiểm tra đánh giá q trình giải bài tốn

-

Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của

người giải toán.
1.2.3.2. Kỹ năng cụ thể
Cụ thể giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng:
a.

Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong mơn Tốn bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả

năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc
trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, bên cạnh đó cịn phải
biết dự đoán và suy đoán.

13


b.

Kỹ năng thực hành
Kỹ năng thực hành trong mơn Tốn bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức

vào hoạt động giải tốn, kỹ năng tốn học hóa các tình huống thực tiễn (trong
Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống
thực tiễn.
c. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế

hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân
nhằm phấn đấu đạt được mục đích.
d. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri
thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết
quả như mong muốn. Muốn vậy học sinh phải có kỹ năng tự kiểm tra, đánh
giá để làm căn cứ cho sự “tự điều chỉnh”.
Để rèn luyện được kỹ năng này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu
học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chương trình đối với
bản thân mình.
Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của giáo viên và
nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân thông qua
việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập. Từ đó thấy được chỗ cịn yếu, chỗ
cịn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khác
phục.
Một khi học sinh đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều chỉnh
thì kết quả học tập được nâng lên dàn.
1.2.4. Các mức độ kỹ năng giải tốn
Trong tốn học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải tốn:
-

Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

14


- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:
-

Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài tốn cơ bản nào đó

tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
-

Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách

giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi.
-

Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn,

độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo
khơng chỉ với các bài tốn cơ bản mà với cả bài toán mới.

1.3. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thơng.
1.3.1. Việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh khi dạy học
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông
1.3.1.1. Kỹ năng nhận thức
- Kỹ năng nắm vững khái niệm.
Khi dạy học sinh về khái niệm trong bài “phương trình đường thẳng –
hình học phẳng lớp 10” người giáo viên phải đảm bảo được các yêu cầu như
là:
+

Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của khái niêm véctơ chỉ phương,

véctơ pháp tuyến, phương trình tham số của đường thẳng, phương trình tổng
quát của đường thẳng.

+

Biết nhận dạng các khái niệm này có nghĩa là cho một đường thẳng
r
+

(d ) : 2x 3y

+ =

5 0 và véctơ a(4;6) thì học sinh phải biết được phương trình
r
(d ) là phương trình tham số hay tổng quát và a(4;6) là véctơ chỉ phương hay
pháp tuyến của đường thẳng (d ) . Bên cạnh đó học sinh cịn phải nắm được
nếu như có đường thẳng (d ) đi qua điểm M (x0 ; y0 )và biết véctơ chỉ phương

15


hoặc pháp tuyến thì ta ln viết được phương trình tham số hoặc tổng quát
của đường thẳng. Cụ thể cho đường thẳng (d ) đi qua điểm M (2;1)có véc tơ
r

chỉ phương u(3;4) thì phương trình tham số của (d ) sẽ là




x = 2 + 3t

y = 1 + 4t .

r−

Hơn nữa cịn tìm được véc tơ pháp tuyến của (d ) là n( 4; 3) và cũng lập
được phương trình tổng quát của (d ) là −4(x − 2) + 3( y − 1) = 0.
+

Biết vận dụng các khái niệm này trong các tình huống cụ thể để giải

tốn ví dụ như: Cho tam giác ABC biết A (1;4 ); B(3; −1) và C (6; 2). Lập
phương trình tổng quát của đường thẳng BC và phương trình tham số của
trung tuyến AM.
Học sinh phải biết bản chất của véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC
r

,

−

chính là BC(3;3) , thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC là n( 3;3). Vậy

phương trình tổng quát của đường thẳng BC là −3(x − 3) + 3( y + 1) = 0. Để
viết được phương trình tham số của trung tuyến AM , học sinh phải

9

uuur

1

biết cách tính tọa độ trung điểm M của BC là M ( 2 ; 2) và nhận ra véc tơ chỉ
uuuur 7 7

phương của đường thẳng AM chính là AM ( 2 ; − 2) như vậy phương trình
tham số của đường thẳng AM sẽ là


7
x = 1 + 2 t



7
 y = 4 − 2 t.
+ Học sinh phải nắm được mỗi quan hệ giữa véc tơ chỉ phương và véc tơ
r

pháp tuyến của đường thẳng (d ) , (Nếu n (a; b) là véc tơ pháp tuyến của
r
đường thẳng (d ) thì u ( −b, a) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d ) .

16


Đồng thời nắm được mối quan hệ giữa phương trình tham số và phương trình
tổng qt.
Bên cạnh đó khi dạy về các khái niệm giáo viên phải biết lựa chọn con
đường hình thành khái niệm tốt nhất.
Khi dạy khái niệm véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến ta nên lựa

chọn con đường qui nạp. Giáo viên có thể cho học sinh quan sát trên hình vẽ
về véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d ) sau đó đưa
ra định nghĩa.
Khi dạy về phương trình tham số hay phương trình tổng quát của đường
thẳng (d ) ta có thể sử dụng con đường suy diễn. Ví dụ khi dạy phương trình
tham số của đường thẳng

(d ) ta có thể làm như sau: Trong mặt phẳng
r
(Oxy) cho đường thẳng (d ) đi qua điểm M o ( xo , yo ) và nhận u (u1 ; u2 ) . Với
M (x; y ) bất kì nằm trên (d ) ta sử dụng khái niệm hai véc tơ cùng phương

mà học sinh đã được học ta có M o M cùng phương với u

uuuuur
M 0M

đây chính là phương trình tham số của đường thẳng (d ) . Như vậy ta đã sử
dụng định nghĩa hai véc tơ cùng phương để xây dụng khái niệm phương trình
tham số của đường thẳng. Chú ý khi dạy xong khái niệm này ta có thể u cầu
học sinh viết trình tham số ba cạnh của tam giác khi biết tọa độ các đỉnh. Tóm
lại khi dạy xong các định nghĩa giáo viên phải có hình thức củng cố khái
niệm: Thơng qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ. Khắc sau các
kiến thức thơng qua các ví dụ và phản ví dụ.
1.3.1.2. Kỹ năng thực hành
Bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán và kĩ năng
tốn học hóa tình huống thực tiễn. Đối với việc giải bài tập viết phương trình

17

đường thẳng - hình học lớp 10 thì giáo viên chú ý đến kỹ năng vận dụng tri
thức vào giải tốn viết phương trình đường thẳng. Trong hoạt động này giáo
viên nên chú trọng rèn luyện cho học sinh chuyển từ tư duy thuận sang tư duy
nghịch điều đó rất quan trọng để nắm vững và vận dụng kiến thức, một thành
phần của tư duy toán học.
Chẳng hạn: Nếu cho đường thẳng (d ) đi qua điểm M 1; 2
r
pháp tuyến n(3;4)
đường thẳng (d )
3x + 4 y − 11 = 0 hãy tìm véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của (d ) hoặc
một điểm mà (d ) đi qua thì học sinh lại cảm thấy lúng túng.
Bên cạnh đó giáo viên cũng cần chú trọng rèn luyện kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau, giúp việc hình thành các liên
tưởng ngược diến ra đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận. Ví dụ
như: Viết phương trình đường thẳng (d ) song song với đường thẳng
 :3x

− 4 y + 12 = 0 và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 . Khi làm

bài này đa số học sinh sẽ khơng viết ngay được phương trình (d ) : 3x − 4 y +
c = 0 mà chỉ biết (d ) có thể chọn được véc tơ pháp tuyến là véc tơ pháp tuyến
của (∆) . Rồi lung túng khi viết phương trình của (d ) .
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải rèn luyện tốn học hóa tình huống thực
tiễn ví như bài tốn “Cho đường (d ) và hai điểm A, B và cùng nằm trên một
mặt phẳng có bờ (d ) . Hãy tìm trên đường thẳng (d ) một điểm M sao cho
tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất” có thể phát biểu dưới dạng “Hàng ngày
bạn An phải từ nhà đến bờ sông xách nước tưới rau ở cùng một phía bờ sơng.
Hỏi phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sơng nào để quãng đường đi từ nhà
đến ruộng rau và nhà là ngắn nhất”. Trong hoạt động thực tế bất kì lĩnh vực

nào cũng địi hỏi kỹ năng tính tốn: Tính đúng, tính nhanh, tính chính xác,
cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhân. Để rèn luyện các kỹ

18