ĐỀ TEST VD VDC lần 4 lời GIẢI

Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

1

NHÓM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ

ĐỀ TEST VD – VDC LẦN 4
Sưu tầm và biên soạn: Ban AD nhóm Pi

THI THỬ NÂNG CAO

NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1:

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

(

1
2x 2 − 4x + 6
log2
+ x2 = 2 x + x − m
2
x −m +1

)

Có đúng 3 nghiệm phân biệt là:
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0

Lời giải

2x 2 − 4x + 6
 0  x R.
Điều kiện:
x −m +1
Phương trình:

 log2

(

(

2x 2 − 4x + 6
+ 2x 2 = 4 x + x − m
x −m +1

(

)

1
2x 2 − 4x + 6
log2

+ x 2 = 2 x + x − m (*)
2
x −m +1

)

)

 log2 2x 2 − 4x + 6 − log2 ( x − m + 1) + 2x 2 − 4x = 4 x − m

(

 log2 (2x 2 − 4x + 6) + (2x 2 − 4x + 6) = log2 ( x − m + 1) + 2 + 4 x − m + 4

(

) (

)

)

 log2 (2x 2 − 4x + 6) + (2x 2 − 4x + 6) = log2 4 x − m + 4 + 4 x − m + 4 (1)
Xét hàm f (t ) = log2 (t ) + t trên khoảng
đồng biến trên khoảng

(0; +) có f '(t ) = 1 + 1  0, t  0 suy ra f (t )
t ln 2

(0; +) .

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

2

Khi đó

(

)

(1)  f (2x 2 − 4x + 6) = f 4 x − m + 4  2x 2 − 4x + 6 = 4 x − m + 4
 2 x − m = x − 2x + 1
2

2x − 2m = x 2 − 2x + 1
2
2

(do x − 2x + 1 = (x − 1)  0, x  R )
2
2x − 2m = −(x − 2x + 1)
2m = −x 2 + 4x − 1

(2)
2
2m = x + 1

Vẽ đồ thị hai hàm số g(x ) = −x + 4x − 1 và h(x ) = x + 1 trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy
2

2

(bạn đọc tự vẽ hình)
( Chú ý: Hai đồ thị hàm số

y = g(x ) và y = h(x ) tiếp xúc với nhau tại điểm A (1; 2 ) )

Để phương trình (*) có đúng 3 nghiệm phân biệt thì (2) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt.

 đường thẳng y

= 2m và hai đồ thị trên có đúng 3 điểm chung phân biệt.


1
2m = 1
m =
2


 2m = 2  m = 1 . Vậy tổng các giá trị của
2m = 3

3

m =
2


Câu 2:

m

bằng 3.

Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:

(

)

1 + 2x 2 − m m + 1 x − 2  .21+mx −x = (x 2 − mx − 1).2mx (1−m ) + x 2 − m 2x


A. 0.

2

C. −

B. 2.

1
.
2

D.

1
2

Lời giải

(

)

1 + 2x 2 − m m + 1 x − 2  .21+mx −x = (x 2 − mx − 1).2mx (1−m ) + x 2 − m 2x


2

−( x
  x 2 − mx − 1 + x 2 − m 2x − 1  .2



(

(

)

) (

= x 2 − mx − 1 .2

(x

2

)(

)

2

)

−mx −1

) + x 2 − m 2x − 1
(
)

−m 2x −1 − x 2 −mx −1

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.
Đặt

(

3

)

a = (x 2 − mx − 1), b = x 2 − m 2x − 1 thì phương trình trên trở thành

(a + b ) .2

−a

(

) (

)

= a.2b −a + b  a + b = a.2b + b.2a  a 2b − 1 + b 2a − 1 = 0 (*)

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì phương trình (*) thoả mãn.
Nếu a  0 và b  0 thì phương trình (*) 

2b − 1 2a − 1
+
= 0 (**)
b
a

Ta để ý rằng:

2a − 1
0
Với a  0 thì 2  1  2 − 1  0 
a

a

a

2a − 1
0
Với a  0  2  0  2 − 1  0 
a
a

a

2a − 1

 0, a  0 . Tương tự ta cũng có:
a
x2 − 1
2a − 1 2b − 1
 0, b  0 
+
 0, a  0, b  0  phương trình (**) vô nghiệm.
b
a
b

a = 0

Do đó (*)  
b
=

0


x 2 − mx − 1 = 0
 2
2
x − m x − 1 = 0

Hai phương trình x 2 − mx − 1 = 0 và x 2 − m 2x − 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trùng nhau khi
m = 0 hoặc m = 1 .
Nếu m = 0 thì hai phương trình đều là x 2 − 1 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm và
tổng hai nghiệm đó là T1 = 0
Nếu m = 1 thì hai phương trình đều là x 2 − x − 1 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm và tổng
hai nghiệm đó là T2 = 1 .
Khi m  0 và m  1 thì hai phương trình x 2 − mx − 1 và x 2 − m 2x − 1 = 0 không có
nghiệm nào trùng nhau.
Phương trình bậc hai x 2 − mx − 1 = 0 có ac  0 nên có 2 nghiệm phân biệt và tổng hai
nghiệm đó là x1 + x 2 = m
Phương trình bậc hai x 2 − m 2x − 1 = 0 có ac  0 nên có 2 nghiệm phân biệt và tổng hai
nghiệm đó là x 3 + x 4 = m 2 .

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

4

 Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt và tổng của chúng là
2


1 1
1
T3 = x1 + x 2 + x 3 + x 4 = m + m =  m +  −  −
2 4
4

2

T3 = −

1
1
1
 m = − nên min T3 = −
4
2
4

So sánh T1,T2 và minT3 thì được giá trị nhỏ nhất của tổng các nghiệm của phương trình đã
cho là −
Câu 3:

1
1
khi m = − .
4
2

Cho phương trình m ln2 (x + 1) − (x + 2 − m ) ln (x + 1) − x − 2 = 0 (1). Tập hợp tất cả các
giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn 0  x1  2  4  x 2
là khoảng

(a; +) . Khi đó a

thuộc khoảng:

B. ( 3, 6; 3, 7 ) .

(3,8;3,9) .

C. ( 3, 7; 3, 8 ) .

D. ( 3, 5; 3, 6 )

Lời giải
Điều kiện: x  −1 .
Vì x = 0 không thoả mãn phương trình nên ta có

(

)

m ln x + 1 = x + 2
(1)  m ln x + 1 − x − 2 ln x + 1 + 1 = 0  



ln x + 1 = −1


x +2
(2)
m =
ln
x
+
1


1
x = − 1
e


(

)

(

)

Do nghiệm x =

(

)

(

)

1
− 1  0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn 0  x1  2  4  x 2
e

khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt sao cho 0  x1  2  4  x 2 . Xét hàm
số f (x ) =

x +2
trên khoảng ( 0; + ) ta có
ln x + 1

(

)

f '(x ) =

(

x +2
x + 1 = 0  ln x + 1 − x + 2 = 0,(3) .
2
x +1
ln (x + 1)

)

ln x + 1 −

(

)

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

(

)

Xét hàm số h(x ) = ln x + 1 −
đồng biến trên khoảng
Mà

5

1
1
x +2
+
có h '(x ) =
x +1 x +1
x +1

(

)

(0; + ), do đó phương trình f '(x ) = 0

f '(2).f '(4)  0 và f '(x ) là hàm liên tục trên

nghiệm x 0  (2; 4 ) . Ta có bảng biến thiên:

2

 0, x  0 nên h(x )

có không quá 1 nghiệm.

2; 4   Phương trình (3) có duy nhất 1

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn

0  x1  2  4  x 2  m 
Vậy a =
Câu 4:

 6

6
 m 
; + 
ln 5
 ln 5



6
 3, 7; 3, 8 .
ln 5

(

)

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt là:

3x −3+
A. 45.

3

m − 3x

+ (x 3 − 9x 2 + 24x + m).3x −3 = 3x + 1

B. 38.

C. 34.

D. 27

Lời giải
Phương trình tương đương với:

3

3

m − 3x

+ (x 3 − 9x 2 + 24x + m) = 27 + 33−x  3

3

m − 3x

(

+ m − 3x = 33−x + 3 − x

)

3

Xét hàm đặc trưng f (t ) = 3 + t  f '(t ) = 3 ln 3 + 3x  0, t  R
t

3

3

m − 3x

(

t

3

+ m − 3x = 33−x + 3 − x

)

3

2

(

 3 m − 3x = 3 − x  m = 3 − x

)

3

+ 3x  m = −x 3 + 9x 2

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

6

x = 2
Đặt g(x ) = −x 3 + 9x 2 − 24x + 27  g '(x ) = −3x 2 + 18x − 24 = 0  
x = 4
Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7  m  11  m  8; 9;10 .
Vậy tổng các giá trị của m bằng 27.
x −1
x −m
Cho phương trình 2( ) . log2 (x 2 − 2x + 3) = 4
log2(2 x − m + 2) với m là tham số thực.
2

Câu 5:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn  −2019;2019  để phương trình có đúng 2 nghiệm
phân biệt.
A. 4036.
B. 4034.
C. 4038.
D. 4040

Lời giải
Điều kiện x  R .

(

)

(

x −m
(x −1)
2
log2 x 2 − 2x + 3 = 4
log2 2 x − m + 2
2

(

)

(

)

)

2
2 x −m
(x −1)
2
log2  x − 1 + 2 = 2
log2 2 x − m + 2 (1)


2

Xét hàm số y = 2t log2 (t + 2) với t  0 .
Hàm số y = 2t log2 (t + 2) xác định và liên tục trên 0; + ) .


Ta có y ' = 2t log2 (t + 2). ln 2 +

2t
 0, t  0
(t + 2) ln 2

 Hàm số y = 2t log2 (t + 2) đồng

biến trên 0; + ) .


Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

7

(

)

 x − 1 2 = 2(x − m )
(1)  f  x − 1  = f 2 x − m  x − 1 = 2 x − m  
 − x − 1 2 = 2(x − m )




(

(

)

2

) (

)

2

(

)

2m = −x 2 + 4x − 1(1)

(*) .
2
2m = x + 1(2)
Xét phương trình 2m = −x 2 + 4x − 1 . Ta có bảng biến thiên của hàm số

g(x ) = −x 2 + 4x − 1

Phương trình 2m = x 2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m  1  m 

Phương trình 2m = x 2 + 1 có 1 nghiệm khi 2m = 1  m =

Phương trình 2m = x 2 + 1 vô nghiệm khi 2m  1  m 

Khi m =

1
2

1
2

1
2

3
, phương trình 2m = −x 2 + 4x − 1 có nghiệm x = 2 , phương trình 2m = x 2 + 1 có
2

2 nghiệm phân biệt x =  2  (*) có 3 nghiệm phân biệt (Loại)
Khi m =

1
, phương trình 2m = −x 2 + 4x − 1 có 2 nghiệm phân biệt x = 2  2 , phương
2

trình 2m = x 2 + 1 có nghiệm

x = 0  (*) có 3 nghiệm phân biệt. (Loại)

Xét phương trình −x + 4x − 1 = x + 1  −2x + 4x − 2 = 0  x = 1  không tồn tại

m để phương trình (1) và (2) có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử. Vậy không tồn tại m để (*)
có 2 nghiệm phân biệt.
2

Yêu cầu bài toán

2

2

 (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

8


3
m


2 m 1
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vô nghiệm  
2
m  1

2




1
m


2 m  3
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt và (1) vô nghiệm  

2
m  3

2



1
m
=

2  m 
TH3: (1) có nghiệm x = 2 và (2) có nghiệm x = 0  

m = 3

2




1
2

3
2



Kết hợp điều kiện m   −2019;2019   m   −2019;    ;2019 



Do m 
Câu 6:



nên ta có 4038 giá trị m thoả mãn đề bài.

Có bao nhiêu số nguyên a  ( −2019;2019 ) để phương trình

1
1
+ x
= x +a
3 −1
ln x + 5

(

)

có 2 nghiệm phân biệt?
A. 0.

B. 2020.

C. 2014.

D. 2015

Lời giải
Phương trình

1
1
1
1
+ x
= x +a 
+ x
−x =a
ln(x + 5) 3 − 1
ln(x + 5) 3 − 1

Đặt hàm số f (x ) =

(

) (

1
1
+ x
− x có tập xác định
ln(x + 5) 3 − 1

) (

D = −5; −4  −4; 0  0; +

)

−1
3x ln 3
−
− 1  0, x  D
Ta có: f '(x ) =
(x + 5)ln2 (x + 5) x = 3x − 1 2

(

)

 f (x ) nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định.

Ban AD nhóm Pi

Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.
Các giới hạn: lim+ f (x ) =
x →−5

9

1
243
+5 = 5−
; lim f (x ) = −; lim+ f (x ) = + ;
x →4
242 x →4−
3 −1
−5

lim f (x ) = −; lim+ f (x ) = +; lim f (x ) = − .

x →0−

x →+

x →0

Ta có bảng biến thiên:

Phương trình

f (x ) = a

có 2 nghiệm phân biệt  a  5 −

243
242

a 

a 
Do 


a  4;2018 
a  −2019;2019





(

)

Vậy có 2018 − 4 + 1 = 2015 giá trị của a .
Câu 7:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm:

A. Vô số.

log2

3x 2 + 3x + m + 1
= x 2 − 5x − m + 2
2
2x − x + 1

B. 4.

C. 6.

D. 5

Lời giải
2


1 7
Ta có: 2x − x + 1 = 2  x −  +  0, x  R .
4 8

2

Điều kiện xác định của phương trình: 3x 2 + 3x + m + 1  0 (1)
Phương trình đã cho tương đương với:

log2 (3x 2 + 3x + m + 1) − log2 (2x 2 − x + 1) = x 2 − 5x − m + 2

 log2 (3x 2 + 3x + m + 1) + 3x 2 + 3x + m + 1 = log2(2x 2 − x + 1) + 1 + 4x 2 − 2x + 2

Ban AD nhóm Pi

Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

10

 log2 (3x + 3x + m + 1) + 3x + 3x + m + 1 = log2(4x − 2x + 2) + 4x − 2x + 2 (2)
2

2

2

Xét hàm số f (t ) = log2 t + t trên ( 0; + ) , ta có f '(t ) =

2

1
+ 1  0, t  0; + , do đó
t ln 2

(

)

f (t ) đồng biến trên ( 0; + ) nên
(2)  3x 2 + 3x + m + 1 = 4x 2 − 2x + 2  m = x 2 − 5x + 1 (3)
Xét hàm số f (x ) = x − 5x + 1 , ta có bảng biến thiên:
2

Vậy (3) có nghiệm  m  −

21
. Khi đó
4

(

)

2

3x 2 + 3x + m + 1 = 3x 2 + 3x + x 2 − 5x + 1 + 1 = 4x 2 − 2x + 2 = 3x 2 + x − 1 + 1  0

 (1) đúng.
Vậy m  −
Câu 8:

21
, mà
4

m

là số nguyên âm nên m  −5; −4; −3; −2; −1 .

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  −10;10  để bất phương trình

2x 2 + x + m + 1
log3
 2x 2 + 4x + 5 − 2m có nghiệm. Số phần tử thuộc S là:

2
x +x +1
A. 20.

B. 10.

C. 15.

D. 5

Lời giải

2x 2 + x + m + 1
 0  2x 2 + x + m + 1  0 (*)
Điều kiện;
2
x +x +1
Khi đó

log3

2x 2 + x + m + 1
2x 2 + x + m + 1
2

2
x
+
4
x

+
5
−
2
m

log
− 1  2x 2 + 4x + 4 − 2m
3
2
2
x +x +1
x +x +1

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

 log3

11

2x 2 + x + m + 1
 2x 2 + 4x + 4 − 2m
2
3(x + x + 1)

 log3 (2x 2 + x + m + 1) − log3 3(x 2 + x + 1)  −2(2x 2 + x + m + 1) + 6(x 2 + x + 1)
 log3 (2x 2 + x + m + 1) + 2(2x 2 + x + m + 1)  log 3 3(x 2 + x + 1) + 6(x 2 + x + 1) (1)

Xét hàm số f (t ) = log3 t + 2t với t  0 có f '(t ) =

1
+ 2  0, t  0
t ln 3

 f (t ) đồng biến trên khoảng (0; +) . Do đó

((

))

(1)  f (2x 2 + x + m + 1)  f 3 x 2 + x + 1  2x 2 + x + m + 1  3(x 2 + x + 1) (thoả
mãn (*))

 x 2 + 2x + 2  m
BPT x 2 + 2x + 2  m có nghiệm
Xét bảng biến thiên của hàm số

 m  min g(x ) với g(x ) = x 2 + 2x + 2 .

g(x ) :

1
Từ bảng biến thiên

 min g(x ) = 1  m  1

Do m   −10;10   S có 10 phần tử.
Câu 9:

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng ( −2020;2020) của tham số m để bất phương trình

(

3 log x  2 log m x − x 2 − (1 − x ) 1 − x
A. 2018.

B. 2019.

) có nghiệm thực?
C. 4036.

D. 2020

Lời giải

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

12

0  x  1

0  x  1
0x 1




Điều kiện 


1−x
2
0
m
x
−
(1
−
x
)

0
m
x
−
x
−
(1
−
x
)
1
−
x

0



m 


x

Bất phương trình đã cho tương đương:

(

log x 3  log m x − x 2 − (1 − x ) 1 − x

(

 x 3  m x − x 2 − (1 − x ) 1 − x
m 

x x + (1 − x ) 1 − x
x − x2

=

)

2

) x
2

x
1−x

+

(

x  m x − x 2 − (1 − x ) 1 − x

)

1−x
x

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

 x
 1− x

+ 1−x  +
+ x   2 x +2 1−x

 1−x
  x

Vậy m  x + 1 − x .

x + 1 − x trên ( 0;1) ta được f (x )  2  1, 414

Khảo sát hàm số f (x ) =

Vậy có tất cả 2018 giá trị của tham số m thoả mãn.
Câu 10: Cho các số thực x , y thoả mãn bất đẳng thức log 2 2 (2x + 3y )  1 . Giá trị lớn nhất của biểu
4 x + 9y
thức P = x + 3y là:
A.

3
.
2

B.

2 + 10
.
4

C.

5 + 10
.
4

D.

3 + 10
4

Lời giải
Điều kiện: 4x + 9y  1

2

2

Nếu 4x + 9y  1
2

2


1
3
2x  1
Ta có (2x )2 + (3y )2  1  
 x + 3y  + 1  P  . (1)
3y  1
2
2


Nếu 4x + 9y  1
2

2

Ban AD nhóm Pi


Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao.

13



Khi đó log 2 2 (2x + 3y )  1  2x + 3y  4x 2 + 9y 2   2x −
4x +9y



Biểu thức P được viết thành: P = x + 3y =

2

2

1 
1
1
 +  3y −   .
2 
2
2

1
1 
1 3
 2x −  +  3y −  +
2
2 
2 4

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
2
2
2
1 
1
 
1 
1 
1 
1  5
  2x −  +  3y −     + 1   2x −  +  3y −   
2 
2 
2 
2  8
4
 
2 





1
1
1
3 3 + 10
 P =  2x −  +  3y −  + 

2
2 
2 4
4

 

1
1
5 + 10
2  2x −  = 3y −
x
=


8
x
−
6
y
=
1



2
2
20



Dấu " = " xảy ra   
.
4
x
+
12
y
=
3
+
10
3 + 10


y = 5 + 2 10
x + 3y =
30

4

Ban AD nhóm Pi