Bài giảng Phân tích thiết kế và giải thuật - Chương 6: Cây đỏ đen

CÂY ĐỎ ĐEN

1

1


Nội dung
•
•
•
•
•
•

Giới thiệu
Định nghĩa và tính chất cây đỏ đen
Phép quay, cân bằng lại theo kiểu bottom-up
Thêm nút mới, Loại bỏ nút
Tính hiệu quả của cây đỏ đen
Cài đặt

2


Cây tìm kiếm nhị phân
(binary search tree)

• Cây tìm kiếm nhị phân (TKNP) là cây nhị phân mà
khoá tại mỗi nút lớn hơn khoá của tất cả các nút
thuộc cây con bên trái và nhỏ hơn khoá của tất cả

các nút thuộc cây con bên phải.
20

10

5

35

17

15

22

42

37
3


Giới thiệu
• Cây tìm kiếm nhị phân thuận lợi lớn về mặt lưu trữ và truy
xuất dữ liệu trong phép toán tìm kiếm, thêm vào hay loại bỏ
một phần tử.  cây TKNP là một CTDL tốt.
• Hạn chế:
– Nếu dữ liệu được chèn vào theo thứ tự đã đuợc sắp xếp sẽ
không hiệu quả. Khi đó cây nhị phân trở nên không cân
bằng.(Lệch về bên trái hoặc bên phải).
– Khi cây không cân bằng, khả năng tìm kiếm nhanh (hoặc

chèn hoặc xóa) một phần tử đã cho  hạn chế
• Cây không cân bằng:
=> giải quyết: đó là cây đỏ đen, là cây tìm kiếm nhị phân có
thêm một vài đặc điểm.
4


Giới thiệu
Các node được chèn theo thứ tự tăng dần

5


Định nghĩa Cây đỏ đen (red-black trees)
•

Cây đỏ đen là một cây nhị phân tìm kiếm (BST) với
các thuộc tính:
1. Mọi node đều được tô màu đỏ hoặc màu đen.
2. Node gốc và các node lá (NIL) phải luôn luôn đen.
3. Nếu một node là đỏ, những node con của nó phải là
đen.
 Trên mọi đường dẫn từ gốc đến nút lá không có
2 node đỏ liên tiếp
4. Mọi đường dẫn từ gốc đến một lá phải có cùng số
lượng node đen.
6


Định nghĩa cây đỏ đen

• Số lượng node đen trên một đường dẫn từ gốc đến lá
được gọi là chiều cao đen (black height). Ta có thể
phát biểu quy tắc 4 theo một cách khác là mọi
đường dẫn từ gốc đến lá phải có cùng chiều cao
đen.
11
2

14

1

7
5

15
8
7


Mỗi nút là đỏ hoặc đen

8


Nút gốc và các nút lá (NIL) có màu đen

9

Nếu một nút đen, các con của nó có màu đỏ.

10


Phép quay (rotations)
• Để cân bằng cây  tái sắp xếp node về mặt vật lý.
– Nếu tất cả các node nằm bên trái node gốc  di
chuyển một vài node qua bên phải. Điều này làm
được nhờ các phép quay..
• Phép quay là cách tái sắp xếp các nút, chúng được
thiết kế làm các công việc sau:
– Nâng một số node lên và hạ một số khác xuống để
giúp cân bằng cây.
– Bảo đảm những tính chất của cây TKNP không bị
vi phạm.
• Phép quay phải đảm bảo tính chất của cây TKNP.
11


Phép quay
Y
X

X
Y

• Kết quả của 2 phép quay, thứ tự duyệt cây trong phép
duyệt không thay đổi A x B y C
• Nếu làm phép quay phải: node đỉnh phải có node con

trái. Nếu làm phép quay trái, node đỉnh phải có node
con phải.
12


Thêm node mới
• Ý tưởng: Chèn x vào cây và x có màu đỏ. Chỉ có thuộc
tính thứ 3 có thể bị vi phạm. Có thể điều chỉnh cây bằng
cách tô lại màu và quay cho đến khi hết vi phạm.
– Thực hiện việc tìm kiếm bình thường để tìm nút rỗng
nơi phải chèn khóa mới vào
– Thay node rỗng bằng nút lá với khóa mới
– Tô màu đỏ cho nút mới này
– Thêm vào 2 nút con rỗng (NULL - màu đen)
– Nếu nút cha của nút mới có màu đỏ, ta có 2 nút đỏ kề
nhau. Vi phạm tính chất cây đỏ đen  Tổ chức lại cây
13


Thêm nút mới
• Qui trình chèn:
– Gọi X, P, và G để chỉ định nhãn những node liên quan
– X là node vi phạm quy tắc ( X có thể là một node mới
được chèn, hoặc node con khi node cha và node con
xung đột đỏ-đỏ, nghĩa là có cùng màu đỏ).
• X là một node cho trước.
• P là node cha của X.
• G là node ông bà của X (node cha của P).

14

Thêm nút mới
• Qui trình chèn:
– Gọi X, P, và G để chỉ định nhãn những node liên quan
– X là node vi phạm quy tắc ( X có thể là một node mới
được chèn, hoặc node con khi node cha và node con
xung đột đỏ-đỏ, nghĩa là có cùng màu đỏ).
• X là một node cho trước.
• P là node cha của X.
• G là node ông bà của X (node cha của P).
• Trong quá trình thêm vào node mới có thể vi phạm các quy
tắc của cây đỏ đen, chúng ta sẽ thực hiện các thao tác:
– Các phép lật màu trên đường đi xuống.
– Các phép quay khi node đã được chèn.
– Các phép quay trên đường đi xuống.
15


Các phép lật màu trên đường đi xuống

• Phép thêm vào trong cây RB như trên cây TKNP:
đi theo đường dẫn từ node gốc đến vị trí cần chèn.
• Tuy nhiên, trong cây đỏ đen, đến được điểm chèn
là phức tạp bởi các phép lật màu và quay.
• Để bảo đảm không vi phạm các quy tắc màu  tiến
hành các phép lật màu khi cần.
• Qui tắc phép lật màu: Nếu phép thêm vào làm
xuất hiện tình trạng một node đen có hai node con
đỏ, chúng ta đổi các node con thành đen và node

cha thành đỏ (trừ khi node cha là node gốc, nó vẫn
giữ màu là đen).
16


Các phép lật màu trên đường đi xuống

p

x1

p

x2

(a) trước khi lật màu

x1

x2

(b) sau khi lật màu
17


Các phép lật màu trên đường đi xuống
• Như vậy phép lật màu không vi phạm quy tắc 4.
• Quy tắc 3 ( node con và node cha không thể đồng màu đỏ) lại có
khả năng bị vi phạm.
– Nếu node cha của P là đen  không có vấn đề vi phạm khi P

chuyển từ đen sang đỏ,
– Nếu node cha của P là đỏ, thì sau khi đổi màu, ta sẽ có hai
node đỏ trên một hàng
• Giải quyết: cần phải được chuẩn bị trước khi đi xuống theo cây để
chèn nút mới  giải quyết bằng một phép quay.
• Đối với node gốc thì phép lật màu node gốc và hai node con của
nó vẫn làm cho node gốc cũng như hai node con có màu đen. Điều
này tránh sự vi phạm quy tắc 2 và quy tắc 3 (xung đột đỏ-đỏ).
Trong trường hợp này, chiều cao đen trên mỗi đường đi từ node
gốc tăng lên 1, do đó quy tắc 4 cũng không bị vi phạm.
18


Các phép quay khi chèn node

19


Ba khả năng sau khi chèn nút
(1) Khả năng 1: P đen
(2) Khả năng 2: P đỏ và X là cháu ngoại của G
(3) Khả năng 3: P đỏ và X là cháu nội của G
G

G

P

X

G

P

X

P

X
20


Khả năng 1: P đen
P đen là trường hợp đơn giản. Node thêm vào
luôn đỏ. Nếu node cha đen, không có xung khắc
đỏ-đỏ (quy tắc 3), và không có việc cộng thêm
vào số node đen (quy tắc 4). Do vậy, không bị vi
phạm quy tắc về màu. Thao tác chèn đã hoàn tất.
G
P

25

50

75

X 12
21

Khả năng 2: P đỏ và X là cháu ngoại của G
• P đỏ và X là cháu ngoại của G, Ta cần một phép quay
đơn giản và một vài thay đổi về màu.

• X là nút cháu ngoại, chèn node mới X (đỏ)  Xuất hiện
lỗi: cha và con đều đỏ.
• Trong trường hợp này, áp dụng ba bước để phục hồi tính
đỏ-đen và làm cho cân bằng cây:
– Đổi màu node G - node ông bà của node X (node 25).
– Đổi màu node P - node cha của node X (node 12)
– Quay với node G (25) ở vị trí đỉnh, theo hướng làm
nâng node X lên (6). Đây là một phép quay phải.
22


P đỏ và X là cháu ngoại của G – Ví dụ
50
G

25
(3)

P

(1) Đổi

màu

Xoay

G

12
(2)

X

50

75

Đổi màu

25

(1) Đổi

màu

75

P

6

12
(2)

Đổi màu

6
23


P đỏ và X là cháu ngoại của G – Ví dụ
50
G

(3)

P

75

25
Xoay

50

12
X
6

12

X

6

75

P

25 G
24


Khả năng 3: P đỏ và X là cháu nội của G
• Nếu node P đỏ và X là node cháu nội, cần thực hiện
hai phép quay và một vài phép đổi màu.
• X là nút cháu nội, chèn node mới X (đỏ)  Xuất hiện
lỗi: cha và con đều đỏ.
• Hai phép quay:
– Phép quay đầu biến X từ một node cháu nội thành
node cháu ngoại.
– Phép quay thứ 2: phép quay, với node ông bà ở
đỉnh, như đã làm trước đây.
• Chúng ta cũng cần tô màu lại các nút. Ta làm điều này
trước khi làm bất cứ phép quay nào.
25