chuyen de BD HSG lop 9

Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ
------------------------------------------
Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ
I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
Dạng1:
( ) ( )f x g x=

( ) ( ) 0
( ) ( )
x TXD
f x g x
f x g x


=

=

(*)
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)

0 và g(x)

0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2x x m x x + = +
2
2 2
1 2

3 2 0
3 2 2 0
1
1
x
x x
x x m x x
x m
x m


+

+ = +

= +
= +


Để phơng trình có nghiệm thì 1
1 2 0 1m m +

Dạng2:
2
( ) & ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x

=

=

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0f x
VD: Giải phơng trình:
2 2
2 2
1 0
1
1 1 1 1 1
2 2
1 ( 1)
x
x
x x x x x
x
x x
+



= = + =

=
= +

Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
Dạng3:
2
( ) & ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x conghia f x
f x g x h x g x conghia g x
f x g x h x



+ =


+ =

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0h x
VD: Giải phơng trình:
4 1 1 2
1
1 0
1
1 1 2 4 1 2 0
2
1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4
(1 )(1 2 ) 2 1
x x x

x
x
x x x x x
x x x x x
x x x
+ =







+ = +


+ + = +


= +

2
2
1 1
1
1 1
2 2
2
2 1 0 0
0

2 2
2 7 0
7
(1 )(1 2 ) (2 1)
2
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x











+ =
=

+ =
= +



=



Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Các bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
a/
2 3 0x x =
e/
1 1 2x x + =
b/
2
1 1x x+ + =
g/
15 3 6x x + =
c/
3 4 1x x+ =
h/
4 1 3 4 1x x+ + =
d/
10 3 5x x + + =
k/
2

3 2 2x x x + =
Bài2: Giải các phơng trình sau:

2 2
/ 4 1 1 2
/ 3 4 2 1 3
/( 3) 10 12
a x x x
b x x x
c x x x x
+ =
+ + = +
+ =

/ 2 1 1 1
/ 2 1 2 1 2
/ 6 9 6 9 6
d x x x
e x x x x
g x x x x
=
+ + =
+ + =

Bài3: Cho phơng trình:
2
1x x m =
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình
Bài4: Cho phơng trình:

2
2 3x mx x m+ =
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm
Bài5: Giải và biện luận các phơng trình sau:

2
/ 3 2
/ 1 1
a m x x x
b x x a
+ =
+ + =
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban
đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ
Các phép thởng đặt là:
- Nếu bài toán có chứa
( )f x
và f(x) thì đặt t=
( )f x
, t

0. Khi đó f(x)=t
2
- Nếu bài toán có chứa
( )f x
,
( )g x
và

( ). ( )f x g x
=k(hằng số) thì đặt t=
( )f x
,
t

0
- Nếu bài toán chứa
( ) ( ), ( ). ( ), ( ) ( )f x g x f x g x f x g x k + =
thì đặt t=
( ) ( )f x g x
Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ ,
nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ.
Cách tìm ĐK:
- Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t=
2 2
2 5 ( 1) 4 2x x x + = +
- Sử dụng BĐT: VD: t=
3 6x x+ +
+ T
2
=(
3 6x x+ +
)
2


(3+x+6-x)(1+1)=18

t

3
2
+ T
2
=(
3 6x x+ +
)
2
=3+x+6-x+2
(3 )(6 ) 9 3x x t+
VD1: Giải phơng trình:

2 2
2 2
1 31
11 11 42 0
x x
x x
+ + =
+ + + =
Đặt t=
2
11 11x t+
. Khi đó phong trình có dạng:
t
2
+t 42 =0
6
7

t
t
=



=

Vì t
11
nên t=6
2 2 2
11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = =
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5
VD2: Giải phơng trình :
( ) ( )
2 2
2
4
4 4
2 1 3 1 1 0x x x+ + + =
Giải:
Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho
( )
2
4
1 0x
, ta
đợc:
4 4

1 1
2 4 0
1 1
x x
x x
+
+ + =
+
Đặt t=
4 4
1 1 1
0
1 1
x x
x x t
+
=
+
f
, Khi đó phơng trình trở thành:
2t+
2
1 0
1
3 0 2 3 1 0
1
0
2
t
t t

t
t
= <


+ = + + =

= <

(không thoả mãn ĐK)
Vậy phơng trình vô nghiệm.
VD3: Giải phơng trình :
( )
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2m x x x x x + = + +
a) Giải phơng trình với m=1
b) Tìm m để PT có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
3 2 0
1
1 0
x
x
x

Phơng trình viết lại dới dạng:
( ) ( )
2
3 2 1 3 2 1 6m x x x x + = +
Đặt t=
3 2 1 1x x t +
a) x=2
b) m

5
III. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình
với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x
- Phơng pháp này đợc sử dụng đối với những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT
thì các BT còn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đợc thì
công thức biểu diễn lại quá phức tạp.
- Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số
chính phơng
VD: Giải PT:
( )
3 3
4 1 1 2 2 1x x x x + = + +
Giải:
Đặt t=
3 2 3
1, 0 1x t t x+ = +
. Khi đó PT có dạng:
(4x-1)t=2(x
3

+1) + 2x 1

( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2 4 1 2 1 0
4 1 8 2 1 4 3
2 1
4 1 4 3
1
4
2
t x t x
x x x
t x
x x
t
t
+ =
= =
=



=

=

Thay trở lại ẩn x, ta đợc:
( )
2
3
3
3
3
1
2 1 0
2
2
0
1 2 1
3
2
1
4
1
3
4
4
x
x
x
x
x x
x
x
x
x

=




=


+ =

=

=





+ =




=

Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt
IV. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:
- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ. Trong
hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng.
Chẳng hạn với PT :
( ) ( )
m m
a f x b f x c + + =
Đặt
( )
( )
m
m m
m
u a f x

u v a b
v b f x

=

+ = +

= +


. Khi đó ta có hệ PT:
m m
u v a b
u v c

+ = +

+ =

VD: Giải PT:
3
2 1 1x x =
Giải:
Điều kiện : x-1

0
1x
Đặt
3
3 2

2
1
1, 0
u x
u v
v x v

=

+ =

=


. Khi đó ta có hệ:
3 2
1
1
u v
u v

+ =

+ =

Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10
V. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phơng trình với 1 ẩn
phụ và 1 ẳn x

Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2

2
( ) , ,ax b c dx e x d ac e bc

+ = + + + = + = + (*)
Cách giải: Điều kiện ax+b
0

Đặt dy+e=
, 0ax b dy e+ +
. Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y
Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về
dạng thoả mãn ĐK(*)
VD: Giải PT:
2
1 4 5x x x+ = + +
Giải:
Điều kiện: x+1
0 1x

.
PT đợc viết đới dạng:
2
1 ( 1) 1x x+ = + +
ở đậy a=b=c=d=
1; 2; 0e

= = =
. Thoả mãn điều kiện d=ac+

;e bc

= +
Đặt y+2=
1, 2 0 2x y y+ +
. Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ
2 2
2 2
2 ( 2) 1 1 ( 2)
( )( 4) ( )( 5) 0
( 2) 1 1 ( 2)
y x y x
x y x y x y x y x y
y x x y

+ = + + + = +

= + + + + =

+ = + + = +


Do
1; 2x y
nên x+y+5>0
0x y x y = =
Thay x=y vào PT(1), ta có x
2
+3x+3=0: PT vô nghiệm
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3

3
3
( ) , ,b ay c dy e y d ac e bc

+ = + + + = + = +
Cách giải: Đặt dx+e=
3
ay b+
. Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT
VD: Giải PT:
3
3
2 3 3 2x x+ =
Đặt y=
3
3 2x
. Khi đó phơng trình chuyển thành hệ
3
3
2 3
3 2
x y
x y
y x

+ =

=

=


Từ đó tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
2 2
2 2
2 2
2
/ 3 3 3 6 3
/ 2 5 2 2 2 5 6 1
/ 3 2 2 2 6 2 2
/( 5)(2 ) 3 3
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + + =
+ = +

( )
( )
( ) ( )
2
4 4 4
2 2

2
/ ( 1) 2 1 2 2
/ 1 1
/ 2 1 3 1 1 0
n
n n
e x x x x
g x x x x
h x x x
+ = +
+ = +
+ + + =
Bài2: Cho phơng trình:
1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + + + =
a/ Giải phơng trình với m=3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
c/ Tìm m để pt có nghiệm duy nhất
Bài3: Cho phơng trình:
( )
2 2
2 2 2 3 0x x x x m + =
a/ Giải pt với m=9
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài4: Cho phơng trình :
( ) ( ) ( )
1
3 1 4 3
3
x
x x x m

x
+
+ + =

a/ Giải pt với m=-3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
Bài 5: Giải các pt sau:
a/
( )
( ) ( ) ( )
2
1
1 3 2 2 3
2
2
/ 2 2 4 2 3
2
x
x x x x
x
x
b x x x
x

+ + + =

+
+ + =

Bài6: Giải các phơng trình sau:

( )
2 2
2 2
/ 1 2 2
/ 4 2 2 4
a x x x x
b x x x x x
= +
+ = + +

( )
2 2
3 3
/ 1 2 2
/ 4 1 1 2 2 1
c x x x x
d x x x x
=
+ = + +
Bài 7: Giải các phơng trình sau:

( )
3
3
2
/ 9 2 1
/ 2 1 1
/ 1 1 0
a x x

b x x
c x x x x x x
=
=
+ =
Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm:

3 3
/ 1 1a x x a + + =

/ 1 1b x x a + + =
Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau:

/ 4a x x m+ =

2
/ 1b x x m+ =
Bài10: Giải các phơng trình sau: