Phân tích ảnh hưởng số lượng vết nứt thở đến ứng xử động của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

69

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG SỐ LƢỢNG VẾT NỨT THỞ ĐẾN ỨNG XỬ
ĐỘNG CỦA DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ThS. Đỗ Thị Kim Oanh
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung
Tóm tắt: Ảnh hưởng của số lượng vết nứt thở đến ứng xử động của dầmchịu tải
trọng điều hòa được phân tích trong bài báo này. Đặc trưng độ cứng của phần tử
thanh có vết nứt thở biến đổi theo trạng thái của vết nứt và độ cong của trục
thanh tại vị trí vết nứt nên hệ có ứng xử phi tuyến. Phương trình chuyển động của
hệ được thiết lập dựa trên sự cân bằng động, phương pháp phần tử hữu hạn và
giải bằng phương pháp tích phân số Newmark trên toàn miền thời gian.Một
chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích
ảnh hưởng của chiều sâu và số lượng vết nứt đến ứng xử động của khung được
thực hiện.
Từ khoá: Vết nứt thở, Phân tích động, Dầm, Phần tử hữu hạn.

1. Giới thiệu
Kết cấu dầm là dạng kết cấu khá
phổ biến trong lĩnh vực kỹ thuật kết cấu
xây dựng, vì vậy việc phân tích ứng xử
động lực học của kết cấu này được rất
nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước
quan tâm. Dưới tác dụng của tải trọng,
sự nứt dầm là khó tránh khỏi. Sự hiện
diện của nó có thể dẫn đến ảnh hưởng
xấu đến ứng xử và chất lượng kết cấu,
thậm chí có thể dẫn đến nguy hiểm cho
toàn kết cấu.

Mô hình vết nứt mở được giới
thiệu từ khá sớm và được sử dụng khá
phổ biến trong việc nghiên cứu ứng xử
của kết cấu [1, 2],với giả thiết phần tử có
vết nứt là luôn luôn mở trong suốt quá
trình dao động. Điều này làm cho thuận
lợi hơn trong quá trình phân tích nhưng
chưa mô tả hết bản chất là vết nứt ở một
phía của thanh có thể bị đóng lại trong
quá trình dao động do chuyển vị đổi
dấu.Hiện tượng ―thở‖của vết nứt xảy ra
khi hai bề mặtcó thể khép lại nếu chịu
nén và mở ra nếu chịu kéo.

Có một số nghiên cứu đề cập đến
mô hình thở của vết nứt trong thanh như
sau. Năm 2000, Kisa và Bradon [3] đã
giới thiệu mô hình phân tích ứng xử đóng
lại của dầm; bằng cách chia dầm thành hai
phần tại vị trí vết nứt, xác định độ cứng
dầm khi vết nứt mở hoàn toàn và dùng mô
hình tiếp xúc để xác định độ cứng khi vết
nứt đónng lại; hệ có ứng xử phi tuyến tính
được chia thành hai hệ con tuyến tính, liên
kết với nhau bởi một độ cứng gián đoạn
cục bộ. Năm 2001, Chondros và
Dimarogonas [4] đã nghiên cứu dao động
của dầm Euler liên tục tựa đơn, giả thiết là
một hệ tuyến tính từng phần, vết nứt thở
loại song tuyến tính chỉ có hai trạng thái,

hoặc mở hoàn toàn hoặc đóng hoàn
toàn;kết quả cho thấy có sự thay đổi tần số
tự nhiên nếu so với vết nứt mở. Đến năm
2009, Ariaei [5]đã trình bày một phương
pháp phân tích phản ứng động của dầm
Euler-Bernoulli với vết nứt thở chịu tải
trọng di động bằng phương pháp kỹ thuật
phần tử rời rạc và phương pháp phần tử
hữu hạn; đã đưa ra công thức tính toán ma
trận độ cứng cho phần tử dầm có vết nứt


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

thở thay đổi theo thời gian. Năm 2013,
Nguyễn Việt Khoa [6] đã phát triển đề tài
phân tích ảnh hưởng của vết nứt thở lên
kết cấu cầu chịu tải di động; đã so sánh
ảnh hưởng giữa hai trường hợp vết nứt mở
và vết nứt thở để mô tả một phương pháp
phát hiện vị trí vết nứt thở trên dầm.Qua
các trích dẫn trên, có thể nhận thấy rằng
việc phân tích ứng xử động của kết cấu
dưới ảnh hưởng của vết nứt thở được quan
tâm nhiều bằng các mô hình vật lý khác
nhau và các phương pháp giải khác nhau;
có ý nghĩa cả về lý thuyết và thực tiễn.
Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu thường
chỉ dừng lại cấu kiện dầm;kết quả phân
tích chỉ là tần số tự nhiên và kết cấu có xét

đến tải trọng động còn ít.
Tiếp nối sự quan tâm đến ứng xử
của kết cấu có vết nứt thở, bài báo này
xét ảnh hưởng của số lượng vết nứt thở

 Ac 2 + Bs 2  A - B  cs


2
2
As + Bc


E
 K' e = 
L




 sym

B 

12 I
2
L

trên đến ứng xử động của dầm. Ma trận
độ cứng của phần tử khung có vết nứt

thở phụ thuộc vào độ cong của phần tử
tại vị trí vết nứt tùy từng thời điểm trong
quá trình dao động. Vì vậy độ cứng của
dầm sẽ thay đổi trong suốt quá trình
chuyển động dẫn đến ứng xử động lực
học là phi tuyến tính.
2. Cơ sở lý thuyết

2.1. Phần tử thanh phẳng không có
vết nứt
Phần tử thanh điển hình được
trình bày như hình 1, hệ trục tọa độ
địa phương là x-y và hệ trục tọa độ
tổng thể là x ’-y’. Ma trận độ cứng
phần tử trong hệ tọa độ tổng thể từ
các tài liệu về phần tử hữu hạn thiết
lập như sau.



L
2
2
-B s - Ac + Bs
2
L
B c -  A - B  cs
2
L
4I

B s
2
2
2
Ac + Bs

trong đó các cosin chỉ phương l và m
( l  cos , m  sin ); với α là góc hợp bởi
giữa trục của phần tử với phương
nằm ngang và có chiều dương theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ, ký
hiệu

70

, A là diện tích mặt cắt



-  A - B  cs



2
2
- As + Bc
L
-B c
2

 A - B  cs
2
2
As + Bc



L 
-B s
2 
L 
B c
2 



L 
B s
2 
L
-B s 
2 
4 I 
2I

(1)

ngang của phần tử, I là mômen quán
tính của mặt cắt ngang phần tử. Kích
thước ma trận này là 6  6 tương ứng

với các bậc tự do là:
q'Te = q'1 q'2 q'3 q'4 q'5 q'6 
(2)


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

71

y
Mi+1
h

a

Mi
Ni

Pi+1

Pi

Hình 1: Phần tử thanh phẳng
Ma trận khối lượng tương thích của
phần tử thanh trong hệ tọa độ địa
phương và tổng thể lần lượt thể hiện
như sau.

140
0

 AL 0
M e   70
420 
0
 0

0

0

70

0

156

0

54

22 L

22 L
2
4L

0

13 L

0

0

140

0

54

13 L
2
3 L

0

156

0

22 L

13 L




0
22 L 
2

4L 

0

13 L
2
3 L

M'e  Te Me Te
T

m

0

0

0

(3)

l

0

0

0

0

1

0

0

0

0

l

m

0

0

-m

l

0

0

0

0

0

(5)

Phần tử thanh có vết nứt mở
Ma trận độ cứng cho phần tử có
vết nứt mở được xác địnhdựa trên cơ
sở cơ học rạn nứt như sau [3]:
e
1 T
K c  TC T

Hình 2: Phần tử dầm hai điểm nút có
vết nứt
1
T  0
0

0

0

1

0

1

 le

0

1

0

0

1

0


0
1

T

0

(7)

C là ma trận độ mềm của phần tử
thanh có vết nứt mở, là tổng số hạng
của ma trận độ mềm của phần tử
không nứt c và ma trận độ mềm cục
ij

bộ thêm

(1)

cij

vào do vết nứt gây ra,

được xác định như sau:
(4)


0
0     0

0 
0  

0

1

x

(0)

Với ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
được cho bởi:

l
- m

0
T e = 
0
0
 0

Ni+1

(6)

vớiT được xác định từ điều kiện cân
bằng thể hiện ở Hình 2, thay đổi
mômen, lực cắt và lực dọc từ nút này
sang nút khác.

W
2

cij 

(0)

; i , j  1, 2, 3, P1  F , P2  Q, P3  M

(8)

2 1
(1)  W
cij 
; i , j  1, .., 3, P1  F , P2  Q , P3  M

Pi Pj

(9)

(0)

Pi Pj

trong đó: Pj là lực gây ra chuyển vị,
Pilà lực theo hướng chuyển vị; F, Q
và M lần lượt là lực dọc, lực cắt và
mômen uốn tại nút phải của phần
tử.Với W(1) là năng lượng biến dạng
thêm vào do vết nứt được cho bởi:
a

W

(1)

 b
0

 K ( F )  K (M ) 
E
1

I

*

2

I



 K II (Q) da
2

(10)

và W(0)là năng lượng biến dạng của
một phần tử không nứt:
 N 2  M  Qz 2 
  2 EA  2 EI dz
0 

le

W

(0)



=

1 

Q le 
2

3

(11)
2

N le

 M le  MQle  3   2 EA


2 EI 

trong đó:

2

2


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015
K I (F) 

F

FIF 

IF

bh

K II (Q ) 

 a  ; K (M )  6M
 
h
hb

 aF

Q

I

 aF

II

bh

2

tử còn nguyên vẹn, d” là độ cong

 a ;

h

 aF 
I

(12)

a
 
h

  a  0.752  2.02(a / h)  0.37(1  sin  a / 2h)
tan  
 a  2h 
cos( a / 2h)
2h

72

3

"

tức thời của dầm tại vị trí nứt và dmax
là độ cong lớn nhất của dầm tại vị trí
nứt trong quá trình dao động. Trong
công thức (14), nhận thấy rằng khi
"

FI 

2h

a

  a  0.923  0.199(1  sin  a / 2h)

 2h 
cos( a / 2h)

tan 

(13)

 a a  1.122  0.561(a / h)  0.085(a / h)  0.180(a / h) 
F  3  2 
1 a / h
 h h
*
với E =E trong trường hợp ứng suất
phẳng, E*=E/(1-υ2)cho biến dạng
phẳng, (a/h) là độ sâu tương đối của
các vết nứt, h là chiều cao của dầm, a
là chiều sâu của vết nứt. Mode I do
mômen uốn M và lực dọc F, Mode II
nhận từ lực cắt Q.
Phần tử thanh có vết nứt thở
Khi vết nứt thở hiện diện trong
kết cấu, có một bằng chứng thực
nghiệm rằng các vết nứt mở và đóng
dần từ từ dẫn đến một sự thay đổi từ
từ trong độ cứng tại mặt cắt ngang

của cấu kiện trong quá trình dao
động. Ariaei [5] đã đề xuất một
phương pháp để xây dựng ma trận
độ cứng của phần tử có vết nứt thở
sử dụng độ cong của dầm tại vị trí
vết nứt, độ cứng tại vị trí vết nứt
phụ thuộc vào độ cong của thanh tại
vị trí nứt và diễn tả bởi một hàm liên
tục theo thời gian dưới dạng sau:
2

II

2

3

2

Kb = Ke +

"

d = -d max

4


1
d" 

 K cr - K e  1+ " 
2
d max 


(14)
trong đó: Kb là ma trận độ cứng của
phần tử có vết nứt thở, Kcr là ma
trận độ cứng của phần tử có vết nứt
mở, Ke là ma trận độ cứng của phần

thì độ cứng Kb là lớn nhất và

bằng Ke, khi d = d thì độ cứng Kb
là nhỏ nhất và bằng với Kcr.Tỷ số độ
"

"

max

dc 

d"
d"max

cong
phụ thuộc vào chuyển
vị tại vị trí nứt tùy vào từng thời
điểm t. Vì thế K cũng là một hàm

phụ thuộc vào chuyển vị tại vị trí
nứt biến thiên theo t trong suốt quá
trình chuyển động của thanh. Trong
quá trình dao động, chuyển vị tại vị
b

trí nứt liên tục thay đổi, do đó K b
biến thiên liên tục.
Độ cứng của dầm có vết nứt thở
thay đổi dẫn đến sự thay đổi tần số
dao động tự nhiên trong sự dao động.
Qua công thức này, nhận thấy rằng độ
cứng của dầm có vết nứt thở luôn lớn
hơn hoặc bằng độ cứng dầm có vết
nứt mở và nhỏ hơn độ cứng dầm
nguyên. Bản chất của ứng xử vết nứt
thở là độ cứng thay đổi và tùy thuộc
vào độ cong tức thời của thanh do vậy
độ cứng này cũng phụ thuộc vào
chuyển vị tại thời điểm đó của hệ nên
ứng xử này có tính chất phi
tuyến.Phương trình chuyển động của
cả hệ được thiết lập và giải bằng
phương pháp tích phân số Newmark
trên toàn miền thời gian dựa vào
chương trình máy tính được viết bằng
ngôn ngữ lập trình MATLAB.


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

73

Trong ví dụ số kiểm chứng đầu
Kết quả số
tiên là khảo sát dao động tự nhiên của
3.1. Kiểm chứng chƣơng trình tính
Bài báo tiến hành khảo sát một
một dầm tựa đơn có một vết nứt thở
số ví dụ số nhằm kiểm tra độ chính
tại giữa nhịp, bài toán này đã được
xác của chương trình máy tính đã
giải trong tài liệu [4] và dầm console
viết. Các kết quả từ chương trình này
có một vết nứt thở trong tài liệu
được so sánh với các kết quả được
[8].Kết quả về tỷ số tần số tự nhiên
trích dẫn trong các tài liệu khi có dữ
được khảo sát và thể hiện trongBảng
liệu đầu vào giống nhau.
1, 2 và Hình 3.
Bảng 1. Tỷ số tần số tự nhiên của dầm tựa đơn một vết nứt thở
a/h
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

Bài báo này
Nứt
Nứt
mở
thở
1.0000 1.0000
0.9710 0.9878
0.9042 0.9708
0.8247 0.9612
0.7513 0.9574
0.6968 0.9566

Chondros [4]
Nứt
Nứt
mở
thở
1.0000 1.0000
0.9865 0.9932
0.9501 0.9744
0.8936 0.9438
0.8182 0.9000
0.7240 0.8399

Sai số (%)
Nứt
Nứt mở
thở
0.00%
-1.60%

-4.80%
-7.70%
-8.20%
-3.80%

0.00%
-0.60%
-0.40%
1.80%
6.00%
12.20%

Hình 3. Tỷ số tần số tự nhiên của dầm tựa
đơn một vết nứt thở
Bảng 2. Tỷ số tần số thứ nhất của dầm console một vết nứt thở
Bài báo này
a/h Nứt
Nứt
mở
thở
0
1.0000 1.0000
0.1 0.9942 0.9971
0.2 0.9767 0.9913

Doukaa [8]
Nứt
Nứt
mở
thở

1.0000 1.0000
0.9897 0.9948
0.9617 0.9805

Sai số (%)
Nứt
Nứt
mở
thở
0.00% 0.00%
0.45% 0.23%
1.56% 1.10%


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

74

0.3 0.9491 0.9840 0.9166 0.9565 3.55% 2.88%
0.4 0.9068 0.9782 0.8536 0.9210 6.23% 6.21%
0.5 0.8457 0.9738 0.7704 0.8703 9.77% 11.89%
Từ các kết quả số kiểm chứng
trên cho thấy rằng các kết quả từ
chương trình máy tính trong bài báo
có độ chính xác nhất định, các sai số
khá nhỏ khi chiều sâu vết nứt vừa
phải và sai số lớn hơn khi chiều sâu
vết nứt tăng lên được giải thích là mô
hình của tất cả các lời giải chưa thật
sự chính xác. Bài báo dùng chương

trình máy tính đã viết để khảo sát số
tiếp theo.
3.2. Ứng xử động của dầm

Trong khảo sát đầu tiên, bài báo
khảo sát chuyển vị đứng dầm có
nhiều vết nứt thở chịu tải trọng động
với số liệu đầu vào dựa trên các số
liệu dầm có vết nứt thở từ [6] nhưng
khác số lượng vết nứt. Các số liệu
E=2.1x1011 N/m2, b=0.5m, h=1.0m,
ρ=7855kg/m3,
P=200000sin(1.41πt)N. Kết quả
chuyển vị đứng tại giữa dầm được
xem xét, thể hiện qua Hình 4, Hình 5,
Hình 6.

Hình 4. Chuyển vị tại giữa dầm tựa đơn
vết nứt thở

Hình 5. Chuyển vị tại giữa dầm tựa có
đơn có hai vết nứt thở

Hình 6. Chuyển vị tại giữa dầm tựa đơn có ba vết nứt thở

Nhận thấy rằng khi độ sâu vết
nứt tăng thì chuyển vị tăng lên, điều
này đã xác nhận về định tính của các
nghiên cứu trước; với số lượng vết

nứt có một hoặc hai thì chuyển vị tại
chính giữa dầm thì chênh lệch không
nhiều như hình 4 và 5; Tuy nhiên nếu
dầm có nhiều vết nứt hơn thì chuyển


Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015

vị tăng khá nhiều và sự khác biệt
càng rõ hơn khi hệ dao động sau thời
gian dài.
Qua các kết quả khảo sát thu
đƣợc, nhận thấy rằng tần số dao
động tự nhiên trong trƣờng hợp vết
nứt thở nhỏ hơn trƣờng hợp không
nứt nhƣng lại lớn hơn trƣờng hợp
có vết nứt mở. Chuyển vị của hệ
càng tăng khi số lƣợng vết nứt và
chiều sâu tăng.
4. Kết luận
Bài báo này đã phân tích ảnh
hưởng của số lượng và độ sâu của vết
nứt thở đến ứng xử động lực học của
kết cấu dầm có nhiều vết nứt thở trên

75

mỗi phần tử thanh chịu tác dụng của
tải trọng điều hòa bằng phương pháp
phần tử hữu hạn. Mô hình vết nứt thở

tạo ra ứng xử phi tuyến do độ cong
của thanh ngay tại vị trí vết nứt được
xem xét. Một chương trình máy tính
đã được viết để giải quyết bài toán
này. Kết quả số đã được thực hiện
cho thấy sự ảnh hưởng khá nhạy của
số lượng và chiều sâu vết nứt thở đến
ứng xử động của dầm và định lượng
sơ lược này cũng được cung cấp
trong cấp trong bài báo này. Nhận
định này có thể có ý nghĩa cho việc
chẩn đoán kết cấu mà hiện nay đang
quan tâm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] S. Christides and A. D. S. Barr, "One demensional theory of cracked Bernoulli Euler beams" International Journal of Mechanical Sceince, vol. 26, pp. 639-648, 1984.
[2] M. I. Friswell and J. E. T. Penny, "Crack Modeling for Structural Health
Monitoring" Structural Health Monitoring, vol. 1, no. 2, pp. 139-148, 2002.
[3] M. Kisa and J. Brandon, "The effects of closure of crack on the dynamics of a cracked
cantilever beam" Journal of Sound and Vibration, vol. 238, no. 1, pp. 1-18, 2000.
[4] T. G. Chondros, A. D. Dimorogonas and J. Yao, "Vibration of a beam with a
breathing crack" Journal of Sound and Vibration, vol. 239, no. 1, pp. 57-67, 2001.
[5] A. Ariaei, S. Ziaei-Rad and M. Ghayour, "Vibration analysis of beams with open
and breathing cracks subjected to moving masses" Journal of Sound and Vibration,
vol. 326, pp. 709-724, 2009.
[6] K. V. Nguyen, "Comparison studies of open and breathing crack detections of a
bem – like bridge subjected to a moving vehicle" Engineering Structures, vol. 51, pp.
306-314, 2013.
[7] E. E. Gdoutos, Fracture Mechanics - An Introduction, The Netherlands: Springer, 2005.
[8] E. Doukaa and L. J. Hadjileontiadis, "Time–frequency analysis of the free

vibration response of a beam with a breathing crack" NDT&E International, vol. 38,
pp. 3-10, 2005.
[9] S. Mogal, D. Behera and S. Pawar, "Vibration analysis of cracked beam" International
Journal of Advanced Engineering Technology, vol. 3, no. 1, pp. 371-377, 2012.