Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua đạo hàm Studniarski

−intD,
tn

Hệ quả 3.2 Cho x ∈ S và B là cơ sở đóng, bị chặn
của C. Giả sử các đạo hàm Studniarski dS Fx (x; v) và
dS g(x; v) tồn tại theo mọi phương v ∈ X. Khi đó, nếu
x là một nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của (CVEP)
thì ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn tại
(ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ sao cho
ξ ∈ intC + , η ∈ K +

nên tồn tại N4 > 0 sao cho ∀ n ≥ N4 ,

ξ, dS Fx (x; v) + η, dS g(x; v) ≥ 0.

Fx (x + tn vn ) − Fx (x) ∈ −intD hay
Fx (x + tn vn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N4 .

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.1 ta nhận được kết
quả.

Chọn N = max{N3 , N4 }, và từ (3.9) suy ra
x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N,

(3.10)

Fx (x + tn vn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N.

(3.11)

Kết hợp (3.10)-(3.11) mâu thuẫn với điều kiện (3.4).

Do đó với mọi v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK
ta có
{dS Fx (x; v)} ∩ (−intD) = ∅.

; Email:

Đầu tiên chúng ta chọn d = 0 ∈ K, ξ ∈ D+ \ {0} =
[cone(U+B)]+ \ {0} và sau đó chọn c = 0, η ∈ K + .
Chú ý ξ = 0 là do giả thiết dS g(x; v) ∈ −intK suy ra
điều phải chứng minh.
Trong trường hợp nón C có cơ sở đóng và bị chặn B,
ta có

x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ max{N1 , N2 }.

x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N3 .

ξ, c + η, d ≥ 0 ∀ c ∈ D, d ∈ K.

Tiếp theo chúng ta áp dụng kết quả thu được cho bài
toán (CVVI).
Định lí 3.3 Cho x ∈ S và B là cơ sở của nón C.
Giả sử T : X → L(X, Y ) là ánh xạ giá trị vectơ và
dS g(x; v) tồn tại theo mọi phương v ∈ X. Nếu x là
nghiệm hữu hiệu Henig địa phương (t.ứ. siêu hữu hiệu
địa phương nếu thêm B đóng và bị chặn) của (CVVI)

551

Đinh Diệu Hằng và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN

thì ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn tại
(ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ sao cho
ξ ∈ C ∆ (B) (t.ứ. ξ ∈ int C + ), η ∈ K + ,
ξ, T x, v

+ η, dS g(x; v) ≥ 0.

Chứng minh. Áp dụng Định lí 3.1 và Hệ quả 3.2 với
chú rằng dS Fx (x; v) = T x, v , ta nhận được kết quả
cần chứng minh.
Chú ý 3.4 Phát biểu trong Định lí 3.1, 3.3 và Hệ quả
3.2 vẫn còn đúng nếu ta thay nón tiếp liên TA (x) bởi
∼

các nón tiếp liên phần trong ITA (x) và T A (x) tương
ứng.

4

KẾT LUẬN

Bài báo đã xây dựng được điều kiện cần cho nghiệm
hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu địa phương của bài
toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức
tổng quát theo ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trong
không gian Banach. Kết quả nhận được là mới và chưa

được nghiên cứu trước đây và thêm nữa, chúng được
áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng
buộc.

Tài liệu
[1] M. Bianchi, N. Hadjisavvas, and S. Schaible,
"Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions", J. Optim.Theory
Appl., 92, pp.527-542, 1997.
[2] Y. Feng, and Q. Qiu, "Optimality conditions
for vector equilibrium problems with constraints in Banach spaces", Optim. Lett., 8,
pp.1931-1944, 2004.

5

225(06): 548 - 552

[3] X. H. Gong , "Optimality conditions for vector equilibrium problems", J. Math. Anal.
Appl., 342, pp.1455-1466, 2008.
[4] X. H. Gong, "Scalarization and optimality
conditions for vector equilibrium problems",
Nonlinear Analysis, 73, pp.3598-3612, 2010.
[5] X. J. Long, Y. Q. Huang, and Z. Y. Peng,
"Optimality conditions for the Henig efficient
solution of vector equilibrium problems with
constraints", Optim. Letter, 5, pp.717-728,
2011.
[6] V. L. Do, and D. H. Dinh, "On efficiency
conditions for nonsmooth vector equilibrium
problems with equlibrium constraints", Numer. Funct. Anal. Optim., 36, pp.1622-1642,
2015.

[7] D. H. Dinh, and V. S. Tran, "On optimality conditions for Henig efficient solution
and supperefficient solution of contrained vector equilibrium problems", TNU Journal of
Science and Technology, 181(5), pp.237-242,
2018.
[8] M. Studniaski, "Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth
functions", SIAM J. cont/optim., 24, pp.10441049, 1986.
[9] V. L. Do, "Higher-order necessary and sufficient conditions for strict local Pareto minima
in terms of Studniarski’s derivatives", Optimization, 57, pp.593-605, 2008.
[10] G. Giorgi, and A. Guerraggio, "On the notion of tangent cone in mathematical programming", Optim., 25, pp.11-23, 1992.
[11] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton
University Press, Princeton, 1970.

Lời cảm ơn

Bài báo này là sản phẩm của Đề tài với mã số T2019-07-01.

552

; Email: