Khảo sát mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng sơ đồ vòng lặp

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK

KHẢO SÁT MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO BẰNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP
Mai Thị Đắc Khuê, Phạm Thị Mai
(SV năm 3, Khoa Vật lý)
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa
1. Lời mở đầu
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, trong đó
có bài toán nguyên tử Hydro, một bài toán rất quan trọng của vật lí lượng tử. Tuy
nhiên, lời giải chính xác này khá phức tạp. Thêm vào đó, bài toán nguyên tử
Hydro đặt trong trường ngoài (điện trường hoặc từ trường), nếu trường ngoài rất
yếu hoặc rất mạnh thì có thể giải gần đúng bằng lí thuyết nhiễu loạn. Nhưng nếu
trường ngoài trung bình, bài toán chưa có lời giải.
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý
thông qua các toán tử sinh và hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp
toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro không những bước đầu cho kết quả đáng
tin cậy, mà còn cho lời giải ứng với bất kì giá trị nào của trường ngoài, nếu kết
hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử Hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn là một cách làm quen thuộc và phổ biến,
phương pháp này dẫn đến kết luận: Chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn
tính được giá trị năng lượng gần đúng hơn, chúng ta có thể điều chỉnh thông số
biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc tính thêm các bổ chính bậc cao hơn
cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính
bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng
lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn và bằng tính số trên máy tính, mà
không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số
biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi

vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để
được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp tục, cho tới khi giá trị
sau sai khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần
tìm.

128


Năm học 2009– 2010

Đề tài này có mục tiêu: khảo sát năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro
theo sơ đồ vòng lặp bằng phương pháp toán tử và tính bằng số dựa trên ngôn ngữ
lập trình Fortran 9.0.
Để kiểm chứng tính hiệu quả của phương pháp lặp, nội dung bài báo cáo
này chủ yếu khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: Lý thuyết nhiễu loạn
và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản
của nguyên tử Hydro.
2. Giá trị chính xác của năng lượng cơ bản nguyên tử Hydro
Trong hệ đơn vị nguyên tử m  e4  h2  1 : E0=-0.5.
3. Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử
Hydro khi chưa có bổ chính
µ0 000  000 1
µ 1 000  Z
E0(0)  000 H
 2N

4   x, y, z









0

000 Sˆx0 Sˆy0 Sˆz0 000
t

1
2

dt

1/2

 (1 2 )


 x, y,z

3
4

Ta thu được giá trị của E0(0) là: E0(0)   

2 



Ở đây, không xét đến phương pháp biến phân, nên chọn thông số biến phân
  1 , khi đó: E 0  0.37837915139550750

4. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro theo sơ đồ lí
thuyết nhiễu loạn
4.1. Tính bổ chính bậc 1
Do thế nhiễu Vˆ không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma trận
trên đường chéo chính của Vˆ bằng 0.
 E 0(1)  000 Vˆ 000  0

4.2. Tính bổ chính bậc 2
Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 2

(2)
0

E





kx , ky ,
kz  0

000 Vˆ k x k y kz

2

(0)
E000
 Ek(0)k k

x y z

Gọi k=kx +ky +kz, xây dựng chương trình tính bổ chính bậc 2 ứng các bậc
khác nhau của k bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, thu được bảng kết quả sau

129


Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK

Bảng 1. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với
k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp
(2)
Tổng k E 0
E 0  E 0(0)   E0( 2)
2
4
6
8
10
12
14
16

-0.01646522499468143

-0.05330141176090913
-0.06867349187502052
-0.07676451443274628
-0.08162797059819778
-0.08481723626391037
-0.08659776166821651
-0.08762909472494362

-0.39484437639018893
-0.43168056315641663
-0.44705264327052802
-0.45514366582825378
-0.46000712199370528
-0.46319648765941787
-0.46497691306372401
-0.46600824612045112

Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng tiến
về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn. Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm. Nguyên nhân
là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai. Để thu được kết quả tốt hơn, ta tiếp tục
tính đến bổ chính bậc cao hơn.
4.3. Tính bổ chính bậc 3,4
Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 3,4
ˆ mmmmm |V|k
ˆ k k k k k |V|000
ˆ 
  000|V|m
x y z
x y z
x y z

x y z
E0(3)  
(0)
(0)
(0)
(E000
Emm
)(E000
Ek(0)xkykz )
m 0 k 0
x ymz
ˆ jx jy jz jx jy jz |V|m
ˆ xmm
ˆ
ˆ
   000|V|
y zmmm
x y z |V|kxkykz kxkykz |V|000
E0(4)  
(E0(2))2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(E000
E(0)
)
(
E


E
)(
E

E
)
j 0 m 0 k 0
jx jy jz
000
mm
000
kxkykz
x ymz

Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4 bằng
ngôn ngữ lập trình Fortran, ta thu được kết quả:
Bổ chính bậc 2
-0.05330141214290737
Bổ chính bậc 3
-0.02344822671992949
Bổ chính bậc 4
-0.01168803841828004
Năng lượng bổ chính
-0.46681682829462616
Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3 ứng với bậc k=6 bằng
ngôn ngữ lập trình Fortran, ta thu được kết quả:
Bổ chính bậc 2
-0.06867349187502052
Bổ chính bậc 3

-0.00182794752297573
Năng lượng bổ chính
-0.44888059079350375
Nhận xét:
Khi ngắt chuỗi đến một bậc k nào đó, năng lượng bổ chính thu được là gần
đúng. Nếu tính đến bổ chính bậc càng cao thì kết quả thu được càng tiến về một
130


Năm học 2009– 2010

giá trị tốt hơn. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ rất chậm. Nguyên nhân là bởi vì giá trị
các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Với kết quả thu được ở trên, chúng tôi đặt ra mục tiêu tìm ra một phương
pháp cho kết quả năng lượng bổ chính tương ứng tại một bậc k nào đó tốt nhất
và với tốc độ nhanh nhất.

5. Bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro theo sơ đồ vòng lặp
5.1. Sơ đồ vòng lặp


En  H nn   Vnn  



CkVnk ,

k  0, k  n



( En  H jj )C j   V jn    Ck V jk ,  j  n 
k 0
k n

với ký hiệu các yếu tố ma trận:

H kk    k * ( x) Hˆ 0  k ( x)dx


V jk    j * ( x) Vˆ  k ( x) dx





Nhập E0

3
2
E0= 
4



( E0  H jj )C j  V j 0   CkV jk
k 0
k 0

Cj



E0  H 00   CkV0 k
k 0

Sai số

E0

Hình 1. Sơ đồ vòng lặp
131


Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK

5.2. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với k =
4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp
Xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử
Hydro ứng với k=4, k=6 theo sơ đồ vòng lặp bằng ngôn ngữ lập trình Fortran,
với sai số 10-9 , ta thu được bảng giá trị:
Bảng 2. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với
k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp
k=4
n
Delta E
E
-0.09882629464362785
-0.47720546076987910
0

-0.09005402393450034 -0.46843319006075160
1
2
-0.09076437559362446 -0.46914354171987570
-0.09070641062877764 -0.46908557675502890
3
-0.09071112976056416 -0.46909029588681540
4
-0.09071074825738174 -0.46908991438363300
5
-0.09071076875766340 -0.46908993488391460
6
-0.09071076875766340 -0.46908993488391460
7

k=6
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Delta E
-0.10151805176457380
-0.09090099819765718

-0.09187724579715541
-0.09178632601312876
-0.09179479855295016
-0.09179399747148706
-0.09179407414825140
-0.09179407226355152
-0.09179407226355152

E
-0.47989721789082500
-0.46928016432390840
-0.47025641192340660
-0.47016549213938000
-0.47017396467920140
-0.47017316359773830
-0.47017324027450260
-0.47017323838980270
-0.47017323838980270

Nhận xét:
Giá trị bổ chính năng lượng cơ bản hội tụ về một giá trị. Tốc độ hội tụ phụ
thuộc vào việc lấy tổng chỉ số k.
Bổ chính năng lượng cơ bản ứng với k=4 và k=6 tính theo sơ đồ vòng lặp
hội tụ về một giá trị nhanh hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn.
Tiếp tục phát triển chương trình tính bổ chính năng lượng đến bậc k=8, sai
số 10 , ta thu được bảng kết quả:
-8

132

Năm học 2009– 2010

Bảng 3: Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hidro ứng với
k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp
k=8
n Delta E
E
-0.50201782583259920
0 -0.12363865970634800
-0.48399369406214800
1 -0.10561452793589680
-0.48619719891679590
2 -0.10781803279054470
-0.48592137063754520
3 -0.10754220451129390
-0.48595579600484800
4 -0.10757662987859680
-0.48595149823893870
5 -0.10757233211268750
-0.48595203403986840
6 -0.10757286791361710
-0.48595197078522970
7 -0.10757280465897840
8 -0.10757281210069560
-0.48595197822694690
Nhận xét:
Chỉ với tổng chỉ số k=8, sau 8 vòng lặp, thu được giá trị bổ chính hội tụ về 0.48595197822694690, khá gần kết quả chính xác. Kết quả này đạt được nhanh
hơn nhiều so với tính theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn
6. Kết luận và hướng phát triển của đề tài

Tính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro bằng phương pháp toán tử
theo sơ đồ vòng lặp cho kết quả tốt hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn. Kết luận
này có ý nghĩa vật lí cao, bởi quá trình lặp được máy tính thực hiện, khi áp dụng
vào những bài toán lớn hơn sẽ giảm nhẹ công việc tính toán hơn rất nhiều.
Trong báo cáo nghiên cứu này, khi xây dựng chương trình tính tổng quát,
nhóm tác giả mắc phải một lỗi lập trình nào đó nên có một số số hạng của toán tử
V không cho kết quả. Do đó, chỉ dừng lại khảo sát vòng lặp ở bậc k=8. Thêm vào
đó, do còn hạn chế về kiến thức lập trình, nên code của chương trình còn khá dài.
Hướng phát triển của đề tài này là cố gắng tháo gỡ lỗi lập trình để xây dựng
một chương trình tính theo sơ đồ vòng lặp tổng quát hơn, nâng bậc k lên cao hơn,
khi đó giá trị năng lượng cơ bản hội tụ thu được chắc chắn tiến đến gần giá trị
chính xác với sai số nhỏ.

133


Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, trang
172-227, 312-327.
[2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán và lập trình và giảng dạy toán học
trên Maple, NXB Hà Nội.
[3] Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý (2007), Vật lý nguyên tử và hạt nhân,
NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
[4] Võ Văn Hoàng, Ngôn ngữ lập trình Fortran, NXB Giáo Dục.
[5] Đặng Quang Khang, (1996), Cơ học lượng tử, NXB Khoa học và Kĩ
thuật, trang 210-226, 227-235, 262-268.
[6] Phan Văn Tân, Ngôn ngữ lập trình Fortran 90, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội.

[7] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương pháp tính, NXB Giáo dục, trang 1530, 91-98.
[8] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình
Schrodinger cho Exiton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất
kì, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí
Minh.
[9] Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên
tử Hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử, Khóa luận tốt
nghiệp, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.
[10] Nguyễn Đức Thanh Tuyền (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên
tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử, Khóa luận tốt
nghiệp, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.

134