Đối xứng động lực SO(10,2) trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH

ĐỐI XỨNG ĐỘNG LỰC SO(10,2)
TRONG BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU
Trương Trang Cát Tường
(SV năm 4, Khoa Vật lý)
GVHD: PGS-TSKH Lê Văn Hoàng
1. Mở đầu
Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được nghiên cứu từ rất lâu [1], [2], [3]; nhóm đối
xứng động lực của nó được tìm ra là SO(4,2), cũng chính là nhóm đối xứng động lực
của bài toán Coulomb 3 chiều [2]. Như ta biết, bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán
Coulomb với sự có mặt của đơn cực từ Dirac. Việc giữa hai bài toán có chung nhóm
đối xứng động lực SO(4,2) cho ta thấy sự xuất hiện của đơn cực từ không phá vỡ tính
đối xứng của bài toán Coulomb 3 chiều. Điều này tương đối thú vị và vì vậy khi mở
rộng bài toán MICZ-Kepler cho không gian nhiều chiều [4], [5], [7], [8], [10], một việc
quan trọng là xét tính đối xứng của bài toán. Do việc xây dựng nhóm đối xứng động
lực không phải là việc dễ dàng, ta thấy chỉ có thêm một trường hợp bài toán MICZKepler 5 chiều là được xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(6,2) [4], [7], [8]. Với
trường hợp 5 chiều này thì bài toán MICZ-Kepler có mối quan hệ trực tiếp với dao
động tử điều hòa 8 chiều. Chính dựa vào mối quan hệ này mà nhóm đối xứng động lực
cho bài toán đã được xây dựng.
Trong các công trình [5], [6], các tác giả đã xây dựng bài toán MICZ-Kepler 9
chiều như là bài toán Coulomb 9 chiều mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ SO(8).
Sau khi sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán trên trở thành bài toán dao
động tử điều hòa đẳng hướng trong không gian 16 chiều. Điều này gợi ý cho ta về việc
xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian 9 chiều tương tự như
trường hợp 5 chiều và 3 chiều. Trong công trình này, chúng tôi sẽ chỉ ra đó chính là
nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh của nhóm này.
2. Bài toán MICZ-Kepler 9 chiều
Phương trình Hamilton của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [6] có thể viết như sau:
1
Z⎫

⎧1
⎨ πˆ λ πˆ λ + 2 Qˆ jk Qˆ jk − ⎬ Ψ (r ) = E Ψ (r )
r⎭
8r
⎩2

(1)

trong đó Z là điện tích hạt nhân trong tương tác Coulomb; E là năng lượng của
hệ; hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng m = e = = = 1 . Trong phương trình (1), toán tử
xung lượng được định nghĩa:

πˆ j = −i

242

∂
− Ak (r) Qˆ kj ,
∂x j

πˆ9 = −i

∂
∂x9

(2)


Năm học 2010 – 2011

với Qˆ jk ( j , k = 1, 2,...,8) là các vi tử của đại số SO(8), thỏa mãn các hệ thức giao
hoán:

(

⎡Qˆ jk ; Qˆ lm ⎤ = i δ mj Qˆ kl − δ kl Qˆ mj + δ jl Qˆ mk − δ mk Qˆ jl
⎣
⎦

)

(3)

Trong các công thức trên và từ đây về sau, nếu như không có giải thích thêm thì
sự lặp lại các chỉ số theo mẫu tự Latin ( j ) có nghĩa là lấy tổng theo toàn miền thay đổi
chỉ số từ 1 đến 8, còn nếu là lặp lại các chỉ số bằng mẫu tự Hy-lạp (λ ) nghĩa là lấy tổng
theo chỉ số đó từ 1 đến 9.
Tương tác đơn cực đưa vào qua mô hình SO(8) thông qua các toán tử Qˆ jk và thế
véc-tơ, biểu diễn qua các đại lượng:
Ak ( r ) =

xk
r ( r + x9 )

(4)

Từ (4) trong công trình [5] đã chỉ ra có thể xây dựng một bộ bảy thế vector, tương
ứng với đơn cực trong không gian 9 chiều. Từ đây trở đi ta sẽ gọi là đơn cực SO(8). Từ
tính chất phản đối xứng Qˆ jk = −Qˆ kj ta có tất cả là 28 vi tử khác nhau. Ngoài ra trong
công thức của toán tử xung lượng (2) có 7 toán tử Qˆ jk tham gia. Chính vì vậy, hàm

sóng của phương trình (1) mô tả chuyển động của đơn cực SO(8) trong trường
Coulomb ngoài phần 9 chiều của không gian hình thể, còn phần không gian 7 chiều
ứng với nhóm SO(8): Ω = R 9 ( xλ ) ⊗ S 7 . Trong các phần tính toán sau ta sẽ dùng biểu
diễn

giải

tích

Qˆ jk (φ , α )

của

đại

số

SO(8)

qua

tham

số

là

7

góc

(φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) đưa ra trong [5], [6]. Khi đó hàm sóng có thể ký hiệu cùng với

các biến số mới như sau: Ψ (r, φ , α ) .
3. Mối liên hệ với dao động tử điều hòa
Xét phép biến đổi Hurwitz mở rộng như sau [5]:
xk = 2(Γ k ) st us vt
x9 = us us − vs vs

(5)

chuyển từ không gian 9 chiều x1 , x2 ,..., x9 sang không gian 16 chiều
u1 , u2 ,..., u8 , v1 , v2 ,..., v8 . Ở đây trong công thức (5) ta sử dụng 8 ma trận Γ k , được định

nghĩa trong [5] thông qua các ma trận Dirac. Ngoài ra, trong [5] cũng đã xây dựng phép
biến đổi ngược của (5).
Sử dụng phép biến đổi (5) và biểu thức cụ thể của (φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) đưa ra
trong [5] ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau:
∂2
⎪⎧ 1 ⎛ ∂ 2
+
⎨− ⎜
⎩⎪ 8 ⎝ ∂us ∂us ∂vs ∂vs

⎫⎪
⎞ 1 2
⎟ + ω (us us + vs vs ) ⎬ Ψ (u, v) = Z Ψ (u, v) ,
⎠ 2
⎭⎪

(6)

243


Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH

trong đó ω = −2E . Ở đây, nếu ta xét phương trình (1) với trạng thái liên kết
E < 0 thì tần số góc ω là số thực, phương trình (6) mô tả dao động tử điều hòa 16
chiều. Chú ý là trong phương trình (1) và phương trình (6), E và Z thay đổi vai trò cho
nhau. Tuy nhiên kết quả giải phương trình thu được hàm sóng là không thay đổi, để
nghiên cứu đối xứng của (1) ta có thể bắt đầu bằng xây dựng nhóm đối xứng cho (6).
4. Nhóm đối xứng động lực SO (10,2)
Với dao động tử điều hòa, biểu diễn đại số thông qua các toán tử sinh hủy sẽ rất
thuận tiện cho các tính toán. Ta định nghĩa các toán tử:
⎛
⎛
1 ∂ ⎞
1 ∂ ⎞
+
aˆs = ω ⎜ us +
⎟ , aˆs = ω ⎜ us −
⎟,
2ω ∂us ⎠
2ω ∂us ⎠
⎝
⎝
⎛
⎛
1 ∂ ⎞ ˆ+

1 ∂ ⎞
bˆs = ω ⎜ vs +
⎟ , bs = ω ⎜ vs −
⎟.
2ω ∂vs ⎠
2ω ∂vs ⎠
⎝
⎝

(7)

Các toán tử này thỏa mãn các giao hoán tử sau:
⎡⎣ aˆs , aˆt + ⎤⎦ = δ st , ⎡bˆs , bˆt + ⎤ = δ st
⎣
⎦
.
+
+
+ ˆ+
ˆ
ˆ
ˆ
⎡
⎤
⎡
⎤
[ aˆs , aˆt ] = ⎡⎣ aˆs , aˆt ⎤⎦ = ⎣bs , bt ⎦ = ⎣bs , bt ⎦ = 0
ˆ
Λ
cd

(8)

Từ các toán tử dạng bậc hai theo các toán tử sinh hủy (7) ta xây dựng các toán tử
phản đối xứng với chỉ số thay đổi c, d = 1, 2,...,12 :
ˆ = −Λ
ˆ .
Λ
cd
dc

(9)

Ta xây dựng các toán tử như sau:
ˆ = − 1 i ⎡( Γ Γ T ) aˆ + aˆ + ( Γ T Γ ) bˆ + bˆ ⎤ ,
Λ
jk
j k
t
j
k st s t ⎦
st s
2 ⎣

(
(

)
)

(
(

ˆ = 1 i ( Γ ) aˆ + bˆ − bˆ + aˆ ,
Λ
j9
j st
s t
t
s
2
ˆ = 1 i ( Γ ) aˆ + bˆ + − aˆ bˆ ,
Λ
j11
j st
s t
s t
2
1 +
ˆ
Λ
aˆ s aˆ s − bˆs + bˆs ,
10,9 =
2

(

)
)

ˆ = 1 ( Γ ) aˆ + bˆ + bˆ + aˆ
Λ
10 j
j st
s t
t
s
2
ˆ = 1 ( Γ ) aˆ + bˆ + + aˆ bˆ
Λ
j st
s t
s t
12 j
2
ˆ = 1 i aˆ + aˆ + − aˆ aˆ − bˆ + bˆ + + bˆ bˆ
Λ
s
s
s s
s
s
s s
9,11
4

)

(

(
(

(

244

)

)
)

1 + +
ˆ
Λ
aˆ s aˆ s + aˆs aˆs − bˆs + bˆs + − bˆs bˆs ,
12,9 =
4
1 + +
ˆ
Λ
aˆ s aˆ s + aˆs aˆs + bˆs + bˆs + + bˆs bˆs ,
11,10 =
4
1
ˆ
Λ
i aˆ s + aˆ s + − aˆs aˆs + bˆs + bˆs + − bˆs bˆs ,
10,12 =
4

1 +
ˆ
Λ
aˆ s aˆ s + bˆs + bˆs + 8 .
11,12 =
2

(

(10)

)

)

(11)


Năm học 2010 – 2011

các toán tử còn lại suy ra từ (10) và (11) bằng tính chất phản đối xứng (9).
Từ công thức giao hoán tử (8) ta dễ dàng kiểm tra các toán tử (10) và (11) thỏa
mãn giao hoán tử sau:

(

ˆ ˆ ⎤
ˆ
ˆ
ˆ

ˆ
⎡Λ
⎣ ab , Λ cd ⎦ = i gbc Λ da − g da Λ bc + g db Λ ac − g ac Λ db

)

(12)

với g ab là metric: ( g ab ) = diag (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, −1, −1) . Như vậy các toán tử Λˆ ab
chính là vi tử của nhóm SO(10,2) , tuân theo giao hoán tử (12).
Ta viết biểu thức các vi tử của nhóm SO(10,2) trong tọa độ của không gian 16
chiều (u , v) :
ˆ = 1 i ⎡( Γ Γ T ) u ∂ + ( Γ T Γ ) v ∂ ⎤ ,
Λ
⎢ k j st s
⎥
jk
k
j st s
∂ut
∂vt ⎦
2 ⎣
⎛
⎞
1
∂2
ˆ = 1 i ( Γ ) ⎛⎜ u ∂ − v ∂ ⎞⎟ ,
ˆ
Λ
Λ

=
Γ
−
+ 4ω 2us vt ⎟
(
10, j
j ,9
j st
s
t
j ) st ⎜
2
4ω
∂us ⎠
⎝ ∂vt
⎝ ∂us ∂vt
⎠
2
⎛
⎛ ∂
⎞
1
1
∂
∂ ⎞
ˆ
ˆ
, Λ
i ( Γ j ) ⎜ us
Λ

+ vt
=
Γj ) ⎜
+ 4ω 2us vt ⎟
(
⎟
12,
j ,11 = −
j
st
st ∂u ∂v
2
4ω
∂us ⎠
⎝ ∂vt
⎝ s t
⎠
⎞
1 ⎛
∂2
∂2
ˆ
=
−
+
+ 4ω 2us us − 4ω 2 vs vs ⎟
Λ
⎜
10,9
8ω ⎝ ∂us ∂us ∂vs ∂vs

⎠

ˆ = − 1 i ⎜⎛ u ∂ − v ∂ ⎟⎞ ,
Λ
9,11
s
s
2 ⎝ ∂us
∂vs ⎠

2
2
ˆ = 1 ⎛⎜ ∂ − ∂ + 4ω2u u − 4ω2v v ⎞⎟
Λ
12,9
s s
s s
8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs
⎠
⎞
1 ⎛ ∂2
∂2
ˆ
Λ
+
+ 4ω2usus + 4ω2vsvs ⎟
⎜
11,10 =
8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs
⎠

(13)

⎞
1 ⎛
∂
∂
ˆ
−
+ 4ω2usus + 4ω2vsvs ⎟
Λ
⎜−
11,12 =
8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs
⎠
2

2

Bây giờ ta sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng (5) để đưa các toán tử
SO(10,2) về tọa độ không gian 9 chiều. Ta thu được:
ˆ = Γˆ = x πˆ − x πˆ + ir 2 ⎡πˆ , πˆ ⎤
Λ
αβ
αβ
α β
β α
⎣ α β⎦
ˆ
ˆ

Λ
α ,11 = Γα = rπˆα

ˆ
ˆ
ˆ
Λ
12,10 = Τ = − xα π α + 4i

1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Λ
ϒα + ω 2 xα )
Λ
ϒα − ω 2 xα )
(
(
α ,10 = Bα = −
α ,12 = Αα =
2ω
2ω
1 ⎛ 2
1 ˆ2 ⎞
2
ˆ
ˆ

Λ
11,10 = Γ10 =
⎜ ω r − rπˆ − Q ⎟
2ω ⎝
4r
⎠

(14)

1 ⎛ 2
1 ˆ2 ⎞
2
ˆ
ˆ
Λ
11,12 = Γ11 =
⎜ ω r + rπˆ + Q ⎟
2ω ⎝
4r
⎠

245


Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH

{

xλ ˆ 2
ˆ

Q + πˆ µ , Λ
µλ
4r 2
Tính toán trực tiếp cho ta kết quả:

trong đó sử dụng ký hiệu: ϒ λ = xλ πˆ 2 +

}

(15)

ˆ ⎤=0
⎡ Hˆ Kep , Λ
αβ ⎦
⎣

(16)

trong đó Hˆ Kep là Hamiltonian của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều.
Ta có thể khẳng định (14) chính là nhóm đối xứng động lực của bài toán MICZKepler trong không gian 9 chiều vì nhóm SO(10,2) này chứa hai nhóm con quan trọng:
SO (10, 2 ) ⊃ SO ( 9 ) ⊗ SO ( 2,1) .
Nhóm con SO(9) thể hiện tính đối xứng không gian trong bài toán MICZ-Kepler
9 chiều. Thật vậy, giao hoán tử (12) viết riêng cho 36 toán tử Λˆ αβ trong (14):

(

ˆ
ˆ ⎤
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
⎡Λ
⎣ αβ , Λ µλ ⎦ = i δ βµ Λ λα − δ λα Λ βµ + δ λβ Λαµ − δαµ Λ λβ

)

(17 )

thể hiện các toán tử Λˆ αβ là vi tử của nhóm đối xứng SO(9). 9 vi tử:
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ ,Λ
ˆ
Λ
12
23
34
45
56
67
78
89
91

(

)

chính là các toán tử hình chiếu của vector momen xung lượng suy rộng L
trong
không gian 9 chiều. Giao hoán tử (16) cho thấy momen xung lượng suy rộng là tích
phân chuyển động.
Nhóm con SO(2,1) bao gồm các vi tử ( Γˆ 10 , Γˆ 11 , Tˆ ) quyết định phổ năng lượng của
bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Các giao hoán tử sau:
⎡ Γˆ 10 , Γˆ 11 ⎤ = i Τˆ ,
⎣
⎦

⎡ Γˆ 11 , Τˆ ⎤ = i Γˆ 10 ,
⎣
⎦

⎡ Τˆ , Γˆ 10 ⎤ = −i Γˆ 11
⎣
⎦

(18)

thể hiện các toán tử Γˆ 10 , Γˆ 11 , Tˆ là vi tử của nhóm SO(2,1).
Toán tử Γˆ 11 chính là Hamiltonian của dao động tử điều hòa 16 chiều với dạng
biểu diễn qua toán tử sinh hủy của nó suy từ (11) là:

(

1
Hˆ Osc = ωΓˆ 11 = ω aˆ s + aˆs + bˆs + bˆs + 8
2

)

(19)

1
cho ta phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: Z n = ω ( N + 8) và từ đây suy ra năng
2
lượng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều:
1
Z2
En = − ω 2 = −
2
2
⎛N
⎞
2⎜ + 4⎟
⎝2
⎠

Các toán tử Γˆ 10 , Tˆ có vai trò thăng giáng các trạng thái lượng tử của hệ.
246

(20)


Năm học 2010 – 2011

5. Kết luận
Như vậy ta đã xây dựng được nhóm đối xứng động lực SO(10,2) của bài toán
MICZ-Kepler 9 chiều, tương tự như bài toán Coulomb 9 chiều. Kết quả trên cho thấy
sự xuất hiện của đơn cực từ SO(8) không phá vỡ tính đối xứng của bài toán Coulomb 9
chiều, đây là một hiện tượng rất thú vị. Dạng tường minh của các phần tử của nhóm đối
xứng được đưa ra dưới dạng giải tích cũng như biểu diễn dưới dạng đại số thông qua
các toán tử sinh hủy. Biểu diễn đại số qua toán tử sinh hủy của nhóm SO(10,2) rất
thuận tiện cho việc tính toán trong các vấn đề liên quan đến phổ năng lượng của bài
toán, khảo sát hàm sóng và các biến đổi. Biểu diễn đại số trên cũng có thể được sử
dụng để nghiên cứu nhóm đối xứng ẩn SO(10) trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều,
tương tự như đối xứng ẩn SO(6) và SO(4) trong bài toán MICZ-Kepler 5 chiều và 3
chiều [7], [8].
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.

Barut A., Bornzin G. (1971), “SO(4,2) formulation of the symmetry breaking in
relativistic Kepler problems with or without magnetic charges”, J. Math. Phys. 12,
841-847.

2.

Barut A. and Raczka R. (1977), “Theory of Group Representations and Applications”,
PWN- Polish Sci. Pub., Warszawa.

3.

Kleinert H. (1968), “Group Dynamics of the Hydrogen Atom”, Lectures in Theor.
Phys., ed. W.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach, New York, 427-482.

4.

Le Van Hoang, Viloria J Tony, Le Anh Thu (1991), “On the hydrogen-like atoms in
five-dimensional space”, J. Phys. A 24, 3021-3030.

5.

Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non-Abelian
monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A 42, 175204
(8pp).

6.

Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son (2010), “Generalization of Dirac and Yang
monopoles for a nine-dimensional space”, HCMC UE J. Sci. (Nat. Sci. & Tech.) 24, 38.

7.

Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. (1999), Hidden symmetry of
the Yang-Coulomb monopole, Mod. Phys. Lett. A 14, 1303-1307.

8.

Pletyukhov M. V., Tolkachev E. A. (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the
SU(2) MIC-Kepler problem”, J. Phys. A 32, L249-L253.

9.

Yakov M. Shnir (2005), “Magnetic Monopoles”, Springer, 18-79.

10. Yang C. N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU(2) gauge fields”, J.
Math. Phys. 19, 320-328.

247