Phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba

Đồ thị của hàm bậc ba :

Trong toán học, một phương trình bậc ba(tiếng Anh: cubic equation) (một ẩn) là một
phương trình đại số mà lũy thừa bậc cao nhất của ẩn là bậc ba. Chẳng hạn như phương
trình sau:
2x
3
− 4x
2
+ 3x − 4 = 0
và dạng tổng quát của nó là:
α
3
x
3
+ α
2
x
2
+ α
1
x + α
0
= 0.
Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số α
0
, ..., α
3
là các số thực. Tuy nhiên đa số

lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giả
sử rằng α
3
khác không.
Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng
căn thức.
(Bài này chỉ bàn về phương trình bậc ba của một biến. Về phường trình bậc ba của hai
biến, xem đường cong elliptic.)
Lịch sử
Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn độ cổ Jaina khoảng
giữa năm 400 TCN và 200 CN.
Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậc
ba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời giải hình học
này có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác.
Sau này vào
thế kỷ 16, nhà toán học Italian Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cách
giải một lớp các phương trình bậc ba dạng x
3
+ mx = n. Thực ra, mọi phương trình bậc ba
có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đó
lúc này chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới
nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó.
Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậc
ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thách thức của
Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền
và đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày
thì nhận tất cả số tiền.
Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x
3
+ mx = n, đã đề xuất một phương pháp

tổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề trong dạng x
3
+ mx
2
= n, khó hơn và Tartaglia
đã thắng cuộc.
Sau này, Tartaglia được
Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của
cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ
nó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố
phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca
ngợi dành cho Tartaglia. Việc này đẫn đến cuộc tranh cãi giữa Tartaglia và Cardano, sau
đó kéo theo cả học trò của ông là Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari đã thắng
Tartaglia trong tranh luận, còn Tartaglia mất cả uy tín và tiền tài.
Cardano đã chứng tỏ rằng phương pháp của Tartaglia trong một số trường hợp dẫn đến
căn bậc hai của số âm. Ông đã đưa ra phương pháp tính toán với các số này (số phức)
trong Ars Magna, nhưng ông đã không hiểu hết.
Rafael Bombelli nghiên cứu chi tiết hơn
và có nhiều đóng góp cho việc khám phá các số phức.
Với trường hợp ∆ (DELTA) âm, người ta hay dùng phương pháp lượng giác để giải quyết
nó, tuy vậy, đây là phương pháp không đại số và nghiệm tính ra vẫn là gần đúng do phải
sử dụng các hàm số cosin và arccosin. Và công thức đại số cho nghiệm tổng quát vẫn
chưa thể hoàn thiện. ( Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của
phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-),
nhân (×), chia (:), lũy thừa (^) và khai căn (√) ).
Phương pháp Cardano
Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione
del Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.
Trước tiên, chia phương trình cho α
3

để đưa về dạng

Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình
t + pt + q = 0,
3
trong đó và
Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số u và v sao cho
u − v = q
3 3
và
một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị
thức

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u
3
. Khi giải, ta tìm đươc

Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được

Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (
), và
mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với ).
Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho

không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e.
. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.
Phương pháp tổng hợp và lượng giác cho mọi trường
hợp
Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = 0(a <
> 0)
3 2
Đặt các giá trị:
Δ = b − 3ac
2
(Δ < > 0)
1) Nếu Δ > 0
1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm



1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất

2) Nếu Δ = 0 : Phương trình có một nghiệm bội