Logic toán và tập hợp

CHU
.
O
.
NG I:
L
ˆ
OGIC TO
´
AN V
`
AT
ˆ
A
.
PHO
.
.
P
1.1. L
ˆ
OGIC TO
´
AN.
1.1.1. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic:
1.1.1.1. Mˆe
.

nh d¯ˆe
`
: Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
l`a mˆo
.
t cˆau pha
’
n ´anh mˆo
.
td¯iˆe
`
ud¯´ung ho˘a
.
c sai, ch´u
.
khˆong pha
’
iv`u
.
a d¯´ung v`u
.
a sai.
Th´ıdu
.
:
1) Sˆo
´

35 chia hˆe
´
t cho 5: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
2) M˘a
.
t tr`o
.
i quay quanh tr´ai d¯ˆa
´
t: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
4) 2 < 5: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
C´ac cˆau ho
’

i, cˆau ca
’
m th´an, cˆau mˆe
.
nh lˆe
.
nh, ... v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆong
nh˘a
`
m pha
’
n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu
’
a thu
.
.
ctˆe
´
kh´ach quan d¯ˆe
`
u khˆong d¯u
.
o
.
.
c coi l`a
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`

.
Trong lˆogic mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe
´
ncˆa
´
u tr´uc ng˜u
.
ph´ap c˜ung nhu
.
´y ngh˜ıa nˆo
.
i dung cu
’
amˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m`a chı
’
quan tˆam d¯ˆe
´
n t´ınh d¯´ung sai cu
’
amˆo
˜
imˆe

.
nh
d¯ ˆe
`
.
D
-
ˆe
’
chı
’
c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
chu
.
a x´ac d¯i
.
nh, ta d`ung c´ac ch˜u
.
c´ai: p, q, r, ... v`a go
.
i
ch´ung l`a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh d¯ˆe
`

.Taquyu
.
´o
.
cviˆe
´
t p = 1 khi p l`a mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯ ´ung v`a
p = 0 khi p l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai. C´ac gi´a tri
.
0 v`a 1 go
.
i l`a c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
.
George Boole d¯˜a nghiˆen c´u

.
uphu
.
o
.
ng ph´ap ta
.
o ra c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
ib˘a
`
ng
c´ach tˆo
’
ho
.
.
pt`u
.
mˆo
.
t ho˘a
.
c nhiˆe
`
umˆe

.
n h d¯ ˆe
`
d¯˜a c´o. C´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
id¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
ph´u
.
cho
.
.
p, ch´ung d¯u
.
o
.

.
cta
.
orat`u
.
c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
hiˆe
.
nc´ob˘a
`
ng c´ach
d`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic.
1.1.1.2. Ph´ep phu
’
d¯ i
.
nh: Phu
’
d¯ i
.
nh cu
’
amˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p ,k´yhiˆe

.
ul`a
p,d¯o
.
c l`a “khˆong
p”, l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai.
Ph´ep phu
’
d¯ i
.
nh trong lˆogic mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
ph`uho
.
.
pv´o
.
i ph´ep phu
’
d¯ i
.
nh trong ngˆon
ng˜u
.

thˆong thu
.
`o
.
ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho
.
.
pv´o
.
i ´y ngh˜ıa cu
’
at`u
.
“khˆong” (“khˆong pha
’
i”).
Th´ıdu
.
:1)p: “9 l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’
”(D
-
),
p: “9 khˆong l`a mˆo
.
tsˆo

´
le
’
” (S).
2) p: “v´o
.
imo
.
isˆo
´
thu
.
.
c x, y, (x + y)
2
< 0” (S), p: “tˆo
`
nta
.
isˆo
´
thu
.
.
c
x, y, (x + y)
2
≥ 0” (D
-
).

1.1.1.3. Ph´ep hˆo
.
i: Hˆo
.
icu
’
a hai mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p, q,k´yhiˆe
.
ul`ap ∧ q,d¯o
.
cl`a“p v`a q”,
l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung khi ca
’
p lˆa
˜
n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p c`on
la
.
i.
Ph´ep hˆo
.
i ph`u ho
.
.
pv´o
.
i ´y ngh˜ıa cu
’
a liˆen t`u
.
“v`a” cu
’
a ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng.
Th´ıdu
.
:1)p: “2 l`a sˆo
´

nguyˆen tˆo
´
”(D
-
)v`aq: “2 l`a sˆo
´
ch˜an” (D
-
)th`ıp ∧ q: “2 l`a
sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
v`a l`a ch˘a
˜
n” (D
-
).
3
2) Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
“Sˆo
´
π l´o
.
n 3 v`a l`a mˆo
.
tsˆo

´
h˜u
.
utı
’
” (S) l`a hˆo
.
icu
’
a hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
“Sˆo
´
π l´o
.
nho
.
n 3” (D
-
) v`a “Sˆo
´
π l`a mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı

’
” (S).
1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe
’
n: Tuyˆe
’
ncu
’
ahaimˆe
.
nh d¯ˆe
`
p, q,k´yhiˆe
.
u p ∨ q,d¯o
.
cl`a“p
ho˘a
.
c q”, l`a mˆo
.
tmˆe
.
nh d¯ˆe
`
sai khi ca
’
p lˆa
˜
n q d¯ ˆe

`
u sai v`a d¯´ung trong mo
.
i tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p c`on la
.
i.
Ph´ep tuyˆe
’
n´u
.
ng v´o
.
i liˆen t`u
.
“ho˘a
.
c” trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.

ng theo ngh˜ıa
khˆong loa
.
itr`u
.
, c´o ngh˜ıa l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
“p ho˘a
.
c q”d¯´ung khi v`a chı
’
khi ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t
trong hai mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p v`a q d¯ ´ung.
Th´ıdu
.
:1)p: “3 nho
’
ho
.
n5”(D

-
)v`aq: “3 b˘a
`
ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho
’
ho
.
n
ho˘a
.
cb˘a
`
ng 5” (D
-
).
2) p: “Paris l`a thu
’
d¯ ˆo n u
.
´o
.
c Anh” (S) v`a q: “6 l´o
.
nho
.
n 8” (S) th`ı p ∨ q:
“Paris l`a thu
’
d¯ ˆo n u
.

´o
.
c Anh ho˘a
.
c6l´o
.
nho
.
n 8” (S).
1.1.1.5. Ph´ep tuyˆe
’
n loa
.
i: Tuyˆe
’
n loa
.
icu
’
a hai mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p, q,k´yhiˆe
.
u p⊕ q,d¯o
.
c
l`a “p ho˘a
.

c q (nhu
.
ng khˆong ca
’
hai)”, l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung khi chı
’
c´o mˆo
.
t trong
hai mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c`on la
.

i.
Ph´ep tuyˆe
’
n loa
.
i´u
.
ng v´o
.
i liˆen t`u
.
“ho˘a
.
c” trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng theo
ngh˜ıa loa
.
itr`u
.
.
Th´ıdu
.
: p:“
√
2 l`a mˆo

.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
” (S) v`a q:“
√
2l`amˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
”(D
-
)th`ı p ⊕ q:
“
√
2l`amˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
ho˘a
.

c l`a mˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
”(D
-
).
1.1.1.6. Ph´ep k´eo theo: Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
k´eo theo p ⇒ q,d¯o
.
cl`a“p k´eo theo q”hay
”nˆe
´
u p th`ı q”, l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai khi p d¯ ´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru
.
`o
.
ng
ho

.
.
p c`on la
.
i.
Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gia
’
thiˆe
´
t, c`on q d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`akˆe
´
t
luˆa
.
n.
V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa

´
thiˆe
.
no
.
’
nhiˆe
`
uno
.
i trong c´ac suy luˆa
.
n to´an ho
.
c, nˆen c´o
nhiˆe
`
u thuˆa
.
tng˜u
.
d¯ u
.
o
.
.
cd`ung d¯ˆe
’
diˆe
˜

nd¯a
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p ⇒ q.Du
.
´o
.
i d¯ˆay l`a mˆo
.
tsˆo
´
th´ı
du
.
thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p nhˆa
´
t.
–“Nˆe
´
u p th`ı q”,
–“p k´eo theo q”,

–“T`u
.
p suy ra q”,
–“p l`a d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nd¯u
’
d¯ ˆe
’
c´o q”,
–“q l`a d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n d¯ ˆe
’
c´o p”.
Th´ıdu
.
:1)“Nˆe
´
u hˆom nay tr`o
.
in˘a
´
ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe

’
n” l`a mˆo
.
tmˆe
.
nh
d¯ ˆe
`
k´eo theo v`a d¯u
.
o
.
.
c xem l`a d¯´ung tr`u
.
phi hˆom nay tr`o
.
i thu
.
.
csu
.
.
n˘a
´
ng, nhu
.
ng
ch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe
’

n.
2) “Nˆe
´
u hˆom nay l`a th´u
.
hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
k´eo theo v`a l`a
d¯ ´ung v´o
.
imo
.
i ng`ay tr`u
.
th´u
.
hai.
Trong suy luˆa
.
n to´an ho
.
c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo
.
c loa
.
itˆo

’
ng
qu´at ho
.
n trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng. Kh´ai niˆe
.
m to´an ho
.
cvˆe
`
ph´ep k´eo theo
d¯ ˆo
.
clˆa
.
pv´o
.
imˆo
´
i quan hˆe
.
nhˆan - qua
’
gi˜u

.
a gia
’
thiˆe
´
tv`akˆe
´
t luˆa
.
n.
4
Khˆong may, cˆa
´
utr´uc nˆe
´
u - th`ı d¯u
.
o
.
.
c d`ung trong nhiˆe
`
u ngˆon ng˜u
.
lˆa
.
ptr`ınh
la
.
i kh´ac v´o

.
icˆa
´
u tr´uc d¯u
.
o
.
.
c d`ung trong lˆogic to´an. D
-
asˆo
´
c´ac ngˆon ng˜u
.
lˆa
.
p tr`ınh
ch´u
.
anh˜u
.
ng cˆau lˆe
.
nh nhu
.
nˆe
´
u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo
.
tmˆe

.
n h d¯ ˆe
`
c`on S l`a mˆo
.
t d¯oa
.
nchu
.
o
.
ng tr`ınh (gˆo
`
mmˆo
.
t ho˘a
.
c nhiˆe
`
ulˆe
.
nh cˆa
`
n pha
’
i thu
.
.
chiˆe
.

n).
Khi thu
.
.
chiˆe
.
nmˆo
.
t chu
.
o
.
ng tr`ınh g˘a
.
pnh˜u
.
ng cˆa
´
utr´uc nhu
.
vˆa
.
y, S s ˜e d¯ u
.
o
.
.
c thu
.
.

c
hiˆe
.
nnˆe
´
u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nnˆe
´
u p l`a sai.
1.1.1.7. Ph´ep tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng: Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`

“p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng q”, k´y hiˆe
.
ul`ap ⇔ q,
l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri
.
chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p c`on la
.
i.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a ph´ep tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng ph`uho
.
.
pv´o
.
i ´y ngh˜ıa cu
’
acu
.
mt`u
.
“khi
v`a chı
’
khi” hay “nˆe
´

u v`a chı
’
nˆe
´
u” cu
’
a ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng. Trong to´an ho
.
c,
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
“p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng q”c´othˆe
’
diˆe

˜
nd¯a
.
tdu
.
´o
.
ida
.
ng: “d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n v`a d¯u
’
d¯ ˆe
’
c´o p l`a c´o q”.
Th´ıdu
.
:1)D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`

n v`a d¯u
’
d¯ ˆe
’
ABC cˆan l`a hai g´oc o
.
’
d¯´ay cu
’
a n´o b˘a
`
ng
nhau.
2) Dˆa
´
ub˘a
`
ng xa
’
y ra trong bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Cauchy
n
√
a
1

a
2
...a
n
≤
a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
n
khi v`a chı
’
khi a
1
= a
2
= ··· = a
n
.
Sau d¯ˆay l`a ba
’
ng chˆan tri
.
cu
’
a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen.
p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q
0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 1 1
1.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ung
c´ac bit d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n thˆong tin. Mˆo
.
t bit c´o hai gi´a tri
.
l`a 0 v`a 1.
´
Y ngh˜ıa cu
’
at`u
.
n`ay b˘a
´
t nguˆo
`
nt`u
.
binary digit (sˆo
´
nhi
.

phˆan). Thuˆa
.
tng˜u
.
n`ay do nh`a Thˆo
´
ng kˆe
ho
.
cnˆo
’
itiˆe
´
ng John Turkey d¯u
.
a ra v`ao n˘am 1946. Bit c˜ung c´o thˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
cd`ung d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n gi´a tri
.

chˆan l´y. Ta s˜e d`ung bit 1 d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n gi´a tri
.
d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n gi´a tri
.
sai.
Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe
.
u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an
−,∧,∨,⊕ nhu
.
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.

.
c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u
.
lˆa
.
p tr`ınh kh´ac nhau.
Thˆong tin thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nb˘a
`
ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ay
c´ac sˆo
´
0 v`a 1. Khi d¯˜a l`am nhu
.
thˆe
´
, c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe
’

d¯ u
.
o
.
.
c d`ung d¯ˆe
’
thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe
’
mo
.
’
rˆo
.
ng c´ac ph´ep to´an bit
t´o
.
i c´ac xˆau bit. Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo
´
iv´o
.
i hai xˆau
5
bit c´o c`ung chiˆe
`
u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu
’
ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XOR

cu
’
a c´ac bit tu
.
o
.
ng ´u
.
ng trong hai xˆau tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Th´ıdu
.
:
xˆau 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
xˆau 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
1.1.2. Su
.
.
tu
.
o
.

ng d¯u
.
o
.
ng lˆogic cu
’
a c´ac cˆong th´u
.
c:
Trong lˆogic mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
, ngu
.
`o
.
i ta d¯u
.
a ra kh´ai niˆe
.
m cˆong th´u
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.

nhu
.
kh´ai niˆe
.
mbiˆe
’
uth´u
.
c trong to´an ho
.
c.
1.1.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa:
1) C´ac biˆe
´
nmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p, q, r, ... l`a c´ac cˆong th´u
.
c,
2) Nˆe
´
u P, Q l`a c´ac cˆong th´u
.
cth`ı

P,P∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`a
c´ac cˆong th´u
.
c,
3) Chı
’
chˆa
´
p nhˆa
.
n c´ac cˆong th´u
.
cd¯u
.
o
.
.
c th`anh lˆa
.
pb˘a
`
ng viˆe
.
c ´ap du
.
ng mˆo
.
tsˆo
´
h˜u

.
uha
.
n c´ac quy t˘a
´
c 1)-2).
1.1.2.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cˆong th´u
.
c A go
.
il`ah˘a
`
ng d¯´ung nˆe
´
u A nhˆa
.
n gi´a tri
.
1v´o
.
i
mo
.
ihˆe
.
gi´a tri

.
chˆan l´y c´o thˆe
’
c´o cu
’
a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
c´o m˘a
.
t trong A.
Cˆong th´u
.
c A go
.
i l`a h˘a
`
ng sai nˆe
´
u A nhˆa
.
n gi´a tri
.
0v´o
.
imo
.

ihˆe
.
gi´a tri
.
chˆan l´y
c´o thˆe
’
c´o cu
’
a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o m˘a
.
t trong A. Khi d¯´o ta go
.
i A l`a mˆo
.
t mˆau
thuˆa
’
n.
Mˆo
.
t cˆong th´u
.
c khˆong pha

’
i l`a h˘a
`
ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha
’
i l`a mˆau thuˆa
’
n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`atiˆe
´
p liˆen.
1.1.2.3. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u
.
c A v`a B d¯ u
.
o
.
.
cgo

.
i l`a tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng lˆogic,
k´yhiˆe
.
u A ≡ B,nˆe
´
u A ⇔ B l`a mˆo
.
th˘a
`
ng d¯´ung. Hˆe
.
th´u
.
c A ≡ B c`on d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a

mˆo
.
td¯˘a
’
ng th´u
.
c.
1.1.2.4. C´ac tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng lˆogic co
.
ba
’
n:
1) Luˆa
.
td¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t:
p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p.
2) Luˆa
.

tnuˆo
´
t:
p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1.
3) Luˆa
.
tl˜uy d¯˘a
’
ng:
p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p.
6
4) Luˆa
.
tphu
’
d¯ i
.
nh k´ep:
p ≡ p.
5) Luˆa
.
t giao ho´an:
p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p.
6) Luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.

p:
(p ∧ q) ∧ r ≡ p∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).
7) Luˆa
.
t phˆan phˆo
´
i:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p∨ q) ∧ (p ∨ r).
8) Luˆa
.
t De Morgan:
p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q.
9) Mˆo
.
tsˆo
´
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng tiˆe
.
n ´ıch:
p ∧
p ≡ 0,p∨ p ≡ 1,
p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡

p ⇔ q,
(p ⇒ q) ≡ (
p ∨ q),
(p ⇒ q) ≡ (
q ⇒ p).
1.1.3. Suy luˆa
.
n to´an ho
.
c:
1.1.3.1. Suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch: Suy luˆa
.
nl`ar´ut ra mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
it`u
.
mˆo
.

thay
nhiˆe
`
umˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯˜a c´o.
Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa
.
n trong ch´u
.
ng minh to´an ho
.
c, ngu
.
`o
.
i ta thˆa
´
ymˆo
˜
ich´u
.
ng
minh bao gˆo
`
mmˆo
.
tsˆo

´
h˜u
.
uha
.
nbu
.
´o
.
c suy luˆa
.
nd¯o
.
n gia
’
n. Trong mˆo
˜
ibu
.
´o
.
c suy
luˆa
.
nd¯o
.
n gia
’
n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa
`

m” vˆa
.
ndu
.
ng mˆo
.
t quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at d¯ˆe
’
t`u
.
c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯ ˜a d¯ u
.
o
.
.
cth`u
.
a nhˆa
.
n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe

`
,d¯i
.
nh l´y, d¯i
.
nh ngh˜ıa, gia
’
thiˆe
´
t) c´o thˆe
’
r´ut ra mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
i. Ngu
.
`o
.
i ta go
.
i c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
xuˆa

´
t ph´at d¯˜a
d¯ u
.
o
.
.
cth`u
.
a nhˆa
.
n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
, c`on mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
id¯u
.
o
.
.
c r´ut ra (nh`o
.
vˆa
.

n
du
.
ng c´ac quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at) go
.
il`ahˆe
.
qua
’
lˆogic cu
’
a c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
. Ph´ep
suy luˆa
.
nnhu
.
thˆe
´
go
.

i l`a suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch hay go
.
it˘a
´
t l`a suy diˆe
˜
n.
1.1.3.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Gia
’
su
.
’
A
1
,A
2
,... ,A
n
,B l`a nh˜u
.

ng cˆong th´u
.
c. Nˆe
´
utˆa
´
t
ca
’
c´ac hˆe
.
gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o m˘a
.
t trong c´ac cˆong th´u
.
cd¯´o
l`am cho A
1
,A
2

,... ,A
n
nhˆa
.
n gi´a tri
.
1c˜ung d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`am cho B nhˆa
.
n gi´a tri
.
1,
t´u
.
cl`aA
1
∧ A
2
∧ ...∧ A
n
⇒ B l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
ch˘a
`
ng d¯´ung, th`ı ta go

.
i B l`a hˆe
.
qua
’
lˆogic cu
’
a A
1
,A
2
,... ,A
n
. Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a
`
ng c´o mˆo
.
t quy t˘a
´
c suy luˆa
.
n
t`u
.
c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
A
1

,A
2
,... ,A
n
t´o
.
ihˆe
.
qua
’
lˆogic B cu
’
ach´ung.
7
Quy t˘a
´
c suy luˆa
.
n d¯ ´o d¯ u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a:
A
1
,A
1

,... ,A
n
B
.
1.1.3.3. Mˆo
.
tsˆo
´
quy t˘a
´
c suy luˆa
.
nthu
.
`o
.
ng d`ung:
1)
p
p ∨ q
(Quy t˘a
´
ccˆo
.
ng).
2)
p ∧ q
p
(Quy t˘a
´

cr´ut go
.
n).
3)
p, p ⇒ q
q
(Quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n - Modus ponens).
4)
p ⇒ q,
q
p
(Quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n ngu
.
o
.
.
c - Modus tollens).
5)

p ⇒ q, q ⇒ r
p ⇒ r
(Quy t˘a
´
c tam d¯oa
.
n luˆa
.
n).
6)
p ⇒ q, q ⇒ p
p ⇔ q
(Quy t˘a
´
cd¯u
.
atu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng v`ao).
7)
p ∨ q,
p
q
(Quy t˘a

´
c t´ach tuyˆe
’
n).
8)
p ⇒ r, q ⇒ r
p ∨ q ⇒ r
(Quy t˘a
´
c t´ach tuyˆe
’
n gia
’
thiˆe
´
t).
9)
p ⇒ q, p ⇒ r
p ⇒ q ∧ r
(Quy t˘a
´
chˆo
.
ikˆe
´
t luˆa
.
n).
10)
q ⇒ p

p ⇒ q
(Quy t˘a
´
c pha
’
nd¯a
’
o).
11)
p ⇒ q, p ⇒ q
p
(Quy t˘a
´
c pha
’
nch´u
.
ng).
Th´ıdu
.
:
1) Cho: Nˆe
´
u tr`o
.
imu
.
a(p) th`ı sˆan u
.
´o

.
t(q) (d¯´ung)
Tr`o
.
i d¯ang mu
.
a (d¯´ung)
Kˆe
´
t luˆa
.
n: Sˆan u
.
´o
.
t (d¯´ung).
2) Cho: Nˆe
´
u hai g´oc d¯ˆo
´
id¯ı
’
nh (p)th`ıb˘a
`
ng nhau (q) (d¯´ung)

A v`a

B khˆong b˘a
`

ng nhau (d¯´ung)
Kˆe
´
t luˆa
.
n:

A v`a

B khˆong d¯ˆo
´
id¯ı
’
nh (d¯´ung).
3) Cho: Mo
.
ih`ınh vuˆong d¯ˆe
`
ul`ah`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung)
Mo
.
ih`ınh thoi c´o c´ac d¯u
.
`o
.
ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) (d¯´ung)
Kˆe
´
t luˆa
.

n: Mo
.
i h`ınh vuˆong d¯ˆe
`
u c´o c´ac d¯u
.
`o
.
ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung).
8
1.1.3.4. Suy luˆa
.
n nghe c´o l´y: Suy luˆa
.
n nghe c´o l´y l`a suy luˆa
.
n khˆong theo mˆo
.
t
quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at n`ao d¯ˆe
’
t`u
.
nh˜u

.
ng tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u
.
o
.
.
cmˆo
.
tkˆe
´
t
luˆa
.
n x´ac d¯i
.
nh. Nˆe
´
u c´ac tiˆe
`
nd¯ˆe
`
d¯ ˆe
`
u d¯´ung th`ıkˆe
´
t luˆa

.
nr´ut ra khˆong ch˘a
´
cch˘a
´
n
d¯ ´ung, m`a chı
’
c´o t´ınh chˆa
´
tdu
.
.
d¯o´an, gia
’
thuyˆe
´
t.
Trong to´an ho
.
c c´o hai kiˆe
’
u suy luˆa
.
n nghe c´o l´ythu
.
`o
.
ng d`ung, d¯´o l`a
– Ph´ep quy na

.
p khˆong ho`an to`an,
– Ph´ep tu
.
o
.
ng tu
.
.
.
Th´ıdu
.
:1)T`u
.
d¯ i
.
nh l´y trong h`ınh ho
.
c ph˘a
’
ng: “Hai d¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng c`ung vuˆong
g´oc v´o
.
imˆo

.
td¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng th´u
.
ba th`ı song song v´o
.
i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo
.
t
“du
.
.
d¯o´an”: “Hai m˘a
.
t ph˘a
’
ng c`ung vuˆong g´oc v´o
.
imˆo
.
tm˘a
.
t ph˘a
’
ng th´u

.
ba th`ı song
song v´o
.
i nhau”.
D
-
ˆay l`a mˆo
.
tth´ıdu
.
vˆe
`
ph´ep suy luˆa
.
nb˘a
`
ng tu
.
o
.
ng tu
.
.
.
2) C´ac sˆo
´
2
2
0

+1, 2
2
1
+1, 2
2
2
+1, 2
2
3
+1, 2
2
4
+ 1 l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Kˆe
´
t luˆa
.
n: v´o
.
imo
.
isˆo
´
tu

.
.
nhiˆen n,sˆo
´
2
2
n
+ 1 l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
D
-
ˆay l`a lˆo
´
i suy luˆa
.
n quy na
.
p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo
.
’
i Fermat (1601-
1665) sau khi d¯˜a kiˆe
’
m nghiˆe
.
mv´o
.

i c´ac sˆo
´
n =0, 1, 2, 3, 4. Nhu
.
ng sau d¯´o Euler d¯˜a
chı
’
ra r˘a
`
ng v´o
.
i n = 5, kh˘a
’
ng d¯i
.
nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 2
2
5
+ 1 khˆong l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,....Kˆe
´
t luˆa
.
n: mo
.
isˆo

´
nguyˆen du
.
o
.
ng ch˘a
˜
nl´o
.
nho
.
n4l`atˆo
’
ng cu
’
a hai sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach. D
-
ˆay l`a mˆo
.
t trong nhiˆe
`

u kh˘a
’
ng
d¯ i
.
nh trong to´an ho
.
cchu
.
ad¯u
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
4) Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
3
+ y
3
= z
3
khˆong c´o nghiˆe
.
m nguyˆen, phu

.
o
.
ng tr`ınh
x
4
+ y
4
= z
4
khˆong c´o nghiˆe
.
m nguyˆen. Kˆe
´
t luˆa
.
n: phu
.
o
.
ng tr`ınh x
n
+ y
n
= z
n
khˆong c´o nghiˆe
.
m nguyˆen v´o
.

imo
.
isˆo
´
nguyˆen n>2.
Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
n`ay d¯u
.
o
.
.
c nˆeu ra bo
.
’
i Fermat n˘am 1637, go
.
i l`a “d¯i
.
nh l´y cuˆo
´
ic`ung
cu
’
a Fermat”. M˜ai d¯ˆe
´
n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe
.

nh d¯ˆe
`
n`ay m´o
.
id¯u
.
o
.
.
c ho`an to`an
ch´u
.
ng minh xong bo
.
’
i nh`a to´an ho
.
c ngu
.
`o
.
i Anh tˆen l`a Wiles.
To´an ho
.
c l`a khoa ho
.
ccu
’
a suy luˆa
.

ndiˆe
˜
ndi
.
ch. Tˆa
´
tca
’
c´ac vˆa
´
n d¯ ˆe
`
trong to´an
ho
.
cchı
’
d¯ u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay b˘a
`
ng c´ac suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.

ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınh
ph´at minh, s´ang ta
.
o to´an ho
.
c, l´y luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch g˘a
´
nch˘a
.
tv´o
.
i c´ac suy luˆa
.
n nghe
c´o l´y. Ta d`ung quy na
.
p khˆong ho`an to`an hay tu
.
o
.
ng tu
.
.
d¯ ˆe

’
nˆeu ra c´ac gia
’
thuyˆe
´
t.
Sau d¯´o m´o
.
ich´u
.
ng minh c´ac gia
’
thuyˆe
´
t n`ay b˘a
`
ng diˆe
˜
ndi
.
ch.
1.1.4. C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh:
1.1.4.1. Ch´u
.

ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch, nˆe
´
ut`u
.
c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
A
1
,A
2
,... ,A
n
, ta r´ut ra kˆe
´
t luˆa
.
n B b˘a
`
ng c´ach vˆa
.
ndu
.

ng nh˜u
.
ng quy t˘a
´
c suy
luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe
´
t luˆa
.
n lˆogic cu
’
a c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
A
1
,A
2
,... ,A
n
v`a
suy luˆa
.
n d¯´o l`a ho
.

.
p lˆogic. Nˆe
´
utˆa
´
tca
’
c´ac tiˆe
`
nd¯ˆe
`
A
1
,A
2
,... ,A
n
d¯ ˆe
`
u d¯´ung th`ı
ta go
.
ikˆe
´
t luˆa
.
n lˆogic B l`a mˆo
.
tkˆe
´

t luˆa
.
nch´u
.
ng minh v`a go
.
i suy luˆa
.
n d¯´o l`a mˆo
.
t
ch´u
.
ng minh.
9
Phˆan t´ıch c´ac ch´u
.
ng minh to´an ho
.
c ta thˆa
´
ymˆo
˜
ich´u
.
ng minh gˆo
`
mmˆo
.
tsˆo

´
h˜u
.
uha
.
nbu
.
´o
.
c, mˆo
˜
ibu
.
´o
.
cl`amˆo
.
t suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch trong d¯´o ta vˆa
.
ndu
.
ng mˆo
.
t

quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at. Nhu
.
vˆa
.
y, mˆo
.
tch´u
.
ng minh to´an ho
.
cgˆo
`
m ba bˆo
.
phˆa
.
n
cˆa
´
u th`anh:
1) Luˆa
.
nd¯ˆe
`

, t´u
.
cl`amˆe
.
n h d¯ ˆe
`
cˆa
`
nch´u
.
ng minh.
2) Luˆa
.
nc´u
.
, t´u
.
cl`anh˜u
.
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.
cth`u
.

a nhˆa
.
n (d¯i
.
nh ngh˜ıa, tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
,
d¯ i
.
nh l´y, gia
’
thiˆe
´
t) d¯u
.
o
.
.
clˆa
´
y l`am tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
trong mˆo
˜
i suy luˆa
.

n.
3) Luˆa
.
nch´u
.
ng, t´u
.
c l`a nh˜u
.
ng quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at d¯u
.
o
.
.
cvˆa
.
ndu
.
ng
trong mˆo
˜
ibu
.
´o

.
c suy luˆa
.
ncu
’
ach´u
.
ng minh.
1.1.4.2. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh tru
.
.
ctiˆe
´
p: Khi ta ch´u
.
ng minh mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
B b˘a
`
ng c´ach va
.
ch r˜o B l`a kˆe

´
t luˆa
.
n lˆogic cu
’
anh˜u
.
ng tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
d¯ ´ung A
1
,A
2
,... ,A
n
,
ngh˜ıa l`a B l`a mˆo
.
tkˆe
´
t luˆa
.
nch´u
.
ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´u
.
ng minh tru
.

.
ctiˆe
´
p
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
B.
Th´ıdu
.
: H˜ay ch´u
.
ng minh tru
.
.
ctiˆe
´
pmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
:“Nˆe
´
u n l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’

th`ı n
2
c˜ung
l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’
”.
Gia
’
su
.
’
r˘a
`
ng gia
’
thiˆe
´
tcu
’
amˆe
.
n h d¯ ˆe
`
k´eo theo n`ay l`a d¯´ung, t´u
.
cl`an l`a mˆo

.
tsˆo
´
le
’
. Khi d¯´o n =2k + 1, v´o
.
i k l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen. T`u
.
d¯´o suy ra n
2
=4k
2
+4k +1 =
2(2k
2
+2k) + 1. Do d¯´o n
2
l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’
.
1.1.4.3. Phu

.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh t`ım pha
’
nth´ıdu
.
: Gia
’
su
.
’
ta cˆa
`
nch´u
.
ng
minh mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p sai. Nˆe
´
u ta t`ım d¯u
.
o
.
.

cmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
q, tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd¯˘a
.
cbiˆe
.
tcu
’
a p l`a
sai. Khi d¯´o
q d¯ ´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n ngu
.
o
.
.

cth`ı
p
l`a d¯´ung. T`u
.
d¯ ´o p l`a sai.
Th´ıdu
.
: Cho m v`a n l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
kh´ac khˆong bˆa
´
tk`y. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng n + m<
nm l`a khˆong d¯´ung. Chı
’
cˆa
`
nlˆa
´
y n = m =1th`ı1+1=2> 1.1.
1.1.4.4. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u

.
ng minh pha
’
nd¯a
’
o: Gia
’
su
.
’
ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh
p ⇒ q.Nˆe
´
utach´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c
q ⇒ p th`ı theo quy t˘a
´
c pha
’
nd¯a

’
o, ta c´o p ⇒ q
d¯ ´ung. Nhu
.
vˆa
.
y , d¯ ˆe
’
ch´u
.
ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe
’
chuyˆe
’
n sang ch´u
.
ng minh
q ⇒ p
l`a d¯u
’
.
Th´ıdu
.
: Cho a l`a mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı

’
kh´ac 0. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u b l`a mˆo
.
tsˆo
´
vˆo
tı
’
th`ı ab c˜ung l`a mˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
.
Ta viˆe
´
t a =
m
n
,v´o
.
i m, n l`a hai sˆo
´

nguyˆen kh´ac 0. Nˆe
´
u ab l`a sˆo
´
h˜u
.
utı
’
th`ı ta
c´o thˆe
’
viˆe
´
t ab =
k
l
v´o
.
i k, l l`a hai sˆo
´
nguyˆen v`a l = 0. Khi d¯´o b =
ab
a
=
k/l
m/n
=
kn
lm
v`a suy ra b l`a mˆo

.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
1.1.4.5. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh pha
’
nch´u
.
ng: Co
.
so
.
’
lˆogic cu
’
aphu
.
o
.
ng

ph´ap ch´u
.
ng minh pha
’
nch´u
.
ng l`a nhu
.
sau: muˆo
´
nch´u
.
ng minh mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p l`a d¯´ung,
ta gia
’
thiˆe
´
t p l`a sai, t´u
.
cl`a
p l`a d¯´ung. Sau d¯´o ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
p ⇒ q l`a d¯´ung

v`a
q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a
´
c pha
’
nch´u
.
ng th`ı p l`a d¯´ung. D
-
iˆe
`
u n`ay dˆa
˜
n d¯ ˆe
´
n
mˆau thuˆa
’
n (luˆa
.
t b`ai trung).
10