QUÁ TRÌNH DỪNG

Chương 5: Quá trình dừng
CHƯƠNG V: QUÁ TRÌNH DỪNG
GIỚI THIỆU
Chuỗi Markov, quá trình Poisson nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của các hệ ngẫu
nhiên mà trong đó tương lai chỉ phụ thuộc hiện tại và độc lập với quá khứ (tính Markov). Khái
niệm quá trình ngẫu nhiên và chuỗi Markov đã được nghiên cứu trong giáo trình xác suất thống
kê.
Ngoài những quá trình Markov, trong thực tế ta còn gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của
nó có ảnh hưởng lớn đến sự tiến triển của quá trình trong tương lai. Đặc biệt với quá trình mà hàm
tự tương quan thuần nhất theo thời gian (quá trình dừng) có rất nhiều ứng dụng trong viễn thông.
Các tín hiệu, nhiễu của một hệ thống viễn thông là các quá trình dừng. Khái niệm quá trình dừng
được nhà toán học người Nga Khintchine đưa ra lần đầu tiên vào năm 1934. Ngày nay quá trình
dừng đã trở thành một trong những lĩnh vực quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết xác
suất.
Có hai định nghĩa về quá trình dừng: Quá trình dừng theo nghĩa hẹp và nghĩa rộng. Trong
chương này chủ yếu xét quá trình dừng theo nghĩa rộng, đó là quá trình ngẫu nhiên có kỳ vọng
không phụ thuộc thời gian và hàm tự tương quan thuần nhất theo thời gian. Các tín hiệu viễn
thông và nhiễu là các quá trình dừng. Các quá trình này được ký hiệu bằng chữ thường
()x t
. Các
quá trình đếm xét trong chương 6 được ký hiệu bằng chữ in hoa
()X t
.
Để đi đến khái niệm quá trình dừng ta xét các quá trình cấp 2, đó là các quá trình tồn tại
môment cấp 2 và hàm tự tương quan. Ta cũng xét một cách sơ lược về khái niệm đạo hàm, tích
phân của một quá trình ngẫu nhiên cấp 2.
Khi quá trình dừng biểu diễn các tín hiệu thì nhờ định lý Wiener-Khintchine ta có thể tính
công suất trung bình của tín hiệu thông qua phổ của quá trình dừng, đó là biến đổi Fourier của
hàm tự tương quan của quá trình.
Trung bình theo giời gian (time average) của một quá trình ngẫu nhiên bao giờ cũng dễ thực
hiện hơn trung bình theo tập hợp (ensemble average), vì vậy khi trung bình theo thời gian trùng

với trung bình theo tập hợp thì việc nghiên cứu chúng sẽ thuận lợi hơn. Quá trình có trung bình
theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp được gọi là quá trình ergodic. Chúng ta sẽ chỉ ra
những tiêu chuẩn để nhận biết quá trình dừng là quá trình ergodic.
Để học tốt chương này học viên nên xem lại lý thuyết xác suất và phép biến đổi Fourier.
NỘI DUNG
5.1. QUÁ TRÌNH CẤP 2
5.1.1. Khái niệm quá trình ngẫu nhiên
Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều là các quá trình ngẫu nhiên.

158
Chương 5: Quá trình dừng
Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành phần mang
tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị.

159
}
Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm chỉ xảy ra ứng với các biến cố
của không gian mẫu. Tín hiệu này nhận giá trị được ký hiệu là
t
{
NiE
i
∈, (, )
i
x tE
nếu tại thời
điểm
t
biến cố xảy ra. Như vậy
i

E (, )
i
x tE
()x t
là một mẫu của quá trình ngẫu nhiên . Quá trình
ngẫu nhiên
()x t
vừa phụ thuộc thời gian , vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên .
t
i
E













t
1
(, )x tE
t
2
(, )x tE

t
3
(, )x tE
t
4
(, )x tE
1
t
1
t
1
t
1
t
2
t

2
t

2
t

2
t

{ }
1
(, ),
i

x tE i N∈

{ }
2
(, ),
i
x tEi N∈

Quá trình ngẫu nhiên
()x t


Một cách tổng quát một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên
{ }
(, );x ttI
ω
∈
. Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời gian và khi cố định tham số thì
t t
(, )x t
ω
là biến ngẫu nhiên theo . Tập chỉ số
ω
I
thường biểu diễn tham số thời gian.
Quá trình ngẫu nhiên
{}
Ittx ∈ω);,(
được gọi là có thời gian rời rạc hay liên tục nếu tập chỉ
số

I
là tập đếm được hay là một khoảng nào đó. Quá trình ngẫu nhiên là thực hay phức nếu các
biến ngẫu nhiên
),( ωtx
nhận giá trị thực hay phức.
thay cho quá trình ngẫu nhiên
{}
Người ta thường viết tắt quá trình
{ }
It
tx
∈
)(
Ittx ∈ω);,(
.
5.1.2. Khái niệm quá trình cấp 2
Xét quá trình ngẫu nhiên . Như vậy với mỗi
{}
It
tx
∈
)(
It ∈
thì là một biến ngẫu nhiên
của không gian xác suất
)(tx
( )
P,,
F
Ω

. Biến ngẫu nhiên có các đặc trưng như: Kỳ vọng,
phương sai, tương quan, moment… .
)(tx
Moment cấp của biến ngẫu nhiên
m
X
định nghĩa như sau:
X
 Nếu biến ngẫu nhiên
rời rạc có bảng phân bố xác suất
Chương 5: Quá trình dừng


… …
X

1
u
i
u



( )
∑
=
i
i
m
i

m
puXE
thì .


… …
P
1
p
i
p





160
 Nếu biến ngẫu nhiên
X
liên tục có hàm mật độ thì .
()
∫
∞
∞−
= duufuX
mm
)(E
)(
uf
Định nghĩa 5.1: Quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình cấp 2 nếu tồn tại moment

cấp 2 với mọi . Nghĩa là
)(
tx
It ∈
Ittx ∈∀∞< ,)(E
2
.
5.1.3. Hàm trung bình và hàm tự tương quan
Ittxtm
∈∀= ,)(E)(
(5.1)
Ký hiệu

[ ]
(,) E ()()rst xsxt=
,
st I
∀ ∈
(5.2) ,
Công thức (5.1) được gọi là hàm trung bình và (5.2) là hàm tự tương quan của quá trình
.
)(
tx
Hiệp phương sai
[ ]
( )( )
(,) cov (), () E () () () ()Cst xs xt xs ms xt mt==−−
⎡ ⎤
⎣ ⎦

[ ]
E()() ()(), ,x sxt msmt st I= −∀∈
.

( ) ( , )
x tCtt
=
Đặc biệt phương sai
var

Định lý 5.1: Hàm hiệp phương sai có tính chất:
(,)
Cst
1) Đối xứng: .
(,) (,) , ,
Cst Cts ts
=∀
12 1 2
, ,..., , , ,...,
nn
tt t I bb b∀ ∈∀ ∈
n
∀∈
,
2) Xác định không âm:
²
11
(, ) 0
nn
j

iij
ij
bb C t t
==
≥
∑∑
,
ibaz −=
ibaz +=
trong đó
là số phức liên hợp của số phức .
Ngược lại người ta cũng chứng minh được nếu hàm có hai tính chất trên thì luôn tồn
tại một quá trình cấp 2 nhận làm hàm tự tương quan.
(, )
Cts
(, )
Cts
Nếu
{}
Tt
tx
∈
)(
là một quá trình phức thì hàm tự tương quan được định nghĩa như sau:
(,) E ()()rst xsxt
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦
(5.3)

có các tính chất:
(,) (,), ,Cst Cts ts=∀
1') Đối xứng:
.
Chương 5: Quá trình dừng
12 1 2
, ,..., , , ,...,
nn
tt t I bb b∀ ∈∀ ∈

n
∀∈
2') Xác định không âm: , ²
11
(, ) 0
nn
j
iij
ij
bb C t t
==
≥
∑∑
.

Sau đây ta xét một cách tổng quát các quá trình là quá trình phức.
Ví dụ 5.1: (Quá trình Wiener) Quá trình được gọi là một quá trình Wiener với
tham số nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
0,)( ≥
ttw

2
σ
1) .
0)0( =
w

161
2) Với mọi thì
ts <≤0
)()(
swtw
−
là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn
.
))(;0(
2
stN −σ
n
ttt <<≤ ...0
21
3) là quá trình với gia số độc lập, tức là với mọi
0,)( ≥
ttw
thì các biến
ngẫu nhiên:
)()(,...,)()(,)()(
12312 −
−−−
nn
twtwtwtwtwtw

là độc lập.
Như vậy là một quá trình cấp 2 có:
0,)( ≥
ttw
00)(E)( ≥∀==
ttwtm
.
[ ]
( )
, 0, (,) E () () E () () () ()ts Cst wswt ws ws wt ws∀≥ = = + −
⎡ ⎤
⎣ ⎦

[]
()( )
[
)()()0()(E)(E
2
swtwwswsw −−+=
]

(do tính chất tuyến tính của kỳ vọng)
[ ] [ ]
sswtwwsws
22
)()(E)0()(E σ=−−+σ=
0)(E =
sw

. (do gia số độc lập và )

Vậy .
2
(,) min(,)Cst st
σ
=
5.1.4. Phép tính vi phân cho quá trình cấp 2
Định nghĩa 5.2: Quá trình cấp 2
{ }
It
tx
∈
)(

1) Được gọi là liên tục tại nếu
−
2
L
0
t 0)()(lim
0
0
=−
→
txtx
tt
.
2) Được gọi là khả vi tại và có đạo hàm nếu:
−
2
L

0
t )('
0
tx
0)('
)()(
lim
0
00
0
=−
−+
→
tx
h
txhtx
h
, (5.4)

2
E XX =
trong đó
.
t
−
2
L −
2
L
Nếu là

)(
tx
liên tục (tương tự khả vi) tại mọi thì ta nói là liên tục (tương
tự khả vi).
−
2
L
−
2
L
−
2
L
Định lý 5.2: Quá trình
)(
tx
khả vi tại nếu và chỉ nếu:
0
t
1) khả vi tại ,
0
t
)(
tm
2) Tồn tại giới hạn
Chương 5: Quá trình dừng
[]
00 00 00 00
0
0

1
lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h
k
Ct ht k Ct ht Ct t k Ct t
hk
→
→
++− + − ++
.
(5.5)
−
2
L
Từ định lý này ta suy ra quá trình Wiener không
khả vi tại bất cứ điểm nào. Thật vậy,
thay vào biểu thức trên với
2
(,) min(,)Cst st
σ
=
0>= hk
ta có
[]
00 00 00 00
2
0
1
lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h

Ct ht h Ct ht Ct t h Ct t
h
→
++− + − ++

[]
22
0000
2
00
lim lim
hh
thttt
h
h
σσ
→→
+ −− + = =∞
.
2
(,)Cst
st
∂
∂∂
Định lý 5.3: Nếu hàm trung bình khả vi và đạo hàm riêng cấp 2
)(
tm
của hàm
hiệp phương sai liên tục thì quá trình là
−

2
L
)(
tx
khả vi, đạo hàm cũng là một quá trình
cấp 2. Hơn nữa
)('
tx
[]
[]
2
E'() '(),
(,)
cov '( ), '( ) ,
(,)
cov '( ), ( ) .
xt mt
Cst
xs xt
st
Cst
xs xt
s
=
∂
=
∂∂
∂
=
∂

(5.6)

−
2
L
Tương tự ta có thể xây dựng các khái niệm
khả vi cấp 2, 3…
5.1.5. Phép tính tích phân của quá trình cấp 2
[ ]
Iba ⊂;
Cho quá trình cấp 2
{
và đoạn
}
It
tx
∈
)(
.
của đoạn
[ ]
ba;
:Δ
bttta
n
=<<<= ...
10
Ứng với mỗi phân hoạch
, biến ngẫu nhiên sau
được gọi là tổng tích phân của quá trình

()
∑
−
=
+
−=Δ
1
0
1
)()(
n
i
iii
ttsxS
,

162
trong đó . Đặt
[
1
;
+
∈
iii
tts
]
ii
ni
tt −=Δ
+

−≤≤
1
10
max
.
0)(lim
0
=−Δ
→Δ
IS
Nếu tồn tại giới hạn
không phụ thuộc cách chia phân hoạch và cách
chọn các điểm đại diện thì ta nói quá trình là
−
2
L
i
s
)(
tx
khả tích. I là một biến ngẫu nhiên có
moment cấp 2 hữu hạn được gọi là tích phân của trên đoạn [a;b]. Ký hiệu
)(
tx

∫
=
b
a
dttxI )(

Chương 5: Quá trình dừng
Chú ý rằng cũng là một biến ngẫu nhiên.
∫
b
a
dttx )(
Định lý 5.4: tích phân có các tính chất sau
−
2
L
1) Nếu là liên tục trong [a; b] thì tồn tại tích phân ,
∫
b
a
dttx )(
−
2
L
)(
tx
2) Nếu thì ,
0)( ≥
∫
b
a
dttx
];[,0)(
battx
∈∀≥
3) (5.7)

)(,)()()( bcadttxdttxdttx
b
a
b
c
c
a
<<=+
∫∫∫
4) , (5.8)
()
∫∫∫
β+α=β+α
b
a
b
a
b
a
dttydttxdttytx )()()()(
X
Xtgtx
)()( =

163
5) Nếu trong đó là một biến ngẫu nhiên còn là một hàm số phụ
thuộc biến số thì . (5.9)
)(
tg
∫∫∫

==
b
a
b
a
b
a
dttgXdttXgdttx )()()(t
6) Giả sử là liên tục.
−
2
L
)(
tx
Đặt thì là
∫
=
t
a
dssxty )()(
−
2
L
)(
ty
)()('
txty
=
, (5.10) khả vi và
7) Nếu là liên tục trên [a;b] thì ta có công thức Newton- Leibnitz

−
2
L
)(
tx
. (5.11)
)()()(' axbxdttx
b
a
−=
∫
Định lý 5.5: Nếu hàm trung bình khả tích trên [a;b] và hàm hiệp phương sai
khả tích trên thì quá trình là
)(
tm
(,)
Cst
−
2
L
];[];[
baba
× )(
tx
khả tích trên [a;b]. Hơn nữa:
,
∫∫
=
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
b
a
b
a
dttmdttx )()(E
var ( ) ( , )
bbb
aaa
x t dt C s t dsdt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
,
cov () , () (,) ; [; ] [; ]
bd bd
ac ac
x s ds x t dt C s t dsdt c d a b
⎛⎞
=⊂
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
∫∫ ∫∫
;
cov ( ), ( ) ( , )
bb
aa
x sxtdt Cstd
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
t
. (5.12)

Chương 5: Quá trình dừng
Ví dụ 5.2: Giả sử là một quá trình Wiener với tham số xét trong ví dụ 1.
Quá trình này có hàm trung bình
2
σ
0;)( ≥
ttw

164
0)( =
tm
và hàm tự tương quan là hai
hàm khả tích. Theo định lý trên ta có tích phân với mọi . Khi
t

thay đổi ta
có quá trình
{
gọi là quá trình Weiner tích hợp.
2
(,) min(,)Cst ts
σ
=
∫
=
t
dsswtx
0
)()(
0≥t
}
0);( ≥ttx
Ta có ,
[]
∫∫
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=

tt
dssmdsswtx
00
0)()(E)(E
[]
000
var ( ) var ( ) ( , )
ttt
x twsdsCsu
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
dsdu


dudsusdsusdsduus
tu t
u
tt
∫∫ ∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
+σ=σ=
00
2
00
2
),min(),min(),min(
3
32
00
2
t
duudssds
tu t
u
σ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+σ=
∫∫ ∫
.

Với mọi

ts <≤0
, ta có
()
∫
−+−+=
t
s
dvswvwswstsxtx )()()()()()(
[] []
()
dvswvwsxswsxstsxtxsx
t
s
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+=⇒
∫
)()()(E)()(E)()(E)()(E
2

[]
3
)(var)(E
32

2
s
sxsx
σ
==
.
Mặt khác
[]
2
),()(,)(cov)()(E
22
0
2
00
s
tdtdttsrswdttwswsx
sss
σ
=σ==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∫∫∫
.

()
∫∫
−==
ss
dvwvwdvvwsx
00
)0()()()(
và độc lập
(
∫
−
t
s
dvswvw )()(
)

()
[]
()
0)()(E)(E)()()(E =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⇒
∫∫
t
s
t
s
dvswvwsxdvswvwsx
[]
6
)3(
2
)(
3
)(),(cov
222232
s
st
s
st
s
txsx
σ
−=

σ
−+
σ
=⇒
.
Chương 5: Quá trình dừng
5.2. QUÁ TRÌNH DỪNG
5.2.1. Khái niệm dừng theo nghĩa hẹp

165
}
Quá trình ngẫu nhiên
{
Ittx ∈);(
gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp (hay dừng theo
nghĩa chặt) nếu với mọi , với mọi và với mọi
T
thì véc tơ ngẫu nhiên
()
n
1
( ),..., ( )
n
x txt
1
,...,
n
tt

và

()
1
( ),..., ( )
n
x tT xt T++
có cùng luật phân bố.
Từ định nghĩa suy ra rằng nếu quá trình ngẫu nhiên
{ }
Ittx ∈);(
dừng theo nghĩa hẹp thì
mọi biến ngẫu nhiên
()
x t
tại thời điểm bất kỳ của quá trình đều có cùng luật phân bố với
t
(0)
x
.
Quá trình ngẫu nhiên theo nghĩa hẹp đòi hỏi quá chặt vì vậy ít gặp trong thực tế. Người ta
xét quá trình dừng theo nghĩa rộng như sau.
5.2.2. Khái niêm quá trình dừng
Quá trình cấp 2
{ }
Ittx ∈);(
được gọi là quá trình dừng (theo nghĩa rộng) nếu:
1) ,
constmtxtm
=== )(E)(
(,) E ()()rst xsxt
⎡ ⎤

=
⎣ ⎦
2) Hàm tự tương quan:
chỉ phụ thuộc vào ; nghĩa là tồn tại
hàm sao cho
ts −
)(τ
x
K
ItstsKtsr
x
∈∀−= ,;)(),(
.
)(τ
x
K
Theo Định lý 1.2 hàm tự tương quan
có các tính chất sau
Định lý 5.6:
)()( τ=τ−
xx
KK
1)
.
22
() (0) E () E (0) , .
xx
KK xt x
τ
≤= = t∀

2)
2
(0) E ( )
x
Kx= t
()
x t
Nếu
là dãy tín hiệu thì được gọi là công suất trung bình của tín hiệu.
constmtxtm
=== )(E)(
Chú ý: Giả sử hàm trung bình
, khi đó hàm hiệp phương sai
()()
( )
2
cov((), ()) E () () E ()()x sxt xs m xt m xsxt m=− −= −

(,) E ()()rst xsxt
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦
ts −
chỉ phụ thuộc vào
khi và chỉ khi hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc
vào . Vì vậy có thể định nghĩa quá trình dừng theo nghĩa rộng là quá trình cấp 2 thỏa mãn hai
điều kiện sau:
ts −
1’) ,
constmtxtm

=== )(E)(
[]
()()
(,) cov (), () E () () () ()Cst xs xt xs ms xt mt
⎡ ⎤
==−−
⎣ ⎦
2’) Hàm hiệp phương sai
chỉ
phụ thuộc vào ; nghĩa là tồn tại hàm
ts − )(τ
x
K (,) ( ); ,
x
Cst K s t st I= −∀∈
sao cho .
() E () 0,
mt xt t
= =∀
.
Rõ ràng rằng hai định nghĩa này trùng nhau khi