QUÁ TRÌNH POISSON

Chương 6: Quá trình Poisson
CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON
GIỚI THIỆU
Đầu thế kỷ XX, A. A. Markov- nhà Toán học và Vật lý nổi tiếng người Nga đã đưa ra mô
hình toán học để mô tả chuyển động của các phân tử chất lỏng trong bình kín. Về sau mô hình này
được phát triển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác như cơ học, sinh học, y học, kinh tế,
v.v….và được mang tên là Quá trình Markov.
Trong những năm gần đây, quá trình Markov được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán
kinh tế, tin học, viễn thông, đặc biệt là các bài toán về điều khiển tổng đài v.v…
Quá trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov với thời gian liên tục. Quá trình
Poisson mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố
)(tX
A
nào đó cho đến thời điểm .
Quá trình Poisson được ứng dụng nhiều trong viễn thông, liên quan đến bài toán truyền tín hiệu,
các hệ phục vụ, bài toán chuyển mạch ...
t
Nếu số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson, mỗi cuộc gọi chiếm dụng thiết
bị trong một khoảng thời gian nào đó, giả sử các khoảng thời gian này là các biến ngẫu nhiên độc
lập cùng phân bố, khi đó tổng số giờ gọi là một quá trình Poisson phức hợp.
Quá trình Poisson mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố
)(tX
A
nào đó cho
đến thời điểm . Giả sử biến cố
t
A
được phân thành 2 loại và tại mỗi thời điểm việc xuất
hiện biến cố hoặc là độc lập nhau, khi đó ta có quá trình Poisson có phân loại.
12
,AA

1
A
2
A
Quá trình Poisson phức hợp và quá trình Poisson phân loại giúp ta tính được sản lượng
trung bình khi khai thác dịch vụ viễn thông.
Trong chương này chúng ta khảo sát các vấn đề sau:
• Quá trình đếm, quá trình điểm.
• Quá trình Poisson.
• Các phân bố liên quan đến quá trình điểm Poisson: thời điểm đến thứ (hay thời
gian chờ) và khoảng thời gian giữa hai lần đến liên tiếp thứ
n
.
n
• Quá trình Poissson có phân loại.
• Quá trình Poisson phức hợp.
Quá trình Poisson là cơ sở quan trọng để khảo sát quá trình sắp hàng được nghiên cứu trong
chương tiếp theo.
Để học tốt chương này học viên phải nắm các kiến thức có bản của lý thuyết xác suất.

179
Chương 6: Quá trình Poisson
NỘI DUNG
6.1. KHÁI NIỆM QUÁ TRÌNH POISSON
6.1.1. Quá trình đếm
Quá trình đếm rất thường gặp trong thực tế.
Giả sử
A
là biến cố nào đó. Ký hiệu là số lần biến cố
0,)( >

ttX
A
xuất hiện trong
khoảng thời gian từ 0 đến
t
. Khi đó
{ }
0),( >ttX
được gọi là quá trình đếm.
Chẳng hạn ta có những ví dụ sau về quá trình đếm:

A
là biến cố khách vào điểm phục vụ nào đó. Khi ấy là số khách vào điểm phục
vụ tính đến thời điểm
t
.
)(
tX

A
là biến cố có cuộc gọi đến một tổng đài nào đó. Khi ấy là số cuộc gọi đến tổng
đài tính đến thời điểm .
)(
tX
t
Quá trình đếm
{ }
0);( ≥ttX
có các tính chất đặc trưng sau:
1. ; (6.1)

0)0( =
X
2. chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên; (6.2)
)(
tX
3. . (6.3)
tstXsX
≤≤≤ 0),()(
4.
tssXtXtsX
<≤−= 0,)()(],(
, là số lần biến cố
A
xảy ra trong khoảng thời gian
. (6.4)
],(
ts
Ta gọi
{
là quá trình điểm ứng với quá trình đếm
{}
.
}
tstsX <≤0,],( 0);( ≥ttX
6.1.2. Quá trình Poisson
Định nghĩa 6.1: Ta nói rằng quá trình
{ }
0);( ≥ttX
là quá trình Poisson với cường độ
λ

(hoặc tham số ) nếu:
λ
i) ;
0)0( =
X
ii) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên;
)(
tX
iii)
{
là quá trình có gia số độc lập, tức là, với bất kỳ
}
0);( ≥ttX
n
tttt <<<<= ...0
210

các gia số
)()(,...,)()(,)()(
11201 −
−−−
nn
tXtXtXtXtXtX
là các biến ngẫu nhiên độc lập.
iv) Mỗi gia số có phân bố Poisson với tham số
)()(
sXtsX
−+
tλ

với mọi .
0,0 >≥
ts
Định lý 6.1: Nếu quá trình đếm
{ }
0);( ≥ttX
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Có gia số độc lập, tức là
...,3,2=∀
m
và với mọi
m
ttt <<<= ...0
10
thì các gia số
là các biến ngẫu nhiên độc lập,
];(,...],;(],;(
12110 mm
ttXttXttX
−
2. Có gia số dừng, tức là với mọi
21
0.0 tts <≤∀>
thì các gia số
];(
21
ststX ++
,
có cùng phân bố xác suất. Như vậy luật phân bố chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian và
không phụ thuộc thời điểm.

];(
21
ttX

180
Chương 6: Quá trình Poisson
3. Xác suất xuất hiện biến cố A gần đều; tức là tồn tại
0>λ
(tốc độ xuất hiện biến cố
A
)
sao cho với khá bé thì
0>h
{ }
() 1 ()PXh h oh
λ
== +
. (6.5)
4. Với khá bé thì
0>h
{ }
() 2 ()PXh oh≥=
, (6.6)
thì
{
là quá trình Poisson tham số
}
0);( ≥ttX
λ
.

Ngược lại, quá trình Poisson là quá trình đếm thỏa mãn 4 điều kiện trên.
Chứng minh: Điều kiện i), ii) của định nghĩa quá trình Poisson được suy từ tính chất của
quá trình đếm. Từ 1) ta suy ra điều kiện iii). Theo 2) để chứng minh điều kiện iv) ta chỉ cần chứng
minh có phân bố Poisson
)(
tX
)( tλ
P
.
Đặt
{ }
ntXPtp
n
== )()(
,
...,2,1,0=
n

{}{ }
0)()(,0)(0)()(
0
=−+===+=+ tXhtXtXPhtXPhtp


( )
00 0
() ( ) ()1 ( )p tp h p t h oh
λ
==−+
,

00
0000
() ()
()
() '() () ()
t
pt h pt
oh
pt p t pt pt Ce
hh
λ
λλ
−
+−
=− + ⇒ =− ⇒ =
.
.
0;)(1)0(
0
0
≥=⇒=
λ−
tetpp
t
Tương tự
{}{ }
nhXhtXhXPnhtXPhtp
n
=−+===+=+ )()(,0)()()(

{}{ }
∑
≥
−=−+=+−=−+=+
2
)()(,)(1)()(,1)(
k
knhXhtXkhXPnhXhtXhXP


011
2
() () () () ()()
nnnk
k
phpt php t p toh
−−
≥
=+ +
∑
1
(1 ) ( ) ( ) ( )
nn
hp t hp t oh
λ λ
−
= −+ +

)()()('

1
tptptp
nnn −
λ+λ−=⇒
.
Đặt biến đổi Laplace của là
)(tp
n
{ }
)()( tpsP
nn
L
=

{}
)()()()()()('
11
sP
s
sPsPsPssPtp
nnnnnn −−
+λ
λ
=⇒λ+λ−==⇒
L
1
0
)(
)()(
+

+λ
λ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+λ
λ
=
⇒
n
n
n
n
s
sP
s
sP

1
1
()
() !
nn
nt
n
n

pt te
sn
λ
λλ
λ
− −
+
⎧⎫
⇒= =
⎨⎬
+
⎩⎭
L
.
Vậy có phân bố Poisson
)(
tX
)( tλ
P
.
Ngược lại nếu
{ }
0);( ≥ttX
là quá trình Poisson tham số
λ
thì có phân bố Poisson
)(
tX
)( tλ
P

nên
[] []
ttXtX λ== )(var)(E
. Khai triển Taylor ta có
{ }
() 0 1 ()
h
PXh e h oh
λ
λ
−
== =−+
khi ,
0→h

181
Chương 6: Quá trình Poisson
{ } ()
() 1 1 () ()
h
PXh he h h oh h oh
λ
λλλ λ
−
== = − + = +
khi .
0→h
Do đó
{ } { } { }
() 2 1 () 0 () 1 ()PXh PXh PXh oh≥=−=−==

khi .
0→h
Nhận xét: Giả sử quá trình
{ }
0;)( ≥ttX
đếm số lần xuất hiện biến cố
A
là quá trình
Poisson tham số thì
0>λ
[]
λ=)1(XE
. Như vậy
λ
là số lần trung bình xảy ra biến cố A trong
khoảng 1 đơn vị thời gian. Nếu quá trình
{ }
0;)( ≥ttX
đếm số khách đến điểm phục vụ thì
λ
là
tốc độ đến trung bình.
6.1.3. Các phân bố liên quan đến quá trình Poisson
Định nghĩa 6.2: Giả sử
{
là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố
}
0);( ≥ttX
A
.

1) Ta ký hiệu là thời điểm đến (arrival time) (hay thời gian chờ, waiting time) thứ ,
đó là thời điểm mà biến cố
)(
nW
n
A
xuất hiện lần thứ
n
.
Quy ước
0)0( =
W
.
2) Ký hiệu là khoảng thời gian
giữa 2 lần đến liên tiếp thứ
(interarrival time), đó là khoảng thời
gian tính từ thời điểm biến cố
)(
nS
n
A
xảy
ra lần thứ đến thời điểm xảy ra
biến cố
1−n
A
lần thứ .
n
Vậy .
)1()()( −−=

nWnWnS
Định lý 6.2:
1. Các thời gian đến trung gian , ,..., là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng
phân bố mũ tham số
)1(
S
)2(
S
)(
nS
λ
với hàm mật độ

0;)(
)(
≥
λ−
λ= t
t
etf
nS
. (6.7)
2. có phân bố Erlang tham số
)(
nW
,
n
λ
với hàm mật độ
0;

)!1(
)(
1
)(
≥
λ−
−
λ
=
−
t
t
e
n
t
tf
nn
nW
. (6.8)
Đặc biệt có phân bố mũ.
)1(
W
3. Với mọi và
ts <<0 nk ≤≤0

{}
knk
t
s
t

s
knk
n
ntXksXP
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=== 1
)!(!
!
)()(
. (6.9)
Chú ý rằng nếu
12
, ,...,
n
X XX
là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số

λ
thì
12
n
X XX X=+++"
có phân bố Erlang tham số
,
n
λ
. Do đó có kỳ vọng và phương sai:
[][]
12 12
2
E;var
nn
nn
XX X XX X
λ
λ
+++ = +++ =
""
. (6.10)
2
S
3
S

1
S

O

1
W

2
W

3
W

t


182
Chương 6: Quá trình Poisson
Ví dụ 6.1: Giả sử số khách đến cửa hàng nào đó là 1 quá trình Poisson với tốc độ
4=λ

khách/ giờ. Cửa hàng mở cửa lúc 8h.
1. Tính xác suất để đến 8h30 có cả thảy 1 khách; đồng thời đến 10h30 có cả thảy 5 khách
đến cửa hàng.
2. Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 tới.
3. Tính xác suất để khoảng thời gian giữa khách thứ 10 và khách thứ 11 lớn hơn 1/2 giờ.
Giải:
1. Xem = 8h. Vậy xác suất cần tìm là
0
t
{}{ }

4)21()25(;1)21(5)25(;1)21( =−==== XXXPXXP


{}{}
0155,0
!4
8
..24)2(.1)21(
8
4
2
≈====
−−
eeXPXP
.
2.
'302
4
1010
)10(E
h
W
==
λ
=
.
3.
{}{}
1
4

2
2
(1)121 (1)1211 0,13PS PS e e
−×
−
⎛⎞
>=− <=−− =≈
⎜⎟
⎝⎠
5
.
Ví dụ 6.2: Cho hai quá trình Poisson độc lập
{ }
0;)(
1
≥ttX
và
{ }
0;)(
2
≥ttX
với các tham
số tương ứng . Tìm xác suất để
21
,λλ 1)(
1
=tX
trước khi
1)(
2

=tX
.
Giải: Ta cần tìm xác suất
{ }
12
11
PW W<
, trong đó là thời điểm đến thứ của quá trình
còn là thời điểm đến thứ của quá trình .
1
n
W
n
)(
1
tX
2
m
W
m
)(
2
tX
{}
12 12
12
1
11 12 12
12
00

xy xy
xy x
PW W e e dxdy e e dxdy
λλ λλ
λ
λλ λλ
λ λ
∞∞
−− −−
≤<
<= = =
+
∫∫ ∫∫

Tổng quát, ta có thể chứng minh công thức sau
{}
1
1
12
12
1
12 12
kn
nm
k
nm nm
kn
PW W C
λλ
λλ λλ

+−−
+−
+−
=
⎛⎞⎛⎞
<=
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
∑
mk
}
. (6.11)
6.2. QUÁ TRÌNH POISSON CÓ PHÂN LOẠI
Xét quá trình Poisson
{
với cường độ
0;)( ≥ttX
λ
(tương ứng với quá trình đếm số lần
xảy ra biến cố
A
). Giả sử mỗi khi biến cố
A
xảy ra thì nó được phân thành hai loại: loại I với xác
suất
p
và loại II với xác suất
pq
−= 1

. Hơn nữa, giả sử sự phân loại biến cố này là độc lập với
sự phân loại biến cố kia.
Chẳng hạn, khách đến cửa hàng theo quá trình Poisson
{ }
0;)( ≥ttX
với cường độ
λ
,
khách được phân làm hai loại: nam với xác suất 1/2 và nữ với xác suất 1/2.

183