Kiến thức bổ sung về xác suất

Chơng 1. kiến thức bổ Sung về xác suất
Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng

1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc
Tên Kí hiệu
Xác suất P
{ }
Xk=

Kì vọng Phơng sai
Nhị thức B(n,p)
kk nk
n
C p (1 p) ;k 0,1,..., n

=

np np(1-p)
Poisson
P(
)

k
e
;k 0,1,...
k!


=

Hình học G(p)
p(1-p)
k=0,1,2,...
k
;
1p
p


2
1p
p


Siêu hình
học
H(N,n,p)
knk
Np N Np
n
N
CC
;k 0,1,..., n
C

=

........ .........
Các luật phân bố rời rạc khác: đều rời rạc, nhị thức âm,...
1.1.2Biến ngẫu nhiên liên tục
Tên Kí hiệu Mật độ Kì vọng Phơng sai
Đều U([a;b])
1
;a x b
b a



ab
2
+

2
(b a)
12


Mũ
E(
)


x
e

;

,x>0
1/


2
1/


Cauchy
C

(,)
22
/[ ( (x ) )]
+

Không tồn tại
Không tồn
tại
Chuẩn
N(m,
2

)
2
2
2
1(xm)

exp ( 0)
2
2



>






m
2


Gamma
(r, )

r1 x
(x) e ; ,r,x 0
(r)


>


r

2
r


Khi bình
phơng
2
(n)


nxn
1
222
x e /(2 (n / 2); x 0,n 1, 2,...

>=

n 2n
Student T(n)
((n 1) / 2))
n(n/2)
+

2
(n 1)/2
x
(1 )
n
+

+

0
n
n2


Fisher-
Snecdecor
F(n,m)
n2 nm
2
Bx (m nx) ;
+

+
2
m, n, x > 0
.......... ..........
Weibul
W(

,)
1x
xe ;,,x0


>

1

(1 1 / )


+

..........
Lôga chuẩn
2
LN(m, )

2
1
2
2
1 (ln x m)
xexp ;,x0
2
2




>





exp
2

m
2



+





Rayleigh
2
(x a) /b
2
(x a)e , x a
b



b
a
4

+

4
b
4

Lu ý:
với u>0 hàm Gamma.
u1 t
o
(u) t e dt


=

Tính chất:
;
(u 1) u (u)+=
(n) (n 1)! ; (1/ 2) = =
.
Các luật phân bố liên tục khác: Bê ta, tam giác,...
Biến ngẫu nhiên chuẩn rất quan trọng ta dành ra 1 phần riêng.

Đ.1.2. Biến ngẫu nhiên chuẩn
1.2.1.Tính chất hàm mật độ .
f(x) =
2
2
2
1(xm)
exp ( 0)
2
2

>






+Hàm mật độ xác định trên
Ă ;
+f(x) > 0: Đồ thị nằm trên trục hoành;
+Trục Ox là tiệm cận ngang;
+Giá trị cực đại
2
1
2
, đạt đợc tại x = m;
+Đồ thị đối xứng qua đờng thẳng x=m, có dạng hình chuông (Hình 1.1).




Hình 1.1. Đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn.
2
1
2
m
x

O
1.2.2.Các tham số đặc trng
2
E[X] m;
D[X] .
=



=


(1.1)
Nh vậy nhận thấy rằng, chỉ cần biết kì vọng và phơng sai là có thể biết
mật độ f(x) và do đó hoàn toàn biết về phân bố chuẩn. Còn có thể tính đợc
+Độ chệch Skew(X) =
3
3
E[(X EX) ]

= 0;
+Độ nhọn Kurt(X) =
4
4
E[(X EX) ]

- 3 = 0. (1.2)
1.2. 3.Bnn chuẩn hoá (chuẩn tắc).
X đợc gọi là biến nn chuẩn tắc nếu X N(0,1).Hàm mật độ của nó cho bởi

8


2
x
2
1
(x) e
2

=

. (1.3)
Đặc điểm : -Giá trị của
đợc lập bảng với x
(x)

{0;4];
-Đồ thị đối xứng qua trục tung;

-Hàm phân bố tơng ứng

2
t
x
2
1
F(x) e dt
2

=


(1,4)
cũng đợc lập bảng. Tuy nhiên, để tiết kiệm bảng, thay cho F(x), ngời ta lập
bảng giá trị của hàm Laplace:

2
t
x
2
0
1
(x) e dt,
2

=


x

[0; 3]. (1.5)
Với x > 3, coi
(x)


1
2
.

Hình 1.2. Đồ thị hàm mật độ chuẩn hoá (a) và đồ thị hàm Laplace (b).

Khi cần tính F(x) qua

(x) hay ngợc lại, dùng công thức :
F(x) =
1
2
+

(x). (1,6)
Công thức sau rất có ích để tính xác suất X nằm trên đoạn nào đó:

[]
{ }
PX a;b (b) (a).=
(1,7)

1.2.4.Biến đổi tuyến tính bnn chuẩn.
+Cho X

N(m, ) Y= a X+b có phân bố chuẩn.
2


a,b ,Ă
Từ đó dễ thấy aX+b

N(am+b,
22
a

).
+Hệ quả. X

2
Xm
N(m, ) U

=



N(0,1). (1.8)

9


Hệ quả này cho ta phơng pháp thuận lợi để tính
{ }
PX [a;b]

:
[]
{ }
PX a;b

=P

amXm bm






b mam
()().

=

(1.9)
1.2.5.Phân vị .Phân vị chuẩn mức

, kí hiệu
U

, là giá trị xác định bởi
{ }
PU U

>=
, với U

N(0,1)
2
t
2
U

1
edt
2
+


=


. (1.10)




Hình 1.3. Phân vị chuẩn mức

.
Tính chất:
1
UU

=
. (1.11)
Một số giá trị đặc biệt: (1.12)
0,10 0,025
0,05 0,01
U 1,280; U 1,960;
U 1,645; U 2,326.
==

==


Lu ý: Nhiều tài liệu không lập bảng của
U

mà lập bảng của hoặc
p

u


với

{ }
PU p

<=
;
{ }
PU u

< =
.
1.2. 6. Sai số trung gian, dạng mật độ chuẩn dùng trong pháo binh.
Cho X

, U

(
2
Nm,
)

là phân vị chuẩn mức

, đặt
== 6745,0UL
25,0
;
.4769,02/U
25,0
==
(1.13)
Chúng ta có thể viết lại hàm mật độ của X dới dạng

()
22
(x m) /L
fx e
L

2

=

. (1.14)
Rõ ràng là , nếu m = 0 thì

{}
5,0LXLP =<<
. (1.15)

10

Nh vậy nếu quan sát BNN chuẩn quy tâm nhiều lần thì có khoảng 50% số
lần BNN đó rơi vào khoảng (-L;L). Chính vì thế, L đợc gọi là sai số trung gian,
nó tỉ lệ với độ lệch chuẩn. Dạng mật độ (1.14) của phân bố chuẩn hay đợc dùng
trong pháo binh.
1.2.7.Quy tắc
2,
3 .

Cho X

N(m, ), theo công thức (1.9) ta có
2


{}
Xm
PX m P


<=< <



=2

()



. (1.16)
Thay
ta đợc
1,2,3=
{ }
P X m 1 2 (1) 0,68268<==
;
{ }
P X m 2 2 (1) 0,95450<==
;
{ }
P X m 3 2 (1) 0,9973.<==
(1.17)
Các xác suất 0,9545; 0,9973 là các xác suất rất lớn. Theo nguyên lí xác suất
lớn ta có quy tắc 2
sau đây:
,(3 )
Quy tắc.Nếu BNN có phân bố chuẩn thì hầu nh chắc chắn (độ tin cậy trên
95%(trên 99%)), BNN chỉ sai lệch với giá trị trung bình cuả nó một lợng không
quá 2
).
(3 )
1.2.8.Tính phổ cập của phân bố chuẩn. Thực tế chúng ta rất hay gặp phân bố
chuẩn. Sở dĩ nh vậy vì xảy ra Định lí giới hạn trung tâm sau đây (xem mục
3.5.2d):
Nếu bnn X là kết quả của rất nhiều nguyên nhân, mỗi nguyên nhân chỉ có

vai trò không đáng kể đến kết quả cuối cùng thì X có phân bố rất gần phân bố
chuẩn.
Đ1.3.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn.
1.3.1.Véc tơ kì vọng, ma trận tơng quan, ma trận hệ số tơng quan

a)Trờng hợp 2 biến. Xét 2 BNN X, Y bình phơng khả tích. Mô men tơng
quan (gốc) của X và Y, kí hiệu
, xác định theo công thức
XY
R


XY
RE[XY= ].
Hiệp phơng sai của X và Y, kí hiệu Cov(X,Y) xác định bởi

.
Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]=
Hai BNN X và Y đợc gọi là không tơng quan nếu

.
Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= =
Điều này tơng đơng với

.
E[XY] E[X] E[Y]=
Trái lại, nếu đẳng thức không xảy ra, X và Y đợc gọi là không tơng quan.

11

Nếu X và Y độc lập thì chúng không tơng quan. Ngợc lại không đúng:
Tồn tại những BNN X và Y không tơng quan, song chúng không độc lập.
Đối với 2 BNN chuẩn X, Ythì X và Y độc lập

X và Y không tơng quan.
b) Trờng hợp tông quát.
Cho
là VTNN với các thành phần là những BNN
bình phơng khả tích. Đặt
1
T
1n
n
X
X ... (X ,..., X )
X


==








11
nn
E[X ] m

m E[X] ... ...
E[X ] m


== =



- véc tơ kì vọng;
Ma trận tơng quan của X cho bởi

( )
ij i j
R(R) E[XX]==
.
Rõ ràng
.
2
ii i
RE[X
=
]

Ma trận hiệp phơng sai của X cho bởi
ij
()
= =
Cov(X) = E[(X-m) . (1.18)
T
(X m) ]

Lu ý:
22
ii iiii
D[X ] E[(X m ) ]= = =
j
- phơng sai của .
i
X
ij

= - hiệp phơng sai của .
iijj i
E[X m )(X m )] Cov(X ,X )
=
ij
X,X
ij i i j j
ij
ij ij
Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )]
D[X ]D[X ] D[X ]D[X ]

= =
- hệ số tơng quan của .
ij
X,X
R
-ma trận các hệ số tơng quan.
ij

()
=
c)Tính chất 1)
ij
1, i, j.
(1.19)
2) Nếu các thành phần X
1
độc lập thì không tơng
quan và R=
ma trận chéo,
n j
,...,X
i
X,X
ij
(R )
ij
()
-ma trận đơn vị . Ngợc lại không đúng.
3)
và R đối xứng , xác định không âm.


1.3.2. VTNN chuẩn, các tính chất quan trọng.
VTNN X= đợc gọi là VTNN chuẩn ( X gọi là có phân bố
chuẩn trong
T
1n
(X ,...,X )

n
Ă
) nếu tổ hợp tuyến tính bất kì các thành phần của nó có phân bố
chuẩn.

12