Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số iir bằng matlab

1

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................... 2
Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ............................................... 3
1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ ............................................................................................. 3
1.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ. .......................................................... 6
1.2.1. Phép biến đổi z ................................................................................................................. 6
1.2.2. Các tính chất của biến đổi z: ............................................................................................ 7
Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR ........................................................ 9
2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƢƠNG TỰ ............... 9
2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung .............................................................................................. 9
2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến .................................................................................. 13
2.1.3. Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân ................................................................................ 16
2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP .................................................. 17
2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth: ......................................................................................... 17
2.2.2. Bộ lọc Chebyshev .......................................................................................................... 20
2.2.3. Bộ lọc tƣơng tự Elip (Cauer). ......................................................................................... 28
Chƣơng 3. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG
CÔNG CỤ SPTOOL ....................................................................................... 30
3.1. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG CỤ SPTOOL ................................................................................ 30
3.1.1 Thiết kế bộ lọc số bằng công cụ SPTool: ........................................................................ 30
3.1.2 Phân tích bộ lọc: .............................................................................................................. 33
3.1.3 Thiết kế những bộ lọc bổ sung: ....................................................................................... 33
3.1.4 Thể hiện những bộ lọc trên trong Fvtool (Filter Visualization Tool): ............................ 36
3.1.5 Export bộ lọc từ FDATool: ............................................................................................. 38
3.2. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG SPTOOL ........................................ 39
3.2.1 Bài toán: .......................................................................................................................... 39
3.2.2. Các bƣớc thiết kế: .......................................................................................................... 40
3.2.3. Đánh giá các bộ lọc ........................................................................................................ 46
KẾT LUẬN ............................................................................................. 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 48

2

LỜI MỞ ĐẦU
Tín hiệu xuất hiện hầu nhƣ ở tất cả các ngành khoa học và kĩ thuật; ví nhƣ
trong âm học, sinh học, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa
chất học và khí tƣợng học. Có hai dạng tín hiệu đƣợc biết đến. Đó là tín hiệu liên
tục theo thời gian và tín hiệu rời rạc theo thời gian.
Một tín hiệu rời rạc, cũng nhƣ một tín hiệu liên tục, có thể đƣợc biểu diễn bởi
một hàm của tần số và đƣợc biết đến nhƣ là phổ tần của tín hiệu.
Lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biến
dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn. Nó có thể dẫn đến sự khuếch đại
hoặc suy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ
thể,… Sử dụng bộ lọc số rất nhiều vẻ, ví nhƣ: để loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu
nhƣ nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo
lƣờng, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã đƣợc trộn lẫn theo chủ định
nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành
phần tần số của chúng, để giải nén tín hiệu, để chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian
sang tín hiệu liên tục theo thời gian.
Bộ lọc số là một hệ thống số có thể đƣợc sử dụng để lọc các tín hiệu rời rạc
theo thời gian.
Tiểu luận này trình bày lý thuyết thiết kế bộ lọc IIR và tính toán các hệ số bộ
lọc viết bằng ngôn ngữ MATLAB, đƣợc chia thành 3 chƣơng nhỏ:
Chƣơng 1. Tổng quan về bộ lọc số: Chƣơng này giới thiệu khái quát về lý
thuyết bộ lọc số và cơ sở toán học của bộ lọc số.
Chƣơng 2. Thiết kế bộ lọc số IIR.: Chƣơng này trình bày phƣơng pháp tổng
hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tƣơng tự và các phƣơng pháp tổng hợp các bộ lọc tƣơng
tự thông thấp.
Chƣơng 3. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR bằng công cụ SPTool. Trong

chƣơng này trình bày trình tự mô phỏng các bộ lọc số IIR thông thấp và đánh giá so
sánh các thông số đáp ứng biên độ của các bộ lọc.

3

Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Trong kỹ thuật tƣơng tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trò quan
trọng. Ngƣời ta chia chúng làm 2 loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụ động.
Song thành phần cơ bản tác động đến biên độ _tần số tín hiệu là các thành phần điện
kháng nhƣ : điện cảm L và điện dung C. Chúng đƣợc mắc với nhau theo những cấu
trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc nhƣ : Bộ lọc thông thấp, thông cao,
thông một dải hoặc các bộ chặn tần v.v... Để thiết kế chúng ngƣời ta phải giải các
phƣơng trình vi tích phân. Một phƣơng pháp phổ biến nữa là ngƣời ta xây dựng
hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xác định chính xác đáp ứng
của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xác định.
Khi kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số đƣợc xây
dựng trên nền tảng là các chƣơng trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầu cho
các bộ lọc số. Các chƣơng trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằng phần
mềm hoặc bằng các kết cấu cứng.
Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số và bộ lọc tƣơng tự có nhiều nét tƣơng
đồng kể cả về chức năng cũng nhƣ phƣơng pháp luận trong việc xây dựng chúng.
Trong chƣơng này chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát về các bộ lọc số và công cụ
toán học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chƣơng tiếp
theo.
1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các
thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất
biến theo thời gian. Thông số vào và ra của hệ thống quan hệ với nhau bằng tổng
chập
( ) ( )* ( )

k
y n x n h n k





Bộ lọc số đƣợc chia làm hai loại cơ bản là bộ lọc IIR (Infinite-Duration
Impulse Response) có đáp xung h(n) vô hạn và bộ lọc FIR (Finite-Duration Impulse
Response) có đáp ứng xung hữu hạn.Bộ lọc IIR mang tính tổng quát hơn bộ lọc FIR
vì IIR là bộ lọc đệ quy còn bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy. Để thấy rõ hơn ta xét
4

hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả (TTBBNQ) đƣợc mô tả bằng phƣơng trình
sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N ≥ 1:

01
( ) ( ) ( )
MN
kr
kr
y n b x n k a y n r

   

(1.1)
Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra là hệ đệ quy, sơ đồ cấu trúc của nó
gồm hai nhóm, nhóm thứ nhất là phần giữ chậm tác động vào x(n), nhóm thứ hai là
phần phản hồi giữ chậm phản ứng y(n). Trên hình 1.1 là sơ đồ cấu trúc dạng chẩn
tắc 1 của hệ.

Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy
Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp không
làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đƣa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.1 về dạng
chuyển vị trên hình 1.2.

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc chuyển vị của hệ IIR đệ quy
5

Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.2 bằng một dãy trễ, nhận đƣợc
sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.3 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả thiết
M > N ). Xét phƣơng trình (1.1) khi các hệ số a
r
=0 thì phƣơng trình trở thành:

0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k



(1.2)
Lúc này hệ là tuyến tính bất biến nhân quả không đệ quy FIR (không còn
thành phần phản hồi). Nó có hai dạng cấu trúc nhƣ các hình sau :
Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào trên là hệ có số phần tử hữu hạn và
không đệ quy, nên sơ đồ cấu trúc của hệ không có phản hồi và có thể thực hiện
đƣợc nhƣ trên hình 1.4

Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy
Khi đổi vị trí các phần tử trễ, nhận đƣợc sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị trên
hình 1.4b.
Nhƣ vậy bộ lọc FIR chỉ là một dạng đặc biệt của bộ lọc IIR nhƣng nó có ƣu
điểm là đơn giản về mặt toán học và tính ổn định của nó cao hơn bộ lọc IIR.Bộ lọc
IIR có cấu trúc thƣờng gọn nhẹ hơn và hệ số phẩm chất của nó thƣờng cao hơn so
với bộ lọc FIR.
6


Hình 1.4: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR không đệ quy
1.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ.
Trong nhiều trƣờng hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong
miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các bài toán đƣợc dễ dàng hơn,
ngƣời ta thƣờng sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số
khác. Biến đổi Laplace đƣợc dùng để phân tích hệ tƣơng tự, đối với hệ xử lý số sử
dụng biến đổi Z.
1.2.1. Phép biến đổi z
Phép biến đổi Z đƣợc sử dụng cho các dãy số. Biến đổi Z thuận để chuyển
các dãy biến số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngƣợc để chuyển các
hàm biến số phức z thành dãy biến số nguyên n.
a. Biến đổi Z thuận:
* Biến đổi Z hai phía: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của
biến số phức z :

( ) ( ).
n
n
X z x n z






(1.3)
Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi hội tụ. Ký hiệu:
ZT[x(n)] = X (z) (1.4)
Hay:
7


( ) ( )
ZT
x n X z
(1.5)
( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Z - Transform).
* Biến đổi Z một phía:
Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z :

1
0
( ) ( ).
n
n
X z x n z






(1.6)
Miền xác định của hàm
1
()Xz
là các giá trị của z để chuỗi (1.6) hội tụ. Ký
hiệu:

 
11
( ) ( )ZT x n X z
(1.7)
Hay:
1
1
( ) ( )
ZT
x n X z
(1.8)
b. Biến đổi Z ngược:

1
1
( ) ( ).
2
n
C
x n X z z dz
j





(1.9)
Tích phân (1.9) chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngƣợc, nó đƣợc ký
hiệu nhƣ sau : IZT[X (z)] = x(n) (1.10)
Hay:
( ) ( )
IZT
X z x n
(1.11)
(IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Invertse Z Transform).
1.2.2. Các tính chất của biến đổi z:
Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của
biến đổi Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán đƣợc dễ dàng hơn.
1.2.2.1. Các tính chất của biến đổi Z hai phía
* Tính chất tuyến tính : Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp
tuyến tính các hàm ảnh Z thành phần.
Nếu
 
( ) ( )
ii
ZT x n X z
với
 
( ) :
i i i
RC X z R z R



thì :

.
( ) ( ) . ( ) ( )
i i i i
ii
Y z ZT y n A x n A X z

  



(1.12)
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm X
i
(z).
* Tính chất đạo hàm
Nếu: ZT[x(n)] = X (z) với
 
( ) :
xx
RC X z R z R


thì :
8


 
()

( ) ( ) . ( ) .
dX z
Y z ZT y n n x n z
dz
   
(1.13)
* Tính chất tích chập : Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm
ảnh thành phần.
Nếu:
 
11
( ) ( )ZT x n X z
với
 
1 1 1
( ) :RC X z R z R



Và:
 
22
( ) ( )ZT x n X z
với
 
2 2 2
( ) :RC X z R z R



Thì:
 
1
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).
2
C
z
Y z ZT y n x n x n X x X d
j
  



  




(1.14)
Với
 
( ) :max[ ] min[ ]
ii
RC Y z R z R



Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X

1
(z) và X
2
(z).
Đƣờng cong kín C của tích phân (1.14) phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc
miền hội tụ của cả X
1
(z) và X
2
(z) trong mặt phẳng phức.
* Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và
X (z) = ZT[x(n)] thì :
lim ( ) (0)
x
X z x



* Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
Nếu : ZT[x(n)] = X (z) với
 
( ) :
xx
RC X z R z R



Thì:
[ *( )] *( *)ZT x n X z
với

 
( ) :
xx
RC Y z R z R


(1.15)

* Biến đổi Z của hàm tƣơng quan r
xy
(m)
Nếu: ZT[x(n)] = X (z) thì
1
( ) [ ( )] ( ). ( )
xx
R z ZT r m X z X z


(1.16)
1.2.2.2. Các tính chất của biến đổi Z một phía
Biến đổi Z một phía có hầu hết tất cả các tính chất giống nhƣ biến đổi Z hai
phía, trừ tính chất trễ.
* Tính chất trễ của biến đổi Z một phía
Nếu:
11
[ ( )] ( )ZT x n X z
với
1
[ ( )]:
x

RC X z z R



Thì: với k>0:
1 1 1 ( )
1
( ) [ ( )] ( ) ( ).
k
k i k
i
Y z ZT x n k z X z x i z


    


Với
11
[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z
, trừ điểm z=0.
* Tính chất vƣợt trƣớc của biến đổi Z một phía
9

Nếu:
11
[ ( )] ( )ZT x n X z
với
1
[ ( )]:

xx
RC X z R z R



Thì với k>0:
1
1 1 1 ( )
0
( ) [ ( )] ( ) ( ).
k
k k m
i
Y z ZT x n k z X z x m z



   

(1.17)
Với
11
[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z
, trừ điểm z=0.
Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR
Để thiết kế bộ lọc số IIR, ta có một số phƣơng pháp nhƣ: thiết kế từ bộ lọc
tƣơng tự, chuyển đổi tần số, phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu. Trong đó phổ biến
nhất là phƣơng pháp thiết từ bộ lọc tƣơng tự, tức là ta thiết kế một bộ lọc tƣơng tự
thỏa mãn các yêu cầu đặt ra, sau đó dùng các phƣơng pháp chuyển đổi từ miền
Laplace sang miền Z ta đƣợc bộ lọc số.

2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC
TƢƠNG TỰ
Tƣơng tự nhƣ bộ lọc số FIR, ngƣời ta thƣờng dùng một số phƣơng pháp tổng
hợp bộ lọc số IIR có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn. Phƣơng pháp đƣợc đƣa ra ở
đây là biến đổi từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ. Việc tổng
hợp bộ lọc tƣơng tự đã đƣợc giới thiệu ở phần trƣớc, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta
sẽ bắt đầu việc tổng hợp bộ lọc trong miền tƣơng tự tức là xác định hàm truyền đạt
H
a
(s) và sau đó biến đổi sang miền số.
Có 3 phƣơng pháp chính để chuyển từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số tƣơng
đƣơng:
- Phƣơng pháp bất biến xung
- Phƣơng pháp biến đổi song tuyến
- Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân
Ngoài ra ta có thể sử dụng phƣơng pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp
đã đƣợc thiết kế để thiết kế các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ
lọc thông cao, thông dải, chắn dải.
2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung
Phƣơng pháp này dựa trên quan hệ cuả đáp ứng xung h
a
(t) cuả bộ lọc tƣơng tự
và dãy h(n) rời rạc đƣợc xác định bởi lấy mẫu h
a
(t):
10

h(n) = h
a
(nT)

Có nghĩa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc đƣợc nhận từ việc lấy mẫu
đáp ứng xung của bộ lọc tƣơng tự, T là chu kỳ lấy mẫu.
Theo trên ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
aa
n
h n h nT h t t nT



  



Với hàm h
a
(t) ta có ảnh Laplace là H
a
(t) ,
()t nT


là hàm xung Dirac.
Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(e
j

)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
aa
nn

h n h t t nT h t t nT


 
   


Trong miền thời gian liên tục, gọi :
- Biến đổi Fourier của h
a
(t) là
()
aa
H

- Biến đổi Fourier của
()
n
t nT





là
_
12
()
a
n

n
TT







Nhƣ vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là
()
j
He

, ta có :
_
12
( ) ( ) ( )
j
a a a
n
n
H e H
TT


  




  




=
_
12
( ) ( )
a a a
n
n
H
TT

  





Mà
2 2 2
( ) ( ) ( ). ( ) ( )
a a a a a a a
n n n
H H d H
T T T
  
     



         


Vậy
_
12
( ) ( )
j
aa
n
n
H e H
TT







(2.1)
 Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω và ω
a
ta nhận xét :
- Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n đƣợc hiểu là số nguyên không đơn
vị nên ω phải có đơn vị góc là radian, ω gọi là tần số số.

11

Hình 2.1
- Đối với tín hiệu tƣơng tự :x(t)= Acosω
a
t, trong đó ω
a
là tần số góc ( rad/s),
khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t=nT ( với T là chu kỳ lấy mẫu ) thì ta đƣợc tín
hiệu số :
x(n)= Acosω
a
T. Vậy đối chiếu với tín hiệu số :
x(n) = A cos(nω)
Ta có mối quan hệ : ω= ω
a
T
 Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bƣớc sau :
- Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số
()
j
He

, và cần
thiết lập chỉ tiêu tƣng tự tƣơng ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng
(ω
a≤
2
s
T





hay là f
s
≥2f
a
) f
s
là tần số lấy mẫu, f
a
là tần số tín hiệu liên tục vào.
- Cần hàm truyền đạt tƣơng tự H
a
(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tƣơng tự đã đặt ra.
Trong nhiều trƣờng hợp H
a
(s) coi nhƣ đƣợc cho và chỉ cần thực hiện các bƣớc sau :
+ Từ hàm H
a
(s) với biến đổi ngƣợc Laplace cần xác định hàm đáp ứng xung
tƣơng tự H
a
(t)
+ Từ H
a
(t) xác định dãy h(n) sau đó xác định ảnh H(z) có thể thực hiện bởi
một chuẩn nào đó.
Để khai thác hết hiệu quả của phƣơng pháp đáp ứng xung bất biến , ta biểu

diễn hàm truyền đạt của mạnh lọc tƣơng tự H(s) dƣới dạng khai triển thành các
phân thức tối giản nhƣ sau :
12

1
()
N
k
a
k
pk
A
Hs
ss




với S
pk :
là các điểm cực đơn của H
a
(s).
Qua các phép biến đổi Laplace ngƣợc, lấy mẫu với điều kiện hội tụ S
pk
<0 ta
có hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số đƣợc chuyển tƣơng đƣơng theo phƣơng pháp
bất biến xung sẽ là :
1
1

()
(1 )
pk s
N
k
sT
k
A
Hz
ez





(2.2)
Các điểm cực của H
a
(s) cũng chính là các điểm cực H(z) :
1
()
N
k
a
k
pk
A
Hs
ss






1
1
()
(1 )
pk s
N
k
sT
k
A
Hz
ez






Hay các điểm cực S
pk =
δ +jω của H
a
(s) lọc tƣơng tự đƣợc chuyển thành các
điểm cực

pk s

sT
pk
Ze
c ủa H(z) lọc số :
()
ss
T j T
j
pk
sT
jT
pk s
s
Z e e e e Z e
pk





   

Với
s
T
pk
Ze


và

s
T



Nếu : σ<0 hay các điểm cực của H
a
(s) sẽ nằm bên trái mặt phẳng S =>
1
pk
Z 
hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Nhƣ vậy
điều kiện ổn định vẫn đƣợc bảo đảm khi chuyển H
a
(s) thành H(z).
Ví dụ 1 : Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp bất biến xung, biết
mạch điện tƣơng tự cho nhƣ sau :

Giải:
13

Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự :
1
1
1
()
()
1
( ) ( )
()

r
a
vp
U s A
RC
Hs
U s s s
s
RC
  



Với
1
1
A
RC

;
1
1
p
S
RC


Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là :
1
0

11
1
1
1
()
(1 )
(1 )
(1 )
ps
s
k
ST
T
RC
Ab
RC
Hz
az
ez
eZ




  



với
0

1
b
RC

;
1
1
s
T
RC
ae




 Phƣơng trình sai phân : y(n) + a
1
y(n-1) = b
0
x(n)
 Sơ đồ thực hiện hệ thống :

2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến
Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR.
Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyễn tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu
trục jω
a
trên mặt phẳng S lên đƣờng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt
phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo
đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành

bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ
các giá trị trên trục jω
a
lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng
chập tần số nhƣ phép biến đổi xung bất biến.
- Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tƣơng tự H
a
(s) và hàm
truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phƣơng trình vi phân và tính tích phân
gần đúng bằng phƣơng pháp số.
- Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình vi phân bậc 1 có
dạng :
14


1 0 0
()
( ) ( )
a
aa
dy t
C C y t D x t
dt

(2.3)
Hàm truyền tƣơng tự :
0
10
(s)
()

()
a
a
a
YD
Hs
X s SC C


(2.4)
Có thể xác định hàm Y
a
(t) bằng cách lấy tích phân đạo hàm của nó :

0
()
( ) ( )
t
a
aa
to
dy t
Y t dt Y t
dt



Nếu ta lấy tích phân trên đoạn ngắn, hoạc trong khoảng thời gian giữa mẫu
tín hiệu kế tiếp nhau, luc đó với các biến : t = nT và t
0

= (n-1)T ta có phƣơng
trình :

 
( 1)
()
( ) ( 1)
nT
a
aa
nT
dy t
Y t dt Y n T
dt

  


Thay vì lấy tích phân ta chọn cách tính gần đúng theo quy tắc hình thang, ta
có :

Hình 2.1

 
( ) ( 1)
( ) ( 1)
2
aa
aa
dy nT dy n T

T
Y nT Y n T
dt dt


   


(2.5)
Từ (2.3) thay t=nT vào ta có :

00
()
( ) ( )
a
aa
dy nT C D
y nT x nT
dt C C
  
(2.6)
Thay (2.6) vào (2.5) và ký hiệu y(n) =
()
a
y nT
, x(n) =
()
a
x nT
ta có phƣơng

trình sai phân sau:
15


 
0 0 0
1 1 1
1 ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1)
2 2 2
C T C T D T
y n y n x n x n
C C C
   
      
   
   
(2.7)
Biến đổi Z của phƣơng trình sai phân (2.7) ta đƣợc :

1
0
0
1
1
11
0
1
0
1
1

(1 )
2
()
()
()
2
1
1 (1 )
2
1
DT
z
D
C
Yz
Hz
CT
Xz
C
z
zz
C
C
T
z






  


  




(2.8)
So sánh (2.8) với (2.4) ta có :

1
1
21
1
z
s
T
z





( 2.9)
Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi song tuyến tính.
Quan hệ giữa các hàm truyền đạt H
a
(s) với H(z) là :

1
1
( ) ( )
21
1
a
H z H s
z
s
T
z







Sau đây ta xét một ví du cụ thể:
• Ví dụ 2: Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp biến đổi song tuyến,
biết mạch điện tƣơng tự cho:

Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự:

()
1
()
( ) 1
r
a

v
Us
Hs
U s RCs



Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là :
1
1
1
1
1
()
2
2(1 )
1
1
(1 )
ss
s
s
TT
z
KK
Hz
T RC
z
z
RC

K
Tz















16

Với K= 2RC+T
s
<=>
1
01
1
1
()
1
b b z
Hz

az






Với b
o
=
1
s
T
b
K

và
1
2
s
T RC
a
K



=>Phƣơng trình sai phân : y(n) + a
1
y(n-1) = b
0

x(n) + b
1
(n-1)
Ta có sơ đồ thực hiện hệ thống :

2.1.3. Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân
Một trong những phƣơng pháp đơn giản nhất để biến đổi bộ lọc tƣơng tự
sang bộ lọc số là lấy gần đúng phƣơng trình vi phân bằng một phƣơng trình sai phân
tƣơng đƣơng. Phép gần đúng này thƣờng đƣợc dùng để giải phƣơng trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng nhờ máy tính.
Đối với đạo hàm dy(t)/dt tại t = nT ta thay bằng phép sai phân lùi [y( nT) -
y(nT - 1)]/T, nhƣ vậy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
t nT
dy t y nT y nT T y n y n
dt T T

   

(2.10)
Ở đây T là khoảng lấy mẫu và y(n) = y(nT). Bộ vi phân tƣơng tự với tín hiệu
ra dy(t)/dt có hàm hệ thống H(s) = s. Trong đó hệ thống tạo ra tín hiệu ra [y( nT) -
y(nT - 1)]/T lại có hàm hệ thống là H(z) = 1 - z
-1
/T, Do đó :

1
1 z
s

T



(2.11)
Hàm hệ thống của bộ lọc số IIR đạt đƣợc nhờ lấy gần đúng phép đạo hàm
bằng phép sai phân hữu hạn là:
17


1
1
( ) ( )
a
z
s
T
H z H s




(2.12)
()
a
Hs
: là hàm hệ thống của bộ lọc tƣơng tự.
Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với

1

1
z
sT


(2.13)
Khi

biến thiên từ - ∞ đến ∞ quỹ tích tƣơng ứng của các điểm trong mặt
phẳng z là một đƣờng tròn bán kính ½ và có tâm tại z = ½ nhƣ minh họa

Hình 2.3 : Ánh xạ s = 1 - z
-1
/T biến LHP trong mặt phẳng s thành các điểm nằm bên
trong đƣờng tròn bán kình ½ và tâm ½ trong mặt phẳng z

2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP
2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth:
Đây là mạch lọc thông thấp có đáp ứng biên độ
 
a
H

thỏa mãn đồ thị
mạch lọc :

18


Hình: 2.4

Nhận xét:
- Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tƣởng.
- Đáp ứng biên độ luôn bằng
1
2
ở tần số cắt với mọi giá trị của n.
 Vị trí các điểm cực:
Ta biết rằng
22
a
s j s

   

Vì
   
aa
H s H s
tính tại
sj


cho
 
2
aa
H

nên

   
 
2
1
1
aa
n
H s H s
s
  


Điểm cực dƣới đƣợc xác định bởi:
   
22
1 0 1 1 0
n
nn
pk pk
ss      

- Nếu n chẵn
2n
pk
s
= -1 =
 
21jk
e




 
21
2
k
j
n
pk
se



k = 1,2,3…2n
- Nếu n lẻ
 
21
2
1
jk
n
pk
se




   
2 1 1
2

1
kk
jj
nn
pk
s e e


  

Vậy các điểm cực của
   
aa
H s H s
sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt
phẳng S. Vòng tròn này đƣợc gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có
thể góp chung thành 1 kết quả duy nhất là:
1 2 1
22
k
j
n
pk
se








Với k = 1,2,3…2n
19

Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của
 
a
Hs
phải nằm bên
trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của
   
aa
H s H s
ta sẽ chọn ra các điểm cực
nằm bên trái trục ảo để làm cực của
 
a
Hs
đối với bộ lọc ổn định.
Ta có thể viết:
 
 
0
1
a
n
pk
k
H
Hs

ss





Ở đây:
- Theo tần số chuẩn hóa
a
ac




0
1H 

1 2 1
22
k
j
n
pk
se








Với k = 1,2,3…n
- Theo tần số không chuẩn hóa
0
n
ac
H



1 2 1
22
k
j
n
pk
se







Với k = 1,2,3…n

Hình: 2.5
 Gọi

là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số:

as


2
2
1
1
n
as



