Đề thi - đáp an casio Thanh Hóa 08

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2007- 2008
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐIỂM CỦA BÀI THI
Các giám khảo
(Họ tên và chữ ký)
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội
đồng chấm thi ghi)
Bằng số Bằng chữ
…………………………………….
…………………………………….
Chú ý: 1. Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx-570MS.
2. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân.
Đề bài Kết quả
Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A:
A=
...5135135
+++++
Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số, biết rằng
N là số chính phương và N là bội của 147.
Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia
P(x)=1+x+x
2
+…+x
100
cho Q(x)=1-x-x
2
+x
3

.
Biết rằng khi x=0 thì phần dư là -2449.
Câu 4: (5 điểm)
Giải phương trình:

222442
)1(65)1(
+−=++−
xxxxxx
Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức
baxxxf
++=
2
)(
thỏa mãn
[ ]
1,1
2
1
)(
−∈∀≤
xxf
.
Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức
)(xf
.
Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có dạng A=
6...
121
aaaa

nn
−
và thỏa mãn:
121
...6 aaaa
nn
−
=4A
Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ
điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK
⊥
BC, PL
⊥
AC, PM
⊥
AB. Khi P chuyển động
trên cung BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của
PM
AB
PL
AC
PK
BC
S
++=

Tóm tắt lời giải:
1
Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

y
2
= -2(x
6
-x
3
y-32)
Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có dạng
21
xx
và
21
yy
. Biết rằng
2121
yyxx
chia hết cho
21
yy
.
21
xx
Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của tất cả các tam
giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1.
Tóm tắt lời giải:
2
HƯỚNG DẪN CHẤM
Đề bài Kết quả
Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A:
A=

...5135135
+++++
Vì A>
5
, bình phương hai vế:
(A-3)[(A+3)(A+1)(A-1)-1]=0
<=> A= 3 (5 điểm)
Có thể dùng máy tính, tính trực tiếp
Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số,
biết rằng N là số chính phương và N là bội của
147.
1764
3969
7056
Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia
P(x)=1+x+x
2
+…+x
100
cho Q(x)=1-x-x
2
+x
3
. Biết
rằng khi x=0 thì phần dư là -2449.
Phần dư có bậc nhỏ ≤2 (r(x)=ax
2
+bx+c).
Và Q(x)=(x-1)
2

(x+1). Vậy
P(x)=H(x).[(x-1)
2
(x+1)]+r(x)
Với x = 0, x = 1,x = -1 ta tìm được:
a=2500 (2 điểm)
b=50 (2 điểm)
c=-2449 (1 điểm)
Câu 4: (5 điểm)
Giải phương trình:

222442
)1(65)1(
+−=++−
xxxxxx
5x
4
-5x
2
(x
2
-x+1)
2
+(x
2
-x+1)
4
-x
2
(x

2
-x+1)
2
=
=…=[x
2
-(x
2
-x+1)
2
][5x
2
-(x
2
-x+1)
2
]=
(x-1)
2
(x
2
+1)[x
2
-(
5
+1)x+1]
[x
2
+(
5

-1)x+1]=0
Vậy:
x=1 (1 điểm)
2
52215
+−+
=
x
≈0,3460143(2 điểm)
2
52215
+++
=
x
≈2,8900536(2 điểm)
Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức
baxxxf
++=
2
)(

thỏa mãn
[ ]
1,1
2
1
)(
−∈∀≤
xxf
.

Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức
)(xf
.
Thay x=-1, 0, 1 giải hệ bất phương trình
ta tìm được:
a=0 (2,5 điểm)
b=
2
1
−
=-0,5 (2,5 điểm)
Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có
dạng A=
6...
121
aaaa
nn
−
và thỏa mãn:
121
...6 aaaa
nn
−
=4A
A=153846 (5 điểm)
Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ
điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK
⊥
BC, PL
⊥

AC, PM
⊥
AB. Khi P chuyển động
trên cung BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của
PM
AB
PL
AC
PK
BC
S
++=
Tóm tắt cách giải:
Trên cung BC chứa A lấy N sao cho cung(BN)=cung(CA). PN cắt BC=E. (1 điểm)
Hai tam giác PBE và PAC đồng dạng
(vì góc(BPE)=góc(APC) và góc(PBE)=góc(PAC)) (1 điểm)
Tương tự: hai tam giác PCE và PAB đồng dạng (0,5 điểm)
Do đó:
PL
AC
PK
BE
=
và
PM
AB
PK
CE
=
=>

PM
AB
PL
AC
PK
BC
PK
CEBE
+==
+
(1 điểm)
3
Vậy
PK
BC
PM
AB
PL
AC
PK
BC
S 2
=++=
(0,5 điểm)
Do BC cố định nên S nhỏ nhất khi PK lớn nhất tức:

BC
2
1
PK

=
và S
min
=4 (1 điểm)
Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của
phương trình: y
2
=-2(x
6
-x
3
y-32)
Ta có: (x
2
)
3
+(x
3
-y)
2
=64
Mà 64=0
2
+4
3
hoặc 64=0
3
+8
2
.

Vậy có 4 cặp (x,y):
(0,8); (0,-8); (2,8); (-2,-8)
Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
có dạng
21
xx
và
21
yy
. Biết rằng
2121
yyxx

chia hết cho
21
yy
.
21
xx
Ta có hai cặp:
13 và 52 (2,5 điểm)
17 và 34 (2,5 điểm)
Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của các tam giác có
ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1.
Giải:
Giả sử ngũ giác đều ABCDE thoả mãn bài toán.
Xét ∆BCD và ∆ECD vì S
BCD
= S
ECD

=1, đáy CD chung
nên các đường cao hạ từ B, E xuống CD đều bằng nhau
nên EB//CD.
Tương tự: AC//DE, BD//EA, CE//AB, DA//BC. (1 điểm)
Gọi I = EC ∩ BD => ABIE là hình bình hành.
=> S
IBE
= S
ABE
=1. Đặt S
ICD
= x < 1
=> S
IBC
= S
BCD
- S
ICD
=1-x = S
ECD
- S
ICD
= S
IED
Có:
IBE
IBC
IDE
ICD
S

S
IE
IC
S
S
==
(2 điểm)
hay
1
1
1
x
x
x
−
=
−
=> x2-3x+1=0 => x =
2
53
±
do x < 1 => x =
2
53
−
.
Vậy S
IED
=
2

15
−
(1 điểm)
Do đó S
ABCDE
= S
EAB
+ S
EBI
+ S
BCD
+ S
IED
= 3 +
2
15
−
=
2
55
+
≈ 3,6180340 (1 điểm)
4
A
B
C
E
D
I