Đáp án đề thi học kỳ II năm học 2019-2020 môn Xác suất - Thống kê ứng dụng - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

ĐÁP ÁN XÁC SUẤT - THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
Mã môn học: MATH132901
Câu

I

Ý
1

2

Ngày thi: 16-7-2020

Đáp án

Điểm

Chia ngẫu nhiên 20 sinh viên thành 2 nhóm, mỗi nhóm 10 sinh viên
10
|Ω| = 𝐶20
Gọi A là biến cố có ít nhất một nhóm có số nữ nhiều hơn nam.
Biến cố đối A’ là biến cố không có nhóm nào có số nữ nhiều hơn nam tức là cả 2 nhóm nam đều
nhiều hơn hoặc bằng nữ
6
5
|A′| = 𝐶94 . 𝐶11
+ 𝐶95 . 𝐶11
Xác suất có ít nhất một nhóm có số nữ nhiều hơn nam
6
5
𝐶94 . 𝐶11

+ 𝐶95 . 𝐶11
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃 (𝐴′ ) = 1 −
= 0,3698499643
10
𝐶20
X là số sản phẩm đạt chuẩn trong số 2 sản phẩm lấy ra
𝑈𝑋 = {0; 1; 2}
Gọi 𝐷𝐴𝐴 , 𝐷𝐴𝐵 , 𝐷𝐴𝐶 , 𝐷𝐵𝐵 , 𝐷𝐵𝐶 , 𝐷𝐶𝐶 lần lượt là các biến cố 2 sản phẩm do công ty A sản xuất; công ty
A, B sản xuất; công ty A, C sản xuất; công ty B sản xuất; công ty B, C sản xuất; công ty C sản xuất
𝐶2

4.5

4.6

𝐶2

5.6

𝐶2

15

15

15

15

15

15

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

𝑃(𝐷𝐴𝐴 ) = 𝐶 24 ; 𝑃 (𝐷𝐴𝐵 ) = 𝐶 2 ; 𝑃(𝐷𝐴𝐶 ) = 𝐶 2 ; 𝑃 (𝐷𝐵𝐵 ) = 𝐶 25 ; 𝑃(𝐷𝐵𝐶 ) = 𝐶 2 ; 𝑃(𝐷𝐶𝐶 ) = 𝐶 26 ;

3a

3b

𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐴 ) = 0,042 ; 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐵 ) = 0,04.0,07; 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐶 ) = 0,04.0,1;
𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐵𝐵 ) = 0,072 ; 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐵𝐶 ) = 0,07.0,1; 𝑃 (𝑋 = 0⁄𝐷𝐶𝐶 ) = 0,12 ;
𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐴 ). 𝑃(𝐷𝐴𝐴 ) + 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐵 ). 𝑃(𝐷𝐴𝐵 ) + 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐴𝐶 ). 𝑃(𝐷𝐴𝐶 ) +
951
𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐵𝐵 ). 𝑃(𝐷𝐵𝐵 ) + 𝑃(𝑋 = 0⁄𝐷𝐵𝐶 ). 𝑃(𝐷𝐵𝐶 ) + 𝑃 (𝑋 = 0⁄𝐷𝐶𝐶 ). 𝑃(𝐷𝐶𝐶 ) = 175000 =
0,00543(428571)
Tương tự ta có
𝑃(𝑋 = 2⁄𝐷𝐴𝐴 ) = 0,962 ; 𝑃(𝑋 = 2⁄𝐷𝐴𝐵 ) = 0,96.0,93; 𝑃(𝑋 = 2⁄𝐷𝐴𝐶 ) = 0,96.0,9;
𝑃(𝑋 = 2⁄𝐷𝐵𝐵 ) = 0,932 ; 𝑃(𝑋 = 2⁄𝐷𝐵𝐶 ) = 0,93.0,9; 𝑃 (𝑋 = 2⁄𝐷𝐶𝐶 ) = 0,92 ;
𝑃(𝑋 = 2) = 0,8574342857
(
)
Suy ra 𝑃 𝑋 = 1 = 0,1371314286
Vậy 𝐸 (𝑋) = 1,852; 𝑉(𝑋) = 0,1369645714

𝑋−20
𝑋~𝑁(20; 0,01) chuẩn tắc hóa 𝑍 = 0,1 ~𝑁(0; 1)

Tỷ lệ bánh răng có đường kính đạt chuẩn
19,9 − 20
20,2 − 20
𝑃(19,9 ≤ 𝑋 ≤ 20,2) = 𝑃 (
≤𝑍≤
) = ∅(2) − ∅(−1) = 0,81859
0,1
0,1
Xác suất một bánh răng có đường kính không quá 19,3 là
0 − 20
19,3 − 20
𝑃 (0 ≤ 𝑋 ≤ 19,3) = 𝑃 (
≤𝑍≤
) = ∅(−7) − ∅(−200) = 1,2881. 10−12 ;
0,1
0,1
Gọi Y là số bánh răng trong 10 bánh răng có đường kính không quá 19,3
Y có phân phối nhị thức với n=10 và p=1,2881. 10−12
Xác suất trong 10 bánh răng có ít nhất 2 bánh răng có đường kính không quá 19,3 là
10

𝑃 (𝑌 ≥ 2) = ∑ 𝑝𝑌 (𝑢) = 1 −
𝑢=2

1.a

1

𝑢 (
∑ 𝐶10
. 1,2881. 10−12 )𝑢 (1
𝑢=0

𝑛 = 242; 𝑥̅ = 48,42561983; 𝑠 = 1,840824681.

− 1,2881. 10

−12 )10−𝑢

≈0

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Độ tin cậy 1 − 𝛼 = 0,93 nên 𝛼 = 0,03 suy ra 𝑧𝛼⁄2 = 2,17;
1,840824681
𝜀 = 2,17
= 0,2567819422
√242
Khoảng tin cậy 97% cho thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm của dây chuyền
(𝑥̅ − 𝜀; 𝑥̅ + 𝜀 ) = (48,16883789; 48,68240177) (𝑝ℎú𝑡)
1.b Độ tin cậy 1 − 𝛼 = 0,96 nên 𝛼 = 0,04 suy ra 𝑧𝛼⁄ = 2,055
2

Tỷ lệ sản phẩm có thời gian sản xuất có thời gian dưới 49 phút trong mẫu là
150
75
𝑓𝑛 =
=
242 121

II

2

75
75
1
𝜀 = 2,055√
. (1 −
).
= 0,06412513914
121

121 242
Khoảng tin cậy 96% cho tỷ lệ sản phẩm có thời gian sản xuất có thời gian dưới 49 phút là
(𝑓𝑛 − 𝜀; 𝑓𝑛 + 𝜀 ) = (0,5557095716; 0,6839598499)
Gọi 𝜇 là thời gian trung bình sản xuất ra 1 sản phẩm sau khi cải tiến kỹ thuật
Giả thuyết H0: 𝜇 = 60; Đối thuyết H1: 𝜇 < 60
Với mức ý nghĩa 𝛼 = 0,01 suy ra 𝑧𝛼 = 2,3265
59,5−60
𝑧0 = 6,3 √900 = −2, (380952);
Vì 𝑧0 < −𝑧𝛼 nên ta bác bỏ giả thuyết H0 và chấp nhận đối thuyết Ha.
Vậy việc cải tiến có mang lại hiệu quả với mức ý nghĩa 1%.

3

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

45

Mẫu sản phẩm nhà máy A: 𝑛𝐴 = 1500; 𝑓𝐴 = 1500
83

Mẫu sản phẩm nhà máy B: 𝑛𝐵 = 1800; 𝑓𝐵 = 1800
45+83
128
Tỷ lệ mẫu chung là 𝑓 ̅ =
=
1500+1800

3300

Gọi 𝑃𝐴 , 𝑃𝐵 là tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy A, B.
Giả thuyết Ho: 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 ;
Đối thuyết Ha: 𝑃𝐴 ≠ 𝑃𝐵 .
𝑧0 =

4

45
83
−
1500 1800
128
128
1
1
√
(1−
)(

+
)
3300
3300 1500 1800

0,25

0,25

= −2,386672179

Với mức ý nghĩa 𝛼 = 0,02 thì 𝑧𝛼⁄2 = 2,3265
nên 𝑧0 < −𝑧𝛼⁄2 do đó ta bác bỏ giả thuyết Ho và chấp nhận đối thuyết Ha.
Vậy tỷ lệ sản phẩm do 2 nhà máy A, B sản xuất phải bảo hành là khác nhau với mức ý nghĩa 2%.
𝑟 = −0,9855177424 có |r| gần 1 nên có thể dự đoán giá trị trung bình của Y theo giá trị của X
bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm
𝑦̅𝑥 = 7,398755053 − 9,010585085. 10−3 . 𝑥;
Khi X nhận giá trị 550 thì giá trị trung bình của Y là
7,398755053 − 9,010585085. 10−3 . 550 = 2,442933256;

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25