Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

lỉD -Đ S
Đồ thị (C) có TCD X = m, TCN y = -4 nên giao điểm ĩ(m; -4) chuyển hệ toạ độ
bằng phép lịnh tiến OI thì được m = 3.
Bài tập 13.3: Chứng minh trên đồ thị (C): y = 2x + 1 - — không có điểm nào tại
X

đó tiếp tuyến song song với tiệm cận xiên của đồ thị.
IID-ĐS
(C) có TCX; y = 2x + 1, hệ số góc a = 2.
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f ’(x) = 2 + - ^ > 2, Vx

0.

X

Bài tập 13.4: Tìm m để tiệm cận xiôn của đồ thị;

y

2x^ + {m + l)x - 3

x +m

qua H (1,1)
tlD -D S

m=2
Bài tập 13.5: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:
x^ +AÍ7X-1
x -1

tạo với 2 trục tọa độ thành tam giác có s = 1.
lĩD -Đ S

m

- 1 ± ^ I2 .

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
Điểm uốn của đồ thị

Điếm U(xo;f(xo)) được gọi là điếm uốn của (C): y = f(x) nếu tồn tại một
khoang (a;b) chứa điếm Xo sao cho một trong 2 khoảng (a,xn), (xn,b) thì tiếp
tuyến tại điếm u nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía
dưới đồ thị.
Phương pháp tìm điểm uốn: Cho y = f(x) có đạo hàm cấp 2 một khoáng (a;b)
chứa điếm Xo. Nếu f ’’(xo) = 0 và f ’’(x) đổi dẩu khi X qua điểm Xo thì U(xQ;f(xo)) là
điểm uốn cúa đường cong (C): y = f(x) .
Bài toán 14.1: Tìm điểm uốn của đồ thị;

V

= x^ - 3x^ + ] .

Giải

Tập xác định D = R. Ta có y' = 3x^ - 6x, y" = 6x - 6,
y" = 0

X

= 1 và y ” đổi dấu qua

X

= 1. Vậy điểm uốn 1(1; -1).
87


Bài toán 14.2: Tìm điểm uốn của đồ thị: y = x'* - 2x^
Giải
Tập xác định D = R, y' - 4 x^ - 4x = 4x(x^ 1),
y" = 12x^-4, y" = 0 » x = ±Vì y ” đổi dấu qua 2 nghiệm nên đồ thị có 2 điểm uốn

5^
V ỉ’ 9

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc 3: Gồm 3 hước:
Bước 1: Tập xác định D = R, xét tính chẵn, lè nếu có.
Bước 2: Chiều hiến thiên. Tỉnh các giới hạn. Tỉnh đạo hàm cấp một, xét dấu.
Lập bảng hiến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng hiển, nghịch biến và cực đại, cực tiểu.
Bước 3: Vẽ đồ thị . Tính đạo hàm cẩp hai, xét dấu để tìm điếm uốn. Cho vài
giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ. Vẽ đúng đồ thị, hàm bậc 3 có tâm
đối xứng là điểm uốn.
Có 4 dạng dồ thị hàm hậc 3: y = ax^ + bx^ -f- cx + d, a

Dùng dồ thị biện luận số nghiệm phương trình: g(x,m) =0
Đưa phương trình về dạngf(x) = h(m) trong đó vế trái là hàm sổ đang xét, đã
vẽ đồ thị (C): y = f(x) hay suv đồ thị. sổ nghiệm là số giao điếm của đồ thị (C) với
đường thẳng y = lĩ(m). Dựa vào đồ thị và lương giao với đường thắng thì có số
nghiệm tương ứng cần tìm.

Các phép suy đồ thị:
Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra dồ thị của hàm sổ:
= - f(x): bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành
I
I
íf(x) khi f(x) > 0
,
.
.
* y = \ f(x) I = i
/ X
•' băng cách giữ nguyên phân đô thi phía
[ - f ( x ) k h i f(x) < 0

trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì lấy đổi xứng qua trục hoành.
*y = f(-x}: bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
* y = f ( \ x\ ) : hằng cách giữ nguvên phần đồ thị hên phải trục tung, và lấy đổi
xứng phần đó qua trục tung (do hàm sổ chẵn).
* y = - f(-x) bằng cách lẩy dổi xứng qua gổc.
*y = f(x) + b, y = f(x + a) , y = f(x + a) + b bằng các phép tịnh tiến song song
với các trục tọa độ.
88


Bài toán 14.3: C ho hàm số y = 2x^ - 6x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Chứng minh (C)
có tâm đối xứng.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt của
phương trình 2 x^ - 6x + 1 - m = 0 .
Giải

a ) . Tập xác định D = R.
. Sự biến thiên: lim y = -ŨO, lim y = + 0O
X—>-QO

X—
H-QO

Đạo hàm: y' = 6x^ - 6 , y' = 0cí>x = -l hoặc

X =

y' > 0 «>
Bảng biển thiên:

y' < 0

X

e

(-co ;

-1) u (1;

+ o o );

1.
X 6

(-1; 1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-oo; - 1 ) và (1 ; + co ), nghịch biến trên
khoảng (- 1 ; 1 ).
Hàm sổ đạt cực đại tại X = -1, y c Đ = 5 và đạt cực tiểu tại X = 1, y c T = -3
. Đồ thị: Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1).
y" = 12x, y" = 0 <=> X = 0 nên điểm uốn 1(0; 1).
Ta chứng minh điểm uốn 1(0 ;1) là tâm đối xứng.
.
ịx ^ X
Chuyên hê truc băng phép tinh tiên OI: (
[y = Y + l
Thế vào (C) thành:
Y +1 = 2X^ - 6X + 1

Y = 2X^ - 6X là hàm số lẻ

đpcm.

89


b) Phương trình đã cho lương đương 2x^ - 6x + 1 = m. Do đó, số nghiệm của
phương trình đã cho bàng số điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị (C), ta được:
- Nếu m > 5 hoặc m < -3 thì phương trình có 1 nghiệm.
- Nếu m = 5 hoặc m = -3 thì phương trình có 2 nghiệm.
- Nếu -3 < m < 5 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Bài toán 14.4: Cho hàm số y = - —x^ + (m - l)x^ + (m + 3)x - 4 .
3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sổ khi m - 0.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3).
Giải

■x^-x^ -t- 3 x - 4 .

a) Khi m = 0 thì y
• Tập xác định D “ R

• Sự biến thiên; lim y =

+CO

và lim y =

X —> -«

y'=

-00

X —>+00

-x^ - 2x + 3; y' = 0 o X = 1 hoặc X = -3.

y' > 0 o

X e (-3; 1): hàm số đồng biến trên (-3; 1)

y' < 0 <=> X e (-oo; -3) u (1; +oo): hàm số nghịch biến trên m ỗi khoảng (-oo; -3)

và (1; +oo).

Bảng biến thiên:

X
y'
y

-3

-0 0

0

+ 00

1
0

+

í .
7
Hàm sô đạt cực đại tại; X = 1, ycD “ y(l) = ~
Hàm số đạt cực tiểu tại: X = -3, ycT = y(-3) = -13.
. Đồ thị: y" = -2x - 2, y" = 0 » X

90

-

^-7/3
^ -1 3 '^

tâm đối xứng.

+ -0 0

-C O


b) y' = -X + 2(m - l)x + (m f 3); A' = m - m + 4 > 0, Vm nên y' luôn có hai
nghiệm phân biệt.
y’ > 0, Vx e (0; 3)
<:í>

y'(3) = 7 m - 1 2

Bài toán 14.5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x^ - 3x^ + 3x + 1.
Giải

• Tập xác định D = R.
• Sự biến thiên: lim y = -00 và lim y = +00
X—> -0 0

X—>+oo

Ta có y' = 3x^ - 6x + 3 = 3(x - 1)^ > 0, Vx nên hàm số đồng biến trên R, hàm số
không có cực trị.
X

-00
1
+00
Bảng biến thiên:
+
0
+
y'
____+00
y
-00 —
• Đồ thị;y" = 6x - 6 ,y" = 0
X

Cho

X

= 1 nên đồ thị có điểm uốn I( 1; 2).

= 0 =i> y = 1.

Bài toán 14.6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x^ + 3x^ - 4x + 2.
Giải

• 1'ập xác định D = R
• Sự biến thiên lim y = +00 và lim y = -00
X—>-
x-->+co

Ta cỏ ỵ' = -3x^ + 6x - 4 < 0, Vx nên hàm số
nghịch biến trên R, Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên
X

-00

y'
y

+00
-

+00
^ ''^ -0 0


• Đồ thị: y" = - 6x 4 6 , y" = 0 <=> X = 1 nên đồ thị có điểm uốn 1(1; 0).
Cho

X

=0

y = 2. Cho y = 0

<=> -x^ + 3x“ - 4x + 2 = 0 <=> (x - 1)(x^ -2 x + 2) = 0<=i>x = 1.
Bài toán 14.7: Cho đô thi (C): y = —x"* - x'^ - 3x - —. Khảo sát và vẽ đồ thi (C).
3

3
Suy ra đồ thị (C): y =

■3x4

3

Giải

• Tập xác định D = R
X—> - «

và

-1

■00

• Sự biến thiên lim y = -00

+00

0

+

0

lim y = +c»

+
+00

X—^+00

y' = x^ - 2x - 3,
y' = 0

X

= -1 hoặc

X

= 3.

-32/3

-0 0

Hàm sổ đồng biến trên các khoảng {-co; -1) và (3; +oo); nghịch biến trên khoảng
-3 2
(-1; 3).Hàm sô đạt cực đại tại X = -1; ycĐ - 0 và đạt cực tiêu tại X = 3; ycT = —— - •
;
..
i
1
1 í
16^
. Đồ thị: y" = 2x - 2, y" = 0 <=> X = 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1 ;-— .

l
3j

Ta có y

-x ’-x ^-3 x -3
3
-X ‘’ -x ^ - 3 x - V-

92

khix>5
khi

X

<5


Nên đồ ihị (C ) giữ nguyên phần dồ thị (C) khi
5 của (C) qua Ox.

X

> 5 và lấy dối xứng phần

X

<

lĩÀ l T Ậ P
Bài tập 14.1: Cho hàm số y =x^ -3x^ t 1.
a) Kháo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C).
b) Chứng minh (C) có tâm dối xứng .
lỉD -D S

a) y' ^ 3x^ - 6x, y' == 0 Cí> X " 0 hoặc

X

“ 2.

Hàm số dồng biến trên (-oo; 0) và (2; t so),
nghịch biến trôn (0; 2), dạt CD(0; 1), c '1(2; -3).
b) tâm dối xứng là đicm uốn I( 1 ; - 1 ).
Bài tập 14.2: Cho hàm số y ^ -X‘^ ( 3x^ I mx - 2 (1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vc đồ thị của hàm số (1) khi m 0.
b) Tìm các giá trị m đổ hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
i Ĩd - d s

a) Khi m - 0 thì y

V

I 3x^ - 2 .

b) Hàm số nghịch biến trên (0; 2) khi và chỉ khi y' < 0, Vx e (0; 2). m < -3.
Bài tập 14.3: Cho hàm số y x‘^ - 3x^ - 9x.
a) Khảo sát và vẽ dồ thị hàm so.
b) Biện luận theo m số nghiệm cúa p T: x'^ - 3x^ - 9x - 3m I 1 -- 0.

ỊID -D S

a) y' = 3x^ - 6 x - 9, y' ^ 0 <=> X = -1 hoặc X ^ 3.
b) p T tương dương x^ - 3x^ - 9x -■3m -1.
Bài tập 14.4: Cho (C); y -■=x^ - 4x’.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Suv ra đồ thị (C ): y |x|'^ - 4x^
IID -D S

a) y' = 3x^ - 8 x, y' -- 0 o

X --

0 hoặc

X

b) y == |xp - 4x^ là hàm số chẵn, khi X > 0 thì y x'^ - 4x^
Bài tập 14.5: Tím cá diốm uốn của dồ thị: y X ' - X“
ỈID -D S

y" ■-= 1 2 x^ - 2 có 2 dicm uốn

±

5 '
36

93

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC 4
TRÙNG PHƯƠNG

%

Buởcl: Tập xác định D = R. Hàm sổ chẵn.
Bước 2: Chiều biến thiên. Tỉnh các giới hạn. Tính đạo hàm cấp một, xét dấu.
Lập háng biến thiên roi chi ra khoảng đong biển, nghịch hiến và cực đại, cực tiểu.
Bước 3: Vẽ dồ thị. Tính dạo hàm cấp hai, xét dấu dế tìm điểm uốn. Cho vài giá
trị đặc hiệt, giao điếm với hai trục loạ độ. Vẽ đímg đồ thị, ỉmi ỷ đồ thị nhận trục
tung là trục đổi xứng.
Có 4 dạng đồ thị hàm trùng phương: y = ax^ + bx^ + c, a

\ Ạ

r

/

^

4

-4 v

Bài toán 15.1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x"* - 8x^ + 7.
Giải

• Tập xác định D = R. Hàm số chẵn.

• Sự biến thiên: lim y = + 00.
X—»±co

y' = 4x^ - 16x = 4x(x^ - 4), y' = 0 <=> X = 0 hoặc
Bảng biến thiên:

X

= ±2.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; 0) và (2;
khoảng (-oo; - 2 ) và ( 0 ; 2 ).
Hàm số đạt CĐ(0; 7), đạt CT(-2; -9), (2; -9).
2
. Đồ thị: y" = 12x^ - 16, y" = 0 « X = ±

+ oo),

X

-00

y'
y

-2
-

0

0
-t

+00

0

-+ 00

2
-

+

0

+00

7
____ - 9 ^

nên đồ thị có hai điểm uốn
Cho
94

X

9

= 0 => y = 7, cho y = 0 => X = ±1 hoặc

X

- ±

- J

Ĩ .

nghịch biến trên các


Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.

Bài toán 15.2: Cho hàm số y = - —x"* + — mx^ (1).
4
2
a) Kháo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều.
Giải

a) Khi m = 1 thì y = - —x'* +
4
2
• Tập xác định D = R: Hàm số chẵn.
• Sự biến thiên: lim y = -00.
X -> ± co

y' = -x^ + 3x = x(3 - x^) = 0 <=> X = ±V3 hoặc
y ' > 0 < = > x < - V j hoặc 0 <

X <

V3

X

= 0.

.

Hàm sổ đồng biến trong các khoảng (-00; - V3 ) và (0; ^Ỉ3 ).

y' <0

-^|3 < x < 0 hoặc V3 < X.

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (- -v/3 ; 0) và (V3;+«^).
BBT:
X

-00

y'
y
-00 ^

-V3
+ 0 - 9/4

0
V3
+00
0 + 0 9/4^
u

-00

. Đồ thị: y" = -3x^ + 3, y" = 0<=> X = ±1 nên đồ thị có 2 điểm uốn

± 1 ;V

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 0), cắt trục hoành tại ba điểm (± Vó ; 0), (0; 0).
95


b) y' = -x^ + 3mx = -x(x^ - 3m)
y' = 0
X = 0 hoặc x^ = 3m.
Điều kiện đồ thị (1) có 3 cực trị là 3m > 0

m>0

Bài toán 15.3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x'^ - 2yĩ + 5.
Giải

• Tập xác định D = R. Hàm số chẵn
• Sự biến thiên lim y =

-0 0

X—> -0 0

và lim y = -oo
X—>4-00

y' = -4x^ - 4x = -4x(x^ + 1), y' = 0 <=> X = 0.
BBT
X -00
0
4

y'

0

5

y
-00

-00

Hàm số đồng biến trên khoảng (-oo; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +co).
Hàm số đạt cực đại tại điểm X = 0: ycĐ = 5.
. Đồ thị: y" = -12x^ - 4 < 0, Vx nên đồ thị không có điểm uốn.
Cho y = 0

X = ± ^J^l6 - \ . Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.

x'*
3
Bài toán 15.4; Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:y = — + x ^ - —
2
2
Giải

• Tập xác định D = R: Hàm số chẵn.
. Sự biến thiên: lim y = +00.
X^±00
y' = 2 x^ + 2 x = 2 x(x^ + 1 ), y' = 0 cí>x = 0 .
96


BBT

X -00
y'
y

+00

0

+

0

-

+00

+00

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +oo),
nghịch biến trên khoảng (-Q O ; 0)
.
3
và đạt cực tiêu tại (0; - ^
2
• Đồ thị: y" = 6x^ + 2 > 0, Vx nên đồ thị không có điểm uốn.
3
Giao điêm với trục tung (0; - — giao điêm với trục hoành (-1; 0) và (1; 0).
Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.
Bài toán 15.5: Cho hàm số y = 2x"* - 4x^.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Với các giá trị nào của m, phưong trình x^ 1x^ - 2 I = m có đúng 6 nghiệm
thực phân biệt?
Giải

a) •Tập xác định D = R. Hàm số chẵn.
• Sự biển thiên: y' = 8x^ - 8x; y' = 0 <=> X = 0 hoặc X = ±1.
Hàm số nghịch biến trên (-00, -1) và (0; 1), đồng biến trên (-1; 0) và (1; +oo).
Hàm số đạt cực tiểu tại X = ±1, ycT = -2; đạt cực đại tại X = 0, ycĐ = 0.
lim y = lim y = +00

X -00
-

y'

y

-1
0

0
-t

+00
______

0
0

+00

1
-

0

+
+00

-2 ^

• Đồ thị: y" = 24x^ - 8, y" = 0 <=> X = ±
nên đồ thị có hai điểm uốn

^^ 1

- 10 ^

V 3’ 9
Cho y = 0 <=> X = 0 hoặc X = ± V2 .
97


Dồ thị nhận trục tunn là trục dôi xứnu.
b) Ta có x“ Ị X' - 2
I 2x - 4x"

V

I

m

I 2 x ' - 4x“ !

Í2 x ' - 4 x '

2 m.

khi ’xi> V2

1

i
„

ncn dò thị (C') dược suy tù dô

Ị - ( 2 x ' - 4 x ") khi ,x < \/2
thị (C) bànịi cách giữ nuLiNcn phần do thị ơ phía trcn Ox. còn phan phía dirới Ox
cua ((') thi la> dôi xứng C|ua 0 \ .
Dựa \ào dồ thị. ycu cau bài toán duợc thoa mãn khi \'à chi khi:
t) < 2 m

2 < ■>0 •. m ■' 1 .

HẢI rẬp
Bài tập 15.1: Khao sal \ à vc dồ thị hàm số: \
n ỉ)-j)S
v'

4x - 2x

'
2x(2x' - 1). C’T ị

yỈ2
2

;

x' - X".

\]
. n )((); 0).
4

Bài lập 15.2: Khao sát \ à vC' dồ thị hàm sỗ: V

1

1 t 2x' -

X

lỉD-DS
y '

4x - x '

x ( 4 - X"). y"

4 - .4x".

Bài tập 15.3: Cho hàm số y 2mx' - X - 4m - 1 ( 1 )
a) Khao sát \ à vc dồ thị khi m -1
b) Tim m dc dồ thị hàm số (1 ) có 2 cực ticu và khoanu cách giữa chúng băng 5.
ÍỈD-DS
a) Khi m -1 thì y -2x' - x“ ‘ .5
b) m

98


Bài tập 15.4: Cho hàm số y = x"^ - 6x^ + 5.
a) Khảo sát và vẽ đồ Ihị (C) của hàm số

b) Tìm m để phưong trình
- 6x^ - m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
IID-ĐS
a ) y ’=4x^ - 12x.
b) - 9 < m < 0
Bài tập 15.5: Cho hàm số y = x(4x^ + m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3
b) Tìm m để Iy I <1 với mọi X e [0; 1]
líD -Đ S
a) khi m = -3 thì y = 4x^ - 3x
b) m = -3.

16
KHẢO SÁT VÀ VẼ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1
Btrớc 1: Tập xác định
Bước 2: Chiền biến thiên.Tính các giới hạn và íìm các tiệm cận đứng và
ngang. Tỉnh đạo hàm cấp một. Lập hảng biến thiên rỗi chí ra khoảng đồng biển
hay nghịch hiến.
Bước 3: Vẽ đồ thị. Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ. Vẽ
đúng đồ thị, Im iỷ lãm đổi xứng là giao điểm 2 tiệm cận.
Có 2 dạng đồ thị hàm hũv tỉ ỉ / ỉ : y =

ax + b
CX +

với c

0,

ad - b c ?^0 .

d

i

7
••

r \
Tìm điếm trên đồ thị có tọa độ nguyên:

Thêm bớt chia tách, đưa về dạng
Bài toán 16.1: Cho hàm số y =

— = A+ ^
cx + d
cx + d

x -3
2 -x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) cùa hàm số.
b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng.
Giải

a) • Tập xác định D = R \ {2}

99

. Sự biến thiên
lim y = -00, lim y = + 0 0 nên đường thẳng X= 2 là tiệm cận đứng.
x->2

lim y = -1 nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang
■1

< 0, Vx e R \ {2}; Hàm số không có cực trị, hàm số nghịch
( 2 -x )^
biến trên mỗi khoảng (- 0 0 : 2) và (2; +oo).
Bảng biến thiên
X

y'
y

+00

-00
-

-

+00

-1

-1

-00

3
• Đô thị: Cho X = 0 => y = - — ;y =
^ 2
Tâm đổi xứng 1(2 ;-l).
b) Giao điểm của hai tiệm cận là 1(2; -1).
Áp dụng công thức chuyển hệ bằng phép tịnh tiến vectơ 0 1 ;
Đồ thi (C) trong hê toa đô IXY: Y - 1 =

Ịx -X + 2
ly = Y - l ■

^ o Y=—
2 - ( X + 2)
X

Vì Y = F(X) = — là hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I là tâm đối xứng.
X
Bài toán 16.2: Cho hàm số y =

2x - l

x-1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là số nguyên.
Giải
a) ‘ Tập xác định D = R \ {1}.
• Sự biến thiên; lim y =■- -co , lim y =
x-»r

\->\*

+CO

nên tiệm cận đứng: X = 1.

Ta có lim y = 2 nên tiệm cận ngang: y = 2.
y' =

100

-1
(x -l)^

■< 0, Vx + 1 .1làm số không có cực trị.


BBT

X

y’
y

+00

-00
-

-

+00

9

^ 2

-00

Hàm số nghịch biến trôn mỗi khoảng (-00; 1) và (1; + 00).
• Đồ thị: Cho x = 0 = > y = l ; y = 0 = > x = —.Đồ thị nhận giao điểm 1(1; 2) của

Điểm M(x; y) e (C) có toạ độ nguyên khi X - 1 = ±1.
Suy ra (C) có 2 điểm (0; 1) và (2; 3) có toạ độ là số nguyên.
3 -2 x
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
Bài toán 16.3: Cho hàm số y
x-1
3 -2 x
của hàm số. Suy ra đồ thị (C ): y
x-1
Giải
• Tập xác định D = R \ {1}.
• Sư biến thiên; y' = ------ ỉ— 7 < 0, Vx
(x-1)
khoảng (- 00; 1 ) và ( 1 ; + 00).

G

D nên hàm số nghịch biến trên mồi

lim y = +00 và lim y = -00 nên TCĐ: X = 1
x -> r

lim y = lim y = -2 nên TCN: y = -2.
Bảng biến thiên

+00

X -00

y

-

-

y'
-2

+00
^ - 2

101


. Đồ thị: Cắt trục tung tại điểm (0; -3) và trục hoành tại điểm ( —; 0).
Tâm đối xứng 1(1 ;-2).

Bài toán 16.4: Cho hàm số y =

X

-2

x+1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
X -2
b) Biện luận số nghiệm của phưcmg trình
2m + 1 .
x+l
Giải

a) ‘ Tập xác định D = R \ (-1}.
0, Vx ^ -1 nên hàm số đồng biến trên mỗi

• Chiều biến thiên; y' = — -—
(x + 1 )khoáng (-oo; - 1 ) và ( - 1 ; +oo)
Tiệm cận đứng X = -1;
Tiệm cận ngang y = 1.•
X

-0 0

y'

+00
+

+

+00

1

y
r

• Đồ thị: Cho

X

-0 0

= 0 =í> y = -2.

Cho y = 0
X = 2.
Tâm đối xứng I(-l ;1).
102


b) Sô nghicm cua phươnu Irình
cua liàm sò

1

Ịx t 1

X-- 2
,

, \ ới dướn” ihănu
^x ‘ 1'

V

'

X

1 a có y

\

V

,
.
.
2in ' 1 là sô uiao diêm cùa dỏ thị (C")
2m t 1.

khi X > 1

X+

'
‘x + 1,

khi X <
X +I

Suv ra dồ thị (C ) uiữ nguycn phân dồ thị (C) năm bcn phái duxTng thăng X -1
\à lây dôi xứng phân bcn trái dường thănu X -1 qua iriic hoành. Dựa vào dô thị
ta có:
Ncu 2 m t 1 < -1

m < -1 thì phưcrng trinh có 2 nghiệm phàn biệt.

Ncu -1 < 2m M < 1 c> -1 .< m < 0 thì 1’ 1' có 1 nghiệm duv nhất.
Ncu 2 m ( 1 > 1 C4>m > 0 thì phuírng trình vô nghiệm.
lỉẢ l T Ậ P
Bài tập 16.1: Khao sát và vẽ dồ thị của hàm sô: y

X+ 2

2x t 3

ỈỈD -D S

1 )-R \

2

Ị . y '-

- ’ , < 0. Vx e I)
(2x + 3)-

Bài tập 16.2: Kháo sát và vẽ dô thị của hàm sò: y

3.V-2
.V 4

1

lỉD -D S

1)

^ , X ). Vx e I)

R \ í-l},y'

(.V f 1)

Bài tập 16.3; Cho hàm số y

2x + l

a) Kháo sát và võ dô thị (C)
b) Chứng minh do thị (C) C(S tâm dối xứng.
ỈỈD -D S

a ) D = R \{ 2 } .y ’ -=

, <0
( x - 2 )^

b) 'lam dối xứng là 1(2 ; 2 ).
103

Bài tập 16.4: Cho hàm số y =
2

-x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên dưong.
HD-ĐS
4
a)
D = R \{ 2 } ;y > 0, Vx ^ 2
( 2 -x )^
b) M(1;4),N(0;2)
3x + l

Bài tập 16.5: Cho hàm số y

x+1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Suy ra các đồ thị: y ■

3x + \
và y
x +\

3x +1
X+ 1 1

IID-ĐS
a )D = R \ { -l} ;y '= —
> 0, Vx e D
(x + 1 ) '
b )y

3x + l

x +\

3x+l ,
—
khi
x+1

X

^
< -1 hay

X >

1
3

- — .

, _ 3x + l 3x + l ,, .
và y = -----— = — —- Ichĩ X > -1 .
x + 11

x+1
^

....... .

KHẢO SÁT VÀ VẼ HÀM HỮU TỈ BẬC 2/1
Bướcl: Tập xác định. Xét tính chẵn, lẻ nếu cỏ.
Bước 2; Chiều biến thiên. Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận đứng và xiên.
Tỉnh đạo hàm cấp một, xét dấu. Lập hảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến,
nghịch biến và cực đại, cực tiểu.
Bước 3: Vẽ đồ thị. Cho vài giả trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ. Vẽ
đúng đo thị, lint ý lâm đối xứng là giao điếm 2 tiệm cận.
Có 4 dạng đồ thị hàm hữu tỉ:y =

104

ax^ + bx + c
a ’x + b’

(a^^O, a ' ^ 0)


x '+ 4

Bài toán 17.1: Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y =

. Tìm các điểm trên (C) có

toạ độ là số nguyên
Giải

• Tập xác định D = R \ {0}, hàm số lẻ.
4
• Sự biên thiên: Ta có y = X + —
X

lim y -

x" ->0

lim

-00,

y

= +00 nên đường thẳng X = 0 là tiệm cận đứng

X—>0^

lim (y-x) = lim — = 0 nên đường thẳng y ~
X — >±00

x ~>±00

Ta có: y' = 1 - ^

BBT

X

X

là tiệm cận xiên.

^

; y' = 0 <»

-00

y'

X

= ±2.

-2
+

0

2
-

-

0

+00

y
-00

+<»
+

+00

-00

4

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-00; -2) và (2; + 00),
nghịch biến trên mỗi khoảng (-2 ; 0) và (0 ; 2 ).
Hàm số đạt cực đại tại điểm X = -2, ycĐ = -4
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm X = 2, ycT = 4.

• Đồ thị; tâm đối xứng là gốc o.
Điêm M(x; y) 6 (C): y

4

= X+ —
X

có toạ độ nguyên khi

X

là ước sô của 4 nên (C)

có 6 điểm có toạ độ nguyên:( 1; 5), (-1; -5), (2; 4),(-2;-4),(4;5) và (-4; -5).
Bài toán 17.2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y

X

-2 x -3
X-

2

Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng.
Giải

Ta có y

■ 2x-3

= -------- —:------= X -------- -- —

x-2
x -2
• Tập xác định D = R \ {2}.
• Sự biến thiên: lim

y =

+00 và lim

y =

-00 nên TCĐ:

X = 2.

105


lim (y - x) = lim — — = 0 nên TCX: y = X.
X -> ± 0 0

X—

y '= l +

( x - 2 )-

^

— 2

> 0 với mọi x ^ 2

ncn hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
X -00

(-oo;

2 ) và (2 ; +oo).

2
+

y’

'f-00

y
-00

+00

-00

• Dồ thị:
Cho X = 0 => y - —
2
y = 0 = > x = - l , x = 3.
Giao điểm 2 tiệm cận 1(2; 2) chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ
O I;.

fx = X + 2
[y = Y + 2 ‘

------ ------- <=í> Y = X - — = F(X) là hàm số lẻ
(X + 2 ) - 2
X
nên đồ thị (C) nhận 1(2; 2) làm tâm đối xứng.
Dồ thị (C): Y + 2 = (X + 2)

, .„ ,
,
i
x ^ + ( m - l) x + 2
Bài toán 17.3: Cho hàm sô y = ------ ^-------------1-x
a) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại Xi, X2 sao cho X1X2 = -3.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 2.
Giải

a )D = R \ { l} .T a c ó y ' =

- X' + 2x + m +1
( 1 -x )^

y' = 0 < » x^ - 2 x - m - 1 = 0, X 5Ế 1 (A' = 2 + m)
Í2 + m > 0

Hàm sô đat cưc tri tai Xi, X2 và X 1 X2 = -3 < » <

- m - 1 = -3

b) Khi m = 2 thì y = ------ 2----- = - x - 2 - 1- X
x-1
• Tập xác định D = R \ {1}.

106

<1^ m = 2.

+ 2x + 3
í
4
• Sự biên thiên: y' = -1 + — - — = ------------ 2
( x - 1)^
( x - 1)
y' = 0
X = -1 hoặc X = 3.
Um y = + 00, lim y = -co nên TCĐ: X = 1
x->r'

X -> 1 '

lim |y - (-X - 2)1 = lim — — = 0 nên TCX: y = -X - 2.

X—>±00

X—>±00

Ị

Bảng biến thiên
X -00
y'
y

+00

-1

-

1

+00

3
+

«

0

-

-00

-cc

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m để phưoTig trình sau có hai nghiệm dưong phân biệt:
x^ + 2x + 5 = (m^ + 2m + 5)(x + 1).
Giải

. _ x^ + 2 x + 5 _
,
4
a) y = ------ —----- = X + 1 +
x+1

x+1
• Tập xác định D = R \ {-1}.
• Sự biến thiên; y' = T

4
(x + 1 )^

x '+ 2 x - 3
T ,y' = 0<=í>x= l,x = -3.
(x + 1 )^
107


Bảng biến thiên
X

-00

y'

1

-3
+

0

-

-

0

+00
+

+00

y
-00

-00

+00

4

Hàm số đồng biến trên (-00; -3), (1; +co), nghịch biến trên (-3; -1), (-1; 1).
Hàm sổ đạt CĐ (-3; -4), CT(1; 4).
Ta có

lim y = -co, lim y =+00 nên TCĐ:

X

=-1

lim (y - (x +1)) = lim —— = 0 nên TCX: y =
X->±M X + 1

x^±00

X

+ 1.

X^ + 2x + 5
2
------ --------= m + 2m + 5.
x+1
Số nghiệm của phương trinh bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
x^+2x+5

với đường thẳng y = m^ + 2 m + 5.
x +1
Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:
y=

4 < m + 2m + 5 < 5

fm ^ -l
1-2 < m < 0

,
x^ + 2 x
'
Bài toán 17.5: Cho hàm số y = ---- —^ có đô thị (C)
x-1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Suy ra đồ thị y =

108

x^ + 2 x
x-1


b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C).
Giải

a ) . Tập xác định D = R \ {1}. Ta có y = X + 3 +

3
x -1

• Sự biến thiên:
._ 1
^
x ^ -2 x + 2
_ 1 ./T
y = 1 ------ -—r- = --------V—, y = 0 <=> X = 1 ± v3 .
(x -lf(x-1)^-

lim y = -00, lim y = 00 nên TCĐ: X = l .
X^r

X ->1

lim (y - (x + 3)) = lim
X^ ± 0 0

X -> ± o c

—

I

= 0 nên TCX: y = X + 3.

Bảng biến thiên;
X

-00

I-V 3’
+

y’

0

-

-

-00

0

+00

4-2^/3'

y

I + V3

0

-00

+00
+

+00
4 + 2V3

• Đồ thị: y = 0 <=> X = 0 hoặc X = -2.

X +2x
khi - 2 < X < 0 hay X > 1
+2 x
X- 1
Ta có y
x -1
x “ + 2x
khi X < -2 hav 0 < X < 1
x-1
nên có đồ thị giữ nguyên đồ thị (C) phần phía trên Ox và lấy đối xứng phẩn
phía dưới Ox qua Ox.
109

h) ỉ)ô ihị của hàm sô dã cho có hai diêm cực trị là:
A( 1 ; 4 - 2 V-3 ) và B( 1 ) Vả ; 4 t 2 V-1 ).
Dườnu Ihăng di qua hai dicm cực trị cua dồ thị là dường thăng d cỏ vcclơ chi
phương u =
X

2v3

AB

-(1 -V 3 )
1

(1; 2) \à di qua dicm A ncn cỏ phương trinh:
y -(4 -2 V 3 )
2

.

, _

HÀI T Ậ P
Bài (ập 17.1: C'ho hàm

' (m là tham sơ)
X m
a) Khao sát hám sô (1 ) khi m -1
b) rim m dc hàm sò ( 1 ) dònu bicn Ircn 1 1 ; ’ cc)

S(3:

V

n n -D S

-V

a) Khi m -1 thì y

à.v

b) -1 < m '• 1

.V i 1

X’ - 4x t 3

Bài tập 17.2:C'ho hàm so \

a) Khao sát và \ c dỏ thị .
b) Tìm các uiá trị cua m dc phircmu trình:
dưcmg phân bict.

I x'^

-

4x

I

3

Ị

m(x - 2 ) có 2 nghiộm

ỈỈD -D S

b) m >
3x * 2 m

Bài tập 17.3: Cho hàm sò y

1

(C,,,).
1
a) Khaci sát \ ' à v c d ò thị hàm S(3 k h i m 2.
b) l ìm m sao cho hàm sô có cực dại. CỊ1’C ticLi \à khoanu cách uiữa dicm cực
dại \à dicm cực ticLi cua dô thị hàm so băna 5.
X

ỈỈD -D S

a) Khi m

2.V t 3

2 thì \

.V 1

b) m

Bài tập 17.4: Khao sát và \ c dồ thị (C): r
Su_v ra

110

d(")

thị hàm sô

X
V

X ! 1

-V

8
- .V t

,v 1


H D -Đ S

.

,

1

x^'- 2x

- 1x|-1+ 1
_ x^ -|x

là hàm số chẵn.

S ự TƯƠNG GIAO, GIAO ĐIỂM
Cho 2 đồ ihị cùa hùm sổ: y = f(x), y = g(x)
Phương trình hoành độ giao ăiêm: f(x) = g(x) C:>f(x) -g(x) = ỡ /à một phương
trình đại sổ, íuỳ theo sổ nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có
điêm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân
biệt: 2 giao điêm , ....
Chú ỷ:

1) Phương trình bậc 3: ax^ + bx^ + cx + d = 0, a 0
Nếu có nghiệm X = Xo ihĩphân tích: (x -Xọ) (Ax‘ + Bx + C) = 0.
Nếu đặt hàm số f(x) = ax^ + bx‘ + cx + d thì điều kiện:
Cổ 1 nghiệm: đồ thị không cổ cực trị hoặc ycD- ycT > 0,
Có 2 nghiệm: ycD ■ycr ~ 0, có 3 nghiệm phân biệt: ycD ■ycT < 0:
'yco-ycT < 0
Có 3 nghiệm dương khi: <X^.Ị,,X^■■|■ > 0....
ữ ./ ( 0 ) < 0

2) Nếu phương trình dạng f(x,m) =0 thì đưa về dụng đánh giá tham sổ một
bên: f(x) = m hay f(x) = h(m) rồi xét hàm sổ y =f(x) .
3) Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0, a 0 có 2 nghiệm
b
c
xị , X2 thì s = Xi + X2
— và p = XịX2 = —
a
a
Bài toán 18.1: Chúng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x - m + 1 cắt
-x ^ + 3 x - l
tại hai diểm phân biệt.
y
x -l
Giải

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình:
-x ^ + 3 x - l
------- — ------ =

X -

,
2 .
m + 1 <» 2x - (m -( 3)x + m = 0 , X + 1.

Vì X = 1 không phải là nghiệm và A = (m + 3)^ - 8m = m^ - 2m + 9 > 0 với mọi
m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt suy ra đpcm.
111