MO TA SKKN(14 15) nop

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập –Tự do - Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số:……..
1.Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh học tốt chủ đề: sự tương giao giữa đường
thẳng và Parabol ở khối lớp 9”
2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục cấp Trung học cơ sở
3.Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong tinh thần đổi mới phương pháp dạy học đối với môn Toán, việc hình
thành tư duy logic, phát huy tính tích cực độc lập, của HS hết sức quan trọng, việc học
tập các phương pháp giải toán, hình thành kĩ năng kĩ xảo vận dụng các kiến thức toán
học vào giải các dạng toán cụ thể là hết sức cần thiết.
Khi nghiên cứu thực tế và trao đổi với đồng nghiệp dạy toán THCS, đặc biệt là
GV dạy toán 9, chúng tôi thấy dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và
đường thẳng, giữa đường thẳng và parabol thường đề cập tới trong các đề thi học kì và
thi tuyển vào lớp 10.
Các em HS khi gặp dạng toán này thường mắc nhiều khó khăn : Do không vẽ
được đồ thị, hoặc chưa nắm được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, điểm
chung của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol chính là nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm.
Từ thực trạng trên bản thân tôi thấy cần thiết phải tìm tòi ra phương pháp dạy dạng
toán này đạt hiệu quả hơn, giúp HS học tốt dạng toán trên, góp phần nâng cao chất
lượng bộ môn Toán.
3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
3.2.1Mục đích của giải pháp:
1


-Giúp GV có phương pháp dạy tốt hơn dạng toán xét sự tương giao giữa đường

thẳng và parabol
-Giúp HS có được phương pháp học tốt dạng toán trên, đạt kết quả tốt trong các kì
thi, đặc biệt là kì thi tuyển vào lớp 10, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn.
3.2.2Điểm đổi mới trong kết quả nghiên cứu
Phân tích bài toán và chỉ ra được bản chất của vấn đề giúp HS hiểu và từ đó giải
được các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường
THCS
3.2.3.Nội dung giải pháp:
1)Trước hết chia nội dung thành hai vấn đề sau:
 Vấn đề 1: Sự tương giao giữa hai đường thẳng:
HS cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Tổng quát : Cho (C) là đồ thị hàm số y = f(x) và điểm A(xA; yA), ta có:
A  (C)  yA = f(xA)
A (C)  yA ≠ f(xA)
Muốn tìm tọa độ giao điểm (điểm chung) của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x), ta
tìm nghiệm của hệ phương trình:
�y=f(x)
�
�y=g(x)

Vì vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị chính là nghiệm của hệ phương trình trên.
Cụ thể: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng (D): y = ax + b ( a ≠ 0) và (D’): y = a’x + b’( a’≠0)
Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (D’) là:
ax + b = a’x+ b’(a – a’)x= b – b’(1)
Có 3 vị trí:
*(D) //(D’)phương trình (1) vô nghiệm a = a’ và b ≠ b’
*(D) trùng (D’)phương trình (1) có vô số nghiệm  a = a’ và b = b’
*(D) cắt (D’)phương trình (1) có một nghiệm a ≠ a’
2

Đặc biệt: (D) và (D) cắt nhau tại điểm trên trục tung a ≠ a’và b = b’
DẠNG1: TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
VD: cho hai hàm số y = x + 3(d) và hàm số y = 2x + 1(d’)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa dộ
b) Tìm tọa độ giao điểm nếu có của hai đồ thị
 Nhận xét: Gặp dạng toán này HS thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm
tọa độ giao điểm (x; y), tuy nhiên khi x và y không là số nguyên thì tìm tọa
độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của x; y
Giải.
a) Vẽ đồ thị
b)Phương trình hoành độ giao điểm của (d)
và (d’) là:
x + 3= 2x + 1  x = 2

y=x+
3

Thay x = 2 vào hàm số y = x + 3 ta được y = 5
KL: Tọa độ giao điểm là M (2; 5)

DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY:
VD: Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình:
(D1): y = x + 1
(D2): y = - x + 3
(D3) y = (m2 – 1 ) x + m2 – 5 ( với m ≠ ± 1)
Xác định m để 3 đường thẳng trên đồng quy.
 Nhận xét: Ba đường thẳng trên đồng quy tại một điểm A(x; y) thì x; y là
một nghiệm của 3 phương trình trên hay x; y là nghiệm của hệ tạo bởi hai PT

của(D1); (D2) và là nghiệm của phương trình đường thẳng(D3)
3


Giải.
Phương trình hoành độ giao điểm B của (D1). (D2) là:
-x+ 3 = x + 1  x= 1 thay vào y = x + 1 , suy ra y = 2. Vậy B(1; 2)
Để 3 đường thẳng trên đồng quy thì(D3) phải đi qua điểm B, hay B  (D3). Thay x = 1;
y = 2 vào phương trình (D3), ta có: 2 = (m2 – 1).1 + m2 – 5  m1 = 2;m2 = - 2 .
KL: m1= 2 , m2= – 2 thì 3 đường thẳng (D1) , (D2) và (D3) đồng quy
 Vấn đề 2: Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = f(x) và Parabol (P):
y = g(x)
Kiến thức cần nhớ:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x) (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc hai. Do đó:
*(D) và (P) không có điểm chung (2) vô nghiệm  < 0
*(D) tiếp xúc (P) (2) có nghiệm kép  = 0
*(D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt  > 0
Sau đây là một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol:
DẠNG 1: VẼ (D) VÀ (P) TRÊN CÙNG MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ,TÌM TỌA ĐỘ
GIAO ĐIỂM CỦA (D) VÀ (P) BẰNG PHÉP TÍNH (PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ)
VD1: ( ĐỀ KT HK II, năm học 2010-2011).
Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = - x + 2 có đồ thị là (D)
a)Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
b)Xác định các tọa độ giao điểm của (P và (D) bằng phương pháp đại số.
Giải.
a) Vẽ (P) và (D):
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D):
x2 = - x + 2  x2 + x - 2 = 0

Giải PT trên được x1= 1; x2 = -2 suy ra y1 = 1; y2 = 4
KL: tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (1; 1) và (-2; 4)
4


*PHƯƠNG PHÁP:
-Lập phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P)
-Giải PT tìm x
-Thay giá trị x tìm được vào PT của (D) hoặc (P) tìm y
-Kết luận tạo độ giao điểm
VD2: (ĐỀ THI TUYỂN LỚP 10, năm học 2013-2014).
Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y =2x + 3 có đồ thị là (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng
nhau)
b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Giải tương tự VD1
 Chú ý: Khi giải dạng toán này, GV cần lưu ý HS: Sau khi tìm tọa độ giao
điểm bằng phép tính cần đối chiếu với đồ thị xem tọa độ giao điểm có
giống nhau hay không, nếu khác nhau phải kiểm tra lại.
DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH:
2.1/VD: (ĐỀ KT HK II, năm học 2012-2013).
Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = – 2x + 3 có đồ thị là (D).
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
b) Xác định các tọa độ giao điểm của (P và (D) bằng phép tính.
c) Gọi  là đường thẳng có phương trình y =

x + 1 ( k ≠ 0). Chứng minh rằng

 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
Giải.

Câu a, b: Giải như dạng 1;
c) phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ():
x2 =

x + 1  x2 -

Xét  =

x – 1 = 0 (*)

+ 4 > 0 với mọi k ≠ 0

Do đó PT(*) luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra  luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B
5


*PHƯƠNG PHÁP: ch/m đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt
-Lập phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P)
- Tính 
- Chứng minh  > 0
2.2/VD2: CMR:
Đường thẳng (D): y = 4x – 3 luôn tiếp xúc với parabol(P):
y = 2x2 – 4( 2m – 1)x + 8m2 – 3
Giải.
phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P):
2x2 – 4( 2m – 1)x + 8m2 – 3 = 4x – 3
 2x2 – 4( 2m – 1)x + 8m2 – 3 - 4x + 3 = 0
Ta có:  = 16m2 – 16m2 = 0 với mọi m
Nên đường thẳng (D) tiếpluôn xúc với parabol(P):

*PHƯƠNG PHÁP: ch/m đường thẳng(D) tiếp xúc với (P)
Tương tự như dạng 2.1
Nhưng ch/m  = 0
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN:
VD: Cho đường thẳng (D) : y= x + 2m và parabol (P): y= - x2 – x + 3m
a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc (P)
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ giao điểm
A và B khi m = 3
Nhận xét: tương tự như VD trên , ta xét nghiệm của phương trình bậc hai, nếu có
một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung ( (D) tiếp xúc (P), nếu có hai nghiệm
thì (D) và (P) có hai điểm chung.
Giải
a) Hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
– x2 – x + 3m = x + 2m  x2 + 2x – m = 0 (*)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với (P)  phương trình (*) có nghiệm kép
 = 0  4 + 4m = 0  m = - 1
6


c) Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
 > 0  4 + 4m > 0  m > - 1
*Khi m = 3 suy ra (D): y= x + 6
Hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 + 2x – 3 = 0  x1 = 1 ; x2 = - 3
thay giá trị x1 = 1 ; x2 = - 3 vào phương trình của (D) , tìm được y1 = 7; y2= - 3
Suy ra tọa độ giao điểm của (D) và (P) là: A( 1; 7) và B(3; - 3)
DẠNG 4: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
VD: Cho đường thẳng (D): y = ax+ b . Tìm a, b, biết:

a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với
Parabol (P) : y = -x2
b) Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng x – 2y + 1 = 0 và tiếp xúc
với parabol(P) : y = - x2
Giải .
a) Ta có: 2y + 4x = 5  y = - 2x + 2,5 (D’)
Do (D) // (D’) nên có dạng y = -2x + b ( b ≠ 2,5)
theo cách tìm ở dạng 2, ta tìm được b = 0,25
Vậy phương trình đường thẳng (D): y = -2x + 0,25
b) Ta có: x – 2y + 1 = 0  y = 0,5x + 0,5
Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng y = 0,5x + 0,5  a.0,5 = -1
 a = -2
Suy ra (D) : y = -2x + b
Theo cách giải dạng 3, tìm được b = 1
Vậy phương trình đường thẳng (D): y = -2x + 1
VD2: (Dành cho HS giỏi).
Lập phương trình đường thẳng (D), biết (D) tiếp xúc với (P): y = x 2 – 3x + 2 tại điểm
C(3; 2)
7


Giải.
Ta có C(3; 2) (P)  2 = 3a + b  b = 2 – 3a
Theo cách làm dạng 3, ta tìm được a = 3, b = -7.
Vậy (D): y = 3x - 7
Nhận xét: HS cần nhớ điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc để tìm giá
trị của a, sau đó vận dụng kiến thức như dạng 2 để giải
DẠNG 5: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM
VD: Cho parabol (P) : y = 0,25x2 và đường thẳng (d): y = -0,5x + 2.
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho tại M đường tiếp tuyến của (P) song song với

(d).
Giải.
Đường tiếp tuyến của (P) song song với đường thẳng (d): y = -0,5x + 2 nên
phương
trình đường tiếp tuyến có dạng: y = -0,5x + b(d’)
Hoành độ điểm M là nghiệm kép của phương trình:
0,25x2 = -0,5x + b  0,25x2 + 0,5x – b = 0
x = -1 , suy ra y = 0,25
Vậy M( -1; 0,25)
DẠNG 6: XÁC ĐỊNH PARABOL
VD1: Cho parabol (P): y = ax2 . Tìm a, biết:
a) (P) đi qua điểm A( -2; -1)
b) (P) tiếp xúc với (d) : y = x – 1
Giải.
a) (P) đi qua A( - 2; -1) nên – 1= a.(-2)2  a = -0,25
Vậy (P) : y= -0,25x2
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
ax2 = x – 1  ax2 – x + 1 = 0
 = 1 – 4a
8


(P) tiếp xúc (d)   = 1 – 4a = 0  a = 0,25
Vậy (P) : y = 0,25x2
VD2: (Dành cho HS giỏi)
Xác định Parabol (P): y = ax2 +bx + c thỏa mãn:
(P) tiếp xúc với (D): y= - 5x + 15 và đi qua hai điểm (0;-1) và (4;-5)
Giải.
(P) đi qua hai điểm (0; -1) và (4; -5) nên ta có:
-1=c



-5 = 16a + 4b + c

c = -1
b = - 1 – 4a

Do đó (P): y = ax2 – (1 + 4a) x – 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):
ax2 – (1 + 4a) x – 1 = - 5x +15
 ax2 – 4( a – 1) x – 16 = 0(*)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với (P)  Phương trình (*) có nghiệm kép
 ’ = 0  4( a – 1) 2 – 16a = 0
(a + 1) 2 = 0  a = -1
Vậy a = -1; b = 3; c = -1. Suy ra hàm số cần tìm là (P): y = -x2 + 3x – 1
3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:
-GV dạy Toán Khối 9 đều có thể áp dụng sáng kiến này khi dạy đến bài toán về
sự tương giao giữa đường thẳng và parabol
- Có thể mở rộng sáng kiến này đối với công tác bồi dưỡng HS giỏi Khối 9
3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được:
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế giảng dạy của bản
thân. Phần sự tương giao giữa đường thẳng và parabol còn nhiều bài toán và nhiều
dạng khác nữa nhưng với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ
bản mà các em thường gặp trong các kì thi
Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy kết quả được nâng lên rõ rệt
- Sau đây là kết quả HS giải được bài toán này khi làm kiểm tra chương IV ĐS
9


TS dạy
70

Trước khi áp dụng

Năm học 2013-2014
Số HS đạt điểm TB trở lên
45

TL%
64,3%

 Sau khi áp dụng:
Năm học
2014-2015

TS dạy
62

Số HS đạt điểm TB trở lên TL%
53
85,5 %

Ngoài kết quả khảo sát trên, tôi còn thu được một số kết quả đáng khích lệ:
- Phần lớn HS đã say mê giải dạng toán này
- Các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán về sự tương giao giữa các đồ
thị
- Các em có niềm tin, say mê, hứng thú, từ đó tạo cho các em tính độc lập suy
nghĩ, phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận toán học

- Trong quá trình giải bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích, khái quát
vấn đề một cách chặc chẽ không ngại khó mà rất tự tin vào sức học của mình.
- Nhiều em học giỏi đã tìm ra các cách giải ngắn gọn hơn
3.5 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu : Không
3.6. Những thông tin cần được bảo mật: không có
3.7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Để áp dụng được đề tài này vào công việc giảng dạy giáo viên phải thường
xuyên trau dồi kiến thức, kỹ năng sư phạm.
- Không nên đưa ra bài tập quá khó ngay những tiết đầu khiến HS ngán ngại, do
đó GV phải chọn hệ thống bài tập từ dễ đến khó để HS quen dần với dạng toán này.
- Để nâng cao hiệu quả giảng dạy, GV nên tăng cường dạy phụ đạo dạng toán
này đối với HS Trung bình -yếu
3.8 Tài liệu đính kèm: không có
Mỏ Cày Bắc, ngày 4 tháng 1 năm 2016

10