Tài liệu môn toán hay nhất về chuyên đề đạo hàm

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa

GIAÛI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn


2

Chương 5 : Đạo hàm

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
§1 . Đạo hàm & ý nghóa hình học của đạo hàm .
A . Tóm tắt giáo khoa .
1 . Đạo hàm của hàm số tại một điểm : Cho hàm số y = f ( x ) xác đònh trên khỏang (a,b) và xo thuộc
khỏang ( a , b ) .
Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm xo , ký hiệu là f’ ( xo) , là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa
số gia của hàm số Δy và số gia của biến số Δx tại điểm xo khi số gia của biến số dần tới 0 :

f '( xo ) = lim
x→xo

f ( x) − f ( xo )
f ( xo + Δx) − f ( xo )
Δy
= lim
= lim
Δx → 0 Δx
Δx → 0
Δx
x − xo

Chú ý : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo thì hàm số này liên tục tại điểm xo
2 . Đạo hàm của hàm số trên một khoảng :
D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng ) .
Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm xo thuộc D .
Khi đó ta có một hàm số xác đònh trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D . Hàm số này được gọi là đạo
hàm của hàm số y = f ( x ) .
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :

f ( x) = C
f ( x) = x

⇒ f '( x) = 0
⇒ f '( x) = 1

, ∀x ∈ R
, ∀x ∈ R

f ( x) = x n (n ∈ N , n ≥ 2) ⇒ f '( x) = nx n −1 , ∀x ∈ R
1
f ( x) = x
⇒ f '( x) =
, ∀x ∈ R +
2 x
(C là một hằng số)
3 . Ý nghóa hình học của đạo hàm : Cho hàm số y =
f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo , đồ thò của hàm số là ( C
).
Đònh lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm xo là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thò ( C ) tại điểm Mo( xo , f(xo))

thuộc ( C )
Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại Mo (
xo , yo) thuộc ( C ) có dạng :
( t ) : y = f’( xo) ( x – xo) + f(x0) .

Hệ số góc của tiếp
tuyến tanϕ = f’(x0)

M

f(x0)

B . Giải tóan .
Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .

ϕ
x0

Ta thường thực hiện các bước sau :
™ Cho xo một số gia Δx và tinh số gia Δy .
™ Lập tỉ số

Δy f ( x) − f ( xo ) f ( xo + Δx) − f ( xo )
=
và tìm giới hạn của tỉ số này khi Δx → 0 .
=
x − xo
Δx
Δx

(hay x → xo). Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(xo) của hàm số tại điểm xo .
Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại xo
tương ứng :
a) y = f ( x) = x2 + 3x – 1 tại xo = 2

www.saosangsong.com.vn


3

Chương 5 : Đạo hàm
b) y = f ( x ) =

2x +1
tại xo = 1
x+2

Giải :
a) Cho xo = 2 một số gia Δx , ta có :

Δy = f ( xo + Δx) − f ( xo ) = ⎡⎣(2 + Δx) 2 + 3(2 + Δx) − 1⎤⎦ − ⎡⎣ 22 + 3.2 − 1⎤⎦
= [4 + 4Δx + ( Δx ) + 6 + 3Δx − 1] − 9 = ( Δx ) + 7Δx
Δy
Δy
Suy ra:
= (Δx) +7 => lim
= 7 . Vậy f’(2) = 7.
Δ
x
→

0
Δx
Δx
2

2

Cách trình bày khác: Ta có:

f (x) - f(2) (x 2 + 3 x − 1) - 9 x 2 +3x - 10
=
=
x −2
x −2
x −2
(x − 2)(x +5)
=
= x +5
x −2
f (x) - f(2)
Suy ra: lim
= 2 + 5 = 7 . Vậy đạo hàm f’(2) = 7.
x →2
x −2
b) Cho xo một số gia Δx sao cho ( xo + Δx) ≠ −2 , ta có :
2(1 + Δx) + 1
Δy = f (1 + Δx) − f (1) =
−1
(1 + Δx) + 2
[2(1 + Δx) +1] − [(1 + Δx)+2]

Δx
=
=
(1 + Δx) + 2
3 + Δx
1
Δy
=>
=
Δx 3+Δx
Δy 1
Suy ra: lim
= . Vậy f’(1) = 1/3 .
Δx → 0 Δx
3

Trình bày khác:
2x +1
−1
f ( x) − f (1) x + 2
x −1
=
=
( x − 1)( x +
x −1
x −1
1
1
f ( x) − f (1)
=> lim

=
=
x →1
x −1
1+ 2 3
Vậy f’(1) = 1/3.

Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số .
Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x0 là một giá trò thuộc tập xác đònh của f.
™ Tính đạo hàm f’(x0) theo xo.
™ Thay x bằng xo ta được đạo hàm f’(x).
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = x3 + 3x – 2 .

b) y =

x+2
.
x +1

c) y = f ( x) =

Giải :
a) Cho xo một số trò bất kì của x, ta có :

Δy = f ( x) − f ( xo ) = ( x3 + 3 x − 2) − ( xo3 + 3xo − 2)
= ( x3 − xo 3 ) + 3( x − xo ) = ( x − xo )[( x 2 + xxo + xo 2 ) + 3]
=>

Δy f ( x) − f ( xo )

=
= x 2 + xxo + xo 2 + 3
Δx
x − xo
Δy
= xo 2 + xo xo + xo 2 + 3 = 3 xo 2 + 3 .
Δx → 0 Δx

f '( xo ) = lim

Vậy f’( x ) = 3 x2 + 3 .
b) Ta có :

www.saosangsong.com.vn

1
.
x


4

Chương 5 : Đạo hàm

Δy = f ( x) − f ( xo ) =
=>

−( x − xo )
x + 2 xo + 2
−

=
x + 1 xo + 1 ( x + 1)( xo + 1)

Δy
1
=−
Δx
( x + 1)( xo + 1)

=> f '( xo ) = lim

Δx → 0

Vậy f’(x) = −

⎛
⎞
Δy
1
1
= lim ⎜ −
⎟=−
→
x
x
o
Δx
( xo + 1) 2
⎝ ( x + 1)( xo + 1) ⎠

1
( x + 1) 2

c) Ta có :

Δy = h( xo + Δx) − h( xo ) =
=

1
1
−
=
xo + Δx
xo

xo − xo + Δx
xo + Δx . xo

−Δx
xo . xo + Δx ( xo + xo + Δx )

y '( xo ) = lim

Δx → 0

hay y '( x) =

Δy
−1
−1

= lim
=
Δ
→
0
x
Δx
xo . xo + Δx ( xo + xo + Δx ) 2 xo xo

−1
2x x

Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thò của hàm số y = f ( x ) tại điểm M.
Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (xo) (x – xo) + f(xo) .
Ta thường gặp các trường hợp sau:
a) Cho hoành độ x0 (hay tung độ f(x0) của điểm M) : ta phải tìm f(x0) (hay x0) và f’(x0), rồi áp dụng công
thức .
b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương
trình f’(xo) = k ta tìm được xo , suy ra f(x o ). Rồi áp dụng
công thức.
c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A
( xA , yA ) : Ta thực hiện các bước sau :
™ Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ;
M
f(x
)
0
f(x0)) bất kì theo ẩn x0 là (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) +
f(x0) .
™ Tiếp tuyến này qua A nên :

yA – yo = f’(xo) (xA –
A
xo) .
™ Giải phương trình này ( ẩn là xo ) ta tìm được xo.
x0
Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x2 biết
a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3
b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3 .
c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3)
Giải :
a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x . xo= - 3 , suy ra yo= (- 3)2 = 9 ; f’(xo) = 2(-3) = -6 . Vậy phương trình của tiếp
tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 .

www.saosangsong.com.vn


5

Chương 5 : Đạo hàm
2

b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo, yo) thuộc ( C ) có dạng : y = 2xo(x –xo) + x0 . Tiếp
tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2xo = 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau)
hay xo= 1 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 .
c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo , yo) thuộc ( C ) có
dạng :
y = 2xo(x – xo) + x02 Ù y = 2 xox – x02 (1)
Tiếp tuyến này qua A(-1, -3) nên : - 3 = 2xo ( -1) – x02

Ù xo2 +2xo- 3 = 0 .
Ù xo= 1 hay xo= - 3 .
Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 .
Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A.

Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thò của hàm số y =

−3
x +1
và cho biết : y ' =
( x − 2) 2
x−2

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4 .
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng
d : 3y – x + 1 = 0 .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 dưới dạng y = ax + b
p dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua.
Giải :
Ta có : hàm số xác đònh khi x ≠ 2 và y ' =
a) f ( xo ) = 4 ⇔

−3
.
( x − 2) 2

xo + 1
= 4 ⇔ 4 xo − 8 = xo + 1 ⇔ x0 = 3 .
xo − 2

Tiếp điểm là T(3, 4) , hệ số góc của tiếp tuyến tại T là : y’(3) = - 3 . Vậy phương trình của tiếp tuyến tại
T là : y = - 3( x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 .
b) d: y =

1
1
1
x − => hệ số góc của đường thẳng d là . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có
3
3
3

1
3

: k . = −1 ⇔ k = −3 ( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 ) .
Gọi xo là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(xo) = - 3

⇔

⎡ xo = 3 => f ( xo ) = 4
−3
2
=
−
3
⇔
−
2
=

1
⇔
x
(
)
o
⎢ x = 1 => f ( x ) = −2
( xo − 2) 2
o
⎣ o

Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = - 3(x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13
Hay : y = - 3(x –1) – 2 Ù y = -3x + 1 .
c) Phương trình tiếp tuyến tại M : y = f’(xo)(x – x0) + f(xo) = −
Ùy= −

3 x + ( xo + 1)( xo − 2)
3x
+ o
2
( xo − 2)
( xo − 2) 2

Ùy= -

xo 2 + 2 xo − 2
3x
+
(1)
( xo − 2) 2

( xo − 2) 2

x +1
3
( x − xo ) + o
2
( xo − 2)
xo − 2

* Gọi A(a, 0) là điểm trên trục Ox. Tiếp tuyên qua A Ù (1) thỏa với x = a và y = 0

www.saosangsong.com.vn


6

Chương 5 : Đạo hàm
Ù0=

− 3a + xo 2 + 2 xo − 2
Ù xo 2 + 2 xo − 2 − 3a = 0
( xo − 2) 2

(2) ( xo ≠ 2)

Không có tiếp tuyến nào qua A Ù (2) VN hay (2) có nghiệm kép bằng 2

⎡ Δ ' = 3 + 3a < 0
⎡ a < −1
⎢

⎢
Ù ⎢ ⎧Δ ' = 3 + 3a = 0
<=> ⎢ ⎧a = −1 <=> a < −1
⎨
⎢⎨ 2
⎣⎢ ⎩a = 2
⎣ ⎩2 + 4 − 2 − 3a = 0
C . Bài tập rèn luyện .
5.1 . Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trò xo tương ứng
a) y = 2x2 + 3x tại xo= 2 .
b) y = 4x3 + x2 – 2x tại xo = 1.
c) y =

x +1
tại x0 = 1
x2

d) y =

1
tại xo = 0
x+4

5.2 . Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x – 3)2

b) y =

2x − 5
x+3

c) y = x

x −1

5.3 .Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau :

⎛ f ( a + 4h) − f ( a ) ⎞
a ) lim ⎜
⎟
h →0
h
⎝
⎠
2
2
x f (a ) − a f ( x)
c) lim(
)
x →a
x−a

⎛ f ( a + 2h) − f (a − 3h) ⎞
b) lim ⎜
⎟
h →0
h
⎝
⎠

5.4 . ( C ) là đô thò của hàm số y = x .
a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1 .
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2 .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm

x2 + x + 3
x+3
2
x + 6x
a) Chứng minh đạo hàm: y ' =
( x + 3) 2
5.5 . ( C ) là đồ thò của hàm số : y =

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5.
c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau . Hai điểm M ,
N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố đònh nào ?
D . Hướng dẫn – Đáp số .
5.1. a) f’(2) = 11

b) f’(1) = 12

5.2. a) y’ = 2(x – 3)

b) y’ =

c) f’(1) = - 33 d) f’(0) = - 1/16

11
( x + 3) 2

3x − 2
2 x −1
f ( a + Δx ) − f ( a ) ⎞ ⎤
⎟ ⎥ = 4 f '(a ) (Δx = 4h)
Δx
⎠⎦
c) y’ =

⎡ ⎛
⎛ f ( a + 4h) − f ( a ) ⎞
5.3.a ) lim ⎜
= lim ⎢ 4 ⎜
⎟
Δx → 0
h
⎝
⎠ Δx → 0 ⎣ ⎝

⎡ f (a + 2h) − f (a ) − [ f (a − 3h) − f (a ) ] ⎤
b) lim ⎢
⎥ = 2 f '(a ) + 3 f '(a ) = 5 f '(a )
h →0
h
⎣
⎦

www.saosangsong.com.vn


7

Chương 5 : Đạo hàm

⎡ ( x 2 − a 2 ) f (a) − a 2 [ f ( x) − f (a) ] ⎤
⎡ x 2 f (a ) − a 2 f ( x) ⎤
c) lim ⎢
lim
=
⎥
⎥ x →a ⎢
x →a
x−a
x−a
⎣
⎦
⎣
⎦
f ( x) − f ( a ) ⎤
⎡
= lim ⎡⎣( x + a ) f (a) ⎤⎦ − lim ⎢ a 2 .
= 2af (a) − a 2 f '(a)
⎥
x→a
x→a
x−a
⎣
⎦
5.4 . a ) y =

1

1
( x + 1) b) y = x +1
2
4

c) Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0 ;
Ùy=

x o ) của © là : y =

1
(x − x o )+ x o
2 xo

xo
x
+
2
2 xo

Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù 3 =

xo
8
+
<=> x o - 6 x o + 8 = 0
2
2 xo

x o = 2 hay x o = 4 Ù x0 = 4 hay xo = 16.

Ù

Vậy có hai tiếp tuyến y =

1
1
x + 1 hay y = x + 2
4
8

5.5 . a) Phương trình hòanh độ giao điểm của d và ( C ) :

⎡ x = −2
x2 + x + 3
= 5 ⇔ x 2 − 4 x − 12 = 0 ⇔ ⎢
x+3
⎣ x=6
Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11 .
Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là : y =

8
1
x− .
9
3

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x1 , x2 là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có :

x12 + 6 x1

( x1 + 3)

2

x2 + 6x

( x + 3)

2

=

x22 + 6 x2

( x2 + 3)

2

= k hay x1 , x2 là nghiệm của phương trình

= k ⇔ (k − 1) x 2 + 6(k − 1) x + 9k = 0 ⇒

x1 + x2 −6(k − 1)
=
= −3 (*)
2
2(k − 1)

Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3 .

Tung độ trung điểm I là :

yM + y N 1 ⎛ x12 + x1 + 3 x22 + x2 + 3 ⎞ 1 ⎛ x12 + x1 + 3 x22 + x2 + 3 ⎞
= ⎜
+
−
⎟= ⎜
⎟
x2 + 3 ⎠ 2 ⎝ x1 + 3
x1 + 3 ⎠
2
2 ⎝ x1 + 3
x12 − x22 + x1 − x2 ( x1 − x2 )( x1 + x2 + 1) −5( x1 − x2 )
=
=
=
= −5
2 ( x1 + 3)
2( x1 + 3)
2( x1 + 3)

yI =

( do (*) cho : x2 + 3 = −( x1 + 3); x1 − x2 = −2( x2 + 3) = 2( x1 + 3) )
Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố đònh .
Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng
qua điểm I ( - 3 , - 5 ) .

www.saosangsong.com.vn

8

Chương 5 : Đạo hàm

§2 . Quy tắc tính đạo hàm .
Hàm số
y = u+v-w
y = uv
y = ku

A Tóm tắt giáo khoa .
1 . Các quy tắc tính đạo hàm .
(u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k
là một hằng số )

Đạo hàm
y ’ = u’+v’- w’
y ’ = u’v + uv’
y ’ = ku’

u
v
k
Y=
v
Y=

B . Gỉai tóan .
Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức .

Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v

y’=

y = f[u( x)]
Y = un

u
hoặc y là hàm số hợp
– w ; y = u.v ; y =
v
y = f [u ( x)] ( u , v , w là những hàm số thường

y=

u ' v − uv '
v2
kv '
y’ = − 2
v

y ’ = f’[u(x)]u’( x )
y ’ = n.un – 1 . u’

u

y‘=

u'
2 u

gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm .

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = 3x4- 2x3 + 5x - 2

5
x2

b) y = 3 x −

c) y= ( 2x3—x2) ( 3x + 2 )

d) y =

2x − 3
.
3x + 1

Giải :
a) Hàm số cho có dạng y = u + v – w , do đó : y’ = 3( x4)’ – 2( x3)’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x3 – 6x2 + 5 .

3

b) Tương tự , ta có : y’ =

2 x

3

− 5( x −2 ) ' =

2 x

+ 10 x −3 =

3
2 x

+

10
x3

c) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó :
y’ = (2x3-x2)’(3x + 2 ) + (2x3-x2) (3x +2)’ = (6x2-2x) (3x + 2) +( 2x3 – x2) .3
= 24x3+ 3x2 – 4x .

u
, do đó :
v
( 2 x − 3) ' ( 3x + 1) − ( 2 x − 3)( 3x + 1) '

d) Hàm số cho có dạng : y =
y’=

( 3x + 1)

2

=

2 ( 3 x + 1) − ( 2 x − 3) .3

( 3x + 1)

2

=

11

( 3x + 1)

2

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a ) y = ( x 2 + 3 x + 1)

5

d ) y = x 2 2 x3 + x 2 + 1

b) y =

(x

3

+ 3x 2 + 2 )

3

e) y = (2 x − 1)3 ( x + 6)5

Giải :
a) Hàm số cho có dạng : y = u5 , do đó :
y’ = 5u4u’ = 5( x2+ 3x + 1)4(x2 +3x + 1 )’= 5(x2+3x +1 )4(2x + 3)

www.saosangsong.com.vn

c) y =
f )y =

(x

4
2

+ 1)

6

(2 x − 1) 2
x+2


9

Chương 5 : Đạo hàm

⎡ ( x 3 + 3 x 2 + 2 )5 ⎤ '
⎣⎢
⎦⎥

u'
b) Hàm số cho có dạng : y = u ⇒ y ' =
=
2 u 2

2

d) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó :

y ' = ( x 2 ) ' 2 x3 + x 2 + 1 + x 2
=

4

=

2 ( x + 3x + 2 )
( x + 3x + 2 )
⎡
⎤
4
−4v ' −4 ⎢⎣( x + 1) ⎥⎦ ' −24 ( x + 1) .2 x
−48 x
y = ⇒ y'=

=
=
=
v
v
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
3

(

5

2

2

12

2

2

)

2 x3 + x 2 + 1 ' = 2 x 2 x3 + x 2 + 1 + x 2

2 x(2 x3 + x 2 + 1) + x 2 (3x 2 + x)
2 x3 + x 2 + 1

=

3

6

2

c) Hàm số cho có dạng :

5 ( x3 + 3x 2 + 2 ) ( 3x 2 + 6 x )
2

5

12

2

6 x2 + 2 x
2 2 x3 + x 2 + 1

7 x 4 + 3x3 + 2 x
2 x3 + x 2 + 1

e) y’ = [(2x – 1)3]’ (x + 6)5 + (2x – 1)3[(x + 6)5]’
= 6(2x – 1)2(x + 6)5 + (2x – 1)3 (x + 6)4 = (2x – 1)2(x + 6)5(8x + 35)

f)

4(2 x − 1) x + 2 − (2 x − 1) 2

[(2 x − 1) ]' x + 2 − (2 x − 1) .[ x + 2]'
=
x+2
8(2 x − 1)( x + 2) − (2 x − 1) 2 (2 x − 1)(6 x + 17)
=
=
2( x + 2) x + 2)
2( x + 2) x + 2
2

y'=

2

Ví dụ 3 : Cho hàm số : y =

1
2 x+2

x+2

ad − bc
ax + b
. Chứng minh rằng : y ' =
.
(cx + d ) 2
cx + d

Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau :

3x − 2
a) y =
2x + 1
Giải :
Ta có : y ' =

3− x
b) y =
2+ x

⎛ −x ⎞
c) y = ⎜
⎟
⎝ 1− x ⎠

d) y =

b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2 ⇒ y ' =

7

( 2 x + 1)

2

−5

( x + 2)

2

x
−1
: a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1 ⇒ u'=
2
x −1
( x − 1)
2

−1
−3 x 2
⎛ x ⎞
.
=
⎟
2
( x − 1) 4
⎝ x − 1 ⎠ ( x − 1)

Và y = u3 => y’ = 3u2u’ = 3. ⎜

−10
5
: a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3 ⇒u'=
(2 x + 3) 2
2x + 3
−10

u'
− 5
(2 x + 3) 2
=
u => y ' =
= 2 u
5
(2 x + 3) 2 x + 3
2
2x + 3

d) Đặt u =

Và y =

5
2x + 3

( ax + b ) ' ( cx + d ) − ( ax + b )( cx + d ) ' = a ( cx + d ) − ( ax + b ) .c = ad − bc
2
2
2
( cx + d )
( cx + d )
( cx + d )

a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1 ⇒ y ' =

c) Đặt u =

3

www.saosangsong.com.vn

7


10

Chương 5 : Đạo hàm
Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm .
Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 +10x – 3 , dồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
Giải :
Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là :
y’ = 3x2 + 6x +10 = 3 ( x + 1)2 +7 ≥ 7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1 .
Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất ứng với x 0 = - 1 => f(x9) = f(- 1) = - 11.
Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 .
3

2

Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x + 2x – 1 (1)
a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ?
b) Xác đònh đa thức f(x) .
Giải :
a) (1) thành : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x3 + 2x2 hay :
( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì bậc của ( f(x) - 1 )
cũng là n ; bậc của ( f’(x) – 1 ) là n – 1 . Vậy bậc của đa thức ở vế trái n + n – 1 . Do đó : 2n – 1 = 3 ( bậc

của đa thức ở vế phải ) . Suy ra n = 2 .
Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2 .
b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax2 + bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thành :
( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x3 + 2x2 hay
2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Do đó :

Vậy : f(x) = x2 + x + 1 .

⎧
2a 2 = 2
⎧a = 1
⎪
3ab − a = 2
⎪
⎪
⇔ ⎨b = 1
⎨
2
⎪2ac − 2a + b − b = 0
⎪c = 1
⎩
⎪⎩ (b − 1)(c − 1) = 0

Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x)
chia hết cho ( x—a )2 là : f(a) = f’(a) = 0 .
Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a )2 .
f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1 .
Giải :
Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a )2 nên : f(x) = ( x – a )2 .g(x) . Suy ra :
f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2. g’(x) . Do đó : f(a) = f’(a) = 0 .

Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta có : f(x) = ( x – a )2. g(x) + Ax + B . Suy ra :
f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a )2 . g’(x) + A .

⎧ Aa + B = 0
⎧A = 0
f (a) = f '(a ) = 0 ⇔ ⎨
⇔⎨
⎩ A=0
⎩B = 0

Vậy : f(x) = ( x – a )2 g(x) hay f(x) chia hết cho ( x – a )2 .
Áp dụng :
f(a) = nan+1 – ( n + 1 ) a.an + an+1 = nan+1 – nan+1 – an+1 + an+1 = 0 .
f’(x) = n ( n + 1 ) xn – n ( n + 1 )a xn-1 ; f’(a) = n2an + nan - n2an – nan = 0 .
Vậy f(x) chia hết cho ( x – a )2 .
www.saosangsong.com.vn


11

Chương 5 : Đạo hàm
Ví dụ 4* : Cho hàm số : y =

x 2 − 2mx + m
( m là tham số khác 0 ) , đồ thò là ( C ) .
x+m

a) Gọi A(xA , 0 ) là một điểm chung của ( C ) và trục Ox .Chứng minh rằng tiếp tuyến với ( C ) tại A có
hệ số góc bằng k =

2 x A − 2m
.
xA + m

b) Đònh m để ( C ) cắt Ox tại 2 điểm A , B phân biệt và tiếp tuyến với ( C ) tại A và B vuông góc với
nhau .
Giải :
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại A bằng k = y’(xA) . Mà :

(2 x − 2m)( x + m) − ( x 2 − 2mx + m)
. Suy ra :
( x + m) 2
(2 x A − 2m)( x A + m) 2 x A − 2m
=
y '( x A ) =
( x A + m) 2
xA + m
y'=

x A2 − 2mx A + m
⇔ x A2 − 2mx A + m = 0)
xA + m
2 x A − 2m
Vậy tiếp tuyến với ( C ) tại A có hệ số góc bằng k =
xA + m
( do y A = 0 =

x 2 − 2mx + m
= 0 có 2 nghiệm phân biệt hay
b) ( C ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A , B khi phương trình

x+m
phương trình x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay :
Δ ' = m 2 − m > 0 ⇔ m < 0 hay m > 1 .

Hai tiếp tuyến với ( C ) tại A , B vuông góc khi :

y '( x A ). y '( xB ) = −1 ⇔
⇔

2 x A − 2 m 2 xB − 2 m
4 x . x − 4 m ( x A + xB ) + 4 m 2
= −1 ⇔ A B
= −1
.
xA + m
xB + m
x A . xB + m ( x A + xB ) + m 2

4 m − 8m 2 + 4 m 2
= −1 ⇔ m 2 − 5m = 0 ⇔ m = 5( do m ≠ 0 )
2
2
m + 2m + m

( vì xA , xB là nghiệm của phương trình x2 – 2mx + m = 0 nên : xA + xB = 2m ;
xA . xB = m ) .
B

B

B

Từ đònh nghóa đạo hàm, ta có : lim

x −> xo

f ( x) − f ( xo )
= f '( xo )
x − xo

Ví du 5 ï: Tính các giới hạn sau:

(2 x − 1)5 − 243
x −> 2
x−2

a) lim

( x − 3)3 − 1
x −> 4 16(2 x − 7)5 − x 2

b) lim

Giải: Từ đònh nghóa đạo hàm, ta có thể dùng đạo hàm để tính giới hạn có dạng sau:

lim

x −> xo

f ( x) − f ( xo )

f ( xo + h) − f ( xo )
hay lim
. . . Các giới hạn này đều bằng f’(xo).
h
−>
0
x − xo
h

a) Xét hàm số f(x) = (2x – 1)5 => f(2) = 243 và f’(x ) = 10(2x – 1)4 => f’(2) = 810

(2 x − 1)8 − 243
f ( x) − f (2)
= lim
= f '(2) = 810
x −> 2
x −> 2
x−2
x−2

Do đó: lim

www.saosangsong.com.vn


12

Chương 5 : Đạo hàm

( x − 3)3 − 1

( x − 3) − 1
x−4
= lim
(1)
b) Ta có : lim
x −> 4 16(2 x − 7)5 − x 2
x −> 4 16(2 x − 7)5 − x 2
x−4
3

Xét hàm số f(x) =

( x − 3)

3

; f(4) = 1 và f ’( x) =

3( x − 3) 2
2 ( x − 3)

3

=> f '(4) =

3
2

g(x) = 16(2 x − 7)5 − x 2 ; g (4) = 0 ; g '( x) = 160(2 x − 7) 4 − 2 x => g (4) = 160 − 8 = 152
Vì lim

x −> 4

( x − 3)3 − 1
f ( x) − f (4)
= lim
= 3 / 2 và
x −> 4
x−4
x−4

16(2 x − 7)5 − x 2
g ( x) − g (4)
= lim
= g '(4) = 152
x −> 4
x −> 4
x−4
x−4

lim

Vậy (1) =

3/ 2
3
=
152 304

C . Bài tập rèn luyện .

5.6 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số : y = 2x2 + x biết :
a) Tiếp điểm có tung độ bằng 3 .
b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 9x + 2 .
c) Tiếp tuyến này qua điểm A ( 0 , -2 ) .
5.7 . ( C ) là đồ thò của hàm số : y = x3 +2x2 +3x – 5 . Chứng minh rằng ta không thể tìm được hai tiếp
tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau .
5.8 . Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + x , đồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết rằng tiếp
tuyến này tạo với Ox một góc 45o .
5.9 . Cho hàm số : y = - x3 +6x2 – 3x +14 , đồ thò là ( C ) . Trong tất cả các tiếp tuyến với
phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất .
5.10 . Cho hàm số : y =

( C ) , viết

x +1
, đồ thò là ( C ) . A (0 , a) là một điểm trên Oy . Tìm điều kiện của a để từ
x−3

A ta vẽ được 2 tiếp tuyến với ( C ) mà 2 tiếp điểm nàm hai bên đường thẳng x = 3 .

ax 2 + bx + c
. Chứng minh rằng :
a ' x2 + b ' x + c '
(ab '− ba ') x 2 + 2(ac '− ca ') x + bc '− cb '
y'=
(a ' x 2 + b ' x + c ') 2

5.11 . Cho hàm số : y =

a b

a c
b c
= ab '− ba ';
= ac '− ca ';
= bc '− cb '
a' b'
a' c'
b' c'
Xét trường hợp đặc biệt : y =

ax 2 + bx + c
b'x + c'

Áp dụng công thức trên , tính đạo hàm của các hàm số sau :

www.saosangsong.com.vn


13

Chương 5 : Đạo hàm

a) y =

x +1
x2 + 2

b) y =

⎛ − x2 + 3x + 2 ⎞

d) y = ⎜
⎟
x +1
⎝
⎠

2 x2 − x + 3
x2 − x + 2

2

c) y =

x2 + 1
3x + 5

e) y =

5.12 . Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y = x 4 − 2 x 2 + 5
d)y =

b) y = x 2 − 3 x + 2

2 x 2 − 3x + 2
2x +1

2 x2 − 3x + 1
2x − 5

x
x +1

e) y =

2

2x − 7
3− x
x
f )y =
x +1

c) y =

5.13 . Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a ) y = ( x 3 + 2 x 2 + 3)

6

c) y = ( x + 1) x 2 + 1
e) y =

b) y = x 6 − x
d ) y = x + x2 − x + 1

x2 + x + 1
2x + 1

f )y =

2x + 1
x2 + x + 3

5. 14. Tính giới hạn các hàm số sau:

( x 2 − x + 2)3 − 8
x −> 0
x

a) lim
d ) lim

x −> 2

( x 2 − x) 4 − 16
( x − 1)5 − 1

b) lim
x −>1

( x 2 − 2 x + 2) 4 − 1
x2 − x

x 2 − 3x + 2
x −>1 ( x 2 − 2 x + 3) 4 − 16

c) lim

16( x − 3)( x − 1) 4
x −> 3 16( x − 2) 3 − ( x − 1) 4

e) lim

5.15. Rút gọn các biểu thức sau: A = 1 + 2x + 3x2 + 4 x 3 . . . + (n + 1)xn.
Và B = 1 + x + 2x2 + 3x2 + . . . + nxn

5.16. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x)n bằng 2 cách , suy ra giá trò của biểu thức:
Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + .... + kCnk + .... + n.Cnn
D . Hướng dẫn . Đáp số .
5.6 . a) 2 tiếp tuyến : y = 5x – 2 ; y = -6x + 6 .
b) 1 tiếp tuyến : y = 9x – 8 .
c) 2 tiếp tuyến : y = 5x – 2 ; y = -3x – 2 .
5.7 . y’ = 3x2 +4x + 3 > 0 với mọi giá trò của x nên không thể có x1 , x2 thỏa : y’(x1).y’(x2) = - 1 . Vậy
không thể có hai tiếp tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau .
5.8 . y’ = 3x2 – 6x + 1 . Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45o là các tiếp tuyến song song với đường
thẳng y = x hay y = - x . Tiếp điểm có hòanh độ là nghiệm của các phương trình 3x2 – 6x + 1 = 1 ; 3x2 –
6x + 1 = -1 . Giải các phương trình này ta tìm được 4 tiếp tuyến .
5.9 . y’ = - 3x2 +12x – 3 = - 3 ( x2 – 4x + 4 ) + 9 . Gía trò lớn nhất của y’ là 9 đạt được khi
trình tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc lớn nhất là :
y = 9x + 2 .
5.10 . Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại ( x0 , yo ) thuộc ( C ) là :
www.saosangsong.com.vn

x = 2 . Phương


14

Chương 5 : Đạo hàm

(t ): y −

x0 + 1
−4
( x − x0 )
=
x0 − 3 ( x0 − 3) 2

A(0, a) ∈ (t ) ⇔ a −

x0 + 1
−4
(0 − x0 )
=
x0 − 3 ( x0 − 3) 2

⇔ (a − 1) x02 − 2(3a + 1) x0 + 9a + 3 = 0 (1)
Có 2 tiếp tuyến qua A mà 2 tiếp điểm nằm hai bên đường thẳng x = 3 khi phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm
Vậy a < 1
thỏa : x01 < 3 < x02 hay : ( a – 1 )f(3 ) < 0 Ù - 12( a – 1 ) < 0 .

5.11. y ' =
=

( 2ax + b ) ( a ' x 2 + b ' x + c ') − ( ax 2 + bx + c ) ( 2a ' x + b ')

(a ' x

2

+ b ' x + c ')

2

( ab '− ba ') x 2 + 2 ( ac '− ca ') x + bc '− cb '

(a ' x

2

+ b ' x + c ')

2

'

⎛ ax 2 + bx + c ⎞ ab ' x 2 + 2ac ' x + bc '− b ' c
Với a’ = 0 , ta được : ⎜
(công thức cần nhớ)
⎟ =
(b ' x + c ') 2
⎝ b'x + c' ⎠
Áp dụng :

a)ab '− ba ' = 0.0 − 1.1 = −1; ac '− ca ' = 0.2 − 1.1 = −1; bc '− cb ' = 1.2 − 1.0 = 2
− x2 − 2 x + 2
( x 2 + 2) 2

b)ab '− ba ' = 2.(−1) − (−1)1 = −1; ac '− ca ' = 2.2 − 3.1 = 1; bc '− cb ' = (−1).2 − (−1).3 = 1
y' =

y' =

− x2 + 2 x + 1
( x 2 − x + 2) 2

c) y ' =

4 x 2 − 20 x + 13
(2 x − 5) 2
'

⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞
⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞ − x 2 − 2 x + 1
d ) y ' = 2. ⎜
2.
=
⎟⎜
⎟
⎜
⎟.
2
x +1
x +1
x +1
⎝
⎠⎝
⎠

⎝
⎠ ( x + 1)
2(− x 2 + 3 x + 2)(− x 2 − 2 x + 1)
=
( x + 1)3
'

⎛ x 2 + 1) ⎞ 3x 2 + 10 x − 3
⎜
⎟
3x + 5 ⎠
3x 2 + 10 x − 3
(3 x + 5) 2
d) y = ⎝
=
=
2 ( x 2 + 1)(3x + 5)3
x2 + 1
x2 + 1
2
2
3x + 5
3x + 5

www.saosangsong.com.vn


15

Chương 5 : Đạo hàm

5.12.a ) y ' = 4 x3 − 4 x + 1
d)y ' =

4 x2 + 4x − 7

( 2 x + 1)

e) y ' =

2

5.13.a) y ' = 6 ( 3 x 2 + 4 x )( x3 + 2 x 2 + 3)
c) y ' =
e) y ' =

5

2x2 + x + 1
−3
2 ( 2 x + 1)

(x

2

+ 1)

b) y ' =

f )y' =

x2 + x + 1

2 x

1 − x2

d)y ' =

x2 + 1
2

3

b) y ' = 2 x −

2

c) y ' =

−1

(3 − x )

f )y' =
2 x

(

2

1

)

x +1

2

12 − 3x
2 6− x
2 x2 − x + 1 + 2 x − 1

4 x2 − x + 1 + x x2 − x + 1
11

2 ( x 2 + x + 3) x 2 + x + 3

5. 14 . Dùng đònh nghó a đạo hàm.
5.15. Ta có : y’ = n(1 + x)n – 1 (1)
Mặt khác, dùng khai triển nhò thức Newton : y = Cn0 + Cn1 x1 + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x n
=> y’ = Cn1 + Cn2 .2 x + .... + Cnk .kx k −1 + .... + Cnn .nx n −1 (2)
Cho x = 1 vào (1) và (2), ta được : Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + .... + kCnk + .... + n.Cnn = n.2n -1
5.16. Xét hàm số y = x + x2 + x3 + . . . + xn + 1 = x
số nhân). Lấy đạo hàm hai vế, ta được :

x n +1 − 1 x n +1 − x
=
(1) (tổng n + 1 số hạng của một cấp

x −1
x −1

[(n + 1) x n − 1]( x − 1) − ( x n +1 − x).1
1 + 2x + 3x + . . . + (n + 1)x =
(2)
( x − 1) 2
2

ÙA=

n

nx n +1 − (n + 1) x n + 1
( x − 1) 2

Lấy (2) trừ (1): 1 + x + 2 x2 + n xn + (n + 1)xn+1 =

ÙB=

=

nx n +1 − (n + 1) x n + 1 x n +1 − x
−
( x − 1) 2
( x − 1)

nx n +1 − (n + 1) x n + 1 x n +1 − x
−
- (n + 1)xn + 1 =

( x − 1) 2
( x − 1)

−(n + 1) x n +3 + (2n + 1) x n + 2 − (n + 1) x n + x 2 − x + 1
( x − 1)2

§3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
A.Tóm tắt giáo khoa

sin x
x →0
x

1.Giới hạn lim

www.saosangsong.com.vn


16

Chương 5 : Đạo hàm
Đònh lí 1 : Ta có

sin x
=1
x →0
x

lim

(với x tính bằng rad)

2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
a) Đạo hàm của hàm số y = sinx
Đònh lí 2 : Với mọi x ∈ R , ta có (sinx)’ = cosx
Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’
b) Đạo hàm của hàm số y = cosx
Đònh lí 3 : Với mọi x ∈ R , ta có (cosx)’ = - sinx
Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’
c) Đạo hàm của hàm số y = tanx
Đònh lí 4 : Với mọi x ≠

π

2

+ kπ ( k ∈ Z) , ta có (tanx)’ =

1
=1 + tan2x
2
cos x

Hệ quả 3 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) ≠
( k ∈ Z) trên J thì: (tanu)’ =

π

2

+ kπ

1
.u ' = [1 + tan2u).u’
cos 2u

d) Đạo hàm của hàm số y = cotx

1
= - (1 + cot2x)
2
sin x
Hệä quả 4 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) ≠ kπ
1
( k ∈ Z) trên J thì : (cotu)’ = −
.u ' = - 1 + cot2u). u’
2
sin u
Đònh lí 5 : Với mọi x ≠ kπ ( k ∈ Z) ,ta có (cotx)’= −

Bảng tóm tắt cần nhớ :

(sinx)’ = cosx

(sinu)’ = cosu. u’

(cosx)’ = - sinx

(cosu)’ = - sinu. u’

(tanx)’ =

1
=1 + tan2x
2
cos x

(cotx)’ = −

(tanu)’ =

1
= -{1+cot2x)
2
sin x

1
. u’ = [1+ tan2u]u’
2
cos u

(cotgu)’ = −

1
.u ' = -(1+cot2u)u’
2
sin u

B .Giải toán
Dạng 1 : Giới hạn của hàm số lượng giác

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về dạng lim

u ( x )→0

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau:

sin 3 x
x
sin x − cos x
d) lim
π
4x − π
x→

a) lim
x →0

4

1 − cos 4 x
1 − cos 6 x
c) lim
2
0
x
→
tan 2 x
x
1 + sin x − cos x
e) lim

x → 0 1 + sin kx − cos kx

b) lim
x→0

www.saosangsong.com.vn

sin u ( x)
=1
u ( x)


17

Chương 5 : Đạo hàm
Giải:

sin 3 x
s in3 x
= lim 3 ×
= 3 ×1 = 3
x →0
x →0
3x
x
1 − cos 4 x
2sin 2 2 x
sin 2 x 2
=
lim

= lim8 × (
) =8
b) lim
2
2
x →0
x →0
x →0
x
x
2x

a) lim

2

2

1 − cos 6 x
2sin 2 3x
⎛ sin 3 x ⎞ ⎛ x ⎞
2
=
lim
= lim18 × ⎜
c) lim
⎟ ×⎜
⎟ × cos x = 18 × 1 × 1=18
2
2

x →0
x → 0 sin x
x →0
x
x
tan x
3
sin
⎝
⎠ ⎝
⎠
cos 2 x

π

2 sin( x − )
4 = 2
π
4
4( x − )
4
4
4
x
x
x
2sin 2 + 2sin cos
1 + sin x − cos x
2
2

2
= lim
e) lim
x → 0 1 + sin kx − cos kx
x →0
kx
kx
kx
2sin 2 + 2sin cos
2
2
2
x
x
x
x
kx
x
x
sin (sin + cos )
sin
sin + cos
2
2
2 = lim
2 × 2 ×(
2
2 )× 1
= lim
x →0

x →0
kx
kx
kx
x
kx
kx
kx
k
sin (sin + cos )
sin
sin + cos
2
2
2
2
2
2
2
1 1
= 1× 1× 1× =
k k

sin x − cos x
= lim
d) lim
π
π
4x − π
x→

x − →0

Dạng 2 : Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Ví du 1 : Dùng đòngh nghóa tính đạo hàm của hàm số y = xsinx
Giải
Với x0 ∈ R ta có : Δ y = (x0 + Δ x)sin(x0 + Δ x) – x0sinx0
= x0[sin (x0 + Δ x) – sinx0] + Δ xsin (x0 + Δ x)

Δx
Δx
)sin
] + Δ xsin (x0 + Δ x)
2
2
Δx
sin
Δy
Δx
2 + sin( x + Δx)
= lim x0 cos( x0 + ) ×
Tìm giới hạn lim
0
Δx → 0 Δx
Δx → 0
Δx
2
2
= x0 [2cos(x0 +

= x0cosx0 + sinx0

Vậy y’(x0) = sinx0 + x0cosx0
Ví dụ 2 : Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số
y=f(x)=
Giải
Cho xo=

π
3

π
⎛ −π π ⎞
cos x ; x ∈ D = ⎜
, ⎟ ; xo =
3
⎝ 2 2⎠

một số gia Δx sao cho (

π
3

+ Δx) ∈ D , ta có :

www.saosangsong.com.vn


18

Chương 5 : Đạo hàm

π

π

cos( + Δx) − cos
3
3
Δy = f ( + Δx) − f ( ) = cos( + Δx) − cos =
3
3
3
3
π
⎛π
⎞
cos ⎜ + Δx ⎟ + cos
3
⎝3
⎠

π

π

π

π

Δx
⎛ π Δx ⎞

−2sin ⎜ +
⎟ sin
2
⎝3 2 ⎠
=
π
⎛π
⎞
cos ⎜ + Δx ⎟ + cos
3
⎝3
⎠
Δy
và tính giới hạn của tỉ số này , ta có :
Δx
Δx
⎛ π Δx ⎞
π
Δx
sin
−2sin ⎜ +
− sin( + Δx)
sin
⎟
Δy
2
⎝3 2 ⎠
3
2
lim

.
= lim
= lim
Δx →0 Δx
Δx →0
Δ
x
→
0
x
Δ
⎛
π
π
π
π⎞
cos( + Δx) + cos
Δx ⎜ cos( + Δx) + cos ⎟
2
3
3
3
3⎠
⎝

Lập tỉ số

π

3

sin Δx
6
−
3 = 2 =
; lim 2 = 1)
=
Δx → 0
Δx
4
1
π
2 cos
2
2
3
2
⎛π ⎞ − 6
Vậy f’ ⎜ ⎟ =
4
⎝3⎠
− sin

−

Dạng 3 : Dùng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = 3sinx – 2cosx
c) y = xcosx

sin x − cos x

sin x + cos x
1
e) y =
1 + cot x

b) y =
d) y =

tan x

Giải
a) Ta có y’ = 3cosx + 2sinx
b) Ta có y’ =

(cos x + sin x)(sin x + cos x) + (sin x − cos x)(sin x − cos x)
(sin x + cos x) 2

(sin x + cos x) 2 + (sin x − cos x) 2
2
=
=
2
(sin x + cos x)
(sin x + cos x) 2
c) y’ = 1cosx – xsinx

(tan x) '
1
=
2

2 tan x 2 cos x tan x
−(1 + cotx) '
1
=
e) y’ =
2
2
(1 + cot x)
sin x(1 + cot x) 2
d) y’ =

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số :
a) y = sin 1 + x 2

b) y = cos32x

c) y = tan2x – cot(x2 + 1) d) y = sin2xcos4x

Giải
www.saosangsong.com.vn


19

Chương 5 : Đạo hàm
a) y’ = ( x 2 + 1)' × cos x 2 + 1 =
2

x
x +1

2

× cos( x 2 + 1)

b) y’ = (3cos 2x).(cos2x)’= - 6sin2xcos22x = -3sin4x.cos2x

2
2x
+ 2 2
2
cos 2 x sin ( x + 1)
1
d) y = (sin 6 x − sin 2 x) ⇒ y’ = 3cos6x – cos2x
2
1 − cos 2 x + sin 2 x
Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số y =
.cot x .
1 + cos 2 x + sin 2 x
c) y’ =

Giải thích kết quả

Giải

(2sin 2 x + 2 cos 2 x)(1 + cos 2 x + sin 2 x) − (−2sin 2 x + 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x + sin 2 x)
.cot x
(1 + cos 2 x + sin 2 x) 2
1 1 − cos 2 x + sin 2 x
.
sin 2 x 1 + cos 2 x + sin 2 x

4sin 2 x + 4 cos 2 2 x + 4sin 2 2 x cos x
1 − cos 2 x + sin 2 x
.
− 2
y’ =
2
(1 + cos 2 x + sin 2 x)
sin x sin x(1 + cos 2 x + sin 2 x)
4(sin 2 x + 1) cos x sin x − (1 + cos 2 x + sin 2 x)(1 − cos 2 x + sin 2 x)
=
sin 2 x(1 + cos 2 x + sin 2 x) 2
Ta có y’ =

2sin 2 x(sin 2 x + 1) − (1 + 2sin 2 x + sin 2 2 x) + cos 2 2 x
=
sin 2 x(1 + cos 2 x + sin 2 x) 2
=

sin 2 2 x + cos 2 2 x − 1
=0
sin 2 x(1 + cos 2 x + sin 2 x) 2

Giải thích kết quả :

2sin 2 x + 2sin x cos x cos x 2sin x(sin x + cos x) cos x
.
=
Ta có y =
=1
2 cos 2 x + 2sin x cos x sin x 2 cos x(cos x + sin x)sin x

Vậy y’ = 0
C.Bài tập rèn luyện
5.17 Tìm giới hạn sau :

1 − cos 2 2 x
a) lim
x →0
x sin x
cos 2 x
d) lim
π
x→ 4 x − π
4

1 − cos x
tan x − sin x
c) lim
2
0
x
→
tan x
x3
1 − cos x cos 2 x
π
e) lim
f) lim( x sin )
2
x →0
x →∞

x
x

b) lim
x→0

5.18 Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x
5.19 Tính đạo hàm của các hàm số
a) y = xcosx – sinx
b) y = cos3x
d) y = x + cotx -

1 3
tg x
3

e) y =

1 − cos x

c) y = sin3x.cos2x
f) y =

1 − cos x
1 + cos x

5.20 Tính đạo hàm các hàm số :
a) y = sin2x + cos 3x
d) y =

1 + tan 4x

π

b) y = sin33x

c) y = cos4 (2x -

e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x)

f) y = cos2 x( 1 + sin2x)

5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích kết quả
www.saosangsong.com.vn

3

)


20

Chương 5 : Đạo hàm
a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x

b) y =

sin 6 x + cos6 x − 1
sin 4 x + cos 4 x − 1

5.22 Cho y = cos2x - 2 3 cosx .Gíi phương trình y’ = 0
5.23 Cho hàm số y= 4sinx + 3cosx + mx .Đònh m để để phương trình y’ = 0 có nghiệm
D.Hướng dẫn giải

1 − cos 2 2 x
sin 2 2 x
sin 2 x 2
x
×4= 4
5.17 a) lim
) ×
= lim
= lim(
0
0
x →0
x
→
x
→
x sin x
x sin x
2x
sin x
x
2sin 2 × cos 2 x
1 − cos x
1 − cos x
2
= lim

= lim
=
b) lim
x→0
x → 0 (1 + cos x ) tan 2 x
x → 0 (1 + cos x ) sin 2 x
tan 2 x
x
sin
2
2 ) 2 × ( x ) 2 × 1 × cos x = 1
= lim(
x →0
x
sin x
2 (1 + cos x ) 4
2
x
sin
sin x(1 − cos x)
sin x
1
1
tan x − sin x
1
) × ( 2 )2 × ×
= lim(
= lim
=
c) lim

3
3
x→0
x →0
x →0
x
x cos x
x
4 cos x 4
x
2

π

π

sin( − 2 x)
− sin 2( x − )
cos 2 x
2
4 =−1
= lim
= lim
d) lim
π
π
π 4x − π
π
π
2

x − →0
x − →0
x→
4( x − )
4( x − )
4
4
4
4
4
1 − cos x cos 2 x lim 1 − cos x + cos x2 (1 − cos 2 x ) =
e) lim
= x →0
x
x →0
x2
1 − cos x
cos x (1 − cos 2 x )
+ lim 2
2
x →0
x → 0 x (1 + cos 2 x )
x
x
sin
sin x 2 3
1
cos x
2 )2 + lim
) =

× 2(
= lim (
x →0 2
x → 0 (1 + cos 2 x )
x
x
2
2
= lim

π
x×1 = 1
f) lim( x sin ) = lim
π
x →∞
π
π π
x
→0
x
x
π

5.18

sin

Δy
cos 2( x + Δx) − cos 2 x
−2 sin(2 x + Δx) sin Δx

= lim
= lim
Δx → 0 Δx
Δx → 0
Δx → 0
Δx
Δx

Ta có lim

= -2sin2x
Vậy y’ = -2sin2x
5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx
b) y’ = - 3cos2 x.sinx
c) y’ = 3sin2 x.cos3 x – 2cosx.sin4 x = sin 2 xcosx( 3cos2 x – 2 sin2 x)
d) y’ = 1 -

1
1
- tan2 x .
= 1 – (1 + cot2 x) – tan2 x( 1 + tan2 x)
2
2
sin x
cos x
= - ( cot2x + tan2x + tan4x )

www.saosangsong.com.vn

21

Chương 5 : Đạo hàm

sin x
2 1 − cos x
sin x(1 + cos x) + sin x(1 − cos x)
2sin x
=
f) y’ =
2
(1 + cos x)
(1 + cos x) 2
e) y’ =

5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x
b) y’ = 9sin23x.cos3x
c) y’ = - 4cos3(2x d) y’ =

π

3
(1 + tan 4 x) '

2 1 + tan 4 x

).2sin(2x -

=

π
3
2

) = - 4sin(4x -

2π
π
).cos2(2x - )
3
3

cos 2 4 x 1 + tan 4 x

e) y’ = - cosx(1 + tan2x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan2x)
= (1 + tan2x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) =

− cos 2 x + 2sin x − 2sin 2 x 2sin x − 1
=
cos3 x
cos3 x

1 − sin x
cos 2 x
− cos x(cos 2 x) − 2 cos x(− sin x)(1 − sin x)
Do đó y’ =
cos 4 x
− cos 2 x + 2sin x − 2sin 2 x 2sin x − 1
=
=

cos3 x
cos3 x

Cách khác ta có : y =

f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos2x.2cos2x
= 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx)
5.21. a) Ta có y’ = 6sin5xcosx – 6cos5xsinx + 3 (2sinxcos3x – 2cosxsin3x)
= 6sinxcosx(sin4x – cos4x + cos2x – sin2x)
= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) + cos2x – sin2x)]= 0
Giải thích ta có a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a+b)
Với a = sin2x và b = cos2x thì a + b = 1
Vậy y = a3 + b3 + 3ab = [(a + b)3 – 3ab] + 3ab = 1 Suy ra y’ = 0
b) (sin6x + cos6x – 1)’ = 6sin5xcosx – 6cos5x sinx = 6sinxcosx(sin4x – cos4x)
= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)]
= -3sin2x.cos2x =

−3
sin4x
2

(sin4x + cos4x -1)’ = 4sin3xcosx – 4cos3xsinx = 4sinxcosx(sin2x – cos2x)
= - 2sin2xcos2x = -sin4x
Do đó y’ =

−3 / 2(sin 4 x)(sin 4 x + cos 4 x − 1) + sin 4 x(sin 6 x + cos 6 x − 1)
(sin 4 x + cos 4 x − 1) 2

sin 4 x[−3(sin 4 x + cos 4 x − 1) + 2(sin 6 x + cos 6 x − 1)]
=

(sin 4 x + cos 4 x − 1) 2
=

sin 4 x(6sin 2 x cos 2 x − 6sin 2 x cos 2 x)
=0
(sin 4 x + cos 4 x − 1) 2

Giải thích : đặt a = sin 2 x và b = cos2 x ta có a + b = 1
sin6x + cos6x – 1 = [(a + b)3 – 3ab – 1] = -3ab
sin4x + cos4x – 1 = [(a + b)2 – 2ab – 1] = -2ab
Vậy y= 3/2 Suy ra y’ = 0
5.22. y’= -2sin2x + 2 3 sinx = -2( 2sinxcosx - 3 sinx)
= -2sinx(2cosx -

3)
www.saosangsong.com.vn


22

Chương 5 : Đạo hàm

⎡ sin x = 0
x = kπ
⎡
⎢
⎢
Do đó y’ = 0 ⇔
⇔
⎢ cos x = 3

⎢ x = ± π + k 2π
6
⎣
2
⎣⎢
5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m
Do đó y’ = 0 ⇔ 3sinx – 4cosx = m
Phương trình có nghiệm khi m2 ≤ 9 + 16 = 25 ⇔ -5 ≤ m ≤ 5

§4. Vi phân
A.Tóm tắt giáo khoa
1. Khái niệm vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x và Δ x là số gia của biến số tại x.
Tích f ’(x). Δ x, kí hiệu là df(x),được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x ứng với số gia Δ x đã
cho. Vậy df(x) = f’(x) Δ x
* Nếu lấy f(x) = x thì df(x) = dx = (x)’. Δ x= Δ x
Vậy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu Δx khá nhỏ và thì f’(x0) = lim

Δx → 0

⇔ f(x0 + Δ x) – f(x0) ≈ f’(x0) Δ x
Vậy f(x0 + Δ x) ≈ f(x0) + f’(x0) Δ x

Δy
Δy
⇔
≈ f '( x0 ) ⇔ Δy ≈ f '( x0 )Δx
Δx

Δx

Đây là công thức tính gần đúng
B.Giải toán
Dạng 1 : Tính vi phân

Ví dụ 1 : Tính vi phân của hàm số f(x) = sinx tại điểm x =
Giải
Ta có f’(x) = cosx
Do đó df(

π

3

) = f’(

π
3

) Δ x = cos

π
3

π
3

ứng với Δ x = 0,01

. Δ x = 0,5 × 0.01 = 0,005

Ví dụ 2 : Tính vi phân của các hàm số :
b) f(x) = x3 – x2 – 2

a) f(x) = xsinx

c) f(x) = cos2x

Giải
a) df(x) = (sinx + xcosx)dx
b) df(x) = (3x2 – 2x)dx
c) df(x) = -2cosxsinxdx = - sin2xdx
d) df(x) =

x +1

x − 2x − 3
2

dx

Dạng 2 : Tính giá trò gần đúng
Ví dụ : Tính giá trò gần đúng của sin(300 20’)
Giải
Xét hàm số y = f(x) = sinx . Nếu x tính bằng radian thì f’(x) = cosx

www.saosangsong.com.vn

d) f(x) =

x2 + 2 x − 3


23

Chương 5 : Đạo hàm

π

Với x0 =

vì 300 =

6

thì ta có f(

π
6

+

π
540

π
6

) ≈ f(

Vậy sin(300 20’) ≈ sin(

20 π
π
π
nên lấy Δ x =
×
=
60 180 540
540

và 20’ =

π

π
6

) + f’(

π

π

) + cos(

).

6

π

540

π

)×

= 0,5 +

6
6
540
≈ 0,5 + 0,8660 × 0,0058 ≈ 0,5050

C. Bài tập rèn luyện
5.21 Tính vi phân của hàm số f(x) =

3 π
.
2 540

x tại điểm x = 1 ứng với Δ x = 0,01
π
5.22 Tính vi phân của hàm số f(x) = cos2x tại điểm x =
ứng với Δ x = 0.001
3
3

5.23 Tính vi phân của các hàm số :
a) y = cos2 x

b) y = 2tan3x – 3 cot2x

5.24 Tính giá trò gần đúng của :
a) 3 27, 24
b) sin310

c) y =

x2 + 1

c) cos60030’

D. Hướng dẫn giải
1

5.21 Ta có f(x) = x 3 do đó f’(x) =

1
3

Δ x = × 0, 01 = 0.0033

Vậy df(1) = f’(1)

5.22 f’(x) = -2sin2x
Vậy df(

π

3

) = f’(

1 −32
1
x =
3
3 3 x2

π

3

2π
π
. 0,001 = -2sin .0,001 = 0,0017
3
3

Δ x = -2sin

).

5.23 a) df(x) = -2cosxsinx.dx = -sin2x.dx
b) df(x) = (
c) df(x) =

6
6
− 2 ).dx
2
cos 3 x sin 2 x
x

x2 + 1

.dx

d) df(x) = (cos2x – 2xcosxsinx)dx = (cos2x – xsin2x)dx
5.24 a) Xét hàm số f(x) =
Với x0 = 27 va
Vậy

3

3

x thì ta có f’(x) =

Δ x = 0,24 thì f(27,24) ≈

27, 24 =

3

27 +

1

1 −32
1
x =
3
3
3 x2

f(27) + f’(27).0,24

.0,24 ≈ 3 + 0,0088 ≈ 3,0088

3

3 27 2

b) Xét hàm số f(x) = sinx ta có f’(x) = cosx với x tính bằng radian
Với x0 = 300 =

π

6

Δ x = 10 =

và

Vậy sin310 ≈ sin (

π
6

) + cos(

π

).

π

180

π

≈ 0,5 + 0,8660 × 0,0174 =0,5150

6 180

b) Xét hàm số f(x) = cosx ta có f’(x) = -sinx với x tính bằng radian
Với x0 = 600 =

π

3

và

Δ x = 30’ =

Vậy cos60030’ ≈ cos(

π
3

) – sin(

π
3

π

360
).

π

360

≈ 0,5 – 0,8660 × 0,0087
www.saosangsong.com.vn

d) y = xcos2x


24

Chương 5 : Đạo hàm

≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925

§5. Đạo hàm cấp cao
A.Tóm tắt giáo khoa
1.Đònh nghóa
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm
cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu f ”(x) hay f(n+2)(x).
Tổng quát : Đạo hàm cấp n ( n ∈ N , n ≥ 2 ) của hàm số y = f(x) ,kí hiệu là f(n)(x) hay y(n) , là đạo hàm của
đạo hàm cấp (n – 1) của hàm số f(x).
Vậy f(n) (x) = [f(n-1) x]’
2. Ý nghóa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t)
Ta biết vận tốc tại thới điểm t0 của chất điểm đó là v(t0) = s’(t0)
Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm là giới hạn hữu hạn

Δv
= v’(t0)
Δt → 0 Δt

γ (t0 ) = lim

Vậy ý nghóa cơ học của đạo hàm cấp 2 là :
Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) là γ (t0) = s’’(t0)
B. Giải toán
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số :
b) y = tanx
a) y = x3 – 3x2 + 2x - 1

c) y = sin2 x

d) y =

x

c) f(x) =

1
, f(3) (x)
x +1

Giải
a) y’ = 3x2 – 6x + 2 và y’’ = 6x – 6
b) y’ = 1 + tan2x và y’’ = 2tanx(1 + tan2x)
c) y’ = 2sinxcosx = sin2x và y’’ = 2cos2x

1 −21
1 −23
−1
−1
=
d) y’ = x và y’’ = − x =
3
2
2
4
4x x
4 x
Ví dụ 2 : Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a) f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – 5 , f(5)(x)

b) f(x) = sin2x , f(4)(x)

Giải
a) f’(x) = 4x3 – 6x2 + 6x
f’’(x) = 12x2 – 12x + 6
f(3)(x) = 24x – 12
f(4)(x) = 24
f(5)(x) = 0
b) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x
f’’(x) = 2cos2x f(3)(x) = - 4sin2x
c) f’(x) = −

1
( x + 1) 2

f’’(x) =

f(4)(x) = -8 cos2x

2
( x + 1)3

f(3) = −

6
( x + 1) 4

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp n của các hàm số

www.saosangsong.com.vn

25

Chương 5 : Đạo hàm
a) f(x) =

1
x −1

b) f(x) = sin2x

Giải

1
( x − 1) 2
(−1)(−2)
1.2
=
f’’(x) =
3
( x − 1)
( x − 1)3

a) Ta có f’(x) = −

Dự đóan f(n) =

(−1)n .n !
. Ta chứng minh công thức này bằng qui nạp
( x − 1)n +1

•

n = 1 công thức đúng

•

Giả sử công thức đúng khi n = k nghóa là f(k)(x) =

Do đó f(k+1)(x) =[

(−1)k k !
( x − 1)k +1

(−1)k k !
(−1) k (−1).k !.(k + 1) (−1) k +1.(k + 1)!
]’
=
=
( x − 1)k +1
( x − 1)k + 2
( x − 1) k + 2

Vậy công thức đúng khi n = k + 1
Suy ra theo qui nạp công thức đúng với mọi n ∈ N
b) f’(x) = 2cos2x = 2sin(2x +

π

2

)

f’’(x) = -4sin2x = 22 sin(2x + 2
Dự đoán f(n)(x) = 2n sin(2x + n

π
2

π
2

)

). Ta chứng minh công thức này đúng bằng qui nạp

•

n = 1 công thức đúng

•

Giả sử công thức đúng khi n = k nghóa là f(k) (x) = 2k sin(2x + k
Do đó f(k+1) (x) = [2k sin(2x + k

π
2

)]’ = 2k+1cos(2x +k

= 2k+1 sin[2x + (k+1)

π
2

π
2

)

]

Vậy công thức đúng khi n = k + 1
Suy ra công thức đúng với mọi n ∈ N
Ví dụ 4 : Cho hàm số y =
Giải
Ta có y’ =

1− 2x
2 x − x2

−2 x − x −
2

1
và y’’ =
2

x − x 2 .Tìm hệ thức giữa y và y’’

(1 − 2 x) 2

2
2
2 x − x 2 = −4( x − x ) − (1 − 2 x)
x − x2
4( x − x 2 ) x − x 2

hay 4 y’’.y3 = -4x +4x2 -1 +4x – 4x2 .
Vậy y’’y3 + 1 = 0
C.Bài tập rèn luyện
5.25 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :
a) y = sin2xsin3x
b) y = x4 +

x

www.saosangsong.com.vn

π
2

)