Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 - Trường THPT Ngô Gia Tự

< 0

0,5

+ Khi m > 0 đề f ( x) < 0∀x ∈ (0; 2) thì f ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
 x ≤ 0 < x2 (1)
x1 ≤ 0 < 2 ≤ x2 ⇔  1
 x1 < 2 ≤ x2 (2)

0,5

m −1
≤ 0 ⇔ 0 < m ≤1
m

0,5

(1) ⇔

(2) ⇔ ( x1 − 2)( x2 − 2) ≤ 0 ⇔ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 4 ≤ 0 ⇔ 0 < m ≤

Vậy: 0 ≤ m ≤
Câu 5
(4,0 điểm)

13
10

0,5

13

.
10

a. (1,5 điểm)
y 12 − x
 x + 1 + y + 2 =
 =
4
⇔
4
12
 x + 1 + 14 − x =
 x + y =

Khi m = 4 ta có 

1,0

( −1 ≤ x ≤ 14; −2 ≤ y ≤ 13)

Tải tài liệu miễn phí



13 + 4 14
x =
2
⇒ 2 ( x + 1)(14 − x) = 1 ⇔ −4 x 2 + 52 x + 55 = 0 ⇔ 

13 − 4 14

x =
2



11 − 4 14
y =
2


11 + 4 14
y =

2

0,5

 13 + 4 14 11 − 4 14 
 13 − 4 14 11 + 4 14 
;
;
 và 

2
2
2
2






Vậy: hệ có hai nghiệm 
b. (2,5 điểm)
Đặt: =
a

b
x + 1 và =

m
a + b =
 2
y + 2. Hệ trở thành a + b 2 = 3m + 3
a ≥ 0, b ≥ 0


m có điểm chung với
Để hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng a + b =
2
2
đường tròn a + b = 3m + 3 trong đó a ≥ 0 và b ≥ 0
 m 2 − 6m − 6 ≤ 0

3 + 21
≤ m ≤ 3 + 15
3m + 3 ≤ m ≤ 6m + 6 ⇔ m 2 − 3m − 3 ≥ 0 ⇔
2
m ≥ 0


Vậy:
Câu 6
(2,0 điểm)

0,5
1,0

1,0

3 + 21
≤ m ≤ 3 + 15
2

Theo BĐT Bunhiacopski, ta có
 BC

AC
AB
. BC.OM +
. AC.ON +
. AB.OP 

ON
OP
 OM


2

 BC AC AB 
≤
+
+
 ( BC.OM + AC.ON + AB.OP )
 OM ON OP 

1,0

 BC AC AB 
⇔ ( BC + AC + AB) 2 ≤ 
+
+
 ( BC.OM + AC.ON + AB.OP )
 OM ON OP 
BC AC AB 2 p
 BC AC AB 
2
(do S ABC = pr )
⇔
+
+
+
+
≥
 .2 S ABC ≥ 4 p ⇔
OM ON OP
r
 OM ON OP 

0,5

Tải tài liệu miễn phí


Dấu bằng xảy ra OM = ON + OP ⇔ O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC

Câu 7
(3,0 điểm)

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với
CD cắt BC tại E

0,5

E

Tứ giác ABDE nội tiếp

1,0

∠DBC =
∠DAE
D
C

B

A

Đặt AC = x > 1 ⇒ AD = x + 1
π

DE
= AD.tan=
6

x +1
; BC
=
3

∆CDE  ∆CBA ⇒

CD BC
=
⇔ 3 =( x + 1) x 2 − 1
ED BA

0,5

x2 −1

1,0

⇔ x( x 3 − 2) + 2( x 3 − 2) = 0 ⇔ ( x3 − 2)( x + 2) = 0 ⇔ x = 3 2

Vậy: AC = 3 2.

0,5

Tải tài liệu miễn phí