Phân tích đa thức thành các đa thức bất khả quy để xây dựng các mã cyclic trên trường hữu hạn

-„I HÅC TH„I NGUY„N

TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC
o0o

NGUY„N THÀ H„

PH„N T„CH -A THŸC TH„NH C„C -A THŸC
B„T KH„ QUY -„ X„Y D‹NG C„C M„
CYCLIC TR„N TR ÕNG H⁄U H„N

LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC

TH„I NGUY„N, 8/2020


-„I HÅC TH„I NGUY„N

TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC
o0o

NGUY„N THÀ H„

PH„N T„CH -A THŸC TH„NH C„C -A THŸC
B„T KH„ QUY -„ X„Y D‹NG C„C M„
CYCLIC TR„N TR ÕNG H⁄U H„N
LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC
Chuy¶n ng nh: Ph˜Ïng ph¡p To¡n sÏ c§p

M¢ sË: 8 46 01 13
NG ÕI H ŒNG D„N KHOA HÅC:

TS. NGUY„N TRÅNG B„C

Th¡i Nguy¶n, 8/2020


Mc lc
1 Mẻt sậ kián thc chuân b

7

1.1. Trèng hu hÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. V nh a thc trản trèng hu hÔn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. -a thc bĐt khÊ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
9
13

2 PhƠn tẵch a thc th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy xƠy dáng
cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn

18

2.1. PhƠn tẵch a thc xn 1 th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy trản
trèng hu hÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
n
2.1.1. PhƠn tẵch a thc x 1 trản Fq khi (n; q) = 1 . . . . . 18
2.1.2. PhƠn tẵch a thc xn 1 trản Fq khi (n; q) 6= 1 . . . . . 23
2.2. MÂ cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
2.3. XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1. XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn khi (n; q) = 1 .
2.3.2. XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn khi (n; q) 6= 1 .

1

32
36


LếI NI -U
L thuyát m xuĐt hiằn lƯn Ưu tiản v o nôm 1948 b i mẻt cấng trẳnh
ca C. E. Shannon vã l thuyát toĂn hc cho lắnh vác truyãn thấng. T
án nay, l thuyát n y  v ang ng gp giÊi quyát nhiãu vĐn ã quan
trng trong thấng tin liản lÔc. N ềc ng dng nhiãu trong cĂc lắnh
vác nh: thấng tin iằn t, thu phĂt thanh, bÊo mêt...
L thuyát m ha l mẻt ng nh ca toĂn hc v khoa hc iằn toĂn nhơm
giÊi quyát tẳnh trÔng lẩi dạ xÊy ra trong quĂ trẳnh truyãn thấng sậ liằu
trản cĂc kảnh truyãn c ẻ nhiạu cao, dng nhng phẽng phĂp tinh xÊo
khián phƯn lển cĂc lẩi xÊy ra c th ềc chnh sa. L thuyát m cãn x l
nhng c tẵnh ca m v do vêy ph hềp vểi nhng ng dng c th.
L thuyát m ha l mẻt trong nhng lắnh vác quan trng ca toĂn hc, c Ênh
h ng án rĐt nhiãu lắnh vác khoa hc-cấng nghằ v kinh tá-x hẻi. Thác tá cho
thĐy l thuyát m ha  vấ cng quan trng t xa xa. Thèi nay, vểi sá phĂt trin
rĐt nhanh ca cấng nghằ thấng tin, v mÔng internet thẳ m ha thấng tin c ng
ng vai trã quan trng. MÂ ha l mẻt phẽng phĂp bÊo vằ thấng tin, bơng cĂch
chuyn i thấng tin t dÔng r (thấng tin c th dạ d ng c hiu ềc) sang dÔng
mè (thấng tin  b che i, nản khấng th c hiu ềc, c ềc ta cƯn phÊi giÊi
m n). N gip ta c th bÊo vằ thấng tin, nhng k Ănh cp thấng tin, d c ềc thấng tin ca chng ta, cng khấng th hiu ềc nẻi dung ca n. M ha

s mang lÔi tẵnh an to n cao hẽn cho thấng tin, c biằt l trong thèi Ôi internet
ng y nay, khi

m thấng tin phÊi i qua nhiãu trÔm trung chuyn trểc khi án ềc ẵch.
Sau Ơy, chng tấi ch ra mẻt v i ng dng ca mẻt sậ m c th.
M ISBN (International Standard Book Number) l m sậ tiảu chuân quậc
2


tá c tẵnh chĐt thẽng mÔi duy nhĐt xĂc nh ềc cĂc thấng tin
vã mẻt quyn sĂch bĐt k (ngấn ng ca cuận sĂch, quậc gia
xuĐt bÊn, lắnh vác ca cuận sĂch,...).
MÂ BCH (Bose Chaudhuri Hocquenghem codes) l mẻt
loÔi m cyclic v
l loÔi m sa lẩi quan trng, c khÊ nông sa ềc nhiãu lẩi v ềc ng dng rẻng
rÂi. Lểp m BCH c 2 lểp con l m BCH nh phƠn v m BCH khấng nh
phƠn. Trong sậ nhng m BCH khấng nh phƠn n y, lểp quan trng nhĐt
l m Reed - Solomon. M Reed - Solomon ềc Reed v Solomon giểi

thiằu lƯn Ưu tiản v o nôm 1960, l mẻt m sa sai thuẻc loÔi m tuyán tẵnh.
MÂ Reed - Solomon ềc s dng sa cĂc lẩi trong nhiãu hằ thậng thấng
tin sậ v trong lu tr, bao gm: CĂc thiát b lu tr (bông t, ắa CD,
VCD,...), thấng tin di ẻng hay khấng dƠy (iằn thoÔi di ẻng, cĂc èng truyãn
Viba), thấng tin vằ tinh, truyãn hẳnh sậ DVB, cĂc modem tậc ẻ cao nh:
ADSL, VDSL ... MÂ Reed - Solomon c biằt quan trng trong viằc sa
cĂc bit lẩi xÊy ra gƯn nhau. MÂ BCH ềc dng cho cĂc cƠy ATM, trong
hằ thậng giao dch ca cĂc ngƠn h ng,...
MÂ Hadamard ềc dng trong viằc truyãn thấng tin v hẳnh Ênh t
cĂc t u v tr, cĂc vằ tinh vã TrĂi -Đt. Trong mấi trèng nhiạu loÔn khấng
khẵ lển thẳ thấng tin v hẳnh Ênh s b bp mo, thay i khi ềc truyãn

trong mấi trèng nhiạu loÔn khấng khẵ, vẳ thá vai trã ca m Hadamard l
rĐt quan trng trong viằc khĂm phĂ v tr. CĂc lểp m cyclic ềc dng
trong quƠn ẻi ca cĂc quậc gia  ng gp lển tểi viằc bÊo mêt thấng tin v
truyãn Ôt thấng tin t quậc gia tểi quƠn ẻi.
MÂ lềng t ềc giểi thiằu lƯn Ưu tiản v o nôm 1996 b i Shor [6]. Trong mĂy
tẵnh thấng thèng, d liằu ch ềc lu dểi dÔng 0 v 1, cãn mĂy tẵnh lềng t
s dng qubits (quantum bits) cho php mĂy tẵnh ghi d liằu nhiãu trÔng thĂi
cng lc (vẵ d c th l 0, c th l 1 hoc c th cng lc l 0
v

1), iãu n y cho php mĂy tẵnh lềng t x l ềc nhng php tẵnh phc tÔp

hẽn. Ngèi ta tẵnh toĂn rơng cĂc mĂy tẵnh lềng t s giÊi quyát cĂc vĐn ã phc
tÔp nhanh hẽn bĐt k mĂy tẵnh c in n o. MĂy tẵnh lềng t cẽ

3


bÊn khai thĂc cĂc quy tc ca cẽ hc lềng t tông tậc ẻ tẵnh toĂn.
Viằc xƠy dáng mẻt mĂy tẵnh lềng t văn l mẻt nhiằm v kh khôn nhng
bểc Ưu  c nhng th nh cấng t cĂc têp o n lển trản thá giểi nh Intel,
IBM, Microsoft, v Google. Cho án nay, mĂy tẵnh lềng t khấng
ch dng lÔi l cuẻc cÔnh tranh vã cấng nghằ gia cĂc têp o n cấng
nghằ lển m n cãn l cuẻc cÔnh tranh gia cĂc cèng quậc phc v cho
hoÔt ẻng tẳnh bĂo ni riảng v quậc phãng ni chung. Sá ra èi ca mĂy
tẵnh lềng t s l m cho cĂc hằ mêt ni tiáng nh DES (the Data
Encryption Standard), RSA,... s b phĂ trong tẽng lai gƯn.
Mêt m DES c th xem l tuyằt ậi an to n vẳ giÊi ềc n cƯn phÊi kim tra
mẻt danh sĂch rĐt lển cĂc chẳa khoĂ m tiãm nông. Vẵ d náu chng ta s
dng mẻt mĂy tẵnh c in vểi 64 bits, khi s c 264

trÔng thĂi. Vểi

mẻt mĂy

tẵnh c in, c cho l mẩi giƠy kim tra ềc 2 t trÔng thĂi thẳ cng cƯn khoÊng
300 nôm chÔy mĂy liản tc mểi chÔy ềc hát 264

trÔng thĂi-

l mẻt khoÊng thèi gian phi thác tiạn. Trong khi , mẻt mĂy tẵnh lềng t dng
thuêt toĂn lềng t Grover c th dạ d ng ho n tĐt viằc n y trong thèi gian 4 pht.
Thuêt toĂn m ha cấng khai RSA ang ềc ng dng rẻng rÂi trong ngƠn h ng,
giao dch trác tuyán v rĐt nhiãu ng dng an ninh mÔng khĂc. Sá an to n ca mÂ
RSA nơm chẩ mĂy tẵnh truyãn thậng khấng th phƠn tẵch nhanh mẻt sậ na
nguyản tậ (semiprime) lển n th nh tẵch ca 2 sậ

nguyản tậ lển p v q (n = pq). Vã mt toĂn hc Ơy l mẻt b i toĂn phc tÔp,
chng hÔn phƠn tẵch mẻt sậ ch gm 129 ch sậ thẳ 600 mĂy tẵnh
c in  phÊi hềp lác l m viằc liản tc trong v i thĂng. Tuy nhiản, mẻt mĂy
tẵnh lềng t dng thuêt toĂn lềng t Shor c th phƠn tẵch mẻt sậ lển
hẽn cÊ triằu lƯn trong khoÊng thèi gian ngn hẽn cng cÊ triằu lƯn.
Trong lắnh vác sinh hc, khĂi niằm m DNA ềc a ra lƯn Ưu tiản v o nôm
2003, nhơm gip nhên diằn cĂc mău vêt. MÂ DNA s dng mẻt trẳnh tá DNA ngn nơm trong bẻ gene ca sinh vêt nh l mẻt chuẩi k tá duy nhĐt gip phƠn biằt
hai lo i sinh vêt vểi nhau. Nh vêy m DNA l mẻt phẽng phĂp nh danh m n s
dng mẻt oÔn DNA chuân ngn nơm trong bẻ gene

4

ca sinh vêt ang nghiản cu nhơm xĂc nh sinh vêt thuẻc vã lo i n o. MÂ vÔch
DNA rĐt hu ẵch trong viằc tẳm mậi quan hằ gia cĂc mău mc d chng hƯu
nh khấng giậng nhau vã hẳnh thĂi. MÂ vÔch DNA cng ềc ng dng tÔi hÊi
quan nhơm hẩ trề viằc xĂc nh ngun gậc ca sinh vêt sậng hoc h ng nhêp
khâu, ngôn cÊn sá vên chuyn trĂi php cĂc lo i thác vêt v ẻng vêt qu hiám qua
biản giểi. MÂ DNA gip kim soĂt tĂc nhƠn gƠy hÔi trong nấng nghiằp, gip nh danh nhanh chậng cĂc lo i gƠy bằnh giai oÔn tiãm ân (giai oÔn Đu trng),
hẩ trề chẽng trẳnh kim soĂt sƠu bằnh bÊo vằ cƠy trng. Ngo i ra, m DNA
gip xĂc nh vêt ch trung gian gƠy bằnh, bÊo vằ lo i nguy cĐp v kim tra chĐt
lềng nểc.

Qua mẻt sậ vẵ d vã cĂc lểp m cyclic  nảu trản, gip
chng ta thĐy ềc phƯn n o vai trã quan trng ca m cyclic
trong cuẻc sậng, trong khoa hc kắ thuêt.
-Ưu tiản, l thuyát m ềc nghiản cu trản trèng hu hÔn v cĂc kát quÊ
cẽ bÊn  ềc c kát trong hai quyn sĂch ca Huffman v Berlekamp

[5].Sau , cĂc nh toĂn hc  m rẻng nghiản cu vã m trản cĂc v nh hu
hÔn. HƯu hát cĂc nghiản cu têp trung trong trèng hềp ẻ d i ca mÂ
c liản quan án c sậ ca trèng. Náu ẻ d i ca m chia hát cho c sậ ca
trèng thẳ m ềc gi l m nghiằm lp. Náu ẻ d i ca m khấng chia
hát cho c sậ ca trèng thẳ m ềc gi l m nghiằm ẽn.

Nghiản cu vã m trản v nh giao hoĂn hu hÔn, c biằt l mÂ
nghiằm lp trản lểp cĂc v nh chuẩi hu hÔn cng ềc nhiãu nh
toĂn hc quan tƠm v cĂc nh toĂn hc cng  a ra ềc nhiãu kát
quÊ tật. Trong luên vôn n y, chng tấi s dng cĂc kát quÊ ca
ToĂn hc xƠy dáng v nghiản cu m cyclic trản trèng hu hÔn.
Nẻi dung chẵnh ca luên vôn l : trẳnh b y sá phƠn tẵch a thc th nh cĂc a
thc bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn. Sau s dng kát quÊ ca sá phƠn tẵch n y
xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn. Luên vôn gm

2 chẽng:
Trong chẽng 1, chng tấi trẳnh b y nh nghắa trèng hu hÔn, cĐu trc
ca trèng hu hÔn. Sau chng tấi trẳnh b y v nh a thc trản trèng hu
5


hÔn. Cuậi chẽng 1 chng tấi a ra mẻt sậ kián thc vã a thc bĐt khÊ quy.
Trong chẽng 2, chng tấi trẳnh b y nẻi dung chẵnh ca luên vôn l : phƠn
tẵch a thc th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn, m cyclic, xƠy
dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn. - tẳm tĐt cÊ cĂc m cyclic trản

trèng hu hÔn Fq, trong q = pm (p l sậ nguyản tậ bĐt kẳ)
chng tấi i tẳm nhng iảan ca v nh Rn = Fq[X]= hxn 1i :
Nẻi dung nghiản cu ca luên vôn gn liãn vểi toĂn sẽ cĐp, c biằt l b i toĂn
phƠn tẵch a thc th nh nhƠn t rĐt ềc quan tƠm bêc hc ph thấng.

Luên vôn n y ềc thác hiằn tÔi Trèng -Ôi hc Khoa hc - -Ôi
hc ThĂi Nguyản v ho n th nh dểi sá hểng dăn ca Tián sắ
Nguyạn Trng Bc. Tấi xin ềc b y t lãng biát ẽn chƠn th nh v
sƠu sc tểi ngèi hểng dăn khoa hc ca mẳnh.
Tấi xin trƠn trng cÊm ẽn Ban giĂm hiằu Trèng -Ôi hc Khoa
hc - -Ôi hc ThĂi Nguyản, Ban ch nhiằm khoa ToĂn Tin
cng cĂc giÊng viản  tham gia giÊng dÔy,  tÔo mi iãu kiằn
tật nhĐt tấi hc têp v nghiản cu.
Tấi cng xin chƠn th nh cÊm ẽn S GiĂo dc v - o tÔo tnh ThĂi
Nguyản, Ban GiĂm hiằu v cĂc ng nghiằp trèng THPT Ho ng
Quậc Viằt, huyằn V Nhai, tnh ThĂi Nguyản  tÔo iãu kiằn cho
tấi ho n th nh tật nhiằm v hc têp v cấng tĂc ca mẳnh.

Cuậi cng tấi xin gi lèi cÊm ẽn tểi gia ẳnh thƠn yảu, cÊm
ẽn nhng ngèi bÔn thƠn thiát  gip ễ ẻng viản khẵch lằ tấi
trong suật quĂ trẳnh nghiản cu. Xin chƠn th nh cÊm ẽn.
ThĂi Nguyản, thĂng 8 nôm 2020

TĂc giÊ

Nguyạn Th H

6


Chẽng 1
Mẻt sậ kián thc chuân b
1.1. Trèng hu hÔn
-nh nghắa 1.1. Trèng l

mẻt têp hềp F cng vểi hai php toĂn: +; ềc

gi l cẻng, v : ềc gi l nhƠn tha mÂn mẻt sậ tiản ã. Têp F l nhm
giao hoĂn vểi php cẻng c phƯn t ẽn v l khấng v ềc kẵ hiằu l 0; Têp
F = Fnf0g cng l nhm giao hoĂn vểi php nhƠn c phƯn t ẽn v l mẻt
v kẵ hiằu l
1; v
php nhƠn phƠn phậi vểi php cẻng. Mẻt trèng l
hu hÔn

náu sậ phƯn t ca F l
Sậ phƯn t ca F ềc gi l

hu hÔn;
cĐp ca F:

Vẵ d 1.1. (i) Têp hềp cĂc sậ nguyản Z khấng l mẻt trèng vẳ 3 2
Z

khấng khÊ nghch.

(ii) CĂc têp hềp sậ hu t Q, sậ thác R, sậ phc C cng vểi
php cẻng v nhƠn, tÔo th nh mẻt trèng.
p
(iii) Têp hềp p
ng kẵn vểi php cẻng v nhƠn
Q[ 2] = fa + b 2 : a; b 2 Qg
p
thấng thèng, v cng vểi hai php toĂn n y, Q[
2] l mẻt trèng, phƯn
t khấng l

phƯn t ậi ca phƯn
p phƯn t ẽn v l
p
0 + 0 2;
1+0 2;
t
p l
p v náu
p
p thẳ nghch Êo
a+b 2

a b 2
p x = a + b 2 6= 0 + 0 2
b
a
ca x l 2
2
2
2 2:
a
2b
a
2b

Vẵ d 1.2. Trèng hu hÔn F2 vểi hai phƯn t f0; 1g, php cẻng v php nhƠn


7


ềc thác hiằn nh sau:

-Ơy cng l

+
0
1

0 1
0 1
1 0

.
0
1

0 1
0 0
0 1

v nh ca cĂc sậ nguyản modulo 2.

Vẵ d 1.3.
Trèng hu hÔn F3 vểi ba phƯn t f0; 1; 2g, php cẻng v php nhƠn ềc cho b i php cẻng v php nhƠn modulo 3:

+
0
1
2

0
0
1
2

1
1
2
0

2

2
0
1

.
0
1
2

0
0
0
0

1
0
1
2

2
0
2
1

-nh nghắa 1.2. (i) Náu K l mẻt trèng con ca E thẳ ta gi E l mẻt

trèng m rẻng ca K; kẵ hiằu l E=K:
(ii) GiÊ s E=K l mẻt m rẻng trèng. Xem E l mẻt khấng gian vc
trản K: Náu E l K - khấng gian vc tẽ hu hÔn chiãu thẳ tẽ ta ni E l
ềc gi l

m rẻng bêc hu hÔn ca trèng K:
K E = n thẳ

Náu dim

n bêc ca m rẻng E=K

v ềc kẵ hiằu l [E=K] :

-nh nghắa 1.3. GiÊ s E=K l mẻt m rẻng trèng v f(x) 2 K[x] l a thc
bêc n 1: Ta ni f(x) phƠn r trản E náu
f(x) = a(x

1)
8

: : : (x

n)


vểi a l hằ sậ cao nhĐt ca f(x) v 1; : : : ;

n 2 E:

Ta ni E l trèng phƠn

r ca f(x) trản K náu f(x) phƠn r trản E v khấng phƠn r trản bĐt
c trèng con thác sá n o ca E:
Mằnh ã 1.1. Cho E=K l m rẻng trèng v 2 E l phƯn t Ôi sậ trản K: GiÊ s

p(x) 2 K[x] l a thc bĐt khÊ quy nhên l m nghiằm. Khi
K( ) = K[ ] v
[K( ) : K] = deg p(x): Hẽn na náu deg p(x) = n thẳ

S = f1; ;

2

;:::;

n 1

g l mẻt cẽ s ca K- khấng gian vc tẽ K( ):

B ã 1.1. Vểi mi a thc f(x) 2 K[x] bĐt khÊ quy trản K; tn tÔi mẻt trèng
E cha K v cha mẻt nghiằm ca f(x):
2

5 l bĐt khÊ quy
nghiằm x = p 5 ca f(x):

Vẵ d 1.4. -a thc f(x) = x
R cha Q v cha mẻt

trản trèng Q; tn tÔi trèng

-nh lẵ 1.1. Vểi mẩi a thc f(x) 2 K[x] c bêc n 1; tn tÔi mẻt trèng phƠn
r ca f(x) trản K:
Vẵ d 1.5. Xt trản trèng sậ thác R; a thc f(x) = 3x2 + x + 1 khấng c nghiằm trản
R: Nhng náu xt trản trèng sậ phc C; a thc f(x) = 3x2+x+1

c hai nghiằm phc l x1 =

p

1
6

+

11
6

i; x2 =

1
6

p

11 i:
6

Vêy vểi a thc

2

f(x) = 3x + x + 1 tn tÔi mẻt trèng phƠn r C ca f(x) trản R:

B ã 1.2. Náu K l

mẻt trèng hu hÔn c q phƯn t thẳ K c c sậ p
nguyản tậ v q l mẻt ly tha ca p:
-nh lẵ 1.2.

(i) Náu p l sậ nguyản tậ thẳ vểi mẩi sậ nguyản dẽng d; tn

phƯn t.

tÔi mẻt trèng c ng pd
(ii) Náu K v T l hai trèng hu hÔn cng c q phƯn t thẳ chng c cng
c sậ p v

F

ãu l trèng phƠn r ca a thc g(x) = xq x trản trèng

: Hẽn na, K = T:
p

1.2. V nh a thc trản trèng hu hÔn
-nh nghắa 1.4. Mẻt a thc mẻt bián vểi hằ sậ trản v nh giao hoĂn V c
th ềc viát dểi dÔng f(x) = anxn + an 1xn 1 + ::: + a1x + a0 trong
9


a 0; ; a n 2 V

dÔng f(x) =
P

bix i

Kẵ hiằu

v x l mẻt kẵ hiằu gi l bián. Ta cng viát a thc n y dểi
aixi, trong ai = 0 vểi mi i > n. Hai a thc aixi

P

l bơng

ai = bi

nhau náu
V [x] l têp cĂc

n

f(x) = anx + an

n 1
1x

vểi mi

i:

P

a thc mẻt bián x vểi hằ sậ trản V: Cho

+ + a1x + a0 2 V [x]: Ta gi a0 l

hằ sậ tá do ca

f(x): Náu an 6= 0 thẳ n ềc gi l bêc ca f(x) v

ềc kẵ hiằu l

nh nghắa

g(x) =

Vểi hai a thc f(x) =

-nh nghắa 1.5.

P

f(x) + g(x) =

P

trong ck =
v nhƠn a

i+j=k
thc. V nh

v

f(x)g(x) =

i

aix

(ai +k

bix

i

trong V [x];

bi)x

ckx ;

a b vểi mi k: Khi V [x] l
V [x]

P

i

X

X

v

deg f(x):

gi l

mẻt v nh vểi php cẻng

v nh a thc mẻt bián x vểi hằ sậ

i j

ềc

trong V: PhƯn t khấng ca v nh l

a thc 0; phƯn t ẽn v l

a thc 1:

Sau Ơy, luên vôn trẳnh b y mẻt nh lẵ b trề cho viằc phƠn
tẵch a thc th nh nhƠn t s ềc nghiản cu chẽng sau.
-nh lẵ 1.3. (-nh lẵ chia vểi d). GiÊ s g(x) 2 V [x] l a thc c hằ sậ
cao nhĐt khÊ nghch trong V: Khi vểi mẩi f(x) 2 V [x]; tn tÔi duy
nhĐt mẻt cp a thc q(x); r(x) 2 V [x] sao cho f(x) = q(x)g(x) + r(x) vểi r(x) =
0 hoc deg r(x) < deg g(x):
Ch 1.1. Cho f(x) 2 V [x] v a 2 V: Ta c lềc sau Ơy gi l lềc

Horner tẳm thẽng v d ca php chia f(x) cho x a: GiÊ s f(x) =
n

a nx +
+ a1x + a0 vểi an 6= 0: Chia f(x) cho x

a ta ềc f(x) = (x

a)q(x) + r;

trong r 2 V v deg q(x) = n 1: GiÊ s q(x) = bn 1xn 1 + + b1x + b0: -ng
nhĐt cĂc hằ sậ ta c th tẳm nhanh sậ d r v cĂc hằ sậ bn 1; : : : ;
b1; b0 ca q(x) nh sau:

10


8
>

bn

>
>

1

= an

>
>
>
>

>::::::::::
>
>
>
>
>
>

>

bi

1

= ai + abi

<
>::::::::::
>
>
>
>
>
>
>

b0 = a1 + ab1

>

>
>
>
>
>
>

r = a0 + ab0:

:

T ta c lềc Horner:
1

...
a1
a0
a bn 1=an bn 2 = abn 1 + an 1 ... b0 = ab1 + a1 r = ab0 + a0
5
4
Vẵ d 1.6. - thác hiằn php chia 2x + x 5x3 + 7x 1 cho x + 1 trong
an

an

Q[x]; ta lêp lềc Horner

2

1 -5 0 7 -1

-1 2 -1 -4 4 3 -4
Vêy 2x5 + x4 5x3 + 7x

1 = (x + 1)(2x

4

x

3

2

4x + 4x + 3) 4:

PhƯn tiáp theo luên vôn trẳnh b y thuêt toĂn tẳm thẽng

q(x)

v d

trong php chia f(x) cho g(x) vểi f(x); g(x) 2 K[x]; g(x) 6= 0: Náu f(x) = 0
hoc deg f(x) < deg g(x) thẳ ta chn q(x) = 0 v
= f(x): GiÊ s
r(x)
nv
f(x) 6= 0 v deg f(x) deg g(x): -t deg f(x) =
deg g(x) = m:
r(x)

Gi an; bm lƯn lềt l hằ sậ cao nhĐt ca f(x) v g(x): Vẳ K l trèng nản
tn tÔi phƯn t bm1 2 K sao cho bmbm1 = 1: Chn h(x) = anbm1xn m: -t
f1
(x) = f(x) g(x)h(x): Khi f1(x) = 0 hoc deg f1(x) < deg f(x): Náu
f1 (x) = 0 hoc deg f1(x) < deg g(x) thẳ d ca php chia l
r(x) = f1(x) v

thẽng l q(x) = h(x): Náu f1(x) 6= 0 hoc deg f1(x) deg g(x) thẳ ta tiáp tc l
m tẽng tá ậi vểi cp a thc f1(x) v g(x) ta ềc a thc f2(x) v h1(x) tha
mÂn f2(x) = f1(x) g(x)h1(x); trong f2(x) = 0 hoc deg f2(x) < deg f1(x): C
tiáp tc quĂ trẳnh trản cho án khi ta ềc dÂy f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)
11


gm cĂc a thc vểi deg f(x) > deg f1(x) > > deg fk 1(x) deg g(x) v
fk(x) l a thc hoc bơng 0 hoc c bêc b hẽn bêc ca g(x): C th
f1(x) = f(x) g(x)h(x); deg f(x) > deg f1(x) deg g(x); f2(x) =
f1(x) g(x)h1(x); deg f1(x) > deg f2(x) deg g(x);

...............................................
fk 1(x) = fk 2(x)

g(x)hk 2(x);

deg fk 2(x) > deg fk 1(x) deg g(x);
fk(x) = fk 1(x)

g(x)hk 1(x);

vểi f(x) = 0 hoc deg fk(x) < deg g(x): Cẻng vá vểi vá cĂc ng thc lÔi ta ềc
f(x) = g(x) h(x) + h1(x) +

-t q(x) = h(x) + h1(x) +

+ hk 1(x) + fk(x):

+ hk 1(x) v r(x) = fk(x) ta c kát quÊ.
3

2

Vẵ d 1.7. Trản trèng Q, ta xt a thc f(x) = 2x + 8x 5x + 4 v g(x) =
2

2x 2x 1: Ta

thác hiằn php chia f(x) cho g(x) nh sau:
f1(x) = f(x)

xg(x) = 10x

f2(x) = f1(x)

2

4x + 4:

5g(x) = 6x + 9:

Thuêt toĂn n y dng lÔi Ơy vẳ deg f2(x) = 1 < 2 = deg g(x): Do
f(x) = (x + 5)g(x) + 6x + 9:

Vêy thẽng ca php chia l

q(x) = x + 5 v d l r(x) = 6x + 9:

-nh nghắa 1.6. Cho V 6= 0 l mẻt v nh giao hoĂn c ẽn v. Mẻt têp con
I ca V ềc gi l mẻt iảan ca V náu 0 2 V; a
b 2 V; av 2 V vểi mi
a; b 2 V v vểi mi v 2 V: Ch rơng náu I l iảan ca V thẳ php cẻng l
ng trong I (tc l
a + b 2 I vểi mi a; b 2 I) v I l mẻt nhm vểi php

cẻng. R r ng f0g l iảan b nhĐt ca V v

V

l iảan lển nhĐt ca V:

Cho A l mẻt têp con ca V: Khi A cha trong ẵt nhĐt mẻt iảan ca V;

chng hÔn V: Giao ca tĐt cÊ cĂc iảan ca V cha A l

iảan nh

nhĐt ca

V cha A: Iảan n y ềc gi l iảan sinh b i A v ềc kẵ hiằu l

Náu

(A):


12


A = fa1; : : : ; ang thẳ ta viát (A) = (a1; : : : ; an) hay (A) = (a1; : : : ; an). Mẻt

iảan I ca V ềc gi l iảan hu hÔn sinh náu tn tÔi mẻt têp A hu hÔn I =
(A):

Ch rơng náu A = ; thẳ (A) = f0g: Náu A = fag thẳ (A) ềc gi l iảan

chẵnh sinh b i a v kẵ hiằu b i (a): Ta c (a) = faxjx 2 V g: Náu

A = fa1; : : : ; ang thẳ
(A) = fa1x1 +

+ anxnjx1; : : : ; xn 2 V g:

-nh nghắa 1.7. GiÊ s V l mẻt miãn nguyản. Ta ni V l miãn iảan
chẵnh náu mi iảan ca V ãu l iảan chẵnh.
Mằnh ã 1.2. GiÊ s V l mẻt miãn nguyản. Khi V [x] l miãn iảan chẵnh
náu v ch náu V l mẻt trèng.

1.3. -a thc bĐt khÊ quy
-Ưu tiản luên vôn ta trẳnh b y khĂi niằm phƯn t bĐt khÊ quy trong mẻt

miãn nguyản. Cho V l miãn nguyản v giÊ s a; b 2 V . Ta ni a l ểc ca b
náu tn tÔi c 2 V sao cho b = ac: Mẻt ểc a ca b ềc gi l ểc thác sá náu
b khấng l ểc ca a: PhƯn t p 2 V ềc gi l phƯn t bĐt khÊ quy náu n

khĂc 0, khấng khÊ nghch v khấng c ểc thác sá. T Ơy ta
c khĂi niằm a thc bĐt khÊ quy trong v nh a thc V [x]:
-nh nghắa 1.8. Cho f(x) 2 V [x] l a thc khĂc 0 v khấng khÊ nghch.
Ta ni f(x) l bĐt khÊ quy trản V náu n khấng c ểc thác sá. Ta ni f(x) l

khÊ quy náu n c ểc thác sá.
f(x) vểi hằ sậ trản mẻt trèng K l bĐt khÊ quy náu v v f(x)

khấng phƠn tẵch ềc th nh tẵch ca hai a thc

B ã 1.3. -a thc
ch náu deg f(x) >
0 c bêc b hẽn.
B ã 1.4. Trản mẻt trèng K, cĂc phĂt biu sau l ng.

(i) -a thc bêc nhĐt luấn bĐt khÊ quy.
(ii) -a thc bêc 2 v bêc 3 l bĐt khÊ quy náu v ch náu n khấng


c‚ nghi»m trong K:
13


(i) Dạ thĐy a thc bêc nhĐt khấng th phƠn tẵch th nh

Chng minh.

tẵch ca hai a thc c bêc thĐp hẽn nản n bĐt khÊ quy.
(ii) -Ưu tiản ta ch ra cĂc a thc bêc 2 v bêc 3 khấng c nghiằm
trong K l a thc bĐt khÊ quy. GiÊ s f(x) c nghiằm x = a 2 K: Vẳ deg
f(x) > 1 nản f(x) c th phƠn tẵch dểi dÔng f(x) = (x a)g(x; ) trong g(x) 2
K[x] v deg g(x) = deg f(x) 1 1: Do f(x) khÊ quy. Vêy f(x) khấng
c nghiằm trong K: Ngềc lÔi, giÊ s f(x) khÊ quy. Do f(x) c bêc 2 hoc
3 nản f(x) phƠn tẵch ềc th nh tẵch ca hai a thc bêc thĐp hẽn, mẻt
trong hai a thc phÊi c bêc 1. Hẽn na, a thc bêc 1 trản mẻt trèng
luấn c nghiằm trong trèng , vẳ vêy f(x) c nghiằm trong K:
Tiáp theo luên vôn trẳnh b y tẵnh bĐt khÊ quy ca mẻt sậ a thc trản

trèng Fp: Vểi giÊ thiát p l mẻt sậ nguyản tậ. Khi Fp l mẻt trèng vểi
php cẻng v php nhƠn cĂc sậ nguyản modulo p: - thuên tiằn, cĂc
phƯn

t ca F

p

văn ềc kẵ hiằu nh cĂc sậ nguyản, trong ta hiu hai phƯn t

a; b 2 Fp l bơng nhau náu v ch náu a b l bẻi ca p: Kẵ hiằu Fp = Fpnf0g

l nhm nhƠn ca trèng Fp: Vểi mẩi f(x) 2 Fp[x]; chng ta dng kẵ hiằu f(x)

xem nh l a thc trong

Fp[x]:
2

Mằnh ã 1.3. Náu sậ nguyản tậ p tha mÂn p 2 (mod 3) thẳ a thc x +
x + 1 l bĐt khÊ quy trản Fp[x]:
Chng minh. Cho p l sậ nguyản tậ tha mÂn p 2 (mod 3) ta
chng
minh a thc x2+x+1 bĐt khÊ quy trản Fp[x]: GiÊ s ngềc lÔi, f(x) = x2+x+1
khÊ quy trản Fp[x]: Khi f(x) l tẵch ca hai a thc bêc nhĐt. Vẳ vêy f(x)
c nghiằm

2 Fp: Dạ thĐy 0 khấng l nghiằm ca f(x): Vẳ thá 6= 0 v do

2 Fp: Vẳ x3
ca f(x) nản l
khấng l
f(x) v
n

= 1 vểi n = 1; 2 v

3

2

1)f(x) v vẳ l nghiằm

1 = (x 1)(x + x + 1) = (x

nghiằm ca x3 1: Suy ra

3

= 1:

Vẳ p 2 (mod 3) nản p

ểc ca 3. Ta c 1 + 1 + 1 6= 0 2 Fp: Suy ra 1 khấng l nghiằm ca
2
3
2
6= 1: Náu = 1 thẳ 1 = =
= ; iãu n y vấ lẵ. Nh vêy
l 3. Ch

= 1: Suy ra cĐp ca trong nhm nhƠn

6
rơng Fp c cĐp l

p 1: Theo -nh lẵ Lagrange, 3

l

Fp
ểc ca p 1: Theo giÊ

thiát p 1 1 (mod 3) iãu n y vấ lẵ. Vêy x2 + x + 1 l a thc bĐt khÊ quy


14

trản Fp:
4

3

2

Mằnh ã 1.4. -a thc f(x) = x + x + x + x + 1 l bĐt khÊ quy trản Fp vểi
mi sậ nguyản tậ p tha mÂn p 6= 5 v p 6 1 (mod 5):
Chng minh. Cho p l sậ nguyản tậ tha mÂn p 6= 5 v p 6 1 (mod 5):

Khi tn tÔi mẻt trèng F cha Fp sao cho f(x) phƠn r trản F: -Ưu tiản ta
khng nh rơng náu 2 F l mẻt nghiằm ca f(x) thẳ n 6= 1 vểi mi
n 2 f1; 2; 3; 4g v
5

nghiằm ca x

5

5

= 1: Thêt vêy, dạ thĐy x

1: Suy ra

5

1 = (x 1)f(x): Do l

= 1: Náu = 1 thẳ 5 = 0 2 Fp v

khi 5 l bẻi

ca p; iãu n y mƠu thuăn vểi giÊ thiát p 6= 5: Suy ra 6= 1: Náu 2 = 1
thẳ 1 = 5 = ( 2)2 = ; vấ lẵ. Náu 3 = 1 thẳ 5 = 3 2 = 2; vấ lẵ. Náu 4 = 1
thẳ 5 = 4 = ; vấ lẵ. Vêy n 6= 1 vểi mi n 2 f1; 2; 3; 4g v 5 = 1: Khng
nh ềc chng minh.

GiÊ s f(x) khÊ quy trản Fp: Náu f(x) c nhƠn t bĐc nhĐt thẳ f(x) c
2 Fp: Ta c f(0) = 1 6= 0: Suy ra 6= 0: Do 2 F : Theo khng p
nh trản cĐp ca
trong nhm nhƠn F F p 1 nản theo p l 5. Vẳ p c cĐp
nh lẵ Lagrange, 5 l
ểc ca cĐp ca p 1: -iãu n y
mƠu thuăn vểi giÊ thiát
p6

1 (mod 5): Vêy f(x) khấng c nhƠn t bêc nhĐt.

Do f(x) khÊ quy nản f(x) c nhƠn t bêc hai q(x) 2 Fp[x]: Vẳ f(x) khấng
c nhƠn t bêc nhĐt nản q(x) khấng c nhƠn t bêc nhĐt, suy ra q(x) bĐt khÊ

quy trản Fp: LĐy 2 F l nghiằm ca q(x): Khi Fp[ ] l mẻt trèng cha
Fp v f1; g l cẽ s ca Fp- khấng gian vectẽ Fp[ ]: -t T = Fp[ ]. Khi
2
dimFp T = 2: Suy ra T c p phƯn t. Do nhm nhƠn T = T nf0g c cĐp l
2
6

6
2

p

1 = (p 1)(p + 1): Vẳ f(0) = 1 = 0 nản = 0: Do

T : T khng

nh ca phƯn Ưu chng minh ta suy ra cĐp ca trong nhm nhƠn T

5.

l

Vẳ thá theo nh lẵ Lagrange, 5 l ểc ca (p 1)(p + 1): -iãu n y

mƠu thuăn vểi giÊ thiát p 6 1 (mod 5): Vêy f(x) bĐt khÊ quy trản Fp .
Mằnh ã 1.5. Náu p l sậ nguyản tậ sao cho v p 3 (mod 7) hoc p 5 (mod
6
5
4
3
2
7) thẳ f(x) = x + x + x + x + x + x + 1 l bĐt khÊ quy trản Fp:
Chng minh. Gi p l sậ nguyản tậ tha mÂn p 3 (mod 7) hoc p 5
(mod 7): Khi ,

theo -nh lẵ 1.1, tn tÔi mẻt trèng F cha Fp sao cho f(x)
15

phƠn r trản F: -Ưu tiản ta khng nh náu

2 K l mẻt nghiằm ca

f(x)

thẳ an 6= 1 vểi mi n 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g v

7

= 1: Ta
1)f(x):

1 = (x

7

1=

= 1 thẳ 7 = 0 2 Fp v

bẻi ca p iãu n y mƠu thuăn vểi giÊ thiát vã p: Náu

do 7 l

5

nghiằm ca x7 1: Suy ra 7 = 1: Náu

l

Do

2 3

=( )

= ; vấ lẵ. Náu

= 1 thẳ 1 =

n

a 6= 1

7

=

52

3

= 1 thẳ 1 =

2

= ; vấ lẵ. Náu

6

7

3 2

vểi mi n 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g v

= 1:

2

= 1 thẳ

= ; vấ lẵ. Náu

=( )

7

= 1 thẳ 1 =
7

c: x7

=

6

= ; vấ lẵ. Vêy

Khng nh ềc chng

minh.
GiÊ s f(x) khÊ quy trản Fp: Vẳ deg f(x) = 6 nản f(x) c nhƠn t bĐt khÊ
quy bêc d vểi d 2 f1; 2; 3:g Náu f(x) c nhƠn t bêc nhĐt thẳ f(x) c nghiằm
2 Fp: Ta c f(0) = 1 6= 0 v do 6= 0: Suy ra 2 Fp: Theo khng

nh trản c cĐp 7 trong nhm nhƠn Fp: Vẳ Fp c cĐp p 1 nản
theo -nh lẵ Lagrange, 7 l ểc ca p 1: -iãu n y mƠu thuăn vểi
giÊ thiát vã p: Vêy f(x) khấng c nhƠn t bêc nhĐt.
GiÊ s f(x) c nhƠn t bĐt khÊ quy q(x) 2 Fp[x] vểi deg q(x) = 2: LĐy
2 F l mẻt nghiằm ca q(x): -t T = Fp[ ] = fg( )jg(x) 2 Fp[x]g: Theo

Mằnh ã 1.1 T l mẻt trèng cha Fp v
gian vc tẽ

T:

Do T c

2

p

phƯn t. Vẳ

=0

nản

f1; g l mẻt cẽ s ca Fp-

2

6
ca phƯn Ưu chng minh ta suy ra cĐp ca trong nhm nhƠn T

-nh lẵ Lagrange, 7 l ểc ca cĐp ca nhm nhƠn T ; T

khấng

l

T:

T khng nh

7. Theo

c cĐp

p

2

1: Tuy

nhiản p2 1 khấng chia hát cho 7 vẳ theo giÊ thiát p2 1 ng d vểi 1 hoc

vểi 3 theo mấ un 7. -iãu n y vấ lẵ. Do f(x) khấng c nhƠn t
bĐt khÊ quy bêc hai.

q(x):

Vẳ f(x) khÊ quy nản f(x) c nhƠn t bĐt khÊ quy q(x) 2 Fp[x] vểi
deg q(x) = 3: LĐy

2 F l mẻt nghiằm ca

-t T = Fp[ ] =

fg( )jg(x) 2 Fp[x]g: Theo Mằnh ã 1.1, T l mẻt trèng cha Fp v f1; ;

2

g

l mẻt cẽ s ca Fp- khấng gian vc tẽ T: Khi sậ phƯn t ca T l p3: Vẳ 6= 0
nản 2 T : T khng nh ca phƯn Ưu chng minh ta suy ra cĐp ca
c cĐp 3
l 7. Nhm
trong nhm nhƠn T
T
p
1: Theo -nh lẵ Lagrange,


7 l ˜Óc cıa p3 1: -i·u n y vÊ l½ v¼ theo gi£ thi¸t p3 1 Áng d˜ vÓi 5
theo

mÊ un 7. Vªy, f(x) b§t kh£ quy tr¶n Fp:
16


-‡nh ngh¾a 1.9. -a th˘c

Ch˘ng minh.

V½ dˆ 1.9.

n

f(x) = a0 + a1x + ::: + anx 2 F[x]:

Ta gÂi f(x) l a th˘c monic (monic polynomial) n¸u an = 1.
-‡nh ngh¾a 1.10. X²t m rÎng tr˜Ìng E=F , l mÎt ph¦n t˚ cıa E, v F [x] l


v nh a thc ca x trản F . PhƯn t c a thc tậi tiu khi Ôi sậ trản F ,
tc l f( ) = 0 vểi mẻt a thc f(x) khĂc 0 trong F [x]. Khi Đy a thc tậi tiu
ca ềc nh nghắa l a thc monic c bêc nh nhĐt trong sậ cĂc a
thc trong F [x] nhên l m nghiằm.
Vẵ d 1.8. Chng ta s tẳm tĐt cÊ cĂc a thc tậi tiu ca tĐt cÊ cĂc phƯn t

thuẻc F8. -Ưu tiản, ta thĐy rơng phƯn t 0 c a thc tậi tiu l x. PhƯn t 1

c a thc tậi tiu l x + 1. GiÊ s l mẻt nghiằm ca a thc x3 + x + 1. Khi
2
, dạ thĐy rơng cĂc phƯn t ; v 4 c chung a thc tậi tiu l x3 + x + 1.

CĂc phƯn t 3; 6 v 5 c chung a thc tậi tiu l x3 + x2 + 1.
Tiáp theo, chng tấi ch ra mẻt sậ tẵnh chĐt ca a thc tậi tiu nh sau:

-nh lẵ 1.4. -a thc tậi tiu l bĐt khÊ quy.
Xt m rẻng trèng E=F nh trản, 2 E v f(x) 2 F [x] l a thc tậi tiu ca . GiÊ s iãu ngềc lÔi, f(x) = g(x)h(x), trong g(x); h(x) l cĂc a thc thuẻc F [x] vểi bêc nh hẽn f(x). Do trèng cng l miãn
nguyản v f( ) = 0 nản ta phÊi c g( ) = 0 hoc h( ) = 0. -iãu n y mƠu thuăn vểi giÊ thiát f(x) c bêc nh nhĐt. Do iãu giÊ s l sai, vêy f(x) l a thc bĐt khÊ quy.

-nh lẵ 1.5. Náu l mẻt nghiằm ca a thc f(x) 2 F[x]; khi a thc tậi tiu
m(x) l ểc ca f(x):
Chng minh. GiÊ s f(x) = a(x)m(x) + r(x); trong bêc ca r(x) nh

hẽn bêc ca m(x): T f( ) = 0 v m( ) = 0 chng ta thĐy rơng r( ) = 0:
Bơng giÊ thiát bêc ca r(x) nh hẽn bêc ca m(x); r r ng r(x) = 0:
p(x) = x

2

Náu ta lĐy F = Q; E = R; =

p

3; thẳ a thc tậi tiu ca

l

3: Trèng F ng vai trã quan trng vẳ n xĂc nh cĂc hằ sậ ca

p(x). Vẵ d, náu ta lĐy F = R thẳ a thc tậi tiu cho =
17

p

3 l p(x) = x

p

3: