Phân tích đa thức thành các đa thức bất khả quy để xây dựng các mã cyclic trên trường hữu hạn

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖ ♦✵♦ ✖✖✖✖✖

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨

P❍❹◆ ❚➑❈❍ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❚❍⑨◆❍ ❈⑩❈ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❇❻❚
❑❍❷ ◗❯❨ ✣➎ ❳❹❨ ❉Ü◆● ❈⑩❈ ▼❶ ❈❨❈▲■❈ ❚❘➊◆
❚❘×❮◆● ❍Ú❯ ❍❸◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✽✴✷✵✷✵


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖ ♦✵♦ ✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨
P❍❹◆ ❚➑❈❍ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❚❍⑨◆❍ ❈⑩❈ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❇❻❚
❑❍❷ ◗❯❨ ✣➎ ❳❹❨ ❉Ü◆● ❈⑩❈ ▼❶ ❈❨❈▲■❈ ❚❘➊◆
❚❘×❮◆● ❍Ú❯ ❍❸◆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ sì ❝➜♣
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✸
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❘➴◆● ❇➁❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✽✴✷✵✷✵

▼ö❝ ❧ö❝
✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✼

✶✳✶✳ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷✳ ❱➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸✳ ✣❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✷ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣
❝→❝ ♠➣ ❝②❝❧✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥
✶✽
✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥
tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✶✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 tr➯♥ Fq ❦❤✐ (n, q) = 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✶✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 tr➯♥ Fq ❦❤✐ (n, q) = 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✷✳ ▼➣ ❝②❝❧✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✸✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠➣ ❝②❝❧✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✷✳✸✳✶✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠➣ ❝②❝❧✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤✐ (n, q) = 1 ✳ ✸✷
✷✳✸✳✷✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠➣ ❝②❝❧✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤✐ (n, q) = 1 ✳ ✸✻

✶

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
▲þ t❤✉②➳t ♠➣ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✹✽ ❜ð✐ ♠ët ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛
❈✳ ❊✳ ❙❤❛♥♥♦♥ ✈➲ ❧þ t❤✉②➳t t♦→♥ ❤å❝ ❝❤♦ ❧➽♥❤ ✈ü❝ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣✳ ❚ø ✤â ✤➳♥
♥❛②✱ ❧þ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣
tr♦♥❣ t❤æ♥❣ t✐♥ ❧✐➯♥ ❧↕❝✳ ◆â ✤÷ñ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❤÷✿ t❤æ♥❣
t✐♥ ✤✐➺♥ tû✱ t❤✉ ♣❤→t t❤❛♥❤✱ ❜↔♦ ♠➟t✳✳✳
▲þ t❤✉②➳t ♠➣ ❤â❛ ❧➔ ♠ët ♥❣➔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✤✐➺♥ t♦→♥ ♥❤➡♠
❣✐↔✐ q✉②➳t t➻♥❤ tr↕♥❣ ❧é✐ ❞➵ ①↔② r❛ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣ sè ❧✐➺✉ tr➯♥ ❝→❝
❦➯♥❤ tr✉②➲♥ ❝â ✤ë ♥❤✐➵✉ ❝❛♦✱ ❞ò♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐♥❤ ①↔♦ ❦❤✐➳♥ ♣❤➛♥
❧î♥ ❝→❝ ❧é✐ ①↔② r❛ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❝❤➾♥❤ sû❛✳ ▲þ t❤✉②➳t ♠➣ ❝á♥ ①û ❧þ ♥❤ú♥❣ ✤➦❝
t➼♥❤ ❝õ❛ ♠➣ ✈➔ ❞♦ ✈➟② ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝ö t❤➸✳
▲þ t❤✉②➳t ♠➣ ❤â❛ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✱
❝â ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ✤➳♥ r➜t ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝✲❝æ♥❣ ♥❣❤➺ ✈➔ ❦✐♥❤ t➳✲①➣ ❤ë✐✳
❚❤ü❝ t➳ ❝❤♦ t❤➜② ❧þ t❤✉②➳t ♠➣ ❤â❛ ✤➣ ✈æ ❝ò♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ tø ①❛ ①÷❛✳ ❚❤í✐
♥❛②✱ ✈î✐ sü ♣❤→t tr✐➸♥ r➜t ♥❤❛♥❤ ❝õ❛ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ✈➔ ♠↕♥❣ ✐♥t❡r♥❡t t❤➻
♠➣ ❤â❛ t❤æ♥❣ t✐♥ ❝➔♥❣ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣✳ ▼➣ ❤â❛ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❜↔♦ ✈➺ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ t❤æ♥❣ t✐♥ tø ❞↕♥❣ rã ✭t❤æ♥❣ t✐♥ ❝â t❤➸
❞➵ ❞➔♥❣ ✤å❝ ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝✮ s❛♥❣ ❞↕♥❣ ♠í ✭t❤æ♥❣ t✐♥ ✤➣ ❜à ❝❤❡ ✤✐✱ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸
✤å❝ ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝✱ ✤➸ ✤å❝ ✤÷ñ❝ t❛ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❣✐↔✐ ♠➣ ♥â✮✳ ◆â ❣✐ó♣ t❛ ❝â t❤➸ ❜↔♦ ✈➺
t❤æ♥❣ t✐♥✱ ✤➸ ♥❤ú♥❣ ❦➫ ✤→♥❤ ❝➢♣ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ❞ò ❝â ✤÷ñ❝ t❤æ♥❣ t✐♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣
t❛✱ ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ▼➣ ❤â❛ s➩ ♠❛♥❣ ❧↕✐ t➼♥❤ ❛♥
t♦➔♥ ❝❛♦ ❤ì♥ ❝❤♦ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tr♦♥❣ t❤í✐ ✤↕✐ ✐♥t❡r♥❡t ♥❣➔② ♥❛②✱ ❦❤✐
♠➔ t❤æ♥❣ t✐♥ ♣❤↔✐ ✤✐ q✉❛ ♥❤✐➲✉ tr↕♠ tr✉♥❣ ❝❤✉②➸♥ tr÷î❝ ❦❤✐ ✤➳♥ ✤÷ñ❝ ✤➼❝❤✳
❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ r❛ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ♠➣ ❝ö t❤➸✳
▼➣ ■❙❇◆ ✭■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❙t❛♥❞❛r❞ ❇♦♦❦ ◆✉♠❜❡r✮ ❧➔ ♠➣ sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ q✉è❝
✷

t õ t t tữỡ t ữủ tổ t ởt
q s t ý ổ ỳ ừ ố s qố t ỹ ừ
ố s
srq s ởt
sỷ ộ q trồ õ sỷ ữủ ộ ữủ ự ử
rở r ợ õ ợ ổ
r số ỳ ổ ợ q trồ t
ữủ ợ t
t ởt sỷ s tở t t
ữủ sỷ ử sỷ ộ tr tố tổ t
số tr ữ trỳ ỗ tt ữ trỳ tứ
tổ t ở ổ t ở ữớ tr
tổ t t tr số tố ở ữ
t q trồ tr sỷ t ộ
r ữủ ũ tr tố
ừ
r ữủ ũ tr tr tổ t tứ
t ụ trử t r t r ổ trữớ ổ
ợ t tổ t s õ t ờ ữủ tr tr
ổ trữớ ổ t trỏ ừ r rt q
trồ tr ụ trử ợ ữủ ũ tr q
ở ừ qố õ õ ợ tợ t tổ t tr t
tổ t tứ qố tợ q ở
ữủ tỷ ữủ ợ t t r r
t tổ tữớ ỳ ữủ ữ ữợ ỏ t
ữủ tỷ sỷ ử qts qt ts t ỳ
tr t ũ ú ử õ t õ t õ t ũ ú
t ữủ tỷ ỷ ỵ ữủ ỳ t ự
t ỡ ữớ t t t r t ữủ tỷ s qt
ự t ỡ t ý t ờ t ữủ tỷ ỡ

t q t ừ ỡ ồ ữủ tỷ t tố ở t t
ỹ ởt t ữủ tỷ ởt ử õ ữ ữợ
õ ỳ t ổ tứ t ợ tr t ợ ữ t
rst t ữủ tỷ ổ ứ
ở tr ổ ỳ t ổ ợ õ ỏ
ở tr ỳ ữớ qố ử ử t ở t õ
r qố ỏ õ ỹ r ớ ừ t ữủ tỷ s
t ờ t ữ t t rt tr s
tr tữỡ
t õ t tt ố t ữủ õ
tr ởt s rt ợ t ử ú
t sỷ ử ởt t ờ ợ ts õ s õ 264 tr t ợ
ởt t ờ ự ộ tr ữủ t tr t t ụ
tử ợ ữủ t 264 tr tõ
ởt tớ tỹ t r õ ởt t ữủ tỷ
ũ tt t ữủ tỷ rr õ t tt tr tớ
út t t õ ổ ữủ ự ử rở r
tr trỹ t rt ự ử
ỹ t ừ ộ t tr tố ổ t
t ởt số ỷ tố sr ợ n t t ừ số
tố ợ p q (n = pq) t t ồ ởt t ự t
t ởt số ỗ ỳ số t t ờ
ủ ỹ tử tr t ởt t
ữủ tỷ ũ tt t ữủ tỷ r õ t t ởt số ợ ỡ
tr tr tớ ỡ ụ tr
r ỹ s ồ ữủ ữ r t

ú t sỷ ử ởt tr tỹ
tr ở ừ s t ữ ởt ộ ỵ tỹ t
ú t s t ợ ữ ởt ữỡ
õ sỷ ử ởt tr ở



ừ s t ự s t õ tở
rt ỳ tr t ố q ỳ ũ
ú ữ ổ ố t ụ ữủ ự
ử t q ộ trủ ỗ ố ừ s t số
sỹ tr tỹ t
ở t qỵ q ợ ú st t
tr ổ ú ố
t trũ ộ trủ ữỡ tr st s
trỗ r ú t ừ tr
tr t ữủ ữợ
ởt số ử ợ tr ú ú t t
ữủ trỏ q trồ ừ tr ở số tr
ồ tt
t ỵ tt ữủ ự tr trữớ ỳ t
q ỡ ữủ ú t tr q s ừ r
õ t ồ rở ự tr ỳ
t ự t tr tr trữớ ủ ở ừ õ
q số ừ trữớ ở ừ t số ừ trữớ
t ữủ ồ ở ừ ổ t
số ừ trữớ t õ ữủ ồ ỡ
ự tr ỳ t
tr ợ ộ ỳ ụ ữủ t ồ q t
t ồ ụ ữ r ữủ t q tốt r

ú tổ sỷ ử t q ừ ồ ỹ ự
tr trữớ ỳ
ở ừ tr sỹ t tự t
tự t q tr trữớ ỳ õ sỷ ử t q ừ sỹ
t ỹ tr trữớ ỳ ỗ
ữỡ
r ữỡ ú tổ tr trữớ ỳ trú
ừ trữớ ỳ õ ú tổ tr tự tr trữớ ỳ



ố ữỡ ú tổ ữ r ởt số tự tự t q
r ữỡ ú tổ tr ở ừ
t tự t tự t q tr trữớ ỳ
ỹ tr trữớ ỳ t tt tr
trữớ ỳ Fq tr õ q = pm p số tố t ú tổ
t ỳ ừ Rn = Fq [X]/ xn 1 .
ở ự ừ ợ t sỡ t
t t tự t tỷ rt ữủ q t ồ ờ tổ
ữủ tỹ t rữớ ồ ồ ồ
t ữợ sỹ ữợ ừ s rồ ổ
ữủ tọ ỏ t ỡ t s s tợ ữớ ữợ
ồ ừ
ổ tr trồ ỡ rữớ ồ ồ
ồ ừ ũ
t t ồ tốt t tổ ồ t
ự
ổ ụ t ỡ ử t t
ỗ trữớ P ố t ó
t t tổ t tốt ử ồ

t ổ t ừ
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ tợ t ỡ ỳ ữớ
t tt ú ù ở tổ tr sốt q tr
ự t ỡ

t







❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶✳ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚r÷í♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ F ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿ +, ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❝ë♥❣✱ ✈➔ . ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤➙♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè t✐➯♥ ✤➲✳ ❚➟♣ F ❧➔ ♥❤â♠
❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❝â ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ 0; ❚➟♣

F∗ = F\{0} ❝ô♥❣ ❧➔ ♥❤â♠ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝â ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❧➔ ♠ët
✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ 1; ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✳ ▼ët tr÷í♥❣ ❧➔ ❤ú✉
♥➳✉ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ F ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥❀ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳

❤↕♥

❝➜♣ ❝õ❛ F.

✭✐✮ ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ Z ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ✈➻ 3 ∈ Z ❦❤æ♥❣

❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
✭✐✐✮ ❈→❝ t➟♣ ❤ñ♣ sè ❤ú✉ t➾ Q✱ sè t❤ü❝ R✱ sè ♣❤ù❝ C ❝ò♥❣ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔
♥❤➙♥✱ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët tr÷í♥❣✳

√
√
✭✐✐✐✮ ❚➟♣ ❤ñ♣ Q[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Q} ✤â♥❣ ❦➼♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥
√
t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ✈➔ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ♥➔②✱ Q[ 2] ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣✱ ♣❤➛♥
√
√
tû ❦❤æ♥❣ ❧➔ 0 + 0 2, ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❧➔ 1 + 0 2, ♣❤➛♥ tû ✤è✐ ❝õ❛ ♣❤➛♥
√
√
√
√
tû a + b 2 ❧➔ −a − b 2 ✈➔ ♥➳✉ x = a + b 2 = 0 + 0 2 t❤➻ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦
√
a
b
❝õ❛ x ❧➔ 2
−
2.
a − 2b2 a2 − 2b2

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F2 ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû {0, 1}✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥

✼

✤÷ñ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥❤÷ s❛✉✿
✰ ✵ ✶
✵

✵ ✶

✶

✶ ✵

✳

✵ ✶

✵ ✵ ✵
✶ ✵ ✶
✣➙② ❝ô♥❣ ❧➔ ✈➔♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ♠♦❞✉❧♦ ✷✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3 ✈î✐ ❜❛ ♣❤➛♥ tû {0, 1, 2}✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣
♥❤➙♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠♦❞✉❧♦ ✸✿
✰ ✵ ✶ ✷
✵

✵ ✶ ✷

✶

✶ ✷ ✵

✷

✷ ✵ ✶

✳

✵ ✶ ✷

✵ ✵ ✵ ✵
✶ ✵ ✶ ✷
✷ ✵ ✷ ✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

✭✐✮ ◆➳✉ K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ E t❤➻ t❛ ❣å✐ E ❧➔ ♠ët

tr÷í♥❣ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ K, ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ E/K.
✭✐✐✮ ●✐↔ sû E/K ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣✳ ❳❡♠ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì
tr➯♥ K. ◆➳✉ E ❧➔ K ✲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ t❛ ♥â✐ E ❧➔

♠ð rë♥❣ ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ K. ◆➳✉ ❞✐♠ K E = n t❤➻ n ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❜➟❝ ❝õ❛ ♠ð rë♥❣ E/K ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ [E/K] .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ●✐↔ sû E/K ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣ ✈➔ f (x) ∈ K[x] ❧➔ ✤❛
t❤ù❝ ❜➟❝ n ≥ 1. ❚❛ ♥â✐ f (x)

♣❤➙♥ r➣ tr➯♥ E ♥➳✉

f (x) = a(x − α1 ) . . . (x − αn )

✽


ợ a số t ừ f (x) 1 , . . . , n E. õ E trữớ
r ừ f (x) tr K f (x) r tr E ổ r tr t ự
trữớ tỹ sỹ ừ E.

E/K rở trữớ E tỷ số

tr K. sỷ p(x) K[x] tự t q
õ K() = K[] [K() : K] = p(x). ỡ ỳ p(x) = n t
S = {1, , 2 , . . . , n1 } ởt ỡ s ừ K ổ tỡ K().

ờ ợ ồ tự f (x) K[x] t q tr K, tỗ t ởt
trữớ E ự K ự ởt ừ f (x).

ử tự f (x) = x2 5 t q tr trữớ Q, tỗ t trữớ
R ự Q ự ởt x =


5 ừ f (x).

ợ ộ tự f (x) K[x] õ n 1, tỗ t ởt trữớ
r ừ f (x) tr K.

ử t tr trữớ số tỹ R, tự f (x) = 3x2 + x + 1 ổ õ
tr R. ữ t tr trữớ số ự C, tự f (x) = 3x2 +x+1
õ ự x1 = 61 +

11
6 i; x2

= 16


11
6 i.

ợ tự

f (x) = 3x2 + x + 1 tỗ t ởt trữớ r C ừ f (x) tr R.

ờ K ởt trữớ ỳ õ q tỷ t K õ số p
tố q ởt ụ tứ ừ p.

p số tố t ợ ộ số ữỡ d, tỗ
t ởt trữớ õ ú pd tỷ

K T trữớ ỳ ũ õ q tỷ t ú õ ũ
số p trữớ r ừ tự g(x) = xq x tr trữớ
Fp . ỡ ỳ K
= T.

tự tr trữớ ỳ
ởt tự ởt ợ số tr V

õ

t ữủ t ữợ f (x) = an xn + an1 xn1 + ... + a1 x + a0 tr õ

a0 , ã ã ã , an V x ởt ồ ụ t tự ữợ
f (x) =

ai xi tr õ ai = 0 ợ ồ i > n tự

ai xi

bi xi ai = bi ợ ồ i.
V [x] t tự ởt x ợ số tr V.

f (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 V [x]. ồ a0 số tỹ ừ
f (x). an = 0 t n ữủ ồ ừ f (x) ữủ f (x).

ợ tự f (x) =

ai xi g(x) =

bi xi tr V [x],



f (x) + g(x) =
f (x)g(x) =
tr õ ck =

i+j=k

(ai + bi )xi
ck x k ,

ai bj ợ ồ k. õ V [x] ởt ợ ở

tự V [x] ữủ ồ tự ởt x ợ số
tr V. P tỷ ổ ừ tự 0, tỷ ỡ tự 1.
tr ởt ờ trủ t
tự t tỷ s ữủ ự ữỡ s

ợ ữ sỷ g(x) V [x] tự õ số
t tr V. õ ợ ộ f (x) V [x], tỗ t t ởt
tự q(x), r(x) V [x] s f (x) = q(x)g(x) + r(x) ợ r(x) = 0

r(x) < g(x).

ú ỵ f (x) V [x] a V. õ ữủ ỗ s ồ ữủ ỗ
rr t tữỡ ữ ừ f (x) xa. sỷ f (x) = an xn +

ã ã ã + a1 x + a0 ợ an = 0. f (x) x a t ữủ f (x) = (x a)q(x) + r,
tr õ r V q(x) = n 1. sỷ q(x) = bn1 xn1 + ã ã ã + b1 x + b0 .
ỗ t số t õ t t số ữ r số bn1 , . . . , b1 , b0
ừ q(x) ữ s

bn1 = an






..........






bi1 = ai + abi


..........







b0 = a1 + ab1

r = a0 + ab0 .
ứ õ t õ ữủ ỗ rr

an



an1

a1

a0

bn1 an bn2 = abn1 + an1 b0 = ab1 + a1 r = ab0 + a0

ử tỹ 2x5 + x4 5x3 + 7x 1 x + 1 tr
Q[x], t ữủ ỗ rr







2x5 + x4 5x3 + 7x 1 = (x + 1)(2x4 x3 4x2 + 4x + 3) 4.
P t t tr tt t t tữỡ q(x) ữ r(x)
tr f (x) g(x) ợ f (x), g(x) K[x], g(x) = 0. f (x) = 0

f (x) < g(x) t t ồ q(x) = 0 r(x) = f (x). sỷ

f (x) = 0 f (x) g(x). t f (x) = n g(x) = m.
ồ an , bm ữủt số t ừ f (x) g(x). K trữớ
1
1 nm
tỗ t tỷ b1
. t
m K s bm bm = 1. ồ h(x) = an bm x

f1 (x) = f (x) g(x)h(x). õ f1 (x) = 0 f1 (x) < f (x).
f1 (x) = 0 f1 (x) < g(x) t ữ ừ r(x) = f1 (x)
tữỡ q(x) = h(x). f1 (x) = 0 f1 (x) g(x) t t t tử
tữỡ tỹ ố ợ tự f1 (x) g(x) t ữủ tự f2 (x) h1 (x)
tọ f2 (x) = f1 (x) g(x)h1 (x), tr õ f2 (x) = 0 f2 (x) <

f1 (x). ự t tử q tr tr t ữủ f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)



ỗ tự ợ f (x) > f1 (x) > ã ã ã > fk1 (x) g(x)

fk (x) tự õ ỡ ừ g(x). ử t
f1 (x) = f (x) g(x)h(x), f (x) > f1 (x) g(x),
f2 (x) = f1 (x) g(x)h1 (x), f1 (x) > f2 (x) g(x),


fk1 (x) = fk2 (x) g(x)hk2 (x),
fk2 (x) > fk1 (x) g(x),

fk (x) = fk1 (x) g(x)hk1 (x),
ợ f (x) = 0 fk (x) < g(x). ở ợ tự õ
t ữủ

f (x) = g(x) h(x) + h1 (x) + ã ã ã + hk1 (x) + fk (x).
t q(x) = h(x) + h1 (x) + ã ã ã + hk1 (x) r(x) = fk (x) t õ t q

ử r trữớ Q t t tự f (x) = 2x3 + 8x2 5x + 4
g(x) = 2x2 2x 1. tỹ f (x) g(x) ữ s
f1 (x) = f (x) xg(x) = 10x2 4x + 4.
f2 (x) = f1 (x) 5g(x) = 6x + 9.
t t ứ f2 (x) = 1 < 2 = g(x). õ

f (x) = (x + 5)g(x) + 6x + 9.
tữỡ ừ q(x) = x + 5 ữ r(x) = 6x + 9.

V
I ừ V ữủ ồ

= 0 ởt õ ỡ ởt t

ởt ừ V

0 V, a b V, av V ợ ồ

a, b V ợ ồ v V. ú ỵ r I ừ V t ở
õ tr I tự a + b I ợ ồ a, b I I ởt õ ợ
ở ó r {0} t ừ V V ợ t ừ V.
A ởt t ừ V. õ A ự tr t t ởt ừ V,
V. ừ tt ừ V ự A ọ t ừ

V ự A. ữủ ồ

s A ữủ (A).




A = {a1 , . . . , an } t t t (A) = (a1 , . . . , an ) (A) = (a1 , . . . , an ) ởt
I ừ V ữủ ồ

ỳ s tỗ t ởt t A ỳ

I = (A). ú ỵ r A = t (A) = {0}. A = {a} t (A) ữủ
ồ

s a (a). õ (a) = {ax|x V }.

A = {a1 , . . . , an } t
(A) = {a1 x1 + ã ã ã + an xn |x1 , . . . , xn V }.

sỷ V ởt õ V
ồ ừ V

sỷ V ởt õ V [x]
V ởt trữớ

tự t q
t t tr tỷ t q tr ởt

ữợ ừ b
tỗ t c V s b = ac. ởt ữợ a ừ b ữủ ồ ữợ tỹ sỹ
b ổ ữợ ừ a. P tỷ p V ữủ ồ tỷ t q õ
V sỷ a, b V õ a

0 ổ ổ õ ữợ tỹ sỹ ứ t õ
tự t q tr tự V [x].

f (x) V [x] tự 0 ổ
õ f (x)

t q tr V

õ ổ õ ữợ tỹ sỹ õ f (x)

q õ õ ữợ tỹ sỹ

ờ tự f (x) ợ số tr ởt trữớ K t q

f (x) > 0 f (x) ổ t ữủ t t ừ tự
õ ỡ

ờ r ởt trữớ K t s ú
tự t ổ t q
tự t q õ ổ õ
tr K.



❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✭✐✮ ❉➵ t❤➜② ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ♥❤➜t ❦❤æ♥❣ t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤

t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝â ❜➟❝ t❤➜♣ ❤ì♥ ♥➯♥ ♥â ❜➜t ❦❤↔ q✉②✳
✭✐✐✮ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ✷ ✈➔ ❜➟❝ ✸ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ K ❧➔
✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✳ ●✐↔ sû f (x) ❝â ♥❣❤✐➺♠ x = a ∈ K. ❱➻ ❞❡❣ f (x) > 1 ♥➯♥

f (x) ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ f (x) = (x − a)g(x, ) tr♦♥❣ ✤â g(x) ∈ K[x] ✈➔
❞❡❣ g(x) = ❞❡❣ f (x) − 1 ≥ 1. ❉♦ ✤â f (x) ❦❤↔ q✉②✳ ❱➟② f (x) ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠
tr♦♥❣ K. ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû f (x) ❦❤↔ q✉②✳ ❉♦ f (x) ❝â ❜➟❝ ✷ ❤♦➦❝ ✸ ♥➯♥ f (x)
♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ t❤➜♣ ❤ì♥✱ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤❛
t❤ù❝ ✤â ♣❤↔✐ ❝â ❜➟❝ ✶✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ✶ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ✤â✱ ✈➻ ✈➟② f (x) ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ K.
❚✐➳♣ t❤❡♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② t➼♥❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠ët sè ✤❛ t❤ù❝ tr➯♥
tr÷í♥❣ Fp . ❱î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❑❤✐ ✤â Fp ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ✈î✐
♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ♠♦❞✉❧♦ p. ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥✱ ❝→❝ ♣❤➛♥
tû ❝õ❛ Fp ✈➝♥ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ♥❤÷ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✱ tr♦♥❣ ✤â t❛ ❤✐➸✉ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû

a, b ∈ Fp ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ a − b ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ p. ❑➼ ❤✐➺✉ F∗p = Fp \{0}
❧➔ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ Fp . ❱î✐ ♠é✐ f (x) ∈ Fp [x], ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ f (x)
①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ Fp [x].

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ◆➳✉ sè ♥❣✉②➯♥ tè p t❤ä❛ ♠➣♥ p
x2 + x + 1

❧➔ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fp[x].

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

≡ 2 (mod 3)

t❤➻ ✤❛ t❤ù❝

❈❤♦ p ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤ä❛ ♠➣♥ p ≡ 2 (mod 3) t❛ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤ ✤❛ t❤ù❝ x2 +x+1 ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fp [x]. ●✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ f (x) = x2 +x+1
❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fp [x]. ❑❤✐ ✤â f (x) ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ♥❤➜t✳ ❱➻ ✈➟② f (x)
❝â ♥❣❤✐➺♠ α ∈ Fp . ❉➵ t❤➜② 0 ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x). ❱➻ t❤➳ α = 0 ✈➔ ❞♦
✤â α ∈ F∗p . ❱➻ x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = (x − 1)f (x) ✈➔ ✈➻ α ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ f (x) ♥➯♥ α ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ x3 − 1. ❙✉② r❛ α3 = 1. ❱➻ p ≡ 2 (mod 3) ♥➯♥ p
❦❤æ♥❣ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ ✸✳ ❚❛ ❝â 1 + 1 + 1 = 0 ∈ Fp . ❙✉② r❛ ✶ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛

f (x) ✈➔ α = 1. ◆➳✉ α2 = 1 t❤➻ 1 = α3 = α2 α = α, ✤✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✳ ◆❤÷ ✈➟②
αn = 1 ✈î✐ n = 1, 2 ✈➔ α3 = 1. ❙✉② r❛ ❝➜♣ ❝õ❛ α tr♦♥❣ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ F∗p ❧➔ ✸✳ ❈❤ó
þ r➡♥❣ F∗p ❝â ❝➜♣ ❧➔ p − 1. ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ✸ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ p − 1. ❚❤❡♦ ❣✐↔
t❤✐➳t p − 1 ≡ 1 (mod 3) ✤✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✳ ❱➟② x2 + x + 1 ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉②
✶✹


tr Fp .

tự f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 t q tr Fp ợ

ồ số tố p tọ p = 5 p 1 (mod 5).

ự

p số tố tọ p = 5 p 1 (mod 5).

õ tỗ t ởt trữớ F ự Fp s f (x) r tr F. t

t r F ởt ừ f (x) t n = 1 ợ ồ

n {1, 2, 3, 4} 5 = 1. t t x5 1 = (x 1)f (x). õ
ừ x5 1. r 5 = 1. = 1 t 5 = 0 Fp õ ở
ừ p, t ợ tt p = 5. r = 1. 2 = 1 t

1 = 5 = (2 )2 = , ổ 3 = 1 t 5 = 3 2 = 2 , ổ 4 = 1
t 5 = 4 = , ổ n = 1 ợ ồ n {1, 2, 3, 4} 5 = 1.
ữủ ự
sỷ f (x) q tr Fp . f (x) õ tỷ t t f (x) õ
Fp . õ f (0) = 1 = 0. r = 0. õ Fp .
tr ừ tr õ Fp Fp õ p 1 t
r ữợ ừ ừ p 1. t ợ tt

p 1 (mod 5). f (x) ổ õ tỷ t
f (x) q f (x) õ tỷ q(x) Fp [x]. f (x) ổ
õ tỷ t q(x) ổ õ tỷ t s r q(x) t
q tr Fp . F ừ q(x). õ Fp [] ởt trữớ ự

Fp {1, } ỡ s ừ Fp ổ tỡ Fp []. t T = Fp [] õ
dimFp T = 2. r T õ p2 tỷ õ õ T = T \{0} õ
p2 1 = (p 1)(p + 1). f (0) = 1 = 0 = 0. õ T . ứ
ừ ự t s r ừ tr õ T
t t r ữợ ừ (p 1)(p + 1). t
ợ tt p 1 (mod 5). f (x) t q tr Fp

p số tố s p 3 (mod 7) p 5
(mod 7)

t f (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 t q tr Fp.

ự

ồ p số tố tọ p 3 (mod 7) p 5

(mod 7). õ t tỗ t ởt trữớ F ự Fp s f (x)



♣❤➙♥ r➣ tr➯♥ F. ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➳✉ α ∈ K ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x)
t❤➻ an = 1 ✈î✐ ♠å✐ n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ✈➔ α7 = 1. ❚❛ ❝â✿ x7 − 1 = (x − 1)f (x).
❉♦ ✤â α ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ x7 − 1. ❙✉② r❛ α7 = 1. ◆➳✉ α = 1 t❤➻ 7 = 0 ∈ Fp ✈➔
❞♦ ✤â ✼ ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ p ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ p. ◆➳✉ α2 = 1 t❤➻

1 = α7 = (α2 )3 α = α, ✈æ ❧➼✳ ◆➳✉ α3 = 1 t❤➻ 1 = α7 = (α3 )2 α = α, ✈æ ❧➼✳ ◆➳✉
α5 = 1 t❤➻ 1 = α7 = α5 α2 = α2 , ✈æ ❧➼✳ ◆➳✉ α6 = 1 t❤➻ 1 = α7 = α6 α = α, ✈æ
❧➼✳ ❱➟② an = 1 ✈î✐ ♠å✐ n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ✈➔ α7 = 1. ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤✳
●✐↔ sû f (x) ❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fp . ❱➻ ❞❡❣ f (x) = 6 ♥➯♥ f (x) ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❦❤↔
q✉② ❜➟❝ d ✈î✐ d ∈ {1, 2, 3.} ◆➳✉ f (x) ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➟❝ ♥❤➜t t❤➻ f (x) ❝â ♥❣❤✐➺♠

α ∈ Fp . ❚❛ ❝â f (0) = 1 = 0 ✈➔ ❞♦ ✤â α = 0. ❙✉② r❛ α ∈ F∗p . ❚❤❡♦ ❦❤➥♥❣
✤à♥❤ tr➯♥ α ❝â ❝➜♣ ✼ tr♦♥❣ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ F∗p . ❱➻ F∗p ❝â ❝➜♣ p − 1 ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼
▲❛❣r❛♥❣❡✱ ✼ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ p − 1. ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ p. ❱➟② f (x)
❦❤æ♥❣ ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➟❝ ♥❤➜t✳
●✐↔ sû f (x) ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❦❤↔ q✉② q(x) ∈ Fp [x] ✈î✐ ❞❡❣ q(x) = 2. ▲➜②

α ∈ F ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ q(x). ✣➦t T = Fp [α] = {g(α)|g(x) ∈ Fp [x]}. ❚❤❡♦
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ T ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝❤ù❛ Fp ✈➔ {1, α} ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ Fp ✲ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✈➨❝ tì T. ❉♦ ✤â T ❝â p2 ♣❤➛♥ tû✳ ❱➻ α = 0 ♥➯♥ α ∈ T ∗ . ❚ø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤

❝õ❛ ♣❤➛♥ ✤➛✉ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❛ s✉② r❛ ❝➜♣ ❝õ❛ α tr♦♥❣ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ T ∗ ❧➔ ✼✳ ❚❤❡♦
✣à♥❤ ❧➼ ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ✼ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ ❝➜♣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ T ∗ , T ∗ ❝â ❝➜♣ p2 − 1. ❚✉②
♥❤✐➯♥ p2 − 1 ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼ ✈➻ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t p2 − 1 ✤ç♥❣ ❞÷ ✈î✐ ✶ ❤♦➦❝
✈î✐ ✸ t❤❡♦ ♠æ ✤✉♥ ✼✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✳ ❉♦ ✤â f (x) ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❦❤↔
q✉② ❜➟❝ ❤❛✐✳
❱➻ f (x) ❦❤↔ q✉② ♥➯♥ f (x) ❝â ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❦❤↔ q✉② q(x) ∈ Fp [x] ✈î✐
❞❡❣ q(x) = 3. ▲➜② α ∈ F ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ q(x). ✣➦t T = Fp [α] =

{g(α)|g(x) ∈ Fp [x]}. ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✱ T ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝❤ù❛ Fp ✈➔ {1, α, α2 }
❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ Fp ✲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì T. ❑❤✐ ✤â sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ T ❧➔ p3 . ❱➻

α = 0 ♥➯♥ α ∈ T ∗ . ❚ø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ✤➛✉ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❛ s✉② r❛ ❝➜♣ ❝õ❛
α tr♦♥❣ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ T ∗ ❧➔ ✼✳ ◆❤â♠ T ∗ ❝â ❝➜♣ p3 − 1. ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ▲❛❣r❛♥❣❡✱
✼ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ p3 − 1. ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼ ✈➻ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t p3 − 1 ✤ç♥❣ ❞÷ ✈î✐ ✺ t❤❡♦
♠æ ✤✉♥ ✼✳ ❱➟②✱ f (x) ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fp .
✶✻


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ✣❛ t❤ù❝
f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn ∈ F[x].
❚❛ ❣å✐ f (x) ❧➔

✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝ ✭♠♦♥✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✮ ♥➳✉ an = 1✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❳➨t ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣ E/F ✱ α ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ E ✱ ✈➔ F [x]
❧➔ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ x tr➯♥ F ✳ P❤➛♥ tû α ❝â ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❦❤✐ α ✤↕✐ sè tr➯♥

F ✱ tù❝ ❧➔ f (α) = 0 ✈î✐ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ f (x) ❦❤→❝ ✵ tr♦♥❣ F [x]✳ ❑❤✐ ➜② ✤❛ t❤ù❝
tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ α ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔

✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝ ❝â ❜➟❝ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❝→❝

✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ F [x] ♥❤➟♥ α ❧➔♠ ♥❣❤✐➺♠✳

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû
t❤✉ë❝ F8 ✳ ✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ♣❤➛♥ tû ✵ ❝â ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ x✳ P❤➛♥ tû ✶
❝â ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ x + 1✳ ●✐↔ sû λ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ x3 + x + 1✳ ❑❤✐
✤â✱ ❞➵ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû λ, λ2 ✈➔ λ4 ❝â ❝❤✉♥❣ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ x3 + x + 1✳
❈→❝ ♣❤➛♥ tû λ3 , λ6 ✈➔ λ5 ❝â ❝❤✉♥❣ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ x3 + x2 + 1✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ r❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✳ ✣❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣ E/F ♥❤÷ tr➯♥✱ α ∈ E ✈➔ f (x) ∈ F [x]
❧➔ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ α✳ ●✐↔ sû ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ f (x) = g(x)h(x)✱ tr♦♥❣ ✤â

g(x), h(x) ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤✉ë❝ F [x] ✈î✐ ❜➟❝ ♥❤ä ❤ì♥ f (x)✳ ❉♦ tr÷í♥❣ ❝ô♥❣ ❧➔
♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ f (α) = 0 ♥➯♥ t❛ ♣❤↔✐ ❝â g(α) = 0 ❤♦➦❝ h(α) = 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔②
♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t f (x) ❝â ❜➟❝ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❉♦ ✤â ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ❧➔ s❛✐✱ ✈➟②

f (x) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳ ◆➳✉ α ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ f (x) ∈ F[x], ❦❤✐ ✤â ✤❛ t❤ù❝
tè✐ t✐➸✉ m(x) ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ f (x).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû f (x) = a(x)m(x) + r(x), tr♦♥❣ ✤â ❜➟❝ ❝õ❛ r(x) ♥❤ä

❤ì♥ ❜➟❝ ❝õ❛ m(x). ❚ø f (α) = 0 ✈➔ m(α) = 0 ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ r(α) = 0.
❇➡♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ❜➟❝ ❝õ❛ r(x) ♥❤ä ❤ì♥ ❜➟❝ ❝õ❛ m(x), rã r➔♥❣ r(x) = 0.

√
◆➳✉ t❛ ❧➜② F = Q, E = R, α = 3, t❤➻ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ α ❧➔

❱➼ ❞ö ✶✳✾✳

p(x) = x2 − 3. ❚r÷í♥❣ F ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ✈➻ ♥â ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛
√
√
p(x)✳ ❱➼ ❞ö✱ ♥➳✉ t❛ ❧➜② F = R t❤➻ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝❤♦ α = 3 ❧➔ p(x) = x− 3.
✶✼


❈❤÷ì♥❣ ✷
P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛
t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝
♠➣ ❝②❝❧✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥
✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x − 1 t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔
q✉② tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥
n

✷✳✶✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 tr➯♥ Fq ❦❤✐ (n, q) = 1
✣➛✉ t✐➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✈✐➺❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 tr➯♥ Fq ❦❤✐

(n, q) = 1✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝✉è♥ s→❝❤ ❬✷❪✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❈❤♦ F ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ✈➔ n ∈ N∗ ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ✤➦❝ sè ❝õ❛
tr÷í♥❣ F. ❚r÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ En ❝õ❛ xn − 1 tr➯♥ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

trá♥ ❜➟❝ n ✭tr➯♥ F✮✳

tr÷í♥❣ ❝❤✐❛ ✤÷í♥❣

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ▼ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ xn − 1 ❣å✐ ❧➔ ❝➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❚➟♣ t➜t
❝↔ ❝→❝ ❝➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ♥❤â♠ ♥❤➙♥ Cn tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❝❤✐❛
✤÷í♥❣ trá♥ ❜➟❝ En . ◆❤â♠ Cn ❝â n ♣❤➛♥ tû ❞♦ xn − 1 t→❝❤ ✤÷ñ❝✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣
♥❤â♠ Cn ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ✈➻ ♥â ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ F ✳ ▼ët ♣❤➛♥ tû s✐♥❤
❝õ❛ Cn ❣å✐ ❧➔

❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❙è ❝→❝ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝

n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à ❜➡♥❣ ϕ(n) ✈î✐ ϕ ❧➔ ❤➔♠ ❊✉❧❡r✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳ ❚r÷í♥❣ ❝❤✐❛ ✤÷í♥❣ trá♥ En ❧➔ ♠ð rë♥❣ ✤ì♥ ●❛❧♦✐s tr➯♥ F.
✶✽


❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ ξn ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❑❤✐ ✤â
En = F(ξn ). ✣❛ t❤ù❝ xn − 1 t→❝❤ ✤÷ñ❝ tr➯♥ F ♥➯♥ En ●❛❧♦✐s tr➯♥ F.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❈❤♦ ξ1, . . . , ξϕ(n) ❧➔ ϕ(n) ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❝❤✐❛ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ❜➟❝ n tr➯♥ F.

✣❛ t❤ù❝ ❝❤✐❛ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù n ❧➔

✤❛ t❤ù❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ϕ(n)

(x − ξi ) .

Φn (x) =

i=1

❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳ ✭✐✮ xn − 1 =

d|n Φd (x).

✭✐✐✮ ◆➳✉ F ❝â ✤➦❝ sè ✵ ✈➔ ✤ç♥❣ ♥❤➜t Z ✈î✐ ↔♥❤ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ F q✉❛ ✤ì♥ ❝➜✉
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ n → n.1F✱ t❤➻ Φn(x) ∈ Z[x].
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ F ❝â ✤➦❝ sè p ✈➔ ✤ç♥❣ ♥❤➜t Fp ✈î✐ tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ F✱ t❤➻
Φn (x) ∈ Fp [x], ❜➡♥❣ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ð ✭✐✐✮ ♠♦❞✉❧♦ p.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝
xn − 1 ✈➔

d|n Φd (x)

✤➲✉ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝✱ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐✱ ✈➔ ❝â

❝ò♥❣ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♠é✐ Φd (x) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝✳ ❉♦ ✤â
❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ð ❤❛✐ ✈➳ ✤➲✉ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❝â ♥❣❤✐➺♠
❜ë✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✤❛ t❤ù❝ ✤â ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ♣❤↔✐ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣✳ ❱➻ t❤➳

xn − 1 ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐ ✭❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ xn − 1 ✤➲✉ ❦❤→❝ 0✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤↕♦
❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ❧➔ nxn−1 ❝❤➾ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❜➡♥❣ 0✮✳ ❱î✐ ♠é✐ ÷î❝ d ❝õ❛ n, ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ Φd (x) ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ xd − 1 ✈➔ ❞♦ ✤â ♥â ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐✳
●✐↔ sû d ✈➔ d ❧➔ ❤❛✐ ÷î❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ n. ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ Φd (x) ❝â
❝➜♣ ❧➔ d, tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â ♠é✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ Φd (x) ❝â ❝➜♣ ❧➔ d . ❱➻ t❤➳✱ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ Πd|n Φd (x) ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥✳ ●✐↔ sû

d ❧➔ ❝➜♣ ❝õ❛ . ❑❤✐ ✤â
♥➔②✳ ❱➻ t❤➳

d

= 1 ✈➔ d ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❜➨ ♥❤➜t ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t

❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ d ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❙✉② r❛

t❤ù❝ ❝õ❛ Φd (x). ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❝❤♦ d ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ n ✈➔
✤â

d

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ xn − 1. ●å✐

= 1. ❙✉② r❛

❧✉➟♥ r➡♥❣ xn − 1 =

n

= 1✱ tù❝ ❧➔

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ Φd (x). ❑❤✐

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1. ❱➟② t❛ ❦➳t

d|n Φd (x).

✶✾


✭✐✐✮ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ n. ◆➳✉ n = 1 ❦➳t q✉↔ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ ❚❛
❝â

xn − 1 =

Φd (x) = Φn (x)
d|n

Φd (x).
d||n

❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣ Φd (x) ∈ Z[x], ∀d||n ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ d|n ✈➔ d < n✮✳ ✣➦t

Φd (x) ∈ Z[x].

G=
d|n

❚❛ ❝â

xn − 1
Φn (x) =
G
❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝â ❤➺ sè t❤✉ë❝ Z ♥➯♥ Φn (x) ∈ Z[x]

✭✐✐✐✮ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tø ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✭✐✐✮✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳

✭✐✮ ❱î✐ ♠å✐ p ♥❣✉②➯♥ tè✱ t❛ ❝â

Φp (x) = xp−1 + · · · + x + 1.
✭✐✐✮ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ Φn (x), ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿

• Φ1 (x) = x − 1;
x2 − 1
= x + 1;
• Φ2 (x) =
x−1
x3 − 1
• Φ3 (x) =
= x2 + x + 1;
x−1
x4 − 1
• Φ4 (x) =
= x2 + 1;
(x − 1)(x + 1)
x6 − 1
• Φ6 (x) =
= x2 − x + 1;
(x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
x8 − 1
• Φ8 (x) =
= x4 + 1;
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

x9 − 1
• Φ9 (x) =
= x6 + x3 + 1;
(x − 1)(x2 + x + 1)
x10 − 1
• Φ10 (x) =
= x4 − x3 + x2 − x + 1;
(x − 1)(x + 1)Φ5 (n)
x12 − 1
• Φ12 (x) =
= x4 − x2 + 1;
Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ6

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ✭✐✮ ❈❤♦ s ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤ä❛ ♠➣♥ 0 ≤ s < n. ▲î♣ q✲

❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ❝õ❛ s ♠♦❞✉❧♦ n ❧➔ t➟♣

Cs = s, sq, . . . , sq r−1
✷✵

(mod n),


✈î✐ r ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ sq r−1 ≡ 1 (mod n).
✭✐✐✮ ❇➟❝ ♦r❞n (q) ❝õ❛ q ♠♦❞✉❧♦ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t a s❛♦ ❝❤♦ q a ≡ 1

(mod n).
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ t = ordn (q) t❤➻ Fqt ❝❤ù❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ xn − 1, Fqt ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ xn − 1✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❈→❝ ❧î♣ 2✲❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ♠♦❞✉❧♦ 9 ❧➔ C0 = {0}✱ C1 = {1, 2, 4, 8, 7, 5},
✈➔ C3 = {3, 6}✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✺✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✳✶❪✳

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ❬✺✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✳✶❪ ❈❤♦ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣

♥❤❛✉ ✈î✐ q. ❈❤♦ t = ordn(q) ✈➔ α ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣
Fq t .

✭✐✮ ❱î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ s t❤ä❛ ♠➣♥ 0 ≤ s < n ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ αs tr➯♥ Fq
❧➔ Mα (x) = i∈C x − αi , ✈î✐ Cs ❧➔ ❧î♣ q✲ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ❝õ❛ s ♠♦❞✉❧♦ n.
s

✭✐✐✮

s

❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝õ❛ xn − 1 t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔
q✉② tr➯♥ Fq ✱ tr♦♥❣ ✤â s ❝❤↕② q✉❛ ♠ët t➟♣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ ❧î♣ q✲❝②❝❧♦t♦♠✐❝
♠♦❞✉❧♦ n.
xn − 1 =

s Mα s

(x)

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ ❈→❝ ❧î♣ 2✲❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ♠♦❞✉❧♦ 9 ❧➔ C0 = {0}, C1 = {1, 2, 4, 8, 7, 5},
✈➔ C3 = {3, 6}. ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ord9 (2) = 6✳ ●✐↔ sû α ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ②
❜➟❝ 9 ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ F64 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ x9 − 1 tr➯♥ F2
❝â ❜➟❝ ❧➔ ✶✱ ✻ ✈➔ ✷✳ ❈❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝ M1 (x) = x+1, Mα (x) = x6 +x3 +1

✈➔ Mα3 (x) = x2 + x + 1✳

❱➼ ❞ö ✷✳✹✳ ❈→❝ ❧î♣ 3✲❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ♠♦❞✉❧♦ 13 ❧➔ C0 = {0}, C1 = {1, 3, 9}, C2 =
{2, 6, 5}, C4 = {4, 12, 10} ✈➔ C7 = {7, 8, 11}. ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ord13 (3) = 3✳
●✐↔ sû α ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ 13 ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ F27 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ♥❤➙♥
tû ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ x13 − 1 tr➯♥ F3 ❝â ❜➟❝ ❧➔ ✶✱ ✸✱ ✸✱ ✈➔ ✸✳ ❈❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤❛
t❤ù❝ M1 (x), Mα (x), Mα2 (x), Mα4 (x) ✈➔ Mα7 (x)✳ ❈→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛

x13 − 1 tr➯♥ F3 ❧➔ x − 1; x3 + 2x + 2; x3 + x2 + 2; x3 + x2 + x + 2; x3 + 2x2 + 2x + 2✳
✷✶


⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✶✱ t❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
❜➜t ❦❤↔ q✉②✳

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F2
❛✮ x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = (1 + x)(1 + x + x2 ).
❜✮ x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (1 + x)(1 + x + x2 + x3 + x4 ).
❝✮ x7 − 1 = (1 + x)(1 + x + x3 )(1 + x2 + x3 ).
❞✮ x9 − 1 = (1 + x)(1 + x + x2 )(1 + x3 + x6 ).

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F7
❛✮ x3 − 1 = (x − 1)(1 + x + x2 ).
❜✮ x5 − 1 = (x − 1)(1 + x + x2 + x3 + x4 ).
❝✮ x9 − 1 = (x − 1)(1 + x + x2 )(1 + x3 + x6 ).
❚✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ❝→❝
✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ♣❤➛♥ tû✿

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3
❛✮ x11 − 1 = (x − 1)(x5 + 2x3 + x2 + 2x + 2)(x5 + x4 + 2x3 + x2 + 2).

❜✮ x12 − 1 = (x − 1)3 (x + 2)3 (x2 + 1)3 .

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F5
❛✮ x11 − 1 = (x − 1)(x5 + 2x4 + 4x3 + x2 + x + 4)(x5 + 4x4 + 4x3 + x2 + 3x + 4).
❜✮ x12 − 1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x2 + x + 1)(x2 + 2x + 4)(x2 + 3x +

4)(x2 + 4x + 1).
• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F7
❛✮ x11 − 1 = (x − 1)(x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).
❜✮ x12 − 1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6)(x2 + 1)(x2 + 2)(x2 + 4).

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F19
❛✮ x25 − 1 = (x − 1)(x2 + 5x + 1)(x2 + 15x + 1)(x10 + 5x5 + 1)(x10 + 15x5 + 1).
❜✮ x32 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + 6x + 18)(x2 + 13x + 18)(x4 + 6x2 +

18)(x4 + 13x2 + 18)(x8 + 6x4 + 18)(x8 + 13x4 + 18).
• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F23
❛✮ x32 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + 4x + 22)(x2 + 5x + 1)(x2 + 7x +

22)(x2 + 16x + 22)(x2 + 18x + 1)(x2 + 19x + 22)(x4 + 4x2 + 22)(x4 + 7x2 +
✷✷


22)(x4 + 16x2 + 22)(x4 + 19x2 + 22).
❜✮ x35 − 1 = (x − 1)(x3 + 10x2 + 9x + 22)(x3 + 14x2 + 13x + 22)(x4 + x3 + x2 +

x+1)(x12 +9x11 +22x10 +13x9 +x8 +10x7 +21x6 +14x5 +x4 +9x3 +22x2 +13x+
1)(x12 +13x11 +22x10 +9x9 +x8 +14x7 +21x6 +10x5 +x4 +13x3 +22x2 +9x+1).

✷✳✶✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ xn − 1 tr➯♥ Fq ❦❤✐ (n, q) = 1

t

t

p
❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ xp − 1 =(x −
 ✤➛✉ t✐➯♥ t❛ t❤➜②
 1) ✳ ❚❤➟t
 ✈➟②✱
pt
pt
r➡♥❣ ✈î✐ 1 ≤ i ≤ pt − 1 t❤➻ p ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛   , ❞♦ ✤â   = 0✳ ❙✉② r❛
i
i
pt −1
pt

t

t

(x − 1) = xp − 1p +
i=1

 
t
pt
t
  (−1)p −i xi = xp − 1.
i

❱➔ ❞♦ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ s❛✉✿

+) x3 − 1 = (x − 1)3 , x9 − 1 = (x − 1)9 tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3 .
+) x5 − 1 = (x − 1)5 tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F5 .
+) x7 − 1 = (x − 1)7 tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F7 .
+) x6 − 1 = (x − 1)3 (x − 2)3 tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3 ✳
+) x15 − 1 = (x − 1)3 (x4 + x3 + x2 + x + 1)3 tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3 ✳
◆❣♦➔✐ r❛✱ t❛ ❝â t❤➸ ❦✐➸♠ tr❛ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✿

• ❚r➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ F3
❚❛ ❝â x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1). ✣➦t f1 (x) = x2 + x + 1, ❞❡❣ f1 (x) = 2.
❉➵ t❤➜② f1 (1) = 12 + 1 + 1 = 0. ❙✉② r❛ x = 1 ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f1 (x). ❉♦ ✤â

f1 (x) = (x − 1)f2 (x), ✈î✐ ❞❡❣ f2 (x) = 1.
✣➸ t➻♠ f2 (x) t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ f1 (x) ❝❤♦ x − 1, t❛ ❧➟♣ ❧÷ñ❝ ✤ç ❍♦r♥❡r
✶ ✶ ✶
✶ ✶ ✷ ✵
❱➟② f2 (x) = x + 2 = x − 1.
❉♦ ✤â x3 − 1 = (x − 1)3 .
❚❛ ❝â x9 − 1 = (x3 )3 − 1 = (x3 − 1)(x6 + x3 + 1) = (x − 1)3 (x6 + x3 + 1).
✣➦t f1 (x) = x6 + x3 + 1, ❞❡❣ f1 (x) = 6. ❉➵ t❤➜② f1 (1) = 16 + 13 + 1 = 0. ❙✉② r❛
✷✸