Chương 1: Động lực học chất điểm

Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Các khái niệm cơ bản
-

-

Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích
thước của vật khác.
Hệ chất điểm: là tập hợp nhiều chất điểm rời rạc.
Vật rắn: là tập hợp nhiều chất điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn (khoảng
cách giữa các chất điểm là không thay đổi).
Vd: Đống cát không phải là vật rắn do khoảng cách thay đổi.
Cục gạch: vật rắn.
Chuyển động: là sự thay đổi vò trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động.
Hệ quy chiếu: là hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát các vật khác chuyển động
đối với nó. Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu.

1.2 Phương trình chuyển động của chất điểm
-

Vectơ vò trí của chất điểm:

r r
r
r r
OM = xi + yj + zk = r

x, y, z là hàm theo thời gian
⎧x

⎪
Tọa độ điểm M: ⎨ y
⎪z
⎩

-

-

Phương trình chuyển động của chất điểm M:
o Vectơ vò trí
o Tọa độ điểm M
Quỹ đạo của chất điểm M: f (x,y,z) = 0: là tập hợp các vò trí của chất điểm trong
suốt quá trình chuyển động.
Muốn tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm, ta khử tham số t ở phương trình
chuyển động chất điểm. Có 2 dạng:
o Dạng 1: phương trình có chứa tham số t, dùng phương pháp thế để khử t
o Dạng 2: phương trình có chứa sin & cos theo t: áp dụng sin2t + cos2t = 1

(

)

r
r tr
VD1 : r = i + t 2 + 2 j
2
t
⎧
⎧t = 2 x ≥ 0

⎪x =
M⎨
⇒⎨
2
2
⎪ y = t 2 + 2 ⎩ y = (2 x ) + 2
⎩

y

y = 4x2 + 2

⇒ y = 4x 2 + 2
Giới hạn quỹ đạo: t ≥ 0 → 2x ≥ 0 → x ≥ 0
O

Th.S TRẦN ANH TÚ

x

1


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
VD2:
r
r
r
r = ( A cos ω t )i + ( A sin ω t ) j

y

x
⎧
⎪⎪ cos ω t = A
⎧ x = A cos ω t
⇒ M ⎨
⇔ ⎨
⎩ y = A sin ω t
⎪ sin ω t = y
⎪⎩
A
2
2
y
x
sin 2 ω t + cos 2 ω t = 1 ⇔
+ 2 =1
2
A
A
Quỹ đạo là đường tròn tâm O, bán kính A
Trường hợp này không còn giới hạn quỹ đạo

y2 x2
+
=1
A2 A2
O

x

1.3 Vectơ vận tốc

r
ϑ
1.3.1 Vectơ vận tốc trung bình:
r
t1 → M 1 → r1
r
t 2 → M 2 → r2
r
r rr − rr Δ
r
2
1
=
ϑ =
t 2 − t1 Δt
r
1.3.2 Vectơ vận tốc tức thời: ϑ

r
Δr
ϑ = lim
Δt → 0 Δ t
r drr
ϑ =
dt
r

r
r
r
r = x i + yj + z k
r drr dx r dy r dz r
i +
j+
k
ϑ =
=
dt
dt
dt
dt
r

r

ϑ =
Vd:

2

2

⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dz ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠

⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

Điểm đặt: điểm đang xét
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M
Chiều: cùng chiều chuyển động
r
Độ lớn: ϑ = ϑ = ϑ 2x + ϑ 2y + ϑ 2z

2

r
r
r
r = (t + 1 )i + t 2 j
r
r
r
ϑ = i + 2 tj
r
⇒ ϑ = 1 + 4t 2

1.4 Vectơ gia tốc:

r
1.4.1 Vectơ gia tốc trung bình: a
r
r
r
r ϑ2 − ϑ1 Δϑ
a=
=
t 2 − t1
Δt
r
t1 → M 1 → v1
r
t 2 → M 2 → v2
r vr2 − vr1 Δvr
a=
=
t 2 − t1
Δt
r
r
r
r
Tònh tiến ϑ2 về ϑ1 => Δa → Δa

Th.S TRẦN ANH TÚ

2

Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
r
1.4.2 Vectơ gia tốc tức thời: a

r
r
Δv
a = lim
Δt →0 Δt
r drr
ϑ=
dt
r
r
r
r
v = vx i + v y j + vz k
r
r dv dv x r dv y r dv z r
a=
i+
j+
k
=
dt
dt
dt
dt
2

2

r
⎛ dv ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dv z ⎞
⎟⎟ + ⎜
a = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜
⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
Vd:

r

r

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

Điểm điểm: điểm đang xét
Phương: đường thẳng đi qua M
Chiều: hướng về bề lõm của quỹ đạo

Độ lớn:
r
a = a = a x2 + a y2 + a z2
2

⎛ dϑ ⎞ ⎛ dϑ y ⎞ ⎛ dϑ z ⎞
⎟⎟ + ⎜
= ⎜ x ⎟ + ⎜⎜
⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2

2

r

ϑ = i + 2tj

r
r
r
r dϑ
a=
= 0i + 2 j
dt
r
a = 02 + 22 = 2

¾ Vectơ gia tốc tức thời được chiếu lên phương tiếp tuyến và pháp tuyến, ta có vectơ
r

r
gia tốc tiếp tuyến at và vectơ gia tốc pháp tuyến a n .

⎧
⎪
r ⎪
r
dϑ ⎪⎪
at =
dt ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩⎪

Điểm đặt: điểm đang xét
r
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑ )
r
r
Chiều: dv > 0 , ϑ 2 > ϑ1 : chuyển động nhanh dần => at ↑↑ ϑ
r
r
dv < 0 , ϑ 2 < ϑ1 : chuyển động chậm dần => at ↑↓ ϑ

r
dϑ
Độ lớn: at = at =
dt

Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vectơ vận tốc. Đặc
trưng cho sự chuyểm động chậm dần, nhanh dần.
r
an

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

Điểm đặt: điểm đang xét
Phương: vuông góc với tiếp tuyến với quỹ đạo tại M
Chiều: hướng vào tâm của vòng tròn quỹ đạo tại M
Độ lớn: a n =

ϑ2
R

(R: bán kính quỹ đạo tại M)

Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận tốc.
r
r
Do đó để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑ và a n .
r
a n nhỏ => R lớn
r
a n lớn => R nhỏ

Th.S TRẦN ANH TÚ

3

2


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

r r r
⎧ a = at + a n
Vectơ gia tốc tức thời:
⎨ r
2
2
⎩ a = at + a n
r
a đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn và phương của vectơ vận tốc.

1.5 Chuyển động thẳng
Quỹ đạo là đường thẳng: ⇒ R = ∞ ⇒ a n = 0 (vì a n =

ϑ2

; R = ∞ → an = 0 )
R
Nên đưa chuyển động thẳng về 1 trục -> chỉ cần 1 thành phần để biểu diễn.
r r
r = xi → x

r
r
dx
ϑ = ϑx i → ϑ ~ ϑx =
dt
r
dϑ x d 2 x
r
= 2
a = axi → a ~ ax =
dt
dt r
1.5.1 Chuyển động thẳng đều: ϑ = const

(

)

x

t

dx
= const ⇒ dx = ϑdt ⇔ ∫ dx = ϑ ∫ dt ⇔ x = ϑt + x0
dt
x0
0

ϑ=

r
1.5.2 Chuyển động thẳng thay đổi đều: (a = const )
r
r
r
a = 0 ⇒ a là at
ϑ

dϑ
dx
→ ∫ dϑ = a ∫ dt ⇒ ϑ = at + ϑ0 =
dt
dt
ϑ0
0

a=
x

t

x0

0

t

⇒ ∫ dx = ∫ (at + ϑ0 )dt ⇔ x − x 0 =

1 2

at + ϑ0 t
2

ϑ = at + ϑ0
1 2
at + ϑ0 t
2
ϑ 2 − ϑ02 = 2a(x − x0 )
r
r
a cùng chiều ϑ → chuyển động nhanh dần đều
r
r
a ngược chiều ϑ → chuyển động chậm dần đều
Hay:

x − x0 =

1.6 Chuyển động tròn: quỹ
đạo là đường tròn -> R = const
r
1.6.1

r

ω

⎧
⎪
⎪⎪

⎨
⎪
⎪
⎪⎩

Vectơ vận tốc góc ω :

Điểm đặt: ∀ điểm ∈ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục)
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo
Chiều: theo quy tắc vặn nút chai

⎛S⎞
d⎜ ⎟
r
d
1 dS ϑ
R
=
= ⎝ ⎠= .
Độ lớn: ω = ω =
dt
R dt R
dt

r r r
Liên hệ giữa ϑ , ω , R :

Th.S TRẦN ANH TÚ

r

r r

ϑ = ω xR

4


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
r
1.6.2 Vectơ gia tốc góc: β
Điểm đặt: điểm đang xét
r
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑ )
r
r
Chiều: d ω > 0 → β cùng chiều ω (chuyển động nhanh dần)
r
r
d ω < 0 → β ngược chiều ω (chuyển động chậm dần)

⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩

r

β

⎛ϑ ⎞
d⎜ ⎟
dω
1 dϑ at
R
Độ lớn: β = β =
=
= ⎝ ⎠= .
dt
dt
R dt
R
r

r r r
r
r
a t = β x R ( at cùng chiều ϑ : nhanh dần)

r r r
Liên hệ giữa at , β , R :
a t = β .R
an =

ϑ2

R

=

ω 2 .R 2
R

= ω 2 .R 2

a = at2 + a n2 = R ω 4 + β 2

1.6.3 Chuyển động tròn đều:
r
ϑ = const ⎫⎪
⎬ ⇒ a n = const
R = const ⎪⎭
r
r r
at = 0 → a = a n
r
ω = const
θ
t
dθ
ω=
⇒ ∫ dθ = ω ∫ dt ⇒ θ = ω t + θ 0
dt
0
θ0
1.6.4 Chuyển động tròn thay đổi đều:

r
β = const ⎫
⎬, at = β .R ⇒ at = const
R = const ⎭

β=

ω

dω
⇒ ∫ dω = β ∫ dt ⇒ ω = βt + ω0
dt
0
ω0
t

Mà:
θ

dθ
1
ω=
⇒ ∫ dθ = ∫ (β t + ω 0 )dt ⇒ θ = β t 2 + ω 0 t + θ 0
dt
2
0
θ0
t

ω 2 − ω 02 = 2 β (θ − θ 0 )

Th.S TRẦN ANH TÚ

5


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
r
g
1.7 Chuyển động trong gia tốc :(chuyển động parabol)

r
r
r
a = g = − gj
r
r
r
dϑ
a =
⇒ d ϑ = − g j .dt
dt
r
ϑ
t
r
⇔ ∫ d ϑ = ∫ − g j .dt
r

ϑ0

r

⇔ ϑ
Mà:

0

r
= − gj

r
ϑr

ϑ0

r

t
0

r
r
r
⇒ ϑ − ϑ 0 = − g j .dt

r

r

ϑ0 = (ϑ0 cos α )i + (ϑ0 sin α ) j

r
r
r drr
⇒ ϑ = (ϑ0 cos α )i + [(− gt ) + ϑ0 sin α ] j =
1424
3
1442443
dt
ϑ

r
r

ϑy

[

]

t
r
r
r
⇒ ∫ dr = ∫ (ϑ0 cos α )i + (− gt + ϑ0 sin α ) j dt
r
r0

r

mà: ϑ = ϑ x2 + ϑ y2

0

r 1
r
r
r r
r − r0 = (ϑ0 cos αt )i − gt 2 j + (ϑ0 sin αt ) j
2
r
r r
⎡ 1
⎤r
⇔ r − r0 = ϑ0 (cos α )ti + ⎢− gt 2 + ϑ0 (sin α )t ⎥ j
⎣ 2
⎦
Mà:

r
r
r0 = hj
r ⎡ 1
r
⎤r
⇒ r = ϑ0 (cos α )ti + ⎢− gt 2 + ϑ0 (sin α )t + h⎥ j
⎣ 2
⎦
=> phương trình quỹ đạo:
⎧ x = ϑ0 cos αt

x
⎪
→t =
M ⎨
1 2
ϑ0 cos α
⎪⎩ y = − 2 gt + ϑ0 sin αt + h
=>

y=−

(1)

g
x 2 + tgα .x + h
2ϑ . cos α

(2)

2
0

Các vấn đề thường gặp:
•

Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang → ϑ y = 0

ϑ By = 0 ⇒ ϑ Bx = ϑ0 cos α = ϑ B =>

Ta có: a n =

ϑ2
R

=>

Th.S TRẦN ANH TÚ

RB =

ϑ B2
an

=

ϑ02 cos 2 α
g

tB =

ϑ0 sin α
g
r
r
(Vì a ↓↓ g ⇒a t B = 0, a n = g )

6


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

•

Độ cao max: thế tB vào (1)
1
⇒ y = − gt 2 + ϑ0 sin αt + h
2
ϑ sin α
1 ϑ 2 sin 2 α
⇒ y B = − g. 0
+ ϑ0 sin αt 0
+h
2
g
g
1 ϑ02 sin 2 α
g.
+h
2
g

⇒ yB =

•

Tầm xa (C):

•

Hỏi góc α ?

2ϑ0 sin α
g
2ϑ sin α ϑ02 sin 2α
⇒ xC = ϑ0 cos α . 0
=
g
g
tC =

⎧ Để xC max α = 45o
⎨
⎩ ϑ0 , xC cho trước

Vd: xC = 3hB

sin β =

x C .g

ϑo2

= sin 2α

⎧α = β
⎧2α = β
⎪ 1
2
⇒⎨
⇒⎨

⎩2α = π − β
⎪β 2 = π − β
2
2
⎩
•

Bán kính cong của quỹ đạo tại C:

RC =

ϑC2
an

=

ϑo2
g. cos α

1.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc:
Xét 2 hệ O, O’ và O’ chuyển động tònh tiến so với O. Khi đó điểm M:

Th.S TRẦN ANH TÚ

7


Tóm tắt bài giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
r r r
⎧r = r '+ ro

r
r
r
⎪r r r
ϑ t = ϑ ' t +ϑ n
⎨ϑ = ϑ '+ϑo
b
n
b
⎪ar = ar '+ ar
o
⎩
• Quan niệm cơ học cổ điển:
Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Trong khi vò trí không
gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu.

r
r r
r
O : r = xi + yj + zk
r
r
r
r
O': r ' = x' i + y ' j + z ' k
r
r
r
⇒ OM = OO'+O' M
hay:

⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

r r r
r = r '+ ro
r r r
ϑ = ϑ '+ϑo
r r r
a = a '+ a o

r
⎧ϑ :
⎪⎪ r
⎨ϑ ':
⎪r
⎪⎩ϑo :
r
⎧a :
⎪r
⎨a ' :
⎪ar :
⎩ o

Vận tốc điểm M so với O
Vận tốc điểm M so với O’
Vận tốc của O’ so với O
Gia tốc điểm M so với O

Gia tốc điểm M so với O’
Gia tốc của O’ so với O

Th.S TRẦN ANH TÚ

8