Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 68-74
This paper is available online at

DẠY HỌC HÌNH HỌC SƠ CẤP GẮN VỚI HÌNH HỌC CAO CẤP
CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN
Trần Việt Cường
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên
Tóm tắt. Bài viết này trình bày việc nghiên cứu việc dạy học hình học sơ cấp (HHSC) ở
các trường sư phạm gắn với nội dung hình học cao cấp (HHCC) cho sinh viên sư phạm,
để sinh viên thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức
HHSC ở trường phổ thông. Từ đó giúp sinh viên bước đầu biết vận dụng các kiến thức của
toán học cao cấp vào việc soi sáng các kiến thức của HHSC ở trường phổ thông và biết vận
dụng vào dạy học HHSC ở trường phổ thông.
Từ khóa: Mối liên hệ Toán học, Hình học sơ cấp, Hình học cao cấp.

1.

Mở đầu

Nội dung hình học được xây dựng theo theo hai hướng sau:
- Hướng thứ nhất, là dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ một số khái niệm cơ bản (là
các khái niệm không định nghĩa) và một số tiên đề (là các mệnh đề thừa nhận không chứng minh),
người ta định nghĩa các khái niệm khác và suy diễn ra các tính chất khác liên quan đến các khái
niệm đã có. Các tính chất và các khẳng định được chứng minh dựa vào các khái niệm cơ bản và
các tiên đề được gọi là định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ quả tuỳ thuộc vào nội dung và vị trí của nó. Các
khẳng định này được suy diễn nhờ các quy tắc suy luận lôgíc.
- Hướng thứ hai, là theo quan điểm hình học của nhóm biến đổi. Một phép biến đổi trên
không gian V là một song ánh đi từ không gian V vào chính nó. Tâp hợp các phép biến đổi trên
V lập thành một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ. Mỗi nhóm con gọi là một nhóm biến đổi trên
không gian V . Trong không gian Euclid, có một số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin,

nhóm xạ ảnh. . . Hình học của nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh lần lượt được gọi là Hình học Euclid,
Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [9].
Nội dung chương trình môn học HHSC của các trường sư phạm tập trung vào các nội dung
cơ bản như: Cơ sở hình học và Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học và
quan hệ hình học, Quỹ tích và Dựng hình [2,4,6]. Dạy học toán sơ cấp nói chung và HHSC nói
riêng cho sinh viên sư phạm là việc làm cần thiết, không chỉ giúp sinh viên hiểu một cách sâu sắc
các kiến thức toán trong chương trình phổ thông mà còn giúp sinh viên ôn tập và thông hiểu một
cách có phê phán những tài liệu toán học ở trường phổ thông; bổ sung những kiến thức cần thiết
Liên hệ: Trần Việt Cường, e-mail:

68


Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán

của toán sơ cấp mà chưa được trình bày trong sách giáo khoa; phát triển thói quen giải các bài tập
toán sơ cấp mà sinh viên đã có được từ nhà trường phổ thông; phát triển tư duy, khả năng suy luôn
lôgíc, năng lực tự học và có thái độ phê phán đối với những điều học được từ tài liệu hoặc nghe
được từ bài dạy của giáo viên; giúp sinh viên khai thác mối liên hệ giữa toán cao cấp và toán sơ
cấp,...
Thực tế hiện nay, có nhiều học sinh phổ thông ngại học hình học nên chưa dành thời gian
thích hợp cho việc học nội dung hình học. Do đó, học sinh không nắm vững được các kiến thức
cần thiết, dẫn đến kết quả học tập hình học không được cao. Với tâm lí như vậy, nên khi bước vào
các trường sư phạm, nhiều sinh viên gặp khó khăn khi học tập các môn học về HHCC. Dẫn đến,
kết quả học tập các môn học về HHCC của nhiều sinh viên chỉ ở mức trung bình.
Mặt khác, nhiều sinh viên khi học tập các môn HHCC chưa thấy được mối liên hệ giữa nội
dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức HHSC ở trường phổ thông nên chưa biết vận
dụng các kiến thức của HHCC vào việc soi sáng các kiến thức của HHSC và chưa biết vận dụng
vào dạy học HHSC ở trường phổ thông.
Bài viết này, chúng tôi đề cập tới khía cạnh dạy học HHSC gắn với HHCC cho sinh viên sư

phạm toán.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Dạy học hình học sơ cấp ở các trường sư phạm

Trong chương trình đào tạo giáo viên sư phạm toán, ngoài các khối kiến thức về Tâm lí học,
Giáo dục học, các kiến thức về lí luận chính trị Mác Lênin, sinh viên được trang bị các khối kiến
thức chuyên ngành như: Giải tích, Đại số, Hình học, Toán ứng dụng và Nghiệp vụ sư phạm.
Qua tìm hiểu một số trường sư phạm trên toàn quốc chúng tôi nhận thấy, việc dạy học môn
toán sơ cấp nói chung và HHSC nói riêng ở các trường thường theo một trong hai hình thức sau:
- Thứ nhất, các môn Đại số sơ cấp và HHSC do Bộ môn Phương pháp dạy học đảm nhiệm
(Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Trường
Đại học Vinh). Hướng này có ưu điểm là thống nhất được việc dạy học nội dung toán sơ cấp thành
một khối thống nhất cả về nội dung lẫn phương pháp dạy học các nội dung đó ở trường phổ thông.
Hình thức này đòi hỏi các giảng viên ngoài việc nắm vững lí luận và phương pháp dạy học còn
phải vận dụng các kiến thức toán sơ cấp vào giảng dạy toán ở trường phổ thông.
- Thứ hai, Bộ môn Hình học đảm nhiệm việc dạy học HHSC, Bộ môn Đại số đảm nhiệm
việc dạy học môn Đại số sơ cấp và Bộ môn Lí luận và Phương pháp dạy học đảm nhiệm việc dạy
học các học phần về phương pháp dạy học (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh). Hướng này có ưu điểm là giảng viên có điều kiện nắm vững được
mối liên hệ giữa nội dung toán sơ cấp ở trường phổ thông với nội dung toán cao cấp ở trường sư
phạm. Tứ đó, giảng viên có thể phân tích cho học sinh thấy được ý nghĩa của các nội dung toán
cao cấp đối với nội dung toán sơ cấp tương ứng ở trường phổ thông. Hình thức này đồi hỏi giảng
viên ở các bộ môn toán cơ bản còn phải nắm vững các vấn đề về lí luận và phương pháp dạy học.
Nội dung chương trình môn học HHSC của các trường sư phạm tập trung vào các nội dung
cơ bản như: Cơ sở hình học và Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học và
69

Trần Việt Cường

quan hệ hình học, Quỹ tích và Dựng hình [2,4,6].
Dạy học toán sơ cấp nói chung và HHSC nói riêng cho sinh viên sư phạm là việc làm cần
thiết, không chỉ giúp sinh viên hiểu một cách sâu sắc các kiến thức toán trong chương trình phổ
thông mà còn giúp sinh viên ôn tập và thông hiểu một cách có phê phán những tài liệu toán học ở
trường phổ thông; bổ sung những kiến thức cần thiết của toán sơ cấp mà chưa được trình bày trong
sách giáo khoa; phát triển thói quen giải các bài tập toán sơ cấp mà sinh viên đã có được từ nhà
trường phổ thông; phát triển tư duy, khả năng suy luôn lôgíc, năng lực tự học và có thái độ phê
phán đối với những điều học được từ tài liệu hoặc nghe được từ bài dạy của giáo viên; giúp sinh
viên khai thác mối liên hệ giữa toán cao cấp và toán sơ cấp. . .

2.2.

Khai thác mối quan hệ giữa hình học sơ cấp và hình học cao cấp trong
dạy học

Nội dung hình học được xây dựng theo theo hai hướng sau:
- Hướng thứ nhất, là dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ một số khái niệm cơ bản (là
các khái niệm không định nghĩa) và một số tiên đề (là các mệnh đề thừa nhận không chứng minh),
người ta định nghĩa các khái niệm khác và suy diễn ra các tính chất khác liên quan đến các khái
niệm đã có. Các tính chất và các khẳng định được chứng minh dựa vào các khái niệm cơ bản và
các tiên đề được gọi là định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ quả tuỳ thuộc vào nội dung và vị trí của nó. Các
khẳng định này được suy diễn nhờ các quy tắc suy luận lôgíc.
- Hướng thứ hai, là theo quan điểm hình học của nhóm biến đổi. Một phép biến đổi trên
không gian V là một song ánh đi từ không gian V vào chính nó. Tâp hợp các phép biến đổi trên
V lập thành một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ. Mỗi nhóm con gọi là một nhóm biến đổi trên
không gian V . Trong không gian Euclid, có một số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin,

nhóm xạ ảnh. . . Hình học của nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh lần lượt được gọi là Hình học Euclid,
Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [8].
Việc khai thác mối liên hệ giữa nội dung kiến thức toán sơ cấp ở trường phổ thông với nội
dung kiến thức toán cao cấp nhằm giúp cho sinh viên biết phê phán khi nghiên cứu nội dung,
chương trình sách giáo khoa toán phổ thông hiện hành. Chúng ta có thể rèn luyện cho sinh viên
thiết lập mối quan hệ này theo các hướng sau đây:
- Các khái niệm của toán cao cấp là công cụ để nhìn nhận toán học phổ thông theo quan
niệm thống nhất, đầy đủ hơn và sâu sắc hơn: Các kiến thức HHSC là những trường hợp riêng của
kiến thức tương ứng trong HHCC, do đó nếu sử dụng kiến thức của HHCC thì người giáo viên có
thể nhìn nhận các mạch kiến thức của HHSC một cách thống nhất, đầy đủ và sâu sắc.
Ví dụ 1. Trong Đại số tuyến tính [7], chúng ta có định lí.
Định lí 2.1. Tập S = xi là một cơ sở của không gian vectơ E khi và chỉ khi mọi vectơ x của E đều
có thể viết dưới dạng:
x=
ai xi
i

với các hệ số ai được xác định một cách duy nhất theo x.
Đặc biệt hoá định lí này trong mặt phẳng, chúng ta thấy: Trong mặt phẳng cho hai vectơ a
và bkhác 0 và không cùng phương, khi đó {a, b} là một cơ sở của mặt phẳng. Do đó, với mọi véc
70


Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán

tơ x trong mặt phẳng đều có thể viết dưới dạng x = ma + nb với các hệ số là m và n được xác
định một cách duy nhất theo x. Đó chính là định lí chúng ta đã biết trong chương trình sách giáo
khoa [3].
Định lí 2.2. Cho hai véc tơ không không cùng phương a và b. Khi đó, mọi vectơ x đều có thể biểu
thị được một cách duy nhất qua hai véctơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho

x = ma + nb.
Ví dụ 2. Trong Hình học Afin [1], chúng ta có định lí.
Định lí 2.3. Cho k điểm P1 , P2 , . . . , Pk của không gian Afin A và k số thuộc trường K :
λ1 , λ2 . . . , λk sao cho

k

λi = 0. Khi đó có duy nhất điểm G sao cho:

i=1
k

−−→
λi GPi = 0

i=1

Lúc này điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi .
Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi . Đặc biệt hoá
định lí trên trong mặt phẳng, ta có:
−−→ −−→
- Với k = 2 và λ1 = λ2 = 1 thì ta có: GP1 + GP2 = 0 hay G chính là trung điểm của đoạn
thẳng P1 P2 mà ta đã biết trong hình học phẳng;
−−→ −−→ −−→
- Với k = 3 và λ1 = λ2 = λ3 = 1 thì ta có: GP1 + GP2 + GP3 = 0 hay G chính là trọng
tâm của tam giác P1 P2 P3 mà chúng ta đã biết trong hình học phẳng.
- Sử dụng các kiến thức của HHCC để giải thích một số kiến thức khó trong chương trình
toán học phổ thông, đồng thời chính xác hoá một số kiến thức của toán học phổ thông (vì nhiều
lí do sư phạm nên các kiến thức này không được trình bày một cách chặt chẽ và lô gíc trong sách
giáo khoa hiện hành).

Ví dụ 3. Hai tam giác bằng nhau thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến tam giác này
thành tam giác kia.
Theo HHCC, trong không gian E 2 , hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ sẽ tạo ra hai hệ điểm độc
lập tuyến tính {A, B, C} và {A′ , B ′ , C ′ }. Do đó, tồn tại duy nhất một phép Afin:
f : E2 → E2
sao cho f (A) = A′ , f (B) = B ′ và f (C) = C ′ .

−−→ −−→
−−
→ −→
Xét phép biến đổi tuyến tính liên kết f của f với hai cơ sở {AB, AC} và {A′ B ′ , A′ C ′ } của
E 2 . Ta có:
−−→ −→
−−→
−−
→
f (AB) = A′ B ′ , f (AC) = A′ C ′
Do ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ nên ta có:
−−
→ −→ −−→ −−→
AB.AC. cos A = A′ B ′ .A′ C ′ . cos A′ ⇔ AB.AC = A′ B ′ .A′ C ′
71


Trần Việt Cường

−
→
nghĩa là f bảo tồn tích vô hướng trong E 2 . Suy ra, f là phép biến đổi trực giao nên f là phép đẳng
cự trong E 2 , tức f là phép dời hình trong mặt phẳng.

Vậy nếu hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ bằng nhau thì tồn tại duy nhất một phép dời hình
biến tam giác này thành tam giác kia.
- Vận dụng các kiến thức toán cao cấp định hướng tìm tòi lời giải cho một số dạng toán
trong chương trình toán học phổ thông.
+) Sử dụng hệ toạ độ Afin: Các bất biến Afin nếu thể hiện được qua biểu thức toạ độ của
hệ toạ độ Afin. Do đó, nếu bài toán chứa hoàn toàn các bất biến Afin thì có thể sử dụng hệ toạ độ
Afin để giải. Các bài toán về quan hệ song song đều giải được nhờ kiến thức này của HHCC.
Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCDA1 B1 C1 D1 . Gọi M là ảnh đối xứng của D1 qua A; N là
ảnh đối xứng của D qua C1 ; I là trung điểm của cạnh BB1 . Chứng minh rằng ba điểm M, I, và
N thẳng hàng.
Ta có hình hộp là 3 - hộp trong không gian Afin 3 chiều và hộp là khái niệm Afin. Đối
xứng, trung điểm quy về tỉ số đơn bằng -1 và tỉ số đơn là khái niệm Afin. Thẳng hàng cũng là tính
chất Afin. Như vậy, bài toán chứa đựng hoàn toàn các bất biến Afin. Do đó, chúng ta có thể sử
dụng hệ toạ độ Afin trong không gian Afin ba chiều để giải bài toán trên.
−−→ −−→
−−
→ −−→ −−→
Chẳng hạn, chọn hệ toạ độ A; AB, AD, AA1 , sau đó biểu thị các véctơ M N , IM qua
−−→
−−→
hệ toạ độ Afin rồi tìm k trong hệ thức M N = kIM . Từ đó, suy ra ba điểm M, I, và N thẳng
hàng.
+) Sử dụng tương đương Afin: Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh hình H có tính chất α,
trong đó α là một tính chất Afin. Khi ấy, ta thực hiện theo các bước sau đây [4]:
Bước 1. Chọn trong tập hợp các hình tương đương Afin với hình H một hình H ′ mà trên đó
tính chất Afin dễ chứng minh hơn. Có thể xem H ′ là ảnh của H qua một phép Afin f nào đó. Ta
có f (H) = H ′ .
Bước 2. Ta chứng minh tính chất α trên hình H ′ . Trong quá trình chứng minh có thể sử
dụng thêm các kiến thức của hình học Euclid và do đó việc chứng minh sẽ được thực hiện một
cách dễ dàng và nhanh gọn.

Bước 3. Sau khi chứng minh được tính chất α trên hình H ′ ta thực hiện phép Afin f −1 biến
hình H ′ thành hình H, tức là f −1 (H ′ ) = H. Như vậy, ta đã chứng minh được tính chất Afin α
trên hình H.
Trong HHSC, hai hình tương đương Afin bao gồm:
+ Hai tam giác bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là tam giác đều hoặc tam giác vuông.
+ Hai tứ diện bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là tứ diện đều hoặc tứ diện vuông.
+ Hai hình Elíp bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là đường tròn.
+ Hai hình bình hành bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là hình vuông.
+ Hai hình hộp bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là hình lập phương.
Ngoài các hướng trên, chúng ta có thể sử dụng các kiến thức của toán cao cấp để sáng tạo
ra các bài toán phổ thông bằng cách khai thác các kiến thức của hình học Afin, hình học Euclid và
hình học Xạ ảnh.
72


Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán

Trong quá trình giảng dạy ở các trường sư phạm, để thẩm thấu cho sinh viên thấy được mối
liên hệ giữa nội dung kiến thức toán cao cấp vừa được học với nội dung toán sơ cấp được trình bày
trong chương trình phổ thông, từ đó giúp cho sinh viên có khả năng vận dụng kiến thức của toán
cao cấp để soi sáng các kiến thức của toán sơ cấp và biết cách tổ chức cho học sinh con đường
khám phá tìm kiếm các nội dung kiến thức, người giảng viên có thể tiến hành một số hoạt động
như sau:
- Nghiên cứu mối quan hệ giữa phần kiến thức Toán phổ thông với cơ sở lí thuyết trong toán
cao cấp và toán sơ cấp được trang bị ở trường Sư phạm.
- Sử dụng góc nhìn và ngôn ngữ của kiến thức của toán cao cấp để phân tích kiến thức Toán
phổ thông, nhằm thấy rõ bản chất sâu sắc về khoa học toán học, phát triển lớp các bài toán mới
cho toán phổ thông thông qua hoạt động biến đổi đối tượng.
- Thông qua hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để tiến hành chuyển hóa sư phạm tri thức khoa
học - tri thức chương trình - tri thức phương pháp.

Ví dụ với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 . Gọi I, J lần lượt là các trung
điểm của các cạnh AB, C1 D1 . Các điểm M, N thay đổi, lần lượt thuộc các cạnh AD, BB1 sao
cho AM = BN. Chứng minh, đường thẳng M N luôn cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H
của đoạn M N (Hình 1).
Giáo viên có thể phát triển bài toán trên nhờ sử dụng các bất biến Afin và sử dụng các tương
đương Afin, sau đó chuyển sang ngôn ngữ phổ thông bài toán mới đối với học sinh như sau [5]:
Hình lập phương tương đương Afin với một hình hộp bất kì; trung điểm là bất biến Afin;
điều kiện AM = BN trong hình lập phương có thể chuyển thành:
BN
AM
=
= k (k > 0)
AD
BB1
Từ đó, ta có bài toán mới sau:
Bài toán 2.1. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, C1 D1 . Các điểm M, N thay đổi, lần lượt thuộc AD, BB1 sao cho:
AM
BN
=
=k
AD
BB1
Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn cắt IJ tại trung điểm H của M N .

Hình 1.
73


Trần Việt Cường

3.

Kết luận

Nếu chúng ta biết tận dụng được mối quan hệ giữa nội dung HHCC và HHSC ở trường
phổ thông trong giảng dạy ở các trường sư phạm thì không những giúp sinh viên có thể nắm vững
được các mạch kiến thức hình học ở trường phổ thông một cách có hệ thống mà còn giúp cho sinh
viên hiểu rõ được bản chất, cội nguồn của các kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa các nội dung
HHCC được học tập ở các trường sư phạm với nội dung hình học ở trường phổ thông, tứ đó góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998. Hình học Afin và hình học Euclid. Nxb Đại học Quốc gia
Hà Nội.

[2]

Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013. Giáo trình học hình học sơ cấp. Nxb Giáo dục
Việt Nam.

[3]

Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, 2006. Hình học 10 - nâng
cao. Nxb Giáo dục.

[4]

Đào Tam, 2004. Giáo trình học hình học sơ cấp. Nxb Đại học Sư phạm.

[5]

Đào Tam, Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm.

[6]

Đỗ Đức Thái, Nguyễn Anh Tuấn, 2011. Về việc dạy học toán sơ cấp ở Khoa Toán các trường
Đại học Sư phạm. Tạp chí Giáo dục, số 263.

[7]

Ngô Việt Trung, 2002. Giáo trình Đại số tuyến tính. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.

[8]

Nguyễn Thị Thanh Vân, 2011. Dạy học toán cao cấp ở Đại học Sư phạm theo hướng bồi
dưỡng phương pháp sư phạm cho sinh viên. Tạp chí Giáo dục, số 264.
ABSTRACT
Teaching elementary geometry in preparation for advanced geometry

This article looks at the teaching of elementary geometry at the university of education
in preparation for learning advanced geometry. The goal is to show the connections between
elementary and advanced geometry in high school, how to apply knowledge of advanced
mathematics to help high school students obtain a clearer understanding of elementary geometry
and how to use elementary geometry in high school teaching.

74