Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt luận án TS khoa học vật rắn624401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM VÀ VỎ
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG
CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM VÀ VỎ
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG
CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã Số:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. ĐÀO VĂN DŨNG
2. PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Nga


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo hướng dẫn là cố GS.
TS. Đào Văn Dũng và PGS. TS. Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo
mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS. TSKH. Đào Huy Bích đã
giúp đỡ và có những định hướng khoa học quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án này.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học, các thầy cô
giáo Khoa Toán Cơ Tin học và các cán bộ Phòng Sau Đại học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên – ĐHQG HN đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học
tập và nghiên cứu của tác giả.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong
gia đình đã luôn ở bên cạnh động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả trong
suốt thời gian làm luận án.


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .................................................
DANH MỤC CÁC BẢNG ..........................................................................................

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .....................................................................
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................
1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................................
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án ..........................................................................
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án .....................................................
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................
5. Bố cục của luận án ................................................................................................
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ...........................................
1.1.

Vật liệu cơ tính biến thiên ................................................................

1.2.

Khái niệm ổn định và mất ổn định ...................................................

1.3.

Tiêu chuẩn ổn định tĩnh...................................................................

1.4.

Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ổn định của các kết c

1.4.1. Các nghiên cứu về tấm ..........................................................

1.4.2. Các nghiên cứu về vỏ trụ .......................................................

1.4.3. Các nghiên cứu về vỏ nón .....................................................
1.5.

Các kết quả đạt được từ các công trình đã công bố trong nước và q

CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM CÓ GÂN GIA
CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN VÀ NHIỆT .....................................................................
2.1.

Đặt vấn đề ........................................................................................

2.2. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất


2.2.1. Tấm cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm (tấm ES-FGM).........33
2.2.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo........................................... 35
2.2.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin................................................ 39
2.2.4. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nén cơ......................................... 41
2.2.5. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt........................................... 42
2.2.6. Ổn định của tấm ES-FGM chịu tải cơ và nhiệt kết hợp........................... 44
2.2.7. Các kết quả số và thảo luận..................................................................... 45
2.3. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba............................................................................................ 51
2.3.1. Tấm FGM có gân gia cường................................................................... 51
2.3.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo........................................... 52
2.3.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin................................................ 56
2.3.4. Phân tích ổn định cơ................................................................................ 58
2.3.5. Phân tích ổn định nhiệt............................................................................ 59
2.3.6. Phân tích ổn định cơ nhiệt....................................................................... 62
2.3.7. Các kết quả số và thảo luận..................................................................... 63
2.4. Kết luận chương 2........................................................................................... 69

CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH FGM CÓ

GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN DỌC TRỤC VÀ NHIỆT..............................70
3.1. Đặt vấn đề......................................................................................................... 70
3.2. Mô hình vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường..................................... 71
3.3. Các phương trình cơ bản................................................................................... 75
3.4. Phương pháp giải.............................................................................................. 78
3.4.1. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nén dọc trục...................................... 80
3.4.2. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt................................................. 81
3.5. Kết quả số và thảo luận..................................................................................... 83
3.5.1. Kết quả so sánh....................................................................................... 83

2


3.5.2. Kết quả tính toán vỏ trụ sandwich ES-FGM có nền đàn hồi...................84
3.6. Kết luận chương 3............................................................................................ 91
CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH TĨNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ NÓN CỤT SANDWICH
FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ......................................................... 92
4.1. Đặt vấn đề......................................................................................................... 92
4.2. Mô hình vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi................................. 92
4.3. Các phương trình cơ bản................................................................................... 97
4.4. Phương pháp giải............................................................................................105
4.5. Kết quả số và thảo luận...................................................................................106
4.6. Kết luận chương 4..........................................................................................114
KẾT LUẬN...........................................................................................................116
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN

LUẬN ÁN.............................................................................................................117
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................119

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu cơ tính biến thiên

ES

Eccentrically Stiffened - Gân gia cường lệch tâm

ES-FGM

Kết cấu làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm

CPT

Classical Plate Theory - Lý thuyết tấm cổ điển

CST

Classical Shell Theory - Lý thuyết vỏ cổ điển

FSDT

First order Shear Deformation Theory - Lý thuyết biến dạng trượt
bậc nhất
Third order Shear Deformation Theory - Lý thuyết biến dạng trượt

TSDT

bậc ba
T-ID

Tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ

T-D

Tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ

p, sh, st

Các chỉ số ký hiệu cho tấm (plate), vỏ (shell) và gân (stiffener)
string – Gân dọc của vỏ
ring – Gân vòng của vỏ

Ep (z), Esh (z)

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu tấm và của vật liệu vỏ, là
hàm của tọa độ z

Ec, Em

Mô đun đàn hồi của gốm, kim loại; Ecm  Ec  Em Emc

 c , m

Hệ số dãn nở nhiệt của gốm, kim loại;  cm   c   m mc

Esx (z), Esy (z)

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu gân theo hướng x (gân dọc)
và hướng y (gân ngang) của tấm

 sx (z ), sy (z) Hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng của vật liệu gân theo hướng x và y

G ,G
sx

sy

Es(z), Er(z)

s ( z) , r ( z)


Gs ,Gr


k

k2, k3
ks
K1, K2
h

h1, h2
b1, b2

d1, d2
hs, hr
bs, br
ds, dr
u, v, w

 x , y
m
n
W
Nx, Ny, Nxy
Mx, My, Mxy
Px, Py, Pxy
Qx, Qy, Qxy
Rx, Ry, Rxy


Fx, Fy
Fcr

5


Pcr, qcr

qf
T

Tải nén tới hạn và áp lực ngoài tới hạn của vỏ
Lực tương tác giữa tấm và vỏ với nền đàn hồi

Nhiệt độ

6


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu cấu thành lên FGM ................
Bảng 2.1. Tải tới hạn của tấm ES-FGM hoàn hảo chịu nén theo hai trục ................
Bảng 2.2. Tải nén tới hạn Fxcr (GPa) với các kiểu đặt gân khác nhau ......................
Bảng 2.3. Ảnh hưởng của nền lên tải nén tới hạn Fxcr (GPa) ...................................
Bảng 2.4. So sánh tải tới hạn Fxcr (GPa) giữa FSDT (luận án) và CPT [11] ............
Bảng 2.5. So sánh tải tới hạn F * với kết quả của các tác giả Shariat và Eslami [89] cho
tấm FGM không gân và không nền ............................................................
Bảng 2.6. Tải nén tới hạn
Bảng 2.7. Tải nén tới hạn
Bảng 2.8. Độ tăng nhiệt tới hạn
tăng

Tcr (K) tấm hoàn hảo ES-FGM chịu nhiệt độ

đều với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ ....................................
Bảng 3.1. So sánh tải tới hạn của vỏ trụ FGM không gân không nền chịu nén .......
Bảng 3.2. So sánh tải tới hạn của vỏ trụ đẳng hướng có gân không nền chịu nén ...
Bảng 3.3. Độ tăng nhiệt tới hạn
ES-

Tcr (K) đối với bốn mô hình vỏ trụ sandwich

FGM (k=1, R=0.9m, L/R=2, R/h=30, ns= nr=20) ..................................
Bảng 3.4. Ảnh hưởng của gân lên tải nén tới hạn Pcr (MPa) ...................................

Bảng 3.5. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên tải tới hạn Pcr (MPa) với bốn mô
hình của vỏ trụ sandwich ES-FGM (hf /h=0.2, R=0.9m, L/R=2, R/h=30,

ns= nr=20) ................................................................................................
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của tỷ số R/h lên tải tới hạn Pcr (MPa) của vỏ trụ sandwich ES-

FGM kiểu A2 (k=1, hf /h=0.2, ns= nr=20) ................................................
88 Bảng 3.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên độ tăng nhiệt tới hạn Tcr (K) của vỏ trụ
sandwich ES-FGM (k=1, hf /h=0.2, L/R=2, R/h=30, ns= nr=20) .............
Bảng 3.8. So sánh tải tới hạn (MPa) giữa TSDT (luận án) và CST [12] ..................
2

Bảng 4.1. Ảnh hưởng của chiều dày lớp lõi hco lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m )
............................................................................................................... 108
Bảng 4.2. Ảnh hưởng của chiều dày lớp lõi hco lên lực nén tới hạn Pcr (MN) .......


7


2

Bảng 4.3. Ảnh hưởng của các tỷ số R/h và L/R lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m )
111
Bảng 4.4. Ảnh hưởng của các tỷ số R/h và L/R lên lực nén tới hạn Pcr (MN)
0

5

3

(k1=k2=k3=k=1, L=1.5m, ns=50, nr=30, hco/hFG=2, α=30 , K1=5×10 N/m ,
4

2

K2=3×10 N/m, q=0 kN/m )................................................................. 111
2

Bảng 4.5. Ảnh hưởng của gân và nền lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m )..........113
Bảng 4.6. Ảnh hưởng của gân và nền lên lực nén tới hạn Pcr (MN)......................114

8


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu cơ tính biến thiên..................................15
Hình 1.2. Ứng dụng vật liệu FGM.......................................................................... 15
Hình 1.3. Thanh đàn hồi, mảnh bị ngàm chặt ở một đầu và chịu lực nén...............18
Hình 1.4. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo........................19
Hình 2.1. Hình dạng của tấm có gân trên nền đàn hồi............................................ 34
Hình 2.2. So sánh với các kết quả của [132] cho tấm FGM không gân không nền chịu

nhiệt độ tăng đều.................................................................................... 46
Hình 2.3. Ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM
trên nền đàn hồi chịu nén dọc trục......................................................... 46
Hình 2.4. Đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM chịu nhiệt độ tăng đều phụ thuộc vào

k............................................................................................................. 49
Hình 2.5. Ảnh hưởng của nền lên tấm ES-FGM chịu nhiệt độ tăng đều.................49

Hình 2.6. Đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM trên nền đàn hồi chịu nhiệt độ tăng
đều với sự thay đổi của ........................................................................ 50
Hình 2.7. Cấu hình của tấm FGM có gân gia cường............................................... 52
Hình 2.8. So sánh ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên ứng xử của tấm FGM
không gân, không nền chịu nhiệt tăng đều............................................. 65
Hình 2.9. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích k lên ứng xử của tấm ES-FGM chịu

nén dọc trục............................................................................................ 65
Hình 2.10. Ảnh hưởng của tỷ số b/h lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM trên nền

đàn hồi chịu nén dọc trục....................................................................... 67
Hình 2.11. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo lên ứng xử nhiệt của tấm ES-FGM
(T-D)...................................................................................................... 67
Hình 2.12. Ứng xử nhiệt của tấm ES-FGM với tính chất vật liệu độc lập nhiệt độ (T-

ID) và phụ thuộc nhiệt độ (T-D)............................................................. 69
Hình 2.13. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM
chịu nén dọc trục.................................................................................... 69

9


Hình 3.1. Mô hình vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi................................................. 71
Hình 3.2. Bốn mô hình của vỏ trụ tròn sandwich FGM.......................................... 73
Hình 3.3. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich ES-FGM kiểu A1 chịu nhiệt độ tăng đều................................87
Hình 3.4. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich ES-FGM kiểu B1 chịu nhiệt độ tăng đều................................87
Hình 3.5. Ảnh hưởng của tỷ số R/h lên độ tăng nhiệt tới hạn của vỏ trụ sandwich ES-

FGM kiểu A2.......................................................................................... 89
Hình 3.6. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich kiểu A2 chịu nhiệt độ tăng đều............................................... 89
Hình 4.1. Hình dạng và mặt cắt ngang của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM: (1) lớp
FGM, (2) lớp lõi, (3) lớp FGM.............................................................. 93
Hình 4.3. Mặt cắt ngang ¼ của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trong TH 1............95
Hình 4.4. So sánh với các kết quả của Brush và Almroth [18] cho vỏ nón đẳng hướng

không gân chịu áp lực ngoài (P=0)...................................................... 107
Hình 4.5. So sánh với các kết quả của Seide [91] và Sofiyev [114] cho vỏ nón cụt
đẳng hướng không gân chịu nén dọc trục (q=0)................................... 107
Hình 4.6. Ảnh hưởng của tỷ số hco/hFG lên tải tới hạn qcr (P=0, k1=k2=k3=k=1)....109
Hình 4.7. Ảnh hưởng của tỷ số hco/hFG lên tải tới hạn Pcr (q=0, k1=k2=k3=k=1)....109
Hình 4.8. Ảnh hưởng của α lên tải tới hạn qcr (P=0, k1=k2=k3=k=1)...................110
Hình 4.9. Ảnh hưởng của α lên tải tới hạn Pcr (q=0, k1=k2=k3=k=1)...................110
Hình 4.10. Ảnh hưởng của k lên lực tới hạn qcr (P=0, k1=k, TH 2: k2=k3=k, TH 4:
k2=k3=1/k)............................................................................................ 112
Hình 4.11. Ảnh hưởng của k lên lực tới hạn Pcr (q=0, k1=k, TH 2: k2=k3=k, TH 4:
k2=k3=1/k)............................................................................................ 112

10


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các kết cấu tấm và vỏ bằng vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang được
sử dụng ngày càng nhiều trong thực tiễn nhất là trong các ngành kỹ thuật hiện đại
như lò phản ứng hạt nhân, hàng không vũ trụ, ống dẫn nhiên liệu, bể chứa, … Do
vậy việc nghiên cứu độ bền, sự ổn định của chúng là một trong những vấn đề được
quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết cấu làm việc an toàn và tối

ưu. Hơn nữa trong thực tiễn để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta
thường gia cố bằng gân gia cường.
Với những đặc tính ưu việt của FGM và những tiến bộ trong công nghệ sản
xuất FGM đã làm cho việc sử dụng FGM làm lõi hay làm lớp phủ trong kết cấu
sandwich được mở rộng đáng kể.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu kết cấu FGM khi sử dụng lý thuyết tấm và
vỏ cổ điển. Các kết quả thu được chỉ phù hợp với những kết cấu thành mỏng, còn
đối với kết cấu thành dày hơn thì cần phải sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc
nhất hoặc bậc ba. Đây vẫn là vấn đề mở, nhất là sử dụng lý thuyết biến dạng trượt
bậc ba cho kết cấu FGM và kết cấu sandwich FGM có gân gia cường cũng là FGM.
Xuất phát từ các yêu cầu này, tác giả luận án nhận thấy “Phân tích ổn định
tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt” là
một vấn đề hết sức cần thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Trong khuôn khổ của luận án, tác giả sẽ nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu
tấm FGM và kết cấu vỏ sandwich FGM:
i)Sử dụng các quy luật của vật liệu FGM đã có để nghiên cứu bài toán ổn
định tĩnh của kết cấu FGM thường gặp.
ii)

Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường.

iii)
Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ sandwich FGM có gân
gia cường.

11


iv)

Nghiên cứu ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có

gân gia cường.
v)

Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào

đến sự ổn định của kết cấu.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án
 Đối tượng nghiên cứu:
- Tấm chữ nhật FGM, có gân gia cường, có xét đến yếu tố nền đàn hồi.
- Vỏ trụ tròn và vỏ nón cụt sandwich FGM, có gân gia cường, có xét đến yếu
tố nền đàn hồi.
- Tính chất vật liệu độc lập với nhiệt độ và phụ thuộc vào nhiệt độ.
- Gân gia cường là gân FGM.
- Kết cấu chịu điều kiện tải khác nhau: tải cơ, nhiệt và tải cơ nhiệt kết hợp.
 Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ
làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gân gia cường bằng cách tiếp cận giải
tích.
4.

Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu bằng phương pháp giải tích các bài toán ổn định. Sử dụng lý thuyết

cổ điển, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, lý thuyết biến dạng trượt bậc ba và phương
pháp san đều tác dụng gân của Lekhnitskii [68] để thiết lập các phương trình chủ đạo
theo hàm ứng suất và độ võng. Riêng với vỏ nón, sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh, thiết
lập phương trình chủ đạo theo chuyển vị. Áp dụng phương pháp Galerkin để xây dựng
hệ thức hiển cho phép tìm tải tới hạn và vẽ đường cong tải-độ võng sau tới hạn.

Khảo sát bằng số ảnh hưởng của gân, nền, độ không hoàn hảo và các kích thước
hình học, chiều dày lớp lõi (đối với kết cấu sandwich) đến sự ổn định của kết cấu.

5. Bố cục của luận án
Luận án gồm: mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.
Phần mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu.
Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu.

12


Chương này trình bày khái niệm, tính chất và một số quy luật cơ bản của vật
liệu cơ tính biến thiên; trình bày khái niệm ổn định và mất ổn định, tiêu chuẩn ổn
định tĩnh. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với bài
toán ổn định tĩnh của kết cấu làm bằng vật liệu này.
Chương 2: Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường trên
nền đàn hồi chịu tải cơ và nhiệt.
Chương này đề cập đến hai bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có
gân gia cường trên nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý
thuyết biến dạng trượt bậc ba. Xây dựng biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và đường
cong tải-độ võng sau tới hạn. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham
số đầu vào đến sự ổn định của tấm. Các kết quả so sánh đã khẳng định độ tin cậy
của cách tiếp cận được sử dụng trong luận án.
Chương 3: Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân
gia cường trên nền đàn hồi chịu tải cơ và nhiệt.
Chương này đề cập đến bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn
sandwich FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba. Xây dựng biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và đường cong tải-độ
võng sau tới hạn. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào
đến sự ổn định của vỏ trụ. Các kết quả so sánh đã khẳng định độ tin cậy của phương

pháp trong luận án. Chương 4: Phân tích ổn định tĩnh tuyến tính của vỏ nón cụt
sandwich FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi chịu tải cơ.
Chương này tìm lời giải giải tích cho bài toán ổn định tĩnh tuyến tính của vỏ
nón cụt sandwich FGM dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển. Xây dựng biểu thức hiển để
tìm tải tới hạn. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào
đến sự ổn định của vỏ nón cụt.
Kết luận: Trình bày những kết quả chính, những đóng góp mới của luận án.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

13


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên
Vật liệu cơ tính biến thiên có tên tiếng anh là Functionally Graded Material,
thường được gọi tắt là FGM, là một loại composite thế hệ mới được nghiên cứu và
phát triển lần đầu tiên bởi một nhóm các nhà khoa học ở viện Sendai của Nhật Bản
vào năm 1984 [65, 66]. Loại vật liệu này được dùng phổ biến hiện nay thường được
tạo nên từ hai loại vật liệu thành phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal) trong đó
tỷ phần thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này
sang mặt kia của kết cấu (Hình 1.1). Chúng khắc phục được những nhược điểm của
loại vật liệu kim loại truyền thống và composite thông thường về khả năng chịu
nhiệt và chịu lực. Thành phần gốm có mô đun đàn hồi cao và có các hệ số dãn nở
nhiệt và truyền nhiệt thấp làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao và khả năng chịu
nhiệt tốt, trong khi đó thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo
hơn, bền hơn và khắc phục được sự rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn của vật liệu
gốm khi chịu tác động mạnh của tải cơ.
Nhược điểm lớn nhất của vật liệu FGM là giá thành sản xuất cao và công nghệ
chế tạo phức tạp. Vì vậy, vật liệu này thường chỉ được sử dụng trong các kết cấu

công nghệ cao như công nghệ hàng không vũ trụ hay công nghệ hạt nhân. Trong
nhiều trường hợp để giảm giá thành sản xuất, vật liệu FGM có thể được sử dụng
như một lớp phủ mỏng trên bề mặt kết cấu hoặc chỉ sử dụng làm lõi của kết cấu tùy
theo mục đích sử dụng.
Với tính ưu việt nổi trội, vật liệu FGM là sự lựa chọn lý tưởng cho những kết cấu
làm việc trong môi trường nhiệt độ cao hoặc chịu sự truyền nhiệt lớn. Hiện nay, loại vật
liệu này không những được ứng dụng trong lĩnh vực cơ học mà còn được ứng dụng
trong nhiều ngành kỹ thuật khác như là điện tử, quang học, hóa học, y học...

Một số ứng dụng nổi bật của chúng được thể hiện tóm lược thông qua sơ đồ dưới
đây [4]

14


h/2
h/2

Hình 1.1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu cơ tính biến thiên

Công nghiệp hạt nhân

Hàng không vũ trụ

(Nhiên liệu hạt, tường plasma

(Bộ phận tên lửa, khung máy bay)

của lò phản ứng hạt nhân)

Lĩnh vực truyền thông
(Sợi quang học, thấu kính, chất

FGM

Lĩnh vực y học
(Xương, da nhân tạo, nha khoa)

bán dẫn)

Hình 1.2. Ứng dụng vật liệu FGM

Trong khuôn khổ luận án xét vật liệu FGM có tính chất biến đổi liên tục theo
hướng chiều dày z của kết cấu, từ mặt hoàn toàn gốm đến mặt hoàn toàn kim loại
hoặc ngược lại. Tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu được giả thiết biến đổi liên
tục theo chiều dày kết cấu theo quy luật lũy thừa (P-FGM) hoặc quy luật Sigmoid
(S-FGM) như sau:
Quy luật lũy thừa [60 ÷ 62, 84, 103]: Tỷ phần thể tích gốm Vc (z) và tỷ phần
thể tích kim loại Vm (z) giả thiết là

15


2z  h
Vc (z )  



trong đó h là độ dày của kết cấu, z là tọa độ chiều dày, k là chỉ số tỷ phần thể tích và
là đại lượng không âm, các chỉ số dưới c và m để chỉ thành phần gốm và kim loại

tương ứng.
Quy luật Sigmoid [3, 31, 33, 34, 65]: Trường hợp này các đại lượng trên được
giả thiết là


h / 2  z  0, k  0,




Vc (z)
0  z  h / 2,

(1.2)

Vm (z )

 1 Vc
(z).
Nếu tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ (T-ID) thì các tính chất hiệu

dụng Peff của vật liệu FGM xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [103]
Peff ( z )  Prc Vc ( z )  Prm Vm ( z),
trong đó Pr là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi E, hệ số
dãn nở nhiệt α, hệ số truyền nhiệt κ, …
Nếu tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D) thì các tính chất
hiệu dụng Peff của vật liệu FGM xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [98, 103]
Peff ( z , T )  Prc (T )Vc ( z )  Prm (T )Vm ( z),
trong đó Pr phụ thuộc vào nhiệt độ theo một hàm phi tuyến [86]
Pr  P

0



với P0, P–1, P1, P2, P3 là các hệ số nhiệt độ được xác định thông qua thí nghiệm của
các vật liệu cấu thành và là duy nhất đối với mỗi vật liệu cụ thể (Bảng 1.1).
Về mặt công nghệ chế tạo vật liệu FGM, có một số phương pháp như là:
phương pháp luyện kim bột; phương pháp lắng đọng hơi; phương pháp ly tâm;
phương pháp chế tạo vật rắn hình dạng tự do. Trong khuôn khổ luận án không đi sâu
vào vấn đề này, chúng được trình bày trong tài liệu [65].


16


Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu cấu thành lên FGM
Vật liệu
ZrO2

Ti-6Al-4V

Si3N4

SUS304

1.2. Khái niệm ổn định và mất ổn định
Trong cơ học vật rắn biến dạng ta gặp nhiều bài toán dẫn đến cần nghiên cứu
sự ổn định hay không của kết cấu mà một ví dụ điển hình là bài toán [1] xét một
thanh đàn hồi và mảnh tức là thanh có chiều dài lớn hơn nhiều so với kích thước tiết
diện ngang của nó, được đặt thẳng đứng có một đầu ngàm chặt, đầu kia chịu nén bởi

lực đúng tâm P (Hình 1.3). Tăng dần P từ giá trị 0. Khi lực P còn nhỏ hơn giá trị
xác định Pth nào đó thanh vẫn thẳng. Nếu tác dụng vào thanh theo phương vuông
góc một lực kích động nhỏ N, sau đó bỏ lực kích động đó đi thì thanh sẽ dao động
xung quanh vị trí thẳng đứng rồi lại trở về trạng thái đó. Trạng thái này chính là
trạng thái cân bằng ổn định.

17


Khi P > Pth trạng thái ban đầu
thẳng đứng sẽ không ổn định nữa. Với
lực kích động (dù là rất nhỏ) vuông góc
với thanh cũng làm cho nó chuyển sang
dạng cân bằng cong. Khi đó dạng thẳng
cân bằng không ổn định, còn dạng cong
cân bằng ổn định. Hiện tượng này được
gọi là mất ổn định.

Hình 1.3. Thanh đàn hồi, mảnh bị
ngàm chặt ở một đầu và chịu lực nén

Như vậy ổn định của kết cấu chịu biến dạng được hiểu là khả năng duy trì
được trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu khi nó chịu tác động ngoài, còn khi
khả năng đó mất đi thì ta nói rằng kết cấu đó là không ổn định.
Trạng thái tới hạn là ranh giới giữa trạng thái ổn định và trạng thái mất ổn
định. Tải trọng ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải tới hạn, tức là giá trị bé nhất của
tải để kết cấu bị mất ổn định. Trường hợp đang xét thì Pth là tải tới hạn.
Khi nghiên cứu ổn định của vật thể đàn hồi người ta thường quan tâm đến hai
mục tiêu [2]:
- Thứ nhất là xác định tải tới hạn.

- Thứ hai là xây dựng đường cong tải-độ võng của kết cấu sau tới hạn.
1.3. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Nghiên cứu ổn định tĩnh dựa trên hai quan niệm về trạng thái tới hạn của Euler
và Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định [5] là mất ổn định theo kiểu rẽ
nhánh và mất ổn định theo kiểu cực trị. Trong luận án này chỉ sử dụng mất ổn định
theo kiểu rẽ nhánh (hình 1.4), được hiểu là trường hợp tải tới hạn đạt được tại điểm
rẽ nhánh. Các đặc trưng của kiểu mất ổn định dạng này là [1, 5, 133]:
- Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh.
- Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất.
- Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định, sau
trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định.

18


Tải q
Điểm rẽ nhánh
Điểm cực trị

qupper

U
(2)

L

qlower

(1) Với tấm hoàn hảo
(2) Với vỏ hoàn hảo

wlower

Độ võng w

Hình 1.4. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo.

Nghiên cứu dạng ổn định này dựa trên tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh [1, 5, 18,
128, 133], được hiểu là: Trạng thái cân bằng ban đầu của vật thể đàn hồi được gọi là
ổn định nếu dưới tác dụng của lực đã cho và điều kiện biên đã biết không tồn tại
trạng thái cân bằng lân cận nào khác với trạng thái cân bằng ban đầu. Còn nếu có ít
nhất một trạng thái cân bằng lân cận khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì trạng
thái cân bằng ban đầu là không ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để tồn tại trạng thái cân
bằng lân cận gọi là lực tới hạn.
1.4. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ổn định của các kết cấu FGM
Các kết cấu được làm từ vật liệu FGM có rất nhiều ứng dụng phục vụ đời sống
con người trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt
nhân, quang học, y học …. Vì vậy, nghiên cứu ổn định và dao động của chúng là
một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết
cấu làm việc an toàn và tối ưu. Hiện nay, các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu
FGM thường được thực hiện bằng ba cách tiếp cận: Giải tích, bán giải tích và phương
pháp số. Mỗi cách tiếp cận đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng của nó.

19