Phân bố giá trị đối với các l hàm thuộc lớp selberg

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–
..

NGUYỄN TRUNG KIÊN

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ
ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

NGUYỄN TRUNG KIÊN

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ
ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. Hà Huy Khoái

THÁI NGUYÊN - 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng
bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái.
Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng
công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác
đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào
tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Trung Kiên

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn

GS.TSKH. Hà Huy Khoái

i


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận

được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, GS.TSKH. Hà Huy Khoái.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn
này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có
những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây
dựng của các thầy cô, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Trung Kiên

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Lời mở đầu

1

1 Phân bố giá trị đối với các L-hàm

2

1.1

Hàm zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Phân bố giá trị các L-hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Vấn đề xác định duy nhất đối với các L-hàm lớp Selberg

17

2.1

Xác định L-hàm qua nghịch ảnh các điểm riêng rẽ . . . . . . . . . . 17

2.2

Xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập con . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

iii


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các L-hàm luôn luôn là vấn đề trọng tâm của lý thuyết số và giải tích toán
học. Trong các L-hàm thì các L-hàm thuộc lớp Selberg đóng vai trò hết sức quan
trọng, vì nó chứa những hàm nổi tiếng của toán học như zeta hàm Riemann,
L-hàm của các dạng modular.
2. Nội dung đề tài
Luận văn có mục tiêu trình bày một số kết quả gần đây trong hướng nghiên
cứu phân bố giá trị của các L-hàm thuộc lớp Selberg và ứng dụng, cụ thể là:
- Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh của một điểm, tính cả bội;
- Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, tính cả bội;
- Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, không tính bội;
- Những điều kiện để L-hàm trùng với hàm zeta Riemann.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Phân bố giá trị đối với các L-hàm
Chương 2: Phân bố giá trị đối với các L-hàm thuộc lớp Selberg.

1


Chương 1
Phân bố giá trị đối với các L-hàm
1.1

Hàm zeta Riemann
Hàm zeta Riemann là một hàm đặc biệt quan trọng của toán học và vật

lý, xuất hiện trong tích phân xác định và có liên quan mật thiết đến các kết quả
xung quanh định lý số nguyên tố. Hàm zeta Riemann là hàm của một biến phức
s, là tổng của một chuỗi Dirichlet.

Các L-hàm là chuỗi Dirichlet, mà hàm zeta Riemann ζ(s) =

∞
1
n=1 ns

là một

ví dụ, là những đối tượng quan trọng trong lý thuyết số và đã được nghiên cứu
rộng rãi. L-hàm là chuỗi Dirichlet
∞

L(s) =
n=1

a(n)
ns

của một biến phức s = σ + it, thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) Giả thiết Ramanujan: a(n)

nε với mọi ε > 0;

(ii) Thác triển giải tích: Có một số nguyên không âm k sao cho (s − 1)k L(s) là
hàm nguyên có bậc hữu hạn.
(iii) Phương trình hàm: L thỏa mãn phương trình hàm dạng
ΛL (s) = ωΛL (1 − s¯),

2


trong đó
K
s

ΛL (s) = L(s)Q

Γ(λj s + µj )
j=1

với Q, λj , là số thực dương và các số phức µj , ω với Reµj ≥ 0 và |ω| = 1.
Bậc dL của L-hàm L được xác định bởi dL = 2

K
j=1 λj ,

trong đó K, λj là những

số thỏa mãn (iii).
L-hàm thỏa mãn (i)-(ii) và đồng thời thoả mãn giả thiết tích Euler được
gọi là L-hàm lớp Selberg S. Ta sẽ chỉ ra một L- hàm L thỏa mãn (i)-(iii) xác định
duy nhất bởi các không điểm của L − c với hai số phức c phân biệt. Kết quả thu
được áp dụng cho lớp Selberg.
Từ (ii) L-hàm có thể được thác triển thành hàm phân hình trong mặt
phẳng phức C. Tập hợp không điểm của hàm phân hình f , tập hợp không điểm
f −1 (c) := {s ∈ C : f (c) = c} của f − c với c là giá trị phức, nghĩa là tập hợp các

nghịch ảnh của c bởi f, hay là giá trị c của f là đối tượng chính của lý thuyết phân
phối giá trị các hàm phân hình. Sau đây là một định lý nổi tiếng của Nevanlinna,
thường được gọi là định lý duy nhất (hoặc duy nhất Nevanlinna): hai hàm phân
hình f, g trong C bằng nhau nếu f −1 (cj ) = g −1 (cj ), tức là f − cj và g − cj có chung
các không điểm (không kể bội) với năm giá trị phân biệt cj ∈ C ∪ {∞}. Với các
L-hàm, ta có kết quả tốt hơn. Cụ thể, hai L- hàm trong lớp Selberg phải bằng
nhau nếu chúng có cùng không điểm kể cả bội. Hai L-hàm (không nhất thiết phải
thuộc lớp Selberg) với a(1) = 1 bằng nhau nếu L1 − c và L2 − c có cùng không
điểm kể cả bội, trong đó c là số phức. Khi bỏ qua bội, vấn đề trở nên tinh tế hơn.
Ví dụ ζ và ζ 2 , có cùng không điểm (không kể bội), cho thấy kết quả trên không
còn đúng khi bỏ qua bội.

1.2

Phân bố giá trị các L-hàm

Định lý 1.1. [[2], T heorem A] Nếu hai L-hàm L1 và L2 thỏa mãn cùng phương
−1

trình hàm với a(1) = 1 và L−1
1 (cj ) = L2 (cj ) với hai số phức khác nhau c1 và c2

3


sao cho
lim inf

˜ c2 (T )
˜ c1 (T ) + N
N
Lj
Lj

c
c
T →∞ NL1 (T ) + NL2 (T )
j
j

trong đó

>

1
+
2

là số dương bất kỳ, j = 1, 2 thì L1 ≡ L2 .

Ở trên, NLc (T ) biểu thị số không điểm của L(σ + it) − c trong hình chữ nhất
˜ c (T ) số các không điểm như vậy, không kể cả
0 ≤ σ ≤ 1, |t| ≤ T (kể cả bội) và N
L

bội.
Định lý 1.2. [[2], T heorem 1] Nếu hai L-hàm L1 và L2 thỏa mãn cùng phương
−1
trình hàm với a(1) = 1 và L−1
1 (cj ) = L2 (cj ) cho hai số phức khác nhau c1 và c2

thì L1 ≡ L2 .
Ta sử dụng lý thuyết Nevanlinna cùng với công cụ giải tích khác trong
chứng minh Định lý 1.2, bằng cách phân tích cấp tăng và phân bố các không
điểm của hàm. Do L-hàm là hàm phân hình và lý thuyết Nevanlinna được coi là
công cụ quan trọng trong nghiên cứu hàm phân hình, ta sẽ chỉ ra các ứng dụng
tiếp theo của lý thuyết Nevanlinna trong lý thuyết về các L-hàm.
Cho f là hàm phân hình trong C. Khi đó, đặc trưng Nevanlinna T (r, f )
được định nghĩa như sau
T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ),

trong đó
1
m(r, f ) =
2π

2π

log+ |f (reiθ )|dθ; log+ |x| = max(0, log|x|),

0

và
r

N (r, f ) =
0

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r,
t

trong đó n(t, f ) là số cực của f (kể cả bội) trong |s| < t. Nhắc lại kết quả sau:
(i) Các tính chất của T (r, f ) và m(r, f ):
T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1).

Các bất đẳng thức tương tự vẫn đúng với m(r, f ).
4


(ii) log max|s|=r {|f (s)|} ≤

R+r
R−r

T (R, f ) với R > r > 0 nếu f là hàm nguyên.

(iii) Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna: T (r, f ) = T (r, f1 ) + O(1).
(iv) Bổ đề đạo hàm logarit: m(r, ff ) = O(log r) nếu giả thiết
ρ(f ) := lim sup

r→∞

log T (r, f )
log r

của f là hữu hạn.
Chứng minh. Ta chứng minh Định lý 1.1.
Trường hợp 1: Một trong hai hàm L1 và L2 là hằng số, giả sử L1 là hàm
hằng. Khi đó L1 = 1 từ giả thiết a(1) = 1. Do L2 − cj và L1 − cj có cùng không
điểm, nên dễ thấy L2 ≡ 1 (trong đó c1 hoặc c2 bằng 1), hoặc L1 = c1 , c2 trong C
(trong đó c1 , c2 = 1).
Trường hợp 2: Lưu ý L-hàm có nhiều nhất một cực điểm, L2 phải là hàm
hằng và do đó L2 ≡ 1 vì a(1) = 1, theo Định lý Picard cổ điển nói rằng một hàm
phân hình siêu việt trong C nhận mỗi giá trị trong C ∪ {∞} vô hạn lần, với nhiều
nhất hai trường hợp ngoại lệ (các L-hàm siêu việt nhận mọi số phức, theo công
thức Riemann-von Mangoldt được đề cập bên dưới). Do đó, L1 ≡ L2 (≡ 1).
Do đó, giả sử L1 và L2 không là hàm hằng. Giả sử ngược lại L1 ≡ L2 ,ta cần
dẫn đến mâu thuẫn. Để thuận lợi, ta xét các hàm bổ trợ sau
F (s) =

(s − 1)q L1 L2 (L1 − L2 )2
,
(L1 − c1 )(L1 − c2 )(L2 − c1 )(L2 − c2 )

(1.1)

trong đó q là số nguyên sao cho F không có cực điểm hoặc không điểm tại s = 1.
Rõ ràng, F không bằng không theo các giả thiết trên. Chứng minh dưới đây chỉ
ra F bằng không, và ta có mâu thuẫn.
Ta thấy F là hàm nguyên. Thực vậy, hai hàm L1 và L2 chỉ có một cực điểm

tại s = 1, không thể là cực điểm của F, (xét hệ số của (s − 1)q . Do đó, các cực điểm
có thể có của F chỉ có thể từ các không điểm của L1 − cj hoặc L2 − cj , j = 1, 2.
5


Nếu ω là một không điểm của L1 − cj với bậc m ≥ 1 và do đó, là không
điểm của L2 − cj với bậc n ≥ 1 vì L1 − cj và L2 − cj có cùng không điểm (m khác
với n), khi đó nó là không điểm của (L1 − L2 )2 bội ít nhất là 2. Lưu ý ω là không
điểm của L1 với bậc m − 1 và không điểm của L2 với bậc n − 1. Do đó, tử số trong
(1.1) triệt tiêu tại ω với bội ít nhất bằng (m − 1) + (n − 1) + 2 = m + n, là bậc tại
ω của mẫu số trong (1.1).

Do đó, ω không phải là cực điểm của F. Điều này cho thấy F không có cực
điểm và do đó nó là hàm nguyên trong C. Tiếp theo ta kiểm tra không điểm của
F trong hình tròn |s| < r bằng cách ước lượng hàm đếm N (r, F1 ). Từ (1.1) ta có
N

r,

1
L 1 − c1

=N

r,

1
(L1 − c1 )(L1 − c2 )(L2 − c1 )(L2 − c2 )

=N

r,

+N

r,

1
L 1 − c2

F
(s − 1)q L1 L2 (L1

+N

r,

1
L 2 − c1

+N

r,

1
L 2 − c2

(1.2)

.

− L2 )2

F

Vì F là hàm nguyên, cực điểm của

(s − 1)q L1 L2 (L1

− L2 )2

chỉ có từ không

điểm của (s − 1)q L1 L2 (L1 − L2 )2 . Nhớ lại rằng F không có không điểm tại s = 1,
cực điểm duy nhất có thể có của L1 và L2 . Do đó, nếu F (ω) = 0 tại ω , thì tử số
(s − 1)q L1 L2 (L1 − L2 )2 trong (1.1) phải triệt tiêu tại ω với bội bằng hoặc cao hơn.

Ta suy ra
N

r,

≤N

r,

≤N

1
r,

(s − 1)q

=N

r,

(s − 1)q L

F
2
1 L2 (L1 − L2 )

1
(s − 1)q L1 L2 (L1 − L2 )2

1
L1

+N

Theo đó N r,

+N
r,

1
L2

1
(s − 1)q

1
r,
L1

− N r,
+N

+ 2N

r,

1
F

1
r,
L2
1
L1 − L 2

+ 2N

1
r,
L1 − L 2

− N r,

1

F

1
− N r,
F

(1.3)

+ O(log r)

= O(log r). Hơn nữa, theo Định lý cơ bản thứ nhất, ta

6


suy ra
N

r,

1
L1

=T

r,

1
L1

− m r,

1
L1

= m(r, L1 ) + N (r, L1 ) + O(1) − m r,
= m r,

L1
L1
L1

≤ m r,

L1
L1

1
L1

+ N (r, L1 ) + O(1) − m r,

1
L1

+ m(r, L1 ) + N (r, L1 ) + O(1) − m r,

1
L1

.

Lưu ý N (r, L1 ) = O(log r) trong đó L1 có nhiều nhất một cực điểm s = 1, và
1
m r, L
L1

= O(log r) theo Bổ đề về đạo hàm logarit. Ta có
N

r,

1
L1

≤ m(r, L1 ) − m r,

1
L1

+ O(log r).

Áp dụng Định lý cơ bản thứ nhất và Bổ đề về đạo hàm logarit ta suy ra
N

r,

1
L1

≤ T (r, L1 ) − m r,

1
L1

+ O(log r)

≤ T (r, L1 − cj) − m r,

1
L1

+ O(log r)

=T

r,

1
L1 − cj

− m r,

1
L1

=N

r,

1
L1 − cj

+ m r,

1
L1 − cj

=N

r,

1
L1 − cj

+ m r,

L1
1
L1 − cj L1

≤N

r,

1
L1 − cj

+ m r,

L1
L1 − cj

=N

r,

1
L1 − cj

+ O(log r).

+ O(log r)
− m r,

1
L1

− m r,

+ m r,

1
L1

+ O(log r)
1
L1

− m r,

Tương tự ta có
N

r,

1
L2

≤N

r,

1
L 2 − cj

7

+ O(log r)

+ O(log r).

1
L1

+ O(log r)


Tù hai bất đằng thức trên kết hợp với (1.2), (1.3) ta thu được
N

r,

1
L 1 − c1

≤N

r,

+N

r,

1
L 1 − c2

1
L 1 − c2

+N

≤2N

1
L1 − L 2

r,

+N

1
L 2 − c2

r,

1
L 2 − c1

+ 2N

r,

+N

1
L1 − L 2

r,

1
L 2 − c2

− N r,

1
F

+ O(log r)

hoặc
N r,

1
F

r,

r

{2n t,

=
0

−N

1
L1 − L 2

1
− 2n 0,
L1 − L 2

r,

1
L 1 − c1

− n t,

−N

1
L 1 − c1

1
+ n 0,
L 1 − c1

r,

1
L 2 − c1

− n t,

+ O(log r)

1
L 2 − c1

(1.4)

1
dt
+ n 0,
}
L 2 − c1
t

+ O(log r)

theo định nghĩa của hàm đếm N (r, ·). Ta chuyển sang ước lượng các hàm đếm
không tích phân n(t, ·) ở vế phải của (1.4). Theo giả thiết của định lý, L1 và L2
thỏa mãn cùng phương trình hàm và có cùng bậc. Ngoài ra, L1 − L2 rõ ràng thỏa
mãn (i) - (ii) và (iii) với cùng phương trình hàm và có cùng bậc. Để thuận tiện,
1
đối với L-hàm L và số phức c, ta biểu thị qua n− t, L−c
không điểm (kể cả bội)

của L − c trong |s| < t và trên nửa mặt phẳng bên trái {σ ≤ 0}. Nó là các không
điểm của L − c trên nửa mặt phẳng bên trái {σ ≤ 0} đã giới hạn các phần ảo và
số lượng các không điểm này có phần thực trong [−t, 0] là 21 dL t + O(1) với t → +∞
trong đó dL là bậc của L. Như vậy
n− t,

1
L−c

1
= dL t + O(1).
2

Ta suy ra
2n−

t,

1

L1 − L 2

− n−

t,

1
L 1 − c1

− n−

t,

1
L 2 − c1

= O(1)

(1.5)

với t → ∞. Mặt khác theo Công thức Riemann– von Mangoldt của L-hàm, những
không điểm (kể cả bội) của L(s) − c trong miền Res > 0, | Im s| ≤ T kí hiệu là
8


NLc (T ), được cho bởi
NLc (T ) =
K
2λj
j=1 λj

trong đó λ =

dL
T
T
T log + log(λQ2 ) + O(log T ),
π
e
π

và λj , K, Q là các số trong (iii). (Điều này đã được chứng

minh với c = 1. Giả sử c1 = 1, thay c1 bởi c2 trong (1.4).) Mặt khác, L − c không
có bất kỳ không điểm nào khi σ = Res lớn, chẳng hạn, σ ≥ α > 0, điều này suy ra
từ chuỗi Dirichlet của L. [Thật vậy, dễ thấy nếu c = 1, thì L(s) = 1 + O(2−σ ) → 1
khi σ → +∞. Nếu c = 1, thì |L − c| = |L − 1| ≥

C1
nσ1

> 0 cho mọi số nguyên n1 ≥ 2 và

1
kí hiệu các không điểm của L − c với |s| < t
hằng số C1 > 0] Do đó nếu n+ t, L−c

nhưng ở nửa mặt phẳng bên phải {σ > 0}, thì
n+ t,

1
L−c

≥ NLc (

t2 − α2 )

với t đủ lớn, ta có
n+

1
t,
L 2 − c1
√
√
2 − α2
t
t2 − α 2
t2 − α2 log
+
log(λQ2 ) + O(log
e
π

t,

1
L1 − c1

≥2

d
π

+ n+

(1.6)
t2 − α2 ) ,

trong đó d = dL1 = dL2 là bậc của L1 và L2 . Ta nhớ lại L1 − L2 có cùng bậc d, ta
có
2n+

t,

1
L1 − L 2

≤2NL0 1 −L2 (t)
=2

d
t
t
t log + log(λQ2 ) + O(log t) .
π
e π

9

(1.7)


Theo kết quả (1.6) và (1.7) ta có
2n+

t,

1
L1 − L 2

− n+

t,

1
L 1 − c1

− n+

t,

1
L 2 − c1

d
t
t
t log + log(λQ2 ) + O(log t)
π

e π
√
√
d
t2 − α2
t2 − α2
2
2
−2
+
log(λQ2 ) + O(log
t − α log
π
e
π
√
d
t
d
t2 − α 2
2
2
=2 t log − 2
t − α log
+ O(log t)
π
e
π
e
d

d
=2 t log t − 2
t2 − α2 log t2 − α2 + O(log t)
π
π

≤2

2d
2d
= t log t −
π
π
=

2d
2d
t log t −
π
π

α2
1− 2
t
1−

α2
1− 2
t

log t + log

O(1)
t2

log t +

O(1)
t2

t2 − α2 )

+ O(log t)

+ O(log t)

=O(log t)

với t → ∞. Kết hợp với (1.5) ta thu được
2n t,

1
L1 − L2

=2n+

t,

+ 2n−

− n t,

1
L1 − L 2
t,

1
L 1 − c1

− n+

1
L1 − L 2

t,

− n−

− n t,

1
L 1 − c1
t,

1
L 2 − c1

− n+

1

L 1 − c1

t,

− n−

1
L 2 − c1
t,

1
L 2 − c1

=O(log t) ≤ C log t

với mọi t ≥ r0 , trong đó C, r0 là hai số dương. Từ (1.4), ta thấy
1
N r,
F

r

≤

{2n t,
r0

− 2n 0,

1

L1 − L 2

1
L1 − L 2

− n t,
+ n 0,

1
L1 − c1

1
L1 − c1

− n t,
+ n 0,

1
L2 − c1

1
dt
}
L2 − c1
t

(1.8)

+ O(1) + O(log r)
r

≤
r0

C log t
dt + O(log r) = O(log2 r).
t

Tiếp theo ta đưa ra một đánh giá về mô đun của F, nó cần thiết cho việc chứng
minh sau này, sử dụng đánh giá trên (1.8). Thật vậy, giả sử các không điểm khác
10


không của F là a1 , a2 , a3 , . . . , được sắp xếp theo thứ tự mô đun tăng dần và được
tính lặp lại theo bội số, và s = 0 là không điểm của F với bậc l ≥ 0. Khi đó hàm
F (s)
)
sl

không triệt tiêu tại s = 0 và các không điểm của nó đúng là a1 , a2 , a3 , . . . .

Khi đó,ta có khẳng định (đối với bất kỳ hàm phân hình khác không F ) rằng
∞

∞
−1

|ak |

≤

0

k=1

l

N (t, sF )
dt.
t2

Lưu ý, từ (1.8) ta có
N

t,

sl
F

≤ N (t, sl ) + N t,

1
F

(1.9)

≤ O(log t) + O(log2 t) = O(log2 t).

Như vậy,

∞

−1
k=1 |ak |

hội tụ. Sự hội tụ kéo theo tích vô hạn P (s) :=

∞
s
k=1 (1 − an )

l

là hàm nguyên bậc ρ(P ), bậc này bằng lim supt→∞

log N (r, sF )
log r

và bằng 0 bởi (1.9).

Như vậy, theo định nghĩa của bậc, T (r, P ) = O(r ) với mọi 0 < < 1, điều đó có
nghĩa là, bởi bất đẳng thức (ii) với R = 2r và r = |s|, ta có
log |P (s)| ≤ 3T (2|s|, P ) = O(|s| ).

(1.10)

Ta biết rằng với L-hàm L,
T (r, L) =

dL
r log r + O(r).
π

Ngoài ra,
T (r, L ) = m(r, L ) + N (r, L )
= m r,

L
L
L

≤ m r,

L
L

+ O(log r)
+ m(r, L) + O(log r) ≤ T (r, L) + O(log r)

theo Bổ đề đạo hàm logarit. Do đó, từ các tính chất số học của hàm đặc trưng và
Định lý cơ bản thứ nhất, từ (1.1), ta thu được
T (r, F ) ≤T (r, (s − 1)q ) + T (r, L1 ) + T (r, L2 ) + 4T (r, L1 ) + 4T (r, L2 ) + O(1)
d
≤10 r log r + O(r).
π
11


Theo định nghĩa của bậc, F có bậc nhiều nhất là 1. Do đó, theo Định lý phân
tích Hadamard cổ điển,
F (s) = sl P (s)eAs+B ,

trong đó A, B là hai số phức. Từ (1.10), ta có đánh giá sau về môđun của F :
F (s) = |sl P (s)eAs+B | = O(eα|s| )

(1.11)

với α > 0 và với mọi |s| lớn. Tiếp theo, ta xét F (s) khi σ → +∞ và σ → −∞, trong
đó s = σ + it. Vì L1 (s) =

∞ a(n)
n=1 ns

với a(1) = 1, nên ta có
1
nσ1

C2
C1
≤ |L1 − 1| ≤ σ1 và L1 = O
σ
n1
n

, khi σ → +∞,

(1.12)

với những hằng số dương C1 , C2 , nào đó, trong đó n1 là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 2
sao cho a(n) = 0. Tương tự, tồn tại số nguyên n2 ≥ 2 sao cho
C3
C4

≤ |L2 − 1| ≤ σ và L2 = O
σ
n2
n2

1
nσ2

, khi σ → +∞,

(1.13)

với C3 , C4 > 0. Ta cũng có
L1 − L 2 = O

1
.
2σ

(1.14)

Từ (1.1) nếu c1 , c2 = 1,
F (s) =

(s − 1)q O( n1σ )O( n1σ )(O( 21σ ))2
1

2

(1 − c2 )2 (1 − c2 )2

khi σ → +∞, với mọi t cố định. Nếu một trong các c1 , c2 , bằng 1, giả sử c1 bằng
1, khi đó từ (1.12) và (1.13), ta có
|F (s)| =

(s − 1)q O( n1σ )O( n1σ )(O( 21σ ))2
1

2

C1 C3
nσ1 nσ2 (1 − c2 )(1 − c2 )

với σ → +∞. Vì vậy, trong mọi trường hợp, ta luôn có
|f (s)| = O

1
4σ
12

+O

1
e|σ|

(1.15)


với σ → +∞. (Với mọi t cố định.)
Ta sẽ chứng minh (1.15) đúng khi σ → −∞. Tuy nhiên, trong trường hợp

này, chuỗi Dirichlet không cho ta (1.12) và (1.13). Ta sử dụng kết quả sau với
L-hàm L khác hằng.
Với mọi σ và t lớn, giả sử t ≥ t0 > 1,
2 1 −σ ( 21 −σ)dL
|L(1 − σ
t
0 (λQ ) 2

+ it)| ≤ |L(σ + it)|
1

1

≤ C0 (λQ2 ) 2 −σ t( 2 −σ)dL |L(1 − σ + it)|

với hai hằng số dương

0 , C0

không phụ thuộc vào σ, t, trong đó λ =

K
2λj
j=1 λj ,

và

λj , Q, K là các số trong (iii). Khi σ → −∞, ta có 1−σ → +∞. Do đó, L(1−σ+it) → 1,

và do đó

1
2

≤ |L(1 − σ + it)| ≤ 2 khi σ → −∞. Vậy, với t ≥ t0 và σ → −∞ ta có
1

1

1

1

(λQ2 ) 2 −σ t( 2 −σ)dL ≤ |L(σ + it)| ≤ C(λQ2 ) 2 −σ t( 2 −σ)dL

(1.16)

với hai số dương không đổi , C. Từ Công thức Cauchy và (1.6), với t ≥ t0 và
σ → −∞, ta có
|L (σ + it)| =

1
2πi

|ω−(σ+it)|=1

≤C1 (λQ2 )

3
−σ

2

L(ω)
dω
ω − (σ + it)

(1.17)

(t + 1)(3/2−σ)dL .

Chú ý rằng |w − (σ + it)| = 1, σ − 1 < Re w < σ + 1 và t − 1 < Im w < t + 1, trong
đó C1 = C nếu λQ2 > 1 và C1 = (λQ2 )−2 C nếu λQ2 < 1. Bất đẳng thức (1.16) và
(1.17) đúng cho L1 và L2 với dL = d. Áp dụng kết quả trên vào L1 − L2 , ta có với
t ≥ t0 và σ → −∞,
1

1

|(L1 − L2 )(s)| ≤C0 (λQ2 ) 2 −σ t( 2 −σ)dL |(L1 − L2 )(1 − σ + it)|
2

≤C0 (λQ )

1
−σ
2

( 21 −σ)d

(t)

O

1
21−σ

Nếu d = 0, khi đó với t ≥ t0 > 1 cố định và σ → −∞,
1

(λQ2 ) 2 −σ t(1/2−σ)d → +∞.
13

(1.18)
.


Điều này cũng đúng khi d = 0 và Q > 1. (Khi d = 0, phương trình hàm trong (iii)
không chứa các hệ số Gamma và λ ở trên là 1, xem (1.20) ở dưới.) Như vậy, trong
hai trường hợp, theo (1.1), (1.18), (1.16) và (1.17), với t ≥ t0 cố định và σ → −∞,
3

|F (s)| ≤

1

1

|s − 1|q {C1 (λQ2 ) 2 −σ (t + 1)(3/2−σ)d }2 {C0 (λQ2 ) 2 −σ (t)( 2 −σ)d O
1

1

{ (λQ2 ) 2 −σ t(1/2−σ)d − |c1 |}2 { (λQ2 ) 2 −σ t(1/2−σ)d − |c2

≤A1 |s − 1|q (t + 1)2d 1 +

(1−2σ)d

1
t

O

≤A1 |s − 1|q (t + 1)2d 1 + 2(1 − 2σ)d
=O

1
e−σ

=O

1
21−σ
|}2

}2

1
41−σ

1
1
O 1−σ
t
4

1
e|σ|

(1.19)
với hằng số A1 > 0, từ bất đẳng thức (1 + x)m ≤ 1 + 2mx với mọi m dương và x
nhỏ dương. Do đó (1.15) đúng với t ≥ t0 đủ lớn và σ → −∞, khi d = 0 và khi
d = 0, Q > 1.

Xét các trường hợp d = 0, Q ≤ 1. Bất đẳng thức đầu tiên trong (1.19) không
đúng nữa. Nhưng, khi d = 0, phương trình hàm trong (iii) không có hệ số Gamma
nào và trở thành
L(s) = ωQ1−2s L(1 − s¯).

(1.20)

Khi σ → −∞, 1 − σ → +∞. Như vậy σ, L(1 − s¯) = L(1 − σ + it) có chuỗi Dirichlet
với a(1) = 1. Do đó L có dạng
L(s) = ωQ1−2s

1+

a(2)
a(3)
+ 1−s + . . . .

1−s
2
3

Nếu Q = 1, khi đó limσ→−∞ L(s) = ω với L = L1 , L2 , và L1 − L2 = O
đạo hàm trong (1.21), L (s) = O
|F (s)| ≤

1
21−σ

(1.21)
1
21−σ

. Lấy

với L = L1 , L2 . Do đó, từ (1.1) ta suy ra

1
1
|s − 1|q (O( 21−σ
))2 (O( 21−σ
))2
1
= O −σ .
2
2
|(ω − c1 ) (ω − c2 ) |
e

khi σ → −∞, với c1 , c2 = ω. Nếu một trong c1 , c2 là ω , giả sử c1 = ω, thì từ (1.21)
14


và (1.12), ta có
|L1 − c1 | = |L1 − ω| ≥

A2
1
, L1 = O 1−σ
1−σ
2
n1

khi σ → −∞ với A2 > 0, trong đó n1 ≥ 2 là số nguyên n nhỏ nhất sao cho a(n) = 0
trong (1.21) với L = L1 . Tương tự,
|L2 − c1 | ≥

1
A3
,
L
=
O
2
21−σ
n1−σ
2

với A3 > 0 và số nguyên n2 ≥ 2; và
(L1 − L2 )(s) = O

1
21−σ

với σ → −∞, Suy ra
|F (s)| ≤

1
1
1
|s − 1|q (O( n1−σ
))2 (O( n1−σ
))2 (O( 21−σ
))2
1

1

A3
2
| nA1−σ
(ω − c2 )2 |
n1−σ
1

=O

1

.
e|σ|

2

Khi đó, (1.15) đúng với σ → −∞, trong đó d = 0 và Q = 1.
Nếu d = 0, Q < 1, thì từ (1.21), limσ→−∞ L(s) = 0 với L = L1 , L2 , và
L1 − L2 = O

1
21−σ

. Lấy đạo hàm trong (1.21), L (s) = O(Q1−2σ ). Ta có

1
|s − 1|q (O(Q1−2σ ))2 (O( 21−σ
))2
1
|F (s)| ≤
= O |σ|
2
2
|c1 c2 |
e

với σ → −∞ và c1 c2 = 0. Nếu một trong c1 , c2 bằng 0, giả sử c1 = 0, khi đó từ
(1.21) ta được
L1 − c1 = L1 = ωQ1−2s 1 + O

1

21−σ

với L = L1 , L2 . Ta có
|F (s)| ≤

1
|s − 1|q (O(Q1−2σ ))2 (O( 21−σ
))2
1
)))2 c22 |
|(ωQ1−2s (1 + O( 21−σ

=O

1
e|σ|

với σ → −∞. Hiển nhiên, (1.15) đúng trong trường hợp này.
Do đó, (1.15) luôn đúng với t ≥ t0 cố định và σ → +∞ và σ → −∞. Với
t = t1 cố định. Ta có
|F (σ + it1 )| = O
15

1
e|σ|

(1.22)


với σ → −∞ và σ → +∞. Ta hoàn thành chứng minh bằng Định lý Carlson sau

đây.
Giả sử f là hàm phân hình và có dạng O(ek|s| ) cho Re(s) > 0 (k là số thực)
và giả sử f (s) = O(e−a|s| ) với hằng số a > 0 trên trục ảo. Khi đó f (s) ≡ 0. Để áp
dụng kết quả này cho tình huống của ta, ta thực hiện phép đổi biến:
z = x + iy = is + t1 = t1 − t + iσ,

hoặc s =

z−t1
i .

Đặt
G(z) = F (s) = F

z − t1
.
i

Khi đó từ (1.21), ta có
|G(z)| = F

z − t1
i

= O eα|

z−t1
|
i

= O eα|z|

với mọi z. Ngoài ra, trên trục ảo của mặt phẳng z , x = 0 và z = iy, tương ứng với
t = t1 và y = σ, hoặc s = σ + it1 . Do đó, ta có, từ (1.22), khi z = iy,
|G(z)| = |F (σ + it1 )| = O

1
e|σ|

=O

1
.
e|z|

Vì vậy, hàm G thỏa mãn các điều kiện trên và G bằng 0, từ đó F bằng 0. Định lý
hoàn toàn được chứng minh.

16


Chương 2
Vấn đề xác định duy nhất đối với
các L-hàm lớp Selberg
2.1

Xác định L-hàm qua nghịch ảnh các điểm riêng
rẽ
Chuỗi Dirichlet và tính chất giải tích của chúng đóng vai trò quan trọng

trong lý thuyết số giải tích. Ta sẽ chứng minh những dạng của Định lý bốn điểm
của George Polya, Định lý năm điểm của Rolf Nevanlinna cho lớp hàm rộng hơn
so với chuỗi Dirichlet trong nửa mặt phẳng phải nào đó.
Giới thiệu kết quả chính.
Một trong những định lý ngoạn mục nhất trong giải tích phức là Định lý
năm điểm của Rolf Nevanlinna khẳng định rằng hai hàm phân hình chia sẻ năm
giá trị khác nhau thì đồng nhất. Hermann Weyl gọi nó là “một trong số ít sự kiện
lớn của toán học thế kỷ XX". Nhắc lại rằng hai hàm phân hình f và g được gọi
là chia sẻ giá trị c ∈ C ∪ {∞} nếu tập hợp các nghịch ảnh của c bởi f và g là trùng
nhau, nghĩa là, f −1 (c) := {s ∈ C : f (s) = c} = g −1 (c); nếu trong trường hợp đó,
nghiệm của phương trình f (s) = c và g(s) = c có cùng bội, thì f và g được gọi là
chia sẻ giá trị c kể cả bội (CM), ngược lại, nếu chỉ tính đến giá trị mà không kể
bội thì ta gọi là chia sẻ không tính bội (IM). Theo Định lý Polya, nếu bốn giá trị

17


là chia sẻ CM, thì hai hàm là đồng nhất hoặc sai khác một biến đổi Mobius. Kết
quả này là tốt nhất có thể, chẳng hạn exp(±s) chia sẻ c = 0, ±1, ∞ CM. Lưu ý
rằng George Pólya là người đầu tiên đã chứng minh Định lý duy nhất Nevanlinna
vào năm 1921 cuối rằng hai hàm nguyên bậc hữu hạn chia sẻ bốn giá trị phức CM
là đồng nhất bằng nhau. Định lý Polya cũng đề cập đến trường hợp năm điểm.
Tuy nhiên, các hàm được xét là hàm nguyên cấp hữu hạn. Kết quả này gần như
bị lãng quên. Mục đích của chúng ta là sử dụng thành công kết quả của Polya mà
không cần đến bộ máy nặng nề của lý thuyết Nevanlinna!
Trong thập niên vừa qua, vấn đề chia sẻ giá trị được nghiên cứu đối với các
hàm phân hình xuất hiện trong lý thuyết số. Cụ thể, người ta đã chứng tỏ rằng
hai phần tử chuẩn hóa thuộc lớp Selberg chia sẻ một giá trị CM là trùng nhau.
Các hàm này có vai trò quan trọng trong số học, và việc giới hạn trong lớp này
đưa đến những kết quả về chia sẻ nhỏ hơn năm giá trị.

Ta sẽ xem xét một lớp hàm tổng quát khác và đưa ra định lý duy nhất
bằng cách sử dụng các kết quả cơ bản của giải tích phức.
Cụ thể, ta quan tâm tới các hàm có bậc hữu hạn biểu diễn như chuỗi
Dirichlet trong nửa mặt phẳng phải nào đó, đó là
f (n)n−s

L(s; f ) :=

(2.1)

n≥1

trong đó hệ số được cho bởi hàm số học f : N → C. Ví dụ L-hàm Dirichlet L(s; χ)
liên kết với đặc trưng thặng dư bình phương χ (ta đặt χ(n) = ( aq ) đối với một
số nguyên tố q ), mở rộng chúng trên N bằng cách cho χ(n) = 0 với mọi n không
nguyên tố cùng nhau với q . Ta xem xét các hàm ở dạng tương tự các L-hàm
Dirichlet hoặc các L-hàm tổng quát trong lý thuyết số, và không đòi hỏi sự tồn
tại tích Euler như là tiêu chuẩn cho các L-hàm nói chung.
Định lý 2.1. [[3], T heorem 1.1] Với j = 1, 2, giả sử L(s; fj ) là các hàm nguyên
có bậc hữu hạn, biểu diễn bởi chuỗi Dirichlet hội tụ có dạng (2.1) trong nửa mặt
phẳng phải. Nếu L(s; f1 ) và L(s; f2 ) chia sẻ hai giá trị phức phân biệt, tính cả bội,
18


thì chúng trùng nhau.
Để loại trừ tính chất không quan trọng, chúng ta giả sử các hàm L(s; fj )
trong định lý là không liên tục. Lưu ý rằng mọi cặp hàm L(s; fj ) mà là các hàm
phân hình đều chia sẻ giá trị ∞. Tuy nhiên, phát biểu là tốt nhất vì L(s; f2 ) và
L(s; f1 ) chia sẻ không điểm khi f2 = λf1 , trong đó λ là hằng số khác không. Xét

họ hàm nguyên được xác định như chuỗi Dirichlet trong một nửa mặt phẳng phải
được cho bởi
exp(−αn)n−s ,

L(s; fα ) =
n≥1

fα (n) = exp(−αn), trong đó α là số thực dương. Các chuỗi Dirichlet này hội tụ

trong toàn bộ mặt phẳng phức theo một kết quả cổ điển của Eugène Cahen, cụ
thể:
Nếu

n≥1 f (n)

hội tụ, thì sự hội tụ của
lim sup

log

n≥N

f (n)

log N

N →∞

n≥1 f (n)n

−s

tương đương với

< +∞.

Trong ví dụ, giới hạn trên bằng −∞ nên L(s; fα ) là hàm nguyên. Với s = r exp(iφ),
ta có
|L(s; fα )| ≤








+
1≤n≤r/ log r

n>r/ log r

exp(−αn)nr

exp(r log r)



khi r → ∞, do đó L(s; fα ) có bậc hữu hạn. Về sau, ta sẽ nghiên cứu họ chuỗi
Dirichlet này tỷ mỷ hơn để cho thấy rằng phát biểu của Định lý 2.1 là tối ưu.

Hàm zeta Riemann ζ(s) = L(s; 1), trong đó 1 có nghĩa là hàm hằng số 1, là hàm
giải tích tích trừ ra tại cực điểm đơn ở s = 1.
Chứng minh Định lý 2.1
Giả sử L(s; f1 ) và L(s; f2 ) chia sẻ hai giá trị phức phân biệt a và b tính cả
bội. Do hai hàm chia giá trị a tính cả bội, nên ta có
la (s) =

L(s; f1 ) − a
L(s; f2 ) − a

19


xác định một hàm nguyên cấp hữu hạn. Bởi lý thuyết Jacques Hadamard các hàm
nguyên, ta có
(2.2)

la (s) = exp Pa (s)
Pa là đa thức.

Edmund Landau đã chứng minh, cho hàm D không triệt tiêu, được biểu
diễn bởi một chuỗi Dirichlet D(s) =

n b(n)n

−s

trên nửa mặt phẳng phải s > σ0 ,

khi đó nghịch đảo của nó biểu diễn chuỗi Dirichlet. Thực tế, ta không cần kết

quả này vì mọi chuỗi Dirichlet hội tụ đều không có không điểm trong nửa mặt
phẳng phải bởi định lý về tính duy nhất của chuỗi Dirichlet, cho nên L(s; f2 ) − a
là chuỗi Dirichlet không triệt tiêu với mọi s có phần thực đủ lớn, do đó, theo
Định lý Lamdau, nghịch đảo của nó cũng biểu diễn chuỗi Dirichlet trong cùng
một miền. Xác định

: N → C bởi (1) = 1 và (n) = 0 với mọi n > 1, ta có

L(s; fi ) − a = L(s; fi − a ) với j = 1, 2, và theo định lý Landau,
L(s; f2 − a )−1 = L(s; g),

trong đó (f2 − a )∗ g = . Tích
la (s) = L(s; f1 − a )L(s; g),

đúng với mọi s có phần thực đủ lớn. Vì tập hợp các chuỗi Dirichlet là một vành,
vế phải là chuỗi Dirichlet tuần hoàn, trong đó ma là số nhỏ nhất trong các số
n ∈ N để ga (n) = 0. So sánh với (2.4) ta có
ga (n)n−s ,

L(s; f1 − a )L(s; g) = L(s; (f1 − a ) ∗ g) =
n≥1

Suy ra rằng
ga (n)n−s =
n≥1

ga (n)n−s ,
n≥ma

trong đó ma là số nhỏ nhất trong mọi n ∈ N mà ga (n) = 0. Trong (2.2), ta có biểu

20