ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai
điểm A, B và P
1
P
2
là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P
1

(O
1
),
P
2

(O
2
)). Gọi M
1
và M

2
tương ứng là hình chiếu vuông góc của P
1
và P
2

trên đường thẳng O
1
O
2
. Đường thẳng AM
1
cắt (O
1
) tại điểm thứ hai N
1
,
đường thẳng AM
2
cắt (O
2
) tại điểm thứ hai N
2
. Hãy chứng minh N
1
,B,N
2

thẳng hàng .

Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a,
b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a
n
6
+ b
n
6
.
Hãy tìm số dư trong phép chia p
n
6
+ q
n
6
cho 6.(12)
n
.

Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x
n
}, n

N, được xác định
bởi:
x
0
= a và x
1n
= x
n

+ b.sinx
n
với mọi n

N.
1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x
n
} có giới
hạn hữu hạn khi n

. Hãy tính giới hạn đó theo a.
2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a
sao cho dãy {x
n
} tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n

.
( N là tập hợp các số tự nhiên)
-----------------------------

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :












52103
6 3z x
}3,2{xmin
2
1
zy
yz

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P(x,y,z) =
222
321
zyx



Bài 5 : Cho hàm số g(x) =
2
1
2
x
x

. Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định ,
liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức :
(1 - x
2
).f(g(x)) = (1 + x
2
)
2
.f(x)
với mọi x

(-1;1).

Bài 6 : Cho số nguyên n


1. Xét hoán vị (a
1
,a
2
,…,a
n2
) của 2n số nguyên
dương đầu tiên sao cho các số |a
1i
- a
i
|, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác
nhau . Chứng minh rằng a
1
- a
n2
= n khi và chỉ khi 1

a
k2
n
với mọi k =
1,2,…,n.
-----------------------------

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R
1
) và (O,R
2
) có
R
1
>R
2
. Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh
A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R
1
) và giao điểm của hai đường chéo
AC,BD nằm trên đường tron (O,R
2
). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai
đường thẳng AD và BC .

Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và
thoả mãn hệ thức :
f(y – f(x)) = f(x
2002

- y) – 2001y.f(x)
với mọi số thực x, y.

Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X
thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt :
m =
||
)(
T
Xm


ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T .
Hãy tính giá trị của m.
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
----------------------------------

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng :
6(a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)≤ 27abc + 10(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
3

Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 5 : Xét phương trình :

x2
1

+
1
1
x
+
4
1
x
+ … +
2
1
kx 
+ … +
2
1
nx 
= 0
trong đó n là tham số nguyên dương .
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu
trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x
n
.
2/ Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn khi n



Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :
C

n
n2
= (2n)
k

trong đó k là số các ước nguyên tố của C
n
n2
.
(C
n
n2
kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử)
----------------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003


Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và
thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x
với mọi x thuộc khoảng (0;

).
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đoạn [-1;1]

Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc
với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O
2
) lớn hơn bán kính của
đường tròn (O
1
). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O
2
) sao cho 3 điểm
O
1

,O
2
,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường
tròn (O
1
) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại
đường tròn (O
2
),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng
EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O
2
) . Chứng minh rằng điểm D di
động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O
2
) sao
cho ba điểm O
1
,O
2
,A không thẳng hàng .
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)

Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s
n
là số các hoàn vị (a
1
,a
2
,….,a
n

)
của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a
1
,a
2
,…., a
n
) đều có tính
chất 1

|a
k
- k|

2 với mọi k = 1,2,3,…,n.
Chứng minh rằng : 1,75.s
1n
< s
n
< 2.s
1n
với mọi số nguyên n >6

------------------------------------------------