PT-HPT VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
  
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BM_ TOÁN
BÁO CÁO
GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
Sinh viên thực hiện_nhóm 1:
1.Trần Thị Điệp 1090039
2.Huỳnh Vĩnh Sang 1090058
3.Nguyễn Hữu Tài 1090059
4.Nguyễn Minh Sơn 1090024
Giáo viên hướng dẫn:
Bùi Phương Uyên
ĐH CẦN THƠ 9/2010
(Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ)
PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
Lược đồ để giải các phương trình vô tỉ:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện:
• Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
• Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ ,có 4 dạng đặt ẩn phụ
a.Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình
với một ẩn phụ
b.Sử dụng một ẩn phụ chuyển một phương trình ban đầu thành một phương
trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c.Sử dụng k ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình
với k ẩn phụ

• Phương pháp 3: Hàm số bao gồm:
a.Sử dụng tính liên tục của hàm số
b.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Chú ý:
1.Trong trường hợp sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ,chúng ta
có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp
2.Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:
a.Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện
kẹp cho ẩn phụ
b.Với phương chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ
Ví dụ: Nếu đặt
2
2 5t x x= − +
thì:
a.Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần điều kiện
0t ≥
b.Với phương trình chứa tham số phải cần điều kiện
2t ≥
I.SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
1.Phương pháp:
Với các dạng cơ bản:
Dạng 1: Phương trình:
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0 (*)
( , ) ( , )
f x m g x m
x D
f x m g x m
f x m g x m
=

∈

⇔ = ≥ ⇔

=

Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của
( , ) 0 & ( , ) 0f x m g x m≥ ≥
Dạng 2: Phương trình:
( , ) ( , )f x m g x m=
Trang 1

{
Dạng 3:Phương trình:
( , ) ( , ) ( , )f x m g x m h x m+ =

{
2.Ví dụ:
Ví dụ 1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2x x m x x− + − = + −
Giải:
Phương trình được biến đổi tương đương về dạng:
2 2
3 2 2 0x x m x x− + − = + − ≥
2
1 2
3 2 0
1
1

x
x x
x m
x m
≤ ≤

− + − ≥

⇔ ⇔
 
= +
= +


Do đó để phương trình có nghiệm, điều kiện là:
1 1 2 0 1m m≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤
Ví dụ 2: Cho phương trình:
2
1x x m− − =
(1)
a.Giải phương trình với m=1
b.Giải và biện luận phương trình
Giải:
Phương trình được viết lại:
2
1x x m− = +
2 2 2
0
( )
1 ( ) 2 1

x m x m
I
x x m mx m
+ ≥ ≥ −
 
⇔ ⇔
 
− = + = − −
 
a.Với m=1 ,hệ (I) được chuyển về dạng:
1
1
2 2
x
x
x
≥ −

⇔ = −

= −

Vậy với m=1 phương trình có nghiệm x = -1
b.Ta xét các trường hợp:
 Với m = 0 ,khi đó (2) vô nghiệm. Do đó (1) vô nghiệm
 Với m
≠
0
Khi đó (I) có nghiệm
⇔

(2) có nghiệm thỏa mãn
x m≥ −
2 2
1 1
0
2 2
m m
m
m m
+ −
⇔ − ≥ − ⇔ ≥
⇔
[
Trang 2
f(x,m) có nghĩa và f(x,m)
≥
0
g(x,m) có nghĩa và g(x,m)
≥
0
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )f x m g x m f x m g x m h x m+ + =
g(x,m) có nghĩa & g(x,m)
≥
0
f(x,m) = g
2
(x,m)
m
≥
1

-1
≤
m<0
Kết luận:
• Với m
≥
1 hoặc
1 m
− ≤
<0 ,phương trình có nghiệm:
2
1
2
m
x
m
+
= −
• Với m<-1 hoặc
0 m≤
<1 ,phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3 4 2 1 3x x x+ − + = +
Giải:
Viết lại phương trình:
3 4 2 1 3x x x+ − + = +
3 4 0
3 0
3 4 3 2 (1 )(1 2 ) 2 1
x

x
x x x x x

+ ≥

⇔ + ≥


+ + + + − − = +

(2)
(2) vô nghiệm vì –
(x+3)<0,
4
3
x∀ ≥ −
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
II.SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 1:
1.Phương pháp:
Ta chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ
Các ẩn phụ thường gặp sau:
• Nếu bài toán chứa
( )f x
& f(x) có thể:
Đặt t =
( )f x
,điều kiện tối thiểu
0t
≥
, khi đó f(x)=t

2
• Nếu bài toán chứa
( ), ( ) & ( ) ( )f x g x f x g x k=
( k=const ) có thể đặt
t =
( )f x
,điều kiện tối thiểu
0t
≥
,khi đó
( )
k
g x
t
=
• Nếu bài toán chứa
( ) ( ), ( ) ( )f x g x f x g x+
& f(x) + g(x) = k
( k=const) có thể:
Đặt
( ) ( )t f x g x= ±
,khi đó
2
( ) ( )
2
t k
f x g x
−
=
• Nếu bài toán chứa

2 2
a x−
có thể:
Trang 3
4
4
3
3
3
(1 )(1 2 ) ( 3)
(1 )(1 2 ) 3
x
x
x
x x x
x x x

≥ −


≥ −


⇔ ≥ − ⇔
 
 
− − = − +
− − = − −




Đặt
sint a t=
,với
2 2
t
π π
− ≤ ≤
hoặc
cosx a t=
,với
0 t
π
≤ ≤
• Nếu bài toán chứa
2 2
x a−
có thể:
Đặt
sin
a
x
t
=
với
{ }
, \ 0
2 2
t
π π

 
∈ −
 
 
hoặc
cos
a
x
t
=
với
[ ]
0, \
2
t
π
π
 
∈
 
 
• Nếu bài toán chứa
2 2
a x+
,có thể:
Đặt
tanx a t=
với
( , )
2 2

t
π π
∈ −
hoặc
cotx a t=
với
(0, )t
π
∈
• Nếu bài toán chứa
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
có thể đặt x = acos2t
• Nếu bài toán chứa
( )( )x a b x− −
có thể đặt x = a+(b-a)sin
2
t
2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
11 31x x+ + =
Giải:

Đặt
2
11t x= +
,t > 0
⇒
t
2
- 11 = x
2
,Phương trình trở thành: t
2
+ t -42 = 0
1 169
2
t
− +
⇔ =
(vì t >0)
2
1 169 63 169
11
2 2
x x
− + −
⇒ + = ⇒ =
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =
Giải:
Đặt t = x

2
-3x + 3 ,ta có:

2
3 3 3
( )
2 4 4
t x= − + ≥
Khi đó phương trình trở thành:
3 3 3 2 ( 3) 9t t t t t t+ + = = + + + + =
2
3 0
3
( 3) 3 1
1
( 2) (3 )
t
t
t t t t
t
t t t
− ≥
≤


⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
+ = −



2
1
3 3 1
2
x
x x
x
=

⇔ − + = ⇔

=

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ,x = 2
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
1x x m+ − =
(1)
Giải:
Trang 4
Điều kiện:
0
0 1
1 0
x
x
x
≥

⇔ ≤ ≤


− ≥

Thấy:
2 2
( ) ( 1 ) 1x x+ − =
Ta đặt:
cos
1 sin
x t
x t

=


− =


,với
0,
2
t
π
 
∈
 
 
Khi đó phương trình trở thành dạng:
cost + sint = m
os( )

4
2
m
c t
π
⇔ − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
1 1 2 2
2
m
m− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Với điều kiện đó ta đặt :
[ ]
os , 0,
2
m
c
α α π
= ∈
Ta được:

2
2
os( ) os 2
4
2 os ( 2 )
4 4
os ( )
4
c t c t k

t k x c k
x c
π
α α π
π π
α π α π
π
α
− = ⇔ − = ± +
⇔ = ± + ⇔ = ± +
⇔ = ±
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 2
1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + −
Giải:
Điều kiện:
2
1 0 1 1x x− ≥ ⇔ − ≤ ≤
Đặt x = sint với
[ ]
0,t
π
∈
Khi đó phương trình trở thành:
2 2
1 1 sin sin (1 2 1 sin )t t t+ − = + −
Trang 5
os 0
1
2

6
2
3 2
1
sin
2
2 2
t
c
t
x
t
x
t
π
π


=
=



=


⇔ ⇔ ⇔





=
=
=





Vậy nghiệm của phương trình là :
x=1/2 hoặc x=1
III.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ _DẠNG 2:
1 cos sin (1 2cos )
2 os sin sin 2
2
3
2 os 2sin os
2 2 2
3
2 cos (1 2 sin ) 0
2 2
t t t
t
c t t
t t t
c c
t t
⇔ + = +
⇔ = +
⇔ =

⇔ − =
1.Phương pháp:
• Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương
trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
• Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi
lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu
diễn triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu
diễn quá phức tạp
• Khi đó ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn
x ) có biệt số
∆
là một số chính phương
2.Ví dụ: Giải phương trình:
2 2
1 2 2x x x x− = +
Giải:
Đặt
2
2t x x= +
,với
2 2
0 2t t x x≥ ⇒ = +
Khi đó phương trình trở thành:
2
2
2 1 2
2 2 1 0
t x xt
t xt x
− − =

⇔ − − − =
Ta có:
2 2
2 1 ( 1)x x x
′
∆ = + + = +
Do đó phương trình có nghiệm:
2 2
2 2
2
2 ( 1)
3 1 0
2 (3 1)
3 1
1
1 0
2 ( 1)
1
3
8 4 1 0
1
1
4
t x x
x
x x x
t x
t x
x
x x x

x
x x
x
x
= ± +
 + ≥



+ = +
= +



⇔ ⇔


= −
− ≥





+ = −




≥ −






+ + =


⇔

≥





=




Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 6
IV.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 3:
1.Phương pháp:
• Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương
trình với k ẩn phụ
• Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa
các đại lượng tương ứng .Chẳng hạn đối với phương trình:
( ) ( )

m m
a f x b f x c− + + =
⇔
vô nghiệm
Ta có thể đặt:
( )
( )
m
m
u a f x
v b f x

= −


= +



Suy ra
m m
u v a b+ = +
Khi đó ta thu được hệ phương trình:
m m
u v a b
u v c

+ = +

+ =


2.Ví dụ:
3
2 1 1x x− = − −
Giải:
Điều kiện:
1 0 1x x− ≥ ⇔ ≥
Đặt
3
2
, 0
1
u x
v
v x

= −

≥

= −


Suy ra
3 2
1u v+ =
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
3 2
3 2 3 2
3

3
3
1
(1 ) 1 2 0
1
2 0
2
1 2 1 1
2 10
2 2
u v
u u u u u
u v
x
u o x
u x x
u x
x

+ =
⇒ + − = ⇔ + − =

+ =


− =
= =
 

 

⇔ = ⇔ − = ⇔ =

 

 
= − =
− = −
 


Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 2 ,x = 1 ,x = 10
V.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ:
1.Phương pháp:
Cho phương trình f(x)=0 ,để chứng minh phương trình có k nghiệm phân
biệt trong
[ ]
,a b
,ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn các số a < T
1
< T
2
< … < T
k-1
< b chia đoạn
[ ]
,a b
thành k
khoảng thỏa mãn:

{
Trang 7
Bước 2: Kết luận
2. Ví dụ: Cho phương trình :
3
2 6 1 3x x+ − =
CMR: phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9)
Giải:
Đặt
3
1t x= −
Khi đó phương trình có dạng: 2t
3
- 6t + 1 = 0
Xét hàm số f(t) = 2t
3
- 6t + 1 = 0 liên tục trên R
f(a)f(T
1
)<0
……….
f(T
k-1
)f(b)<0
Ta có: f(-2) = -11 ,f(0) = 1 ,f(1) = -3 ,f(2) = 13
Suy ra:
• f(-2)f(0) =-11<0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm
1
( 2,0)t ∈ −
khi đó

3
3
1 1 1 1 1
1 1 & (1,9)t x x t x= − ⇒ = − ∈
• f(0)f(1) = -3 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm
2
(0,1)t ∈
khi đó
3
3
2 2 2 2 2
1 1 & (0,1)t x x t x= − ⇒ = − ∈
• f(1)f(2) = -39 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm
3
(1, 2)t ∈
khi đó
3
3
3 3 3 3 3
1 1 & ( 7,0)t x x t x= − ⇒ = − ∈ −
Vậy phương trình có 3 nghiệm trên khoảng (-7,9)
VI.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1.Phương pháp:
Ta có 3 hướng áp dụng sau:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = k (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3: Nhận xét
• Với

0 0
( ) ( )x x f x f x k= ⇔ = =
,do đó x = x
0
là nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )x x f x f x k> ⇔ > =
,do đó phương trình vô nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )x x f x f x k< ⇔ < =
,do đó phương trình vô nghiệm
Hướng 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x) (2)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x) & y = g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến còn hàm số y
= g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Xác định x
0
sao cho f(x
0
) = g(x
0
)
Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x
0
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u) = f(v) (3)
Trang 8

Bước 2: Xét hàm số y = f(u)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3: Khi đó
(3)
1
( , )u v u v D⇔ = ∀ ∈

2.Ví dụ: Giải phương trình:
2
1 3x x x− = + −
Giải:
Điều kiện :
1x ≥
Xét hàm số
( ) 1f x x= −
,là hàm đồng biến trên
[
)
1,D = +∞
Xét hàm số g(x) = 3 + x - x
2

MXĐ:
[
)
1,D = +∞
Đạo hàm:
2
( ) 1 0,g x x x D
′

= − < ∀ ∈
.Suy ra : hàm số nghịch biến trên D
Do đó phương trình đã cho có dạng: f(t) = g(t)
Nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất
Thấy x = 2 thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Lược đồ để giải các bài toán bất phương trình vô tỉ:
Ä Đặt điều kiện có nghĩa cho bpt
Ä Lựa chọn phương pháp thực hiện
1. Biến đổi tương đương.
2. Đặt ẩn phụ, bao gồm:
a) Sử dụng một ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một
bất phương trình với một ẩn phụ.
b) Sử dụng một ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một
bất phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa
c) Sử dụng ẩn phụ chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất
phương trình hoặc một hệ bất phương trình với ẩn phụ.
o Hàm số: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Chú ý: tương tự như chú ý ở phần A
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
1. Phương pháp:
Ä Dạng 1: Bất phương trình
Trang 9
<
Ä Dạng 2: Bất phương trình