CAC BAI TẬP HH KHÔNG GIAN

BÀI TẬP
BT1. Trong không gian Oxyz, cho A(1,1,1), B(2,0,-1),C(3,0,2),D(-1,0,2). Lập
phương trình mp(P).
1. Qua A,B,C.
2. Qua A, vuông góc BC.
3. Qua A,B song song CD.
4. Qua O, song song AD và BC.
5. Qua A,B vuông góc mp(Q): 2x + y – 1 = 0.
Giải:
1.
là vtpt của mp(P), nên mp(P) có dạng:
-3x – 5y + z + D = 0
Vì
B∈
mp(P)
⇒
D = 7
Mp(P): 3x + 5y – z -7 = 0
2.
(1,0,3)BC =
uuuv
là vtpt của mp(P), nên mp(P) có dạng: x + 3z + D = 0
Do A
∈
(P)
⇒
D = -4.
Mp(P): x + 3z – 4 = 0
3.
( 4,0,0)CD = −
uuuv

. Mp(P) nhận
,CD AB
uuuv uuuv
làm cặp vtcp
, (0,8, 4)n AB CD
 
= = −
 
v uuuv uuuv
Mp(P): 8y – 4z + D = 0
B
∈
(P)
⇒
D = -4
Mp(P): 2y – z – 1 = 0
4.
Mp(P) nhận
( 2, 1,1), (1,0,3)AD BC= − − =
uuuv uuuv
làm cặp vtcp.
, ( 3,7,1)n AD BC
 
= = −
 
v uuuv uuuv
là vtpt của mp(P). Vì O
∈
(P) nên:
Mp(P): 3x – 7y – z = 0

5.
Mp(P) có vtpt
1
(2,1,0)n =
uv
. Mp(P) nhận
1
(2,1,0), (1, 1, 2)n AB= = − −
uv uuuv
làm cặp vtcp.
1
, ( 2,4, 3)n n AB
 
= = − −
 
v uv uuuv
là vtpt của mp(P).
Mp(P): -2x + 4y – 3z + D = 0
B
∈
(P)
⇒
D = 1.
Mp(P): 2x - 4y + 3z – 1 = 0
BT2. Trong không gian Oxyz, cho:
(1, 1, 2)
(2, 1,1)
, ( 3, 5,1)
AB
AC

n AB AC
= − −
= −
 
= = − −
 
uuuv
uuuv
v uuuv uuuv
mp(P): 2x + 2y – z + 1 = 0
mp(Q): x – 2y +2z – 3 = 0
1. Tìm:
a. Giao tuyến của (P) và (Q).
b. Góc giữa (P) và (Q)
c. Lập ptmp(R) qua giao tuyến của (P), (Q) và
i. Qua O
ii. Hợp với mp(Oxy) một góc
0
45
2.
( )
m
Mp
α
:
( 1) ( ) ( 2) 2 0m x m n y n z− + − + − + =
. Tìm m,n để
( ) / /( )
m
P

α
. Khi đó:
i. Tính
( , )
m
d P
α
ii. Lập ptmp
( )
β
cách đều
( )
M
α
và
( )P
Giải:
1. Vì
1 1
2 2
2 2
2 1
1 2
A B
A B
−
= = ≠ − = =
nên (P) cắt (Q)
a. Giao tuyến của (P) và (Q):

2 2 1 0
2 2 3 0
x y z
x y z
+ − + =
 
 
− + − =
 
b.

1
1
2 2
1 2
1 2
1 2
(2,2, 1) 3
(1, 2,2) 3
.
4
os( , ) os( , )
9
.
n n
n n
n n
c P Q c n n
n n
= − ⇒ =

= − ⇒ =
= = =
uuv uv
uuv uuv
uvuuv
uv uuv
uv uuv
c.

2 2
( ) : (2 2 1) ( 2 2 3) 0,( 0)Mp R m x y z n x y z m n+ − + + − + − = + ≠
i. Qua O:
ii. (Oxy) có pt: z = 0
Pt vô nghiệm.
2.
3 0 3 .
1 3
( ) :7 4 0
m n m n
n m
Mp R x y z
− = ⇔ =
= ⇒ =
+ − =
3
3
1 1
2 2 2
( ) : ( 1) ( ) ( 2) 2 0
( 1, , 2)

( ) / /( ) :
1 2
2
2 2 1
1
( ) : 2 2 2 0
3
1, 3.
. (0,0,2) ( )
2 1
1
( , ) ( , )
3
2 2 ( 1)
. (2,2, 1) ( ) : 2 2 0
(0
m
m
m
m
m x m n y n z
n m m n n
P
m m n n
n
x y z
m
n m
i A
d d A

ii n x y z D
M
α
β
α
α
α
α
α α α
β
− + − + − + =
= − − −
− − −
= = ≠
=
 
⇔ ⇒ + − + =
 
=
 
= =
∈
− +
= = =
+ + −
= − ⇒ + − + =
uuuv
uuv
,0, ) ( )
( ,( )) ( ,( ))

1 2
3 3
3
2
3
( ) :2 2 0
2
m
D
d M P d M
D D
D
x y z
β
α
β
∈
=
− + − +
⇔ =
⇔ =
+ − + =

BT3. Trong không gian với hệ tọa độ Đecac vuông góc cho
mp(P): x – y +z + 3 = 0 và hai điểm A(-1,-3,-2),B(-5,7,12).
a. Tìm tọa độ điểm C là điểm đối xứng của điểm A qua mp(P).
b. Giả sử M là một điểm chạy trên mp(P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: MA + MB
Giải:
a.

(1, 1,1)
P
n = −
uuv
. Ptts của đt AC qua A, vuông góc (P) là:
1
3
2
x t
y t
z t
= − +
 
 
= − −
 
 
= − +
 
Thế vào ptmp(P):
1 3 2 3 0t t t
− + + + − + − =
1 ( ) ( 2, 2, 3)
2
2
2
( 3, 1, 4)
H A C
H A C
H A C

t AC P H
x x x
y y y
z z z
C
⇒ = − ⇒ ∩ = − − −
= +
 
 
= +
 
 
= +
 
⇒ − − −
b.
( , , ) 3
( 1, 3, 2) 3 0
( 5,7,12) 3 0
f x y z x y z
f
f
= − + +
− − − = >
− = >
⇒
A, B cùng bên đối với mp(P)
Do A, C đối xứng qua (P)
⇒
MA = MC. Ta có:

MA + MB = MC + MB
≥
CB = 18
Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB = 18 xảy ra
⇔
C,M,B thẳng hàng
⇔ ( )M CB P= ∩
⇔ ( 4,3,4)M −
BT4. Trong không gian với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxyz cho
mp(P):
2
2 2 3 0x y z m m+ + − − =
, mặt cầu
2 2 2
( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 9S x y z− + + + − =
.
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu(S). Với m tìm được hãy xác định tọa
độ tiếp điểm của mp(P) với mặt cầu(S).
Giải:
Mặt cầu(S) có tâm I(1,-1,1), bán kính R = 3.
Mp(P) tiếp xúc với mc(S)
⇔
d(I,(P)) = R
2
2 2
2 2 1 3 3 4 4 1
3 10 0 3 8 0
5 2 ( ) : 2 2 10 0
m m
m m m m

m m P x y z
⇔ − + − − = + +
⇔ + − = ∨ + + =
⇔ = − ∨ = ⇒ + + − =
Ptđt d qua I và vuông góc với (P) là:
1 2
1 2
1
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

Thế vào ptmp(P):
2(1 2 ) 2( 1 2 ) 1 10 0 1
(3,1,2)
t t t t
M
⇒ + + − + + + − = ⇒ =
⇒