ỨNG DỤNG của đạo hàm để xét TÍNH đơn điệu của hàm số

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
Tên chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
CỦA HÀM SỐ

MỤC LỤC
Mục lục…………………………………………………………………….
Phần 1 : Mở đầu……………………………………………………………
Phần 2 : Nội dung………………………………………………………….
A. Kiến thức cơ bản ………………………………………………………
B. Kỹ năng ..........………………………………........................................
C. Bài tập áp dụng
1. Bài tập nhận biết và thông hiểu ………………………………………..
2. Bài tập vận dụng và vận dụng cao………………………………………
3. Bài tập tự luận…………………………………………………………..
D.Bài tập tự luyện tập………………………………………………………..
Phần III. Kết luận và kiến nghị………………………………………………
Tài liệu tham khảo
…………………………………………………………………

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1

Trang
2
3
6
6

7
9
9
11
18
23
22

39


Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm
từ cuối học kỳ 2 của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến
thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạo
hàm, hoặc khảo sát hàm số, còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải các
bài toán liên quan đến hàm số, phương trình , hệ phương trình thì lại tỏ ra lúng
túng, bỡ ngỡ.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏi
liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh
thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán
như: xét tính đơn điệu của hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực
trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các
giờ lên lớp. Trong các giờ học các em thường bị động trong nghe giảng và rất
lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu
được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng
ứng dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ
và làm được như vậy?’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi
dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều
rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp
truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh

tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê
trong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên.
Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê
đối với các em học sinh .
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số .Vì
vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát
triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này

2


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các
học sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như
bài toán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố hay áp dụng tính đồng biến
nghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình thì học sinh
thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất
của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên
khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.
Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các
bài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm
giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn
nêu ra đề tài ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA
HÀM SỐ ”để giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn
trong học tập và trong giảng dạy.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này tôi đưa ra một số nhiệm vụ sau đây:
a) Nghiên cứu cơ sở lý luận của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

b) Vận dụng quan điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học
chủ đề ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
-Đề tài này được triển khai thực tiễn cho các em học sinh có lực học từ trung
bình khá trở lên.
-Các bài toán ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số ,trong
chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi THPT Quốc gia.
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Các dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán phổ
thông, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia, trong các kỳ thi chọn HSG cấp
tỉnh.
3


- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
- Thời gian dạy cho học sinh: 10 tiết
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu
Nghiên cứu các tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp bộ môn cùng
với các tài liệu có liên quan đến đề tài
- Phương pháp điều tra quan sát
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Phương pháp thống kê toán học
-Xử lí các số liệu thu được sau khi điều tra.
VII. CẤU TRÚC CỦA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
Phần I : Đặt vấn đề.
Phần II : Nội Dung.
Phần III: Kết luận và Kiến nghị

4

PHẦN 2: NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc
một đoạn.
+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi
x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi
x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên
khoảng K.
+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '( x) �0, x �K .
+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '( x) �0, x �K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên
khoảng K.
+ Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
+ Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
+ Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số không đổi trên tập K.
 Chú ý :
+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung
giả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn:
a; b
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn   và có đạo hàm f '( x)  0, x �K trên
a; b
a; b
khoảng   thì hàm số đồng biến trên đoạn   .

+ Nếu f '( x) �0, x �K ( hoặc f '( x) �0, x �K ) và f '( x )  0 tại một số hữu
hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).
B. KỸ NĂNG
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)
5


Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức
P(x) không xác định .
Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định
Bước 1: Tim tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm y '  f '( x) .
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình f '( x)  0 hoặc những giá trị của x để cho
f '( x ) không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến
a; b
trên   cho trước.

a; b �K .
Cho hàm số y  f ( x; m) có tập xác định K, khoảng  

+ Hàm số nghịch biến trên  a; b  � y '  0, x �(a; b) .

+ Hàm số đồng biến trên  a; b  � y '  0, x �(a; b) .
 Chú ý :
- Đối với hàm số đa thức thì :

ۣ
�y ' 0, x (a; b)
+ Hàm số nghịch biến trên  a; b  ۣ
.
y ' 0, x ( a; b)
+ Hàm số đồng biến trên  a; b  ۳�
.

- Đối với hàm phân thức

y

ax  b
cx  d thì :
 a; b  � y '  0, x �(a; b)

+ Hàm số nghịch biến trên

+ Hàm số đồng biến trên  a; b  � y '  0, x �(a; b) .
 Nhắc lại một số kiến thức liên quan :
2
Cho tam thức f ( x)  ax  bx  c(a �0)

�a  0
f ( x) �0, x �R � �
� �0
a)
�a  0
f ( x)  0, x �R � �

�  0
b)
�a  0
f ( x) �0, x �R � �
� �0
c)
�a  0
f ( x)  0, x �R � �
�  0
d)
6

.


 Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

khoảng   :
Bước 1: Đưa bất phương trình f '( x )  0 (hoặc f '( x)  0, x �(a; b) ) về dạng
g ( x)  h(m) (hoặc g ( x)  h( m), x �( a; b) ).
a; b

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng   .
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần
tìm của tham số m.
a; b

7

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu.
Câu 1 : Cho hàm số

y

x 1
1  x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�;1) �(1; �) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;1) �(1; �) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�;1) ; (1; �) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;1) ; (1; �) .
Lời giải : Đạo hàm :
(�;1) ; (1; �)

y' 

2
 0, x �1
(1  x) 2
thì hàm số nghịch biến trên khoảng

*Chú ý: Hàm số đơn điệu trên khoảng; đoạn, nửa khoảng nhưng không phải
trên tập hợp ( không có các ký hiệu giao, hợp, hiệu hai tập hợp).
3
2
Câu 2:Cho hàm số y  x  3x  20 x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Hàm số nghịch biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�; 2) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�; 2) và hàm số nghịch biến trên khoảng
(2; �) .
D. Hàm số đồng biến trên R.
2
Lời giải : Hàm đa thức: y '  3x  6 x  20  0, x �R nên hàm số đồng biến trên
R.

( Học sinh vận dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để làm các dạng toán
này)
3
2
Câu 3:Cho hàm số y   x  3 x  3 x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Hàm số nghịch biến trên R.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�;1) ; (1; �) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;1) và hàm số nghịch biến trên khoảng
(1; �) .
D. Hàm số đồng biến trên R.
8


2
Lời giải: Hàm đa thức: y '  3x  6 x  3 �0, x �R nên Hàm số nghịch biến
trên R.

( Học sinh vận dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để làm các dạng toán
này)
3
2

Câu 4: Cho hàm số y  x  3 x  3 x  15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai:

A. Hàm số nghịch biến trên (-3;1).
B. Hàm số đồng biến trên R.
C. Hàm số đồng biến trên (-9; -5).
D. Hàm số đồng biến trên (5; �) .
x 1
�
y '  3x2  6 x  9  0 � �
x  3
�
Lời giải: Hàm đa thức:

Hàm số y '  0, x �(3;1) nên hàm số nghịch biến trên (-3;1).
Câu 5. Với các giá trị nào của m thì hàm số

y

1 3 m 2
x  x  2x  1
3
2
luôn đồng biến

trên R ?
A. m  0

B. m  0

C. Với mọi giá trị m

D. Không

có giá trị m
Chọn: Đáp án D
y

1 3 m 2
x  x  2x  1
3
2
, DR

y '  x 2  mx  2 Để hàm số luôn đồng biến trên R ۳�
y ' 0, x R
�  �0 � m 2  8 �0 (vô nghiệm)

Vậy: không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Nhận xét:Bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến trên khoảng, đoạn tức là
đạo hàm của hàm số đó không âm trên đoạn, khoảng đã cho. Ở bài toán này là
luôn đồng biến trên R và đạo hàm là hàm số bậc 2 và ta để ý thấy , a c trái dấu
suy ra đạo hàm đó không thể luôn không âm suy ra không tồn tại m.
9


Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = x3 - 3x2 + mx + 1 luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
A. m > 3 .
B. m < 3 .

C. m �3 . D. m �3 .

Chọn đáp án D
y ' = 3x2 - 6x + m . Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định 
D=-�۳
' 9 3m 0 m 3 chọn D

Câu 7.Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  xác định, liên
tục trên R và   có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây là đúng?
f' x

1; � .
A. Hàm số đồng biến trên 

�; 1
3; � .
B. Hàm số đồng biến trên 
và 
�; 1 .
C. Hàm số nghịch biến trên 

D. Hàm số đồng biến trên  �; 1 � 3; � .
Lời giải

 và 
 đồ thị hàm số
Chọn B Trên khoảng 
hoành
2. Bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

�; 1

f ' x

3; �

nằm phía trên trục

3

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số
biến trên R.
A. 1

B. 0

y

x
 mx 2  mx  m
3
luôn đồng

C. 3

D. 2

2
Lời giải : y '  x  2mx  m để hàm số đồng biến trên R thì

a 1 0
�
�
� 1 �m �1
�
 '  m 2  m �0
y ' �0, x ��� x 2  2mx  m �0, x �R
�
với m

nguyên thì m = -1; m = 0; m = 1 có 3 giá trị m nguyên thoả mãn.
Câu 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
biến trên các khoảng xác định của nó.
A. m >3

B. m �1

C. m �1

10

y

xm2
x  1 nghịch

D. m  1


Lời giải: Hàm phân thức

y

y' 

m 1
 0, x �1 � m  1  0 � m  1
( x  1) 2
thì cho hàm số

xm2
x  1 nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

*Chú ý: Hàm phân thức thì hàm số nghịch biến trên  a; b  � y '  0, x �(a; b) ,
hàm số đồng biến trên  a; b  � y '  0, x �(a; b) .

Câu 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất sao cho hàm số
trên (�;1) .
A. 2  m  2

B. 2 �m �1

Lời giải: Hàm phân thức
m 0
Điều kiện: x �۹

x

y' 

y

mx  4
x  m luôn nghịch biến

C. 2  m �1

D. 2 �m �2

m2  4
 0x �(�;1) � m 2  4  0 � 2  m  2
2
( x  m)

;1) �m��
( ;1)
�
m mà x (���

m 1

m

Đáp án: 2  m �1
Câu 4: Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Giải:
Ycbt Lập bảng biến thiên của hàm số trên
x

0

1

f(x) 0
-1
Từ bảng biến thiên ta có .Vậy
Câu 5: Tìm m để

y  1 x 3   m  1 x 2   m  3 x  4
3

đồng biến trên (0, 3)

Giải. Hàm số tăng trên (0,3)

Do

y�
  x 2  2  m  1 x   m  3 �0 x � 0, 3

 x
y�

(1)

liên tục tại x  0 và x  3 nên (1)  y  0 x[0, 3]

2
 x   x  2 x  3 �m x � 0, 3
g
2



2x  1
 m 2 x  1 �x  2 x  3 x � 0, 3 

11

1


ۣ Max g  x 
x� 0,3

m

. Ta có:

2
 x   2 x  2 x 2 8  0 x � 0, 3
g�
 2 x  1

 g(x) đồng biến trên [0, 3] 
Câu 6 :Tìm m để

y  m x 3   m  1 x 2  3  m  2  x  1
3
3

Giải: Hàm số tăng /  2, � 



 x  1 2  2 �
m�
�
��2 x  6 x �2

Ta có:

 x 
g�

m �Max g  x   g  3  12
x� 0,3
7

đồng biến trên  2, �

y�
 mx 2  2  m  1 x  3  m  2  �0 x �2



g  x 

(1)

2 x  6 �m x �2
 x  1 2  2

2  x 2  6 x  3
0
( x 2  2 x  3) 2

�
x  x 3 6
�� 1
g  x  0
x  x 2  3  6 xlim
�
; ��

Từ BBT 

Max g  x   g  2   2 �m
x �2
3
.

Câu 7 .Tìm m để hàm số
y  x 3  mx 2   2m 2  7m  7  x  2  m  1  2m  3

Giải: Hàm số tăng trên  2, �
Ta có



� y�
 3 x 2  2mx   2 m 2  7 m  7  �0, x �2

�
 7 �m  3


�
2
V  7 m  3m  3
�
2

đồng biến /  2, �



2

�
 3 � 0
4�

nên

y�
0

có 2 nghiệm

x1  x 2

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có

 x  �0
y�

đúng

x �2

  2, � �G

�
0
�
�
1 �m �5
�
�
2
2 � 1 �m �5
 2   3  2 m  3m  5  �0 � �
� x1  x 2 �2 � �
3 y�
2
�
�S  m  2
m6
�
�2 3

Câu 8. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
12


y  g  x   f ( 2  x) đồng biến trên khoảng

A.  1;3

B.  2; �

C.  2;1

D.  �; 2 
Lời giải

��
�
�
Chọn C Ta có: g  x    2  x  . f  2  x    f  2  x 

2  x  1
x3
�
�
g�
��
 x  0 � f �
 2  x  0 � �
1 2  x  4 �
2  x  1

�
Hàm số đồng biến khi

Câu 9 . Cho hàm số
Hàm số g( x) = f ( 3A. ( 0;2) .

2x)

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y= f �
( x)

như hình bên dưới

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
B. ( 1;3) .

C. ( -

�;- 1) .

D. ( -

1;+�) .

Lời giải
Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra

Xét
Vậy

�
- 2< x < 2
f�
.
( x) > 0 � �
�
x>5
�

Ta có

�
1
5
�
- 2 < 3- 2x < 2 �< x <
g�
��
.
( x) < 0 � f �
( 3- 2x) > 0 � �
2
2
�
�
3- 2x > 5

�
x <- 1
�
�

g( x)

nghịch biến trên các khoảng

�
1 5�
�
�
�; �
�
�
�
2 2�
và ( - �;- 1) .

13

g�
( x) =- 2 f �
( 3- 2x) .


�
3�
theo do thi f '( x)

�
�
g�
x
=
0
�
f
3
2
x
=
0
������
3( )
(
)
�
�
3�

Cách 2. Ta có

� 5
�=
x
�
2x = - 2 � 2
� 1
2x = 2 � �

x= .
� 2
�
2x = 5
x=- 1
�
�
�

Bảng biến

thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Chú ý: Dấu của

g�
( x)

được xác định như sau: Ví dụ ta chọn

theo do thi f '( x)

( 3- 2x) = f �
( 3) < 0.
3- 2x = 3 ������ f �

Nhận thấy các nghiệm của

g�

( x)

Khi đó

� 1�
�
x = 0 ��
- 1; �
,
�
�
�
� 2�
suy

ra

g�
( 0) =- f �
( 3) > 0.

là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
2 x 2  (1  m) x  1  m
y
xm
đồng biến trên khoảng (1; �)

A. 3

Lời giải: Tập xác định
y' 

B. 1
D  R \  m

C. 2

D. 0

. Ta có đạo hàm

2 x 2  4mx  m 2  2m  1
g ( x)

2
( x  m)
( x  m)2 Hàm số đồng biến trên (1; �) thì

g ( x ) �0, x  1 và m �1 . Vì  '  2(m  1) 2 �0, m �� � g ( x )  0 có hai nghiệm thỏa
�
2 g (1)  2(m 2  6m  1) 2 �0
�
ۣ m 3  2 2
�S

m
�
1
�

mãn x1 �x2 �1 nên �2
(*)
14


m 0
Điều kiện: x �۹

x

m

Do (*) nên không tồn tại giá trị m nguyên dường nào thảo mãn đầu bài.
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
� p�
��; �
y   x  (2m  3) x  m nghịch biến trên khoảng (1; 2) là � q � trong đó phân số
4

2

p
q tối giản và q  0 . Hỏi tổng p  q bằng

A. 5

B. 9

C. 7

D. 3

Lời giải:
Tập xác định D  R .
3
4
2
Ta có y '  4 x  2(2m  3) x . Hàm số y   x  (2m  3) x  m nghịch biến trên

khoảng (1; 2) thì

y ' �0,��
x (1; 2)

4 x 3 
2(2�
m �
3) x 0

m �x 2

3
2

g ( x), x (1; 2)

Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1; 2) với g '( x)  2 x � g ( x)  0 � x  0, x �(1; 2)
Bảng biến thiên
x

1
2

g’(x

+

)
g(x)

11
2
5
2
15


Dựa vào bảng biến thiên

m �min
�
g ( x)

�p  5
�
�q  2

5
2

m

p q

7

Câu 12: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số
y  2 x  a sin x  b cos x luôn đồng biến trên R .
1 1
 1
A. a b

B. a  2b  2 3

C. a  b �4
2

2

1 2
a  2b �
3
D.

Lời giải:
Tập xác định D  R .
Ta có y '  2  a cos x  b sin x �0, x �R
2
2
2

2
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có : 2  a  b �y ' �2  a  b

2
2
2
2
Ta đưa bài toán bất phương trình y ' �0, x ��� 2  a  b �0 � a  b �4 .

Câu 13: Cho hàm số
Xét hàm số

f  x

g  x   f  x 2  2

có đạo hàm trên �và có đồ thị

y f�
 x

như hình vẽ.

. Mệnh đề nào sau đây sai?

1;0 
� 
A. Hàm số g  x  nghịch biến trên 
.B. Hàm số g  x  nghịch biến trên 
.

C. Hàm số g  x  nghịch biến trên  0; 2  .

D. Hàm số g  x  đồng biến trên  � .

Lời giải
Chọn A

16


�
Dựa vào đồ thị ta thấy f  x   0 � x � �  .

Ta có

g�
 x   2 x. f �
 x2  2

.

�
�
�x 0
�
�x �0
�
� 2
�

�2
�
f
x

2
�
0

�
� 
�x  2 �2
�
��
��
�
�
�x �0
�x �0
�
� 2
�
�2
2
g�
 x  �0 � 2 x. f �
 x  2  �0 ��f � x  2  �0 �
�x  2 �2
�
�

�x 0
�
�
2 �x �2
�
�
��
�x �0
�
�
��
0 �x �2
�x �2
�
��
�x �2 � �
x �2
��
�
�

.

Như vậy đáp án B, C đều đúng và đáp án A sai. Tương tự chứng minh được đáp
án D đúng.
3. Dạng bài tập tự luận:
Bài toán 1: Cho hàm số : y  x  3( m  1) x  6mx  4m; (Cm )
a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên [1;+�)
b) Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2]
Giải.

Nhận xét : Với bài toán dạng này học sinh theo chương trình sách giáo khoa
mới sẽ thực sự lúng túng vì không được trang bị các kiến thức về so sánh
nghiệm với một số thực  của phần tam thức bậc hai, chính vì thế cần hướng
dẫn học sinh đi theo 1 cách tiếp cận khác như sau :
3

2

17


TX Đ : D=R
y '  3 x 2  6( m  1) x  6 m

a)Điều kiện để hàm số đồng biến trên [1;+�) là : y ' �0;Υx [1;+ )
� x 2  2( m  1) x  2m �0; x �1
� 3 x 2  6(m  1) x  6m �0; x �1
� 2m( x  1) � x 2  2 x; (1)

Vì x �1 � x  1  0 nên từ (1) ta có :
Xét hàm số
Ta có:

f ( x) 

f '( x ) 

 x2  2 x
2m �
; (2)

( x  1)

 x2  2 x
;
( x  1)

( x  1)( 2 x  2)  x 2  2 x  x 2  2 x  2

 0; x �1
( x  1)2
( x  1)2

Bảng biến thiên :
x
f’(x)

1
-

f(x)

Để (1) đúng x �1 � (2) đúng

x �۳۳
1
2m

3
2

m

3
4

3
m�
4 thì hàm số luôn luôn đồng biến trên [1;+�)
KL : Với
b) Điều kiện để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] là y' �0; x �[-3;-2]
� 2m( x  1) � x 2  2 x; (3)
Vì x �[-3;-2] � x  1  0
 x2  2x
2m �
( x  1)
Nên từ (3) ta có :

Theo câu a ta có bảng biến thiên :
Bảng biến thiên :
18


x
f’(x)

-3

-2
-

f(x)
0

 Để hàm số luôn nghịch biến

�۳۳
x [-3;-2]

2m

3
2

m

3
4

3
m�
4 thì hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] .
KL :vậy với


Nhận xét : Với cách giải quyết bài toán này thì rõ ràng học sinh có thể hoàn
toàn chủ động để giải quyết các bài toán tương tự. Và hơn nữa với cách giải
này học sinh sẽ hạn chế được các sai sót trong quá trình tính toán. Bên cạnh
đó khi giải quyết các bài toán dạng này sẽ làm nảy sinh 1 vấn đề ; Nếu tham
số m không cùng bậc để có thể nhóm và đưa về bất phương trình có dạng
f(x) �g(m) thì cần giải quyết như thế nào ? để trả lời câu hỏi này chúng ta xét

bài toán sau :
1 3
x  3mx 2  ( m 2  m) x  1; (Cm )
3
Bài toán 2: Cho hàm số :
Tìm m để hàm số luôn đồng biến x  [1;+ )
y

Giải :
+TX Đ : D=R
2
2
+ y '  x  6mx  (m  m)
Để hàm số luôn đồng biến x  [1;+ ) thì y' �0; x �1
� f ( x )  x 2  6mx  (m 2  m) �0; x �1
f '  x   2 x  6m � f '  x   0 � x  3m
Bài toán đưa về dạng : Tìm m để min f ( x) �0; x �1

Bảng biến thiên :
x
f’(t)
f(t)

�
�
�
�

3m
-

0
f  3m 

Dựa vào bảng biến thiên ta xét các trường hợp :
19

+


*TH1: Nếu

3m �
 1

m

1
3

m inf(x)

f (1)

.

� 7  45
m�
�
2

f (1) �0 � m 2  7m  1 �0 � �
� 7  45
m�
�
�
2
Để (1) luôn đúng với x �1 thì
1
7  45
m�
m�
3 ta được
2
So sánh điều kiện
1
1  3m � m  � m inf  x   f (3m)
3
*TH2 : Nếu
1
f (3m) �0 � 8m 2  m �0 �  �m �0.
8
Để (1) luôn đúng với x �1 thì
(loại)

7  45
m�
2
KL :
y

mx 2   6m  5  x  2  1  3m 
x 1

Bài toán 3 .Tìm m để
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )



2
y�
 mx  2mx2  7 �0 x �1
 x  1

mx 2  2mx  7 �0 � m  x 2  2 x  �7 x �1

Ta có:

 x 
u�



u  x 

7 �m x �1
۳ Min u  x 
x�
1
x  2x
2

7  2x  2
 0 x �1
( x 2  2 x) 2

 u(x) đồng biến trên [1, ) 

Bài toán 4. Tìm m để

y

m �Min u  x   u  1  7
x�
1
3

2x 2   1  m x  1  m
xm

Giải: Hàm số đồng biến trên  1, �


nghịch biến trên [1, )

2
2
y�
 2 x  4mx  m 2  2m  1 �0 x  1
 x  m

20

đồng biến trên  1, �

m

.




2
2
�
�g  x   2 x  4mx  m  2m  1 �0 x  1 �
�g  x  �0 x  1
��
�
�x  m �0
�m �1
�

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2
Ta có:

�
 2  m  1 �0
2

suy ra g(x)  0 có 2 nghiệm

x1 �x 2 .

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:
Ta có g(x)  0 đúng x(1, )   1, � �G
�0
�m �1,  �
�


ۣ�
 �
�
ۣ
x1x ��
1
2g 1 2  m2
 �
2
�S  2 �1
�2

6m 1

�m �1
��
�m �3  2 2
��
m �3  2 2
��

0

m 3 2 2

Cách 2: Phương pháp hàm số
Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, )

Do đó

�
g  x  �0
�Min
 1 �
��
�x �1
�m �1

�g  1  m 2  6m  1 �0
�
�
�
�m �1
�

��
m �3  2 2
��
��
m �3  2 2

�m �1
�

m 3 2 2

-Nhận xét: Qua các bài toán trên ta thấy nếu dùng đạo hàm lập bảng biến thiên
thì các dạng toán trên đều có thể giải quyết được mà không cần sử dụng kiến
thức về tam thức bậc 2 đã giảm tải trong chương trình sách giáo khoa.

Bài toán 5. Tìm m để

y   4m  5 cos x   2m  3 x  m 2  3m  1

giảm với

Giải: Yêu cầu bài toán
� g  u    5  4m  u  2m  3 �0, u � 1;1 .

thẳng nên ycbt

�g  1  6m  8 �0
 �
�
�g  1  2m  2 �0

Bài toán 6 . Tìm m để hàm số
Giải: Yêu cầu bài toán

Do đồ thị

1 m

y  g  u  , u � 1;1

4
3

y  mx  sin x  1 sin 2 x  1 sin 3 x
4
9

tăng với mọi

� y�
 m  cos x  1 cos 2 x  1 cos 3 x �0, x ��
2
3

21

là một đoạn




m  cos x  1  2 cos 2 x  1  1  4 cos 3 x  3cos x  �0, x ��
2
3

4 u 3

۳
m �
3

Ta có

u2

1
2

 1,1

g  u , u

, với

u  cos x � 1,1

 u   4u 2  2u  2u  2u  1  0 � u   1 ; u  0
g�
2

Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán 
Bài toán 7. Cho hàm số

Max g  u   g  1  5 �m
6
.

x� 1,1

y  1  m  1 x 3   2m  1 x 2   3m  2  x  m
3
.

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Giải. Xét

y�
  m  1 x 2  2  2m  1 x   3m  2   0 .

2 nghiệm

x1  x 2

x1

4 � m 1 0

và

16   x 2  x1    x 2  x1   4 x 2 x1 
2

x 2  x1  4 �

�
 7m 2  m  3  0

nên

y�
0

có

. Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

 x1 ; x 2  ; x 2

� 0; x
ۣ
 ۣ
�y

Do

2

x 2  x1  4

. Ta có

2
4  2m  1
4  3m  2 

2
m 1

 m  1

� 4  m  1   2m  1   3m  2   m  1
2

2

� 3m 2  7 m  1  0 � m 

kết hợp với

m 1 0

7 � 61
6

suy ra

m

7  61
6

Nhận xét: các bai toán trên có thể giải theo phương pháp tam thức bậc hai nhưng
dài và phức tạp học sinh hay bỏ quyên trường hợp. Dùng theo phương pháp
hàm số thì bài toán đơn giản hơn rất nhiều.

22

D.BÀI TẬP TỰ GIẢI
I.

BÀI TẬP MỨC ĐỘ 1

2
Câu 1: Cho hàm y  x  6 x  5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

5; � .
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 

B. Hàm số đồng biến trên

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  �;1 .

D. Hàm số nghịch biến trên

khoảng  3; � .
khoảng  �;3 .

x 1
3
2
x  2 , y  tan x , y  x  x  4 x  2017 . Số hàm số đồng
Câu 2Cho các hàm số
biến trên R là
A. 0 . B. 3 .
C. 1 . D. 2 .
x2
y

x  3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 3: Cho hàm số
y

.
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
�; �

khoảng

 �; �  .

B. Hàm số nghịch biến trên
D. Hàm số đồng biến trên

2
�
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x   x  1 . Khẳng định nào sau đây
đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên  �;1 .

B. Hàm số nghịch biến trên

1;1
C. Hàm số nghịch biến trên 
.

D. Hàm số đồng biến trên

 �;  � .
 �;  � .

Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1; 3
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
.

khoảng  1;  � .

23

B. Hàm số đồng biến trên


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 1 .
khoảng  �; 1 .

4

D. Hàm số đồng biến trên

2

Câu 6: Cho hàm số y  x  2 x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; �) .
B. Hàm số nghịch biến trên
(2;
�
)
khoảng
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;0) .
D. Hàm số nghịch biến trên
khoảng (�;0) .
Câu 7: Cho đồ thị hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x 
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  2; 2  .

 �; 0 
B. 
.

 2;  � .

0; 2 
C. 
.

D.

�
Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f  x   x  x  2  , x �R . Hàm số
y  f  x

A.  0; 2 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.  0; �

Câu 9 : Cho hàm số

y

2x  1
 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên D
1;  �
và 

C.  �; 0 

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng 

�; 1
1;  �
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 

biến trên

2; �
D. 

R \  1

�; 1

D. Hàm số đồng

Câu 10: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên khoảng  a; b  . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai?

�
A. Nếu f  x   0 với mọi x thuộc  a; b  thì hàm số f  x  nghịch biến trên  a; b  .

B. Nếu hàm số f  x  đồng biến trên  a; b  thì f  x   0 với mọi x thuộc  a; b  .
f ' x �0
C. Nếu hàm số f  x  đồng biến trên  a; b  thì  
với mọi x thuộc  a; b  .

�
D. Nếu f  x   0 với mọi x thuộc  a; b  thì hàm số f  x  đồng biến trên  a; b  .

24


2
Câu 11. Hàm số y  2 x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  �;1 .

1; 2
B.   .

II.

C.  1; � .

0;1
D.   .

BÀI TẬP MỨC ĐỘ 2
y

Câu 12. Kết quả của m để hàm số sau
định là
A. m �2 .
B. m  2 .
m �2 .

xm
x  2 đồng biến trên từng khoảng xác

C. m  2 .

D.

Câu 13: Hàm số nào đồng biến trên khoảng  �; � .
A. y  x  1 .
y

3
B. y  x  x  2 .

x 1
x 1 .

4
2
C. y   x  2 x  1 . D.

3
2
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  x  mx  1

đồng biến trên  �;  � .
4
m�
3.
A.

1
m�
3.
B.

1
m�
3.
C.

4
m�
3.

D.
2x  m
y
x  1 đồng
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

biến trên khoảng xác định của nó.
A.

m � 1; 2 

m � �; 2 

.

B.

m � 2;  �

.

C. m � 2;  � .

.
Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R ?
2
4
2
3
A. y  x  x .

B. y  x  x .
C. y  x  x .
y

D.

D.

x 1
x3

3
2
Câu 17. Cho hàm số y   x  mx   4m  9  x  5 , với m là tham số. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên  �; � ?
6.
C. 7.
D. 4.

A. 5.

B.

�
Câu 18: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f  x  .

Biết rằng

f�

 x

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

25