Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian ôn thi THPT 2021
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (30.99 MB, 681 trang )
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chun đề 28
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đơi một vng góc nhau.
Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) .
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .
Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
a cùng phương
b a kb (k R)
ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 kb1
a1 b1
a
a a
a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0).
a b a2 b2
b1 b2 b3
a kb
a b
3
3
3 3
2
a 2 a a12 a22 a32
a.b a1.b1 a2 .b2 a3.b3
a a12 a22 a22
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a , b )
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
2
a .b
a1 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:
AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A )
AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x x x y yB yC z A z B zC
x x y yB z A z B
M A B; A
;
G A B C ; A
;
.
.
2
2
2
3
3
3
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiế u và o Ox
Chiếu và o Oxy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ;0;0)
M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyê n x )
( Giữ nguyên x , y )
Chiếu và o Oy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyê n y )
Chiếu và o Oyz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y, z )
Chiế u vào Oz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 (0;0; zM )
( Giữ nguyê n z )
Chiếu và o Oxz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyê n x , z )
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
Đối xứng qua Oxy
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n x , y; đổi dấu z )
Đố i xứng qua Ox
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x ; đổi dấ u y, z )
Đối xứng qua Oxz
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n x , z; đổi dấ u y )
Đối xứng qua Oyz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y, z ; đổi dấ u x )
Đối xứng qua Oy
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y; đổ i dấ u x , z )
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đố i xứng qua Oz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n z; đổi dấ u x , y )
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a a3 a3 a1 a1 a2
a, b 2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
b2 b3 b3 b1 b1 b2
[a, b] a . b .sin a , b
Tính chất:
[ a, b] a
[ a, b] b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
c
a
,
b
Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
và
là
a, b 0 với 0 (0;0;0).
[a, b].c 0.
Diện tích tam giác ABC:
Diện tích hình bình hành
1
S ABC AB, AC .
ABCD: S ABCD AB, AD .
2
1
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .
Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD .
6
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
A. 2;0;1 .
Câu 2.
B. 2; 2;0 .
C. 0; 2;1 .
D. 0;0;1 .
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là
A. 0;1;0 .
Câu 3.
B. 0;0;5 .
C. 1;0;0 .
D. 0; 2;5 .
B. 3;0;0 .
C. 0; 0;1 .
D. 0; 2;0 .
(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3;5; 2 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0;5; 2 .
Câu 6.
D. 2;0; 1 .
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3; 2;1 trên
trục Ox có tọa độ là:
A. 0; 2;1 .
Câu 5.
C. 0;1; 1 .
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 1; 2;5 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0; 2;0 .
Câu 4.
B. 2;1;0 .
B. 0;5; 0 .
C. 3;0;0 .
D. 0; 0; 2 .
(Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A(8;1; 2) trên
trục Ox có tọa độ là
A. (0;1; 0) .
B. (8;0;0) .
C. (0;1;2) .
D. (0;0; 2) .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 7.
(Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ?
A. (0;4; 2) .
Câu 8.
B. (1; 4;0) .
C. (1;0; 2) .
D. (0;0;2) .
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ?
A. M 3; 0; 2
Câu 9.
B. 0;0; 2
C. Q 0;5; 2
D. N 3;5;0
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A1;2;3 trên mặt phẳng Oxy .
A. Q 1;0;3
Câu 10.
B. P 1;2;0
C. M 0;0;3
D. N 0;2;3
(Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ?
A. Q 0;4;1 .
Câu 11.
B. P 3;0;1 .
C. M 0;0;1 .
D. N 3; 4;0 .
(Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 3;0; 1 .
Câu 12.
B. 0;1; 0 .
C. 3; 0;0 .
D. 0;0; 1 .
(Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 0;0; 1 .
Câu 13.
D. 2;0;0 .
B. 0;0;1 .
C. 0; 1;0 .
D. 3;0;0 .
(Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 2; 0;0 .
Câu 15.
C. 0;1;0 .
(Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 3; 1;0 .
Câu 14.
B. 2;0; 1 .
B. 0;1; 0 .
C. 2;1; 0 .
D. 0;0; 1 .
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của
điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm
A. M 3;0;0
Câu 16.
B. N 0; 1;1
C. P 0; 1;0
D. Q 0;0;1
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau
đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ?
A. M 3;4;0 .
Câu 17.
B. P 2;0;3 .
C. Q 2;0;0 .
D. N 0;4; 1 .
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu
của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M .
A. M 4;5;0 .
B. M 4;0;6 .
C. M 4;0;0 .
D. M 0;5;6 .
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 18.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z .
B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z .
C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y ; z .
D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 .
Câu 19.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của
M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là
A. 0; 2; 3 .
Câu 20.
B. 1; 2; 3 .
C. 1; 2; 3 .
D. 1; 2;3 .
(Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm
đối xứng với A qua trục Oy .
A. A 2;3;5 .
B. A 2; 3; 5 .
C. A 2; 3;5 .
D. A 2; 3; 5 .
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
Câu 21.
(Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có
tọa độ là
A. 1; 1; 3
B. 3;1;1
C. 1;1;3
D. 3;3; 1
Câu 22.
(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ
AB
có tọa độ là
A. 1; 2; 3
B. 1; 2; 3
C. 3;5;1
D. 3; 4;1
Câu 23.
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn
thẳng OA .
A. OA 5
Câu 24.
Câu 25.
B. OA 5
C. OA 3
D. OA 9
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto
a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2c là
A. d 7;0; 4
B. d 7;0; 4
C. d 7; 0; 4
D. d 7;0; 4
(THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB
có tọa độ là
A. 2; 2;3 .
Câu 26.
C. 3;5;1 .
D. 3;4;1 .
(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 .
Vectơ a b có tọa độ là
A. 3;4;1 .
Câu 27.
B. 1; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 3;5;1 .
D. 1;2;3 .
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2;7 .
D. 2; 2;7 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 28.
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. 1; 2; 3 .
B. 2; 3; 1 .
C. 2; 1; 3 .
D. 3; 2; 1 .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa
độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2; 7 .
Câu 30.
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y .
A. a 4;1; 1 .
B. a 3;1; 4 .
C. a 0;1; 1 .
D. a 4;1; 5 .
Câu 31.
(THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 .
Vectơ AB có tọa độ là
A. 3;0; 3 .
Câu 32.
B. 1;2; 3 .
C. 1; 2;3 .
D. 1; 2;3 .
(Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:
A. ( 1;1; 2). .
B. ( 3;3; 4). .
C. (3; 3; 4). .
D. (1; 1; 2)
Câu 33. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các
vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k .
A. i j k (1; 1;1). B. i j k ( 1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1).
Câu 34.
(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử
u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là
A. 2;3;1 .
Câu 35.
B. 2;3; 1 .
C. 2; 3; 1 .
D. 2;3;1 .
(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 và b 1;3;0 .
Vectơ c 2a b có tọa độ là
A. 1; 7;2 .
B. 1;5;2 .
C. 3; 7;2 .
D. 1; 7;3 .
Câu 36.
(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. a 1; 2; 3 .
B. a 2; 3; 1 .
C. a 3; 2; 1 .
D. a 2; 1; 3 .
Câu 37.
(Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 ,
B 3;0; 2 . Tính độ dài AB .
A. 26.
Câu 38.
B. 22.
C.
26 .
D.
22.
(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ,
B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là
A. 2 13
B.
6
C. 3
D. 2 3
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 39.
(Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; 2 . Giá
trị của a b c bằng
A. 6.
Câu 40.
B. 11 .
C. 2 11 . D. 2 6 .
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;3;5 ,
B 2; 2;3 . Độ dài đoạn AB bằng
A.
7.
B.
8.
C.
6.
D.
5.
Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm
Câu 41. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của
đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 4; 2;10
Câu 42.
B. 1;3;2
C. 2;6; 4
D. 2; 1;5
(Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 ,
B 1;1;3 , C 3,1, 0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC .
A. D 6;0;0 , D 12;0;0
B. D 0;0;0 , D 6;0;0
C. D 2;1;0 , D 4;0;0
D. D 0;0;0 , D 6;0;0
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB .
A. I 1;0; 4 .
B. I 2;0;8 .
Câu 44.
C. I 2; 2; 1 .
D. I 2;2;1 .
(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 và
B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :
A. I 2; 2;1 .
Câu 45.
B. I 1;0;4 .
C. I 2;0;8 .
D. I 2; 2; 1 .
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4; 2;6 .
C. I 2; 1; 3 .
D. I 2;1;3 .
Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0; 0;1 . Tìm
toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G 0;0;3 .
B. G 0;0;9 .
C. G 1;0;3 .
D. G 0;0;1 .
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I
của AB .
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4;2;6 .
C. I 2; 1;3 .
D. I 2;1;3 .
Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;3;2 .
Câu 49.
B. 2; 1;5 .
C. 2; 1; 5 .
D. 2;6; 4 .
(THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;3; 4 , B 2; 1; 0 , C 3;1; 2 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. G 2;1; 2 .
Câu 50.
B. G 6;3; 6 .
2
C. G 3; ;3 .
3
D. G 2; 1; 2 .
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác
ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
A. 1; 2;1 .
Câu 51.
B. 2;0; 1 .
C. 1;1;1 .
D. 1;1; 2 .
(Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;2 và N 1;0; 4 . Toạ độ
trung điểm của đoạn thẳng MN là:
A. 1; 1;3 .
Câu 52.
B. 0; 2; 2 .
C. 2; 2;6 .
D. 1;0;3 .
(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 4
và B 5;6 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;5 .
Câu 53.
B. 4;1 .
C. 5;1 .
D. 8; 2 .
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2;2;9 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là
A. 0;3;3 .
Câu 54.
B. 4; 2;12 .
C. 2; 1;6 .
3 3
D. 0; ; .
2 2
(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A 1;5;2 và B 3; 3; 2 . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
A. M 1;1; 2
Câu 55.
B. M 2; 2; 4
C. M 2; 4;0
D. M 4; 8;0
(THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3
và M 2;1; 2 . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
1 1
A. B ;3; .
2 2
B. B 4;9;8 .
C. B 5;3; 7 .
D. B 5; 3; 7 .
Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 56.
(Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 0 và
b 1; 0; 2 . Tính cos a , b .
2
2
2
2
A. cos a, b
B. cos a, b
C. cos a , b
D. cos a , b
25
5
25
5
không
Câu 57.
(KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong
a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. a b 3; 3; 3
B. a và b cùng phương
C. b 3
D. a b
gian
Câu 58.
(THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết
Oxyz ,
cho
vectơ
A 1; 3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác.
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. cos A
Câu 59.
2
17
B. cos A
1
17
C. cos A
2
17
D. cos A
1
17
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và
u 3; 0;1 là
A. 120 .
D. 30 .
Câu 60. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 . Côsin
của góc giữa a và b bằng
3
5
5
3
A.
.
B. .
C. .
D. .
13
6
6
13
Câu 61. (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz góc giữa hai vectơ i và
u 3;0;1 là
B. 60 .
C. 150 .
B. 30 .
C. 60 .
A. 120 .
D. 150 .
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ
u 3;0;1 và v 2;1;0 . Tính tích vô hướng u.v .
A. u.v 8 .
B. u.v 6 .
C. u.v 0 .
D. u.v 6 .
Câu 63. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , góc giữa hai vectơ i và
u 3;0;1 là
Câu 62.
A. 30 0 .
Câu 64.
C. 60 0 .
D. 150 0 .
(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3)
là
B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
A.
Câu 65.
B. 120 0 .
9
.
35
B.
9
.
35
C.
9
.
2 35
D.
9
.
2 35
(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác
ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . Diện tích của tam giác ABC bằng:
A.
11
2
B.
7
2
C.
6
2
D.
5
2
(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 và b 5;0;12 .
Côsin của góc giữa a và b bằng
3
5
5
3
A.
.
B. .
C. .
D. .
13
6
6
13
Câu 67. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j và v 2; 1 . Tính
u.v .
A. u.v 1 .
B. u.v 1 .
C. u.v 2; 3 .
D. u.v 5 2 .
Câu 66.
Câu 68.
(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ a 1; 2;3 , b 2;1; 2 . Khi
đó, tích vô hướng a b .b bằng
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. 12 .
B. 2 .
C. 11.
D. 10 .
Câu 69. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai
vectơ a 2;1 ; 3 , b 4; 2 ;6 . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. b 2a .
B. a. b 0 .
C. a ngược hướng với b .
D. b 2 a .
Câu 70.
(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho u 1;1;0 , v 0;1;0 , góc giữa hai
véctơ u và v là
A. 120 .
B. 45 .
C. 135 .
D. 60 .
Câu 71. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với
A 0; 0; 3 , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
D. AB CD .
Câu 72. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ a (2;1; 1) ;
b (1; 3; m) . Tìm m để a; b 90 .
A. AB BD .
B. AB BC .
C. AB AC .
Câu 73.
Câu 74.
A. m 5 .
B. m 5 .
C. m 1 .
D. m 2
A. m 4 .
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 2 .
(SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 2; 1;1 và
v 0; 3; m . Tìm số thực m sao cho tích vô hướng u.v 1 .
(CỤM Chuyên Môn 4 - Hải Phòng - 2018) Trong
A 1;2;3 ; B 1;2;1 ; C 3; 1; 2 . Tính tích vô hướng AB. AC .
A. 6 .
Câu 75.
B. 14 .
C. 14 .
không gian
Oxyz
cho
D. 6 .
(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 ,
B 0;3;1 , C 4; 2; 2 . Côsin của góc BAC bằng
A.
9
.
35
B.
9
.
2 35
C.
9
.
2 35
D.
9
.
35
Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng
Câu 76.
Câu 77.
(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
a 2;1; 2 và vectơ b 1;0;2 . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b .
A. c 2;6; 1 .
B. c 4;6; 1 .
C. c 4; 6; 1 . D. c 2; 6; 1 .
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ một vectơ n vuông góc
với cả hai vectơ a 1;1; 2 , b 1;0;3 là
A. 2;3; 1 .
Câu 78.
B. 3;5; 2 .
C. 2; 3; 1 .
D. 3; 5; 1 .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a 1; 2; 1 , b 3; 1;0 , c 1; 5; 2 .
Câu nào sau đây đúng?
A. a cùng phương với b .
B. a , b , c không đồng phẳng.
C. a , b , c đồng phẳng. D. a vuông góc với b .
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 79.
(Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A(1; 2;0) ,
B (2;0;3) , C (2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng:
A. 6 .
B. 8 .
C. 12 .
D. 4 .
Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a 1; 2;3 và b 1;1; 1 . Khẳng định nào sau đây
sai?
A. a b 3 .
Câu 81.
B. a.b 4 .
C. a b 5 .
(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian
D. a, b 1; 4;3 .
cho hai điểm
Oxyz ,
A 1;0; 1 , B 1; 1; 2 . Diện tích tam giác OAB bằng
A. 11.
Câu 82.
B.
6
.
2
C.
11
.
2
6.
D.
(Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,
D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
A.
Câu 83.
42
.
3
B.
14
.
3
C.
21
.
3
D.
7
.
3
(SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tính diện tích S của tam giác ABC , biết
A 2;0;0 , B 0;3;0 và C 0;0;4 .
A. S
Câu 84.
61
.
3
B. S
61
.
2
C. S 2 61 .
D. S 61 .
Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O 0;0;0 , A 0;1; 2 , B 1; 2;1 , C 4;3; m . Tất cả giá trị của
m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?
A. m 14 .
Câu 85.
B. m 14 .
C. m 7 .
D. m 7 .
Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A 0;1; 1 , B 1;1; 2 , C 1; 1;0 và
D 0;0;1 . Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD .
A. 2 2 .
Câu 86.
3 2
.
2
C. 3 2 .
2
.
2
D.
(Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình
hành ABCD . Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5 và C 1;1;3 . Diện tích hình bình hành ABCD là
A. 2 87 .
Câu 87.
B.
B.
349
.
2
C.
349 .
87 .
D.
(SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0;1;1 ,
B 1;0; 2 , C 1;1;0 và điểm D 2;1; 2 . Khi đó thể tích tứ diện ABCD là
A. V
Câu 88.
5
.
6
B. V
5
.
3
C. V
6
.
5
D. V
3
.
2
(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B 0; 2;3 .
Tính diện tích tam giác OAB .
A.
29
.
6
B.
29
.
2
C.
78
.
2
D.
7
.
2
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chun đề 28
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đơi một vng góc nhau.
Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) .
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .
Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
a cùng phương
b a kb (k R)
ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 kb1
a1 b1
a
a a
a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0).
a b a2 b2
b1 b2 b3
a kb
a b
3
3
3 3
2
a 2 a a12 a22 a32
a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
a a12 a22 a22
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a , b )
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
2
a .b
a1 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:
AB ( xB xA ; yB y A ; zB z A )
AB ( xB xA ) 2 ( yB y A )2 ( z B z A )2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x
x
y
y
z
z
x x x y yB yC z A zB zC
B
M A B; A
; A B .
G A B C ; A
;
.
2
2
2
3
3
3
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu và o Ox
Chiế u vào Oxy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ;0;0)
M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyên x )
( Giữ nguyê n x , y )
Chiếu và o Oy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyên y )
Chiếu và o Oyz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z )
Chiếu và o Oz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 (0;0; zM )
( Giữ nguyên z )
Chiế u và o Oxz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyên x , z )
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
Đối xứ ng qua Ox
Đối xứ ng qua Oxy
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z )
( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z )
Đối xứ ng qua Oy
Đối xứ ng qua Oxz
M ( xM ; yM ; zM )
M2 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z )
( Giữ nguyên x , z; đổ i dấu y )
Đối xứ ng qua Oz
Đối xứ ng qua Oyz
M ( xM ; yM ; zM )
M3 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên z; đổ i dấu x , y )
( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x )
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a2
a , b
b2
a3
a3
a1
a1 a2
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
b3 b3 b1 b1 b2
[ a, b] a . b .sin a , b
Tính chất:
[ a, b] a
[ a, b] b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
và
là
c
a
,
b
a, b 0 với 0 (0;0;0).
[a, b].c 0.
1
Diện tích tam giác ABC: S ABC AB, AC .
Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD .
2
1
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .
Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD .
6
;
;
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Một số bài toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ
Câu 1.
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm
A1; 2; 3 , B 1;0;2 , C x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x y bằng
A. x y 1 .
Câu 2.
C. x y
11
.
5
D. x y
11
.
5
(HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ
a 2; m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m, n để các vectơ a , b cùng hướng.
3
A. m 7; n .
4
Câu 3.
B. x y 17 .
B. m 4; n 3 .
C. m 1; n 0 .
4
D. m 7; n .
3
(THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A 2; 1;5 , B 5; 5; 7 , M x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng.
A. x 4; y 7
Câu 4.
B. x 4; y 7
C. x 4; y 7
D. x 4; y 7
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 ,
B 0;1;2 . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là
A. M 4; 5;0 .
Câu 5.
C. M 0;0;1 .
D. M 4;5;0 .
(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ
u 2i 2 j k , v m;2; m 1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u v .
A. 0 .
Câu 6.
B. M 2; 3;0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
(Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABCD có A 0; 0;0 , B a;0;0 ; D 0; 2a;0 , A 0;0; 2a với a 0 . Độ dài đoạn thẳng
AC là
A. a .
B. 2 a .
C. 3 a .
D.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
3
a.
2
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 7.
(Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho
a 2;3;1 , b 1;5; 2 , c 4; 1;3 và x 3; 22;5 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. x 2 a 3 b c .
C. x 2 a 3 b c .
Câu 8.
(Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với:
AB 1; 2; 2 ; AC 3; 4; 6 . Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC là:
A. 29 .
Câu 9.
B.
29 .
C.
29
.
2
D. 2 29 .
(Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ
a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.
3
A. m 7 ; n .
4
Câu 10.
B. x 2 a 3 b c .
D. x 2 a 3 b c .
4
B. m 7 ; n .
3
C. m 4 ; n 3 .
D. m 1 ; n 0 .
(THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình
vuông ABCD, B 3;0;8 , D 5; 4;0 . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng Oxy và có tọa độ là
những số nguyên, khi đó CA CB bằng:
A. 10 5 .
B. 6 10 .
C. 10 6 .
D. 5 10 .
Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm
Câu 11.
(THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 0;3 ,
B 2;3; 4 , C 3;1; 2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D 4; 2;9 .
Câu 12.
B. D 4; 2;9 .
C. D 4; 2;9 .
(THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian
D. D 4; 2; 9 .
Oxyz , cho ba điểm
A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD (theo thứ tự các đỉnh)
là hình bình hành?
A. D 2;0;0 .
Câu 13.
B. D 1;1;1 .
C. D 0;0;1 .
D. D 0;2;1 .
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A(1; 2; 1), B (2; 1;3) và C ( 3;5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành.
A. D (2;8; 3)
Câu 14.
B. D (4;8; 5)
C. D (2; 2;5)
D. D (4;8; 3)
(THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với
A 1; 3;3 ; B 2; 4;5 , C a; 2; b nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm của nó thì giá trị của
tổng a b c bằng.
A. 5
Câu 15.
B. 3
C. 1
D. 2
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 ,
C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điẻm E là:
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
8 8
A. 3; ;
3 3
Câu 16.
8
8
B. ;3; .
3
3
8
C. 3;3;
3
1
D. 1; 2;
3
(KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1; 2; 3 , B 2;5;7 , C 3;1; 4 . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là
8 8
B. D 0; ;
3 3
A. D 6;6;0
Câu 17.
C. D 0;8;8
D. D 4; 2; 6
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2; 0 , B 2;1; 2 ,
C 0;3; 4 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. 1;6;2 .
A. 1;0; 6 .
Câu 18.
C. 1;0;6 .
D. 1;6; 2 .
(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A 3;1; 2 , B 2; 3;5 . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA 2 MB , tọa độ điểm M là
7 5 8
A. ; ; .
3 3 3
Câu 19.
Câu 20.
17
3
C. ; 5; .
2
2
D. 1; 7;12 .
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A 0;1; 2 và B 3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM 3 AB .
A. M 9; 5;7 .
B. M 9;5;7 .
C. M 9;5; 7 .
D. M 9; 5; 5 .
(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 thì tọa độ của điểm B là:
A. B 2;5;0 .
Câu 21.
B. 4;5; 9 .
B. B 0; 1; 2 .
C. B 0;1; 2 .
D. B 2; 5;0
(Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết
A 1;0;1 , B 2;1; 2 và D 1; 1;1 . Tọa độ điểm C là
A. 2;0; 2 .
Câu 22.
B. 2; 2; 2 .
C. 2; 2; 2 .
D. 0; 2;0 .
(Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 2 và
8 4 8
B ; ; . Biết I a; b; c là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a b c bằng
3 3 3
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Câu 23.
(Chuyên
Đhsp
Hà
Nội
-2019)
Trong
không
gian
tọa
độ
Oxyz ,
cho
A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;2 . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M
CMA
90 ?
AMB BMC
không trùng với các điểm A, B, C và
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
8 4 8
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2;2;1) , N ; ; . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội
3 3 3
tiếp tam giác OMN .
A. I (1;1;1) .
B. I (0;1;1) .
C. I (0; 1; 1) .
D. I (1;0;1) .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,
C 4;7;5 . Gọi D a; b; c là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của
a b 2c bằng
A. 5 .
B. 4 .
C. 14 .
D. 15 .
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B 5; 6; 2 . Đường thẳng
AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số A M .
A. AM 1
BM 2
Câu 27.
B. AM 2
BM
BM
C. AM 1
BM 3
D. AM 3
BM
(Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 ,
B 2;1;0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện
tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC .
A. D 12; 1;3 .
D 8; 7;1
B.
.
D 12;1; 3
C. D 8;7; 1 .
D 8;7; 1
D.
.
D 12; 1;3
Câu 28. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang
ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh A(1;2;1) , B(2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng
6 2 . Giả sử đỉnh D( a; b; c) , tìm mệnh đề đúng?
A. a b c 6 .
Câu 29.
B. a b c 5 .
C. a b c 8 .
D. a b c 7 .
(Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp
ABCD. ABC D . Biết A 2; 4; 0 , B 4; 0;0 , C 1; 4; 7 và D 6;8;10 . Tọa độ điểm B là
A. B 8; 4;10 .
Câu 30.
B. B 6;12;0 .
C. B 10;8;6 .
D. B 13;0;17 .
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B 2;1; 2 , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình
hộp.
A. A 4;6; 5 .
Câu 31.
B. A 2;0; 2 .
C. A 3;5; 6 .
D. A 3; 4; 6 .
(Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABC D có A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , D 0; 3; 0 , D 0; 3; 3 . Toạ độ trọng tâm tam
giác ABC là
A. 1; 1; 2 .
Câu 32.
B. 2; 1; 2 .
C. 1; 2; 1 .
D. 2; 1; 1 .
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác
ABC là
2 11
A. ; ;1 .
3 3
Câu 33.
11
B. ; 2;1 .
3
2 11 1
C. ; ; .
3 3 3
D. 2;11;1 .
(Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
OA 2i 2 j 2k , B 2; 2;0 và C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây cách
đều ba điểm A , B , C .
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
3
A. M ; 0; .
2
4
1
3
B. N ; 0;
.
2
4
1
3
C. P ; 0;
.
2
4
1
3
D. Q ; 0; .
2
4
Câu 34.
(SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A 1;3; 1 , B 3; 1;5 .
Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB .
5 13
7 1
7 1
A. M ; ;1 .
B. M ; ;3 .
C. M ; ;3 .
D. M 4; 3;8 .
3 3
3 3
3 3
Câu 35.
(SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D ,
biết rằng A 3; 0;0 , B 0; 2;0 , D 0;0;1 , A 1; 2;3 . Tìm tọa độ điểm C .
A. C 10; 4; 4 .
Câu 36.
B. C 13; 4; 4 .
C. C 13; 4; 4 .
D. C 7; 4; 4 .
(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A 0;2; 2 , B 2;2; 4 . Giả sử I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . Tính
T a 2 b2 c2 .
A. T 8 .
Câu 37.
C. T 6 .
D. T 14 .
(THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
A 4; 2; 1 , B 2; 1; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM 2 MB .
A. M 0;0;3 .
Câu 38.
B. T 2 .
B. M (0; 0; 3) .
C. M (8; 4;7) .
D. M (8; 4; 7) .
(Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
A 2;3;1 , B 2;1; 0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy
AD và S ABCD 3S ABC
A. D 8;7; 1 .
D 8; 7;1
B.
.
D 12;1; 3
D 8;7; 1
C.
.
D 12; 1;3
D. D 12; 1;3 .
Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng
Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 1.
(Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và
P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m 2
Câu 2.
B. m 6
C. m 0
D. m 4
(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm
A 5;1;5 ; B 4;3; 2 ; C 3; 2;1 . Điểm I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Tính a 2b c ?
A. 1 .
Câu 3.
C. 6.
D. 9.
(HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ
u 1;1; 2 , v 1;0; m . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 .
A. m 2 .
Câu 4.
B. 3.
B. m 2 6 .
C. m 2 6 .
D. m 2 6 .
(Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ a 5;3; 2 và
b m; 1; m 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là
góc tù?
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 5.
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 5.
Biết c x; y; z khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a 1;3; 4 , b 1; 2;3 . Khẳng định nào
đúng?
A. 5 z x 0 .
Câu 6.
B. 7 x y 0 .
C. 5 z x 0 .
D. 7 x y 0 .
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 2 . Có tất cả bao nhiêu điểm
M trong không gian thỏa mãn
CMA
90
AMB BMC
A. 0 .
M
B. 1.
không
trùng
C. 2 .
với
các
điểm
A, B , C
và
D. 3 .
Câu 7.
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v
tạo với nhau một góc 120 và u 2 , v 5 . Tính u v
Câu 8.
A. 19 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 39 .
(THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
M 2;3; 1 , N 1;1;1 và P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m 6 .
B. m 0 .
C. m 4 .
D. m 2 .
Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng
Câu 9.
(Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,
D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
A.
Câu 10.
42
.
3
Câu 12.
14
.
3
C.
21
.
3
D.
7
.
3
(SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 5;3; 1 , b 1; 2;1 ,
c m;3; 1 . Giá trị của m sao cho a b, c là
A. m 1 .
Câu 11.
B.
B. m 2 .
C. m 1 .
D. m 2 .
(SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m 4;3;1 ,
n 0; 0;1 . Gọi p là vectơ cùng hướng với m, n (tích có hướng của hai vectơ m và n ). Biết
p 15 , tìm tọa độ vectơ p .
A. p 9; 12;0 .
B. p 45; 60;0 .
C. p 0;9; 12 .
D. p 0; 45; 60 .
(THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn
điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
A. 7; 2 .
Câu 13.
B. 3;6 .C. 5;8 .
D. 2;2 .
(Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện
ABCD
biết
A 3; 2; m , B 2;0;0 , C 0; 4;0 , D 0;0;3 . Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ
diện bằng 8.
A. m 8 .
B. m 4 .
C. m 12 .
D. m 6 .
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 14.
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không
u 1;1; 2 , v 1; m; m 2 . Khi u, v 14 thì
gian
với
hệ
tọa
độ
Oxyz ,
cho
11
11
B. m 1 hoặc m
5
3
C. m 1 hoặc m 3 D. m 1
A. m 1 hoặc m
Câu 15.
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD
có A 2; 1;1 , B 3;0; 1 , C 2; 1; 3 , D Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các
điểm D .
A. 6
B. 2
C. 7
D. 4
Câu 16.
(Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;0 ,
B 1;0; 1 , C 0; 1; 2 , D 2; m; n . Trong các hệ thức liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức
nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng?
C. m 2n 13 .
D. 2m 3n 10 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m 4 ; 3 ;1 và n 0 ; 0 ; 1 . Gọi p là véc tơ cùng
hướng với m , n và p 15 . Tọa độ của véc tơ p là
Câu 18.
A. 2m n 13 .
B. 2m n 13 .
A. 9 ; 12 ; 0 .
B. 0 ; 9 ; 12 .
(Việt
Đức
Hà
Nội
2019)
Trong
C. 9 ; 12 ; 0 .
hệ
trục
tọa
độ
D. 0 ; 9 ; 12 .
Oxyz ,
cho
bốn
điểm
A 0; 2;1 ; B 1;0; 2 ; C 3;1; 2 ; D 2; 2; 1 . Câu nào sau đây sai?
A. Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng.
C. Góc giữa hai véctơ AB và CD là góc tù.
Câu 19.
B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A .
D. Tam giác ABD là tam giác cân tại B .
(THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 ,
C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC .
A. D 8;7; 1 .
Câu 20.
D 8; 7;1
B.
.
D 12;1; 3
D 8; 7; 1
C.
.
D 12; 1;3
D. D 12; 1;3 .
(Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 0; 2 ,
B 3; 0;5 , C 1;1; 0 , A 4;1; 2 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt
phẳng ABC là
11
.
B. 1 .
C. 11 .
D. 11 .
11
(THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A.
Câu 21.
A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn
điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
A. 7; 2 .
B. 3;6 .C. 5;8 .
D. 2;2 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chun đề 28
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đơi một vng góc nhau.
Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) .
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .
Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
a cùng phương
b a kb ( k R)
ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 kb1
a1 b1
a
a a
a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0).
a b a2 b2
b1 b2 b3
a kb
a b
3
3
3 3
2
a 2 a a12 a22 a32
a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
a a12 a22 a22
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a , b )
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
2
a .b
a1 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:
AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A )
AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x x x y yB yC z A zB zC
x x y yB z A z B
M A B; A
;
G A B C ; A
;
.
.
2
2
2
3
3
3
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu và o Ox
Chiếu và o Oxy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ;0;0)
M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyên x )
( Giữ nguyên x , y )
Chiếu và o Oy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyên y )
Chiếu và o Oyz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z )
Chiế u và o Oz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 (0;0; zM )
( Giữ nguyên z )
Chiếu và o Oxz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyên x , z )
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
Đối xứ ng qua Ox
Đố i xứn g qua Oxy
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ;zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x ; đổi dấu y, z )
( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z )
Đối xứ ng qua Oy
Đối xứ ng qua Oxz
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z )
( Giữ nguyên x , z; đổi dấ u y )
Đối xứ ng qua Oz
Đối xứ ng qua Oyz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y )
( Giữ nguyên y, z ; đổi dấu x )
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a2 a3 a3 a1 a1 a2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
a, b
b2 b3 b3 b1 b1 b2
[a, b] a . b .sin a , b
Tính chất:
[ a, b] a
[ a, b] b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a
,
b
c
Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
và
là
a, b 0 với 0 (0; 0;0).
[a, b].c 0.
Diện tích hình bình hành
ABCD: S ABCD AB, AD .
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .
Diện tích tam giác ABC:
1
S ABC AB, AC .
2
1
Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD .
6
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
A. 2;0;1 .
B. 2; 2;0 .
C. 0; 2;1 .
D. 0;0;1 .
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu của điểm M x0 ; y0 ; z0 trên mặt phẳng Oxy là điểm M x0 ; y0 ;0 .
Do đó hình chiếu của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm M 2; 2;0 .
Câu 2.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là
A. 0;1;0 .
B. 2;1;0 .
C. 0;1; 1 .
D. 2;0; 1 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu của M 2;1; 1 lên mặt phẳng Ozx là điểm có tọa độ 2;0; 1 .
Câu 3.
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0; 2;0 .
B. 0;0;5 .
C. 1;0;0 .
D. 0; 2;5 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là 1; 0; 0 .
Câu 4.
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 2;1 trên
trục Ox có tọa độ là:
A. 0; 2;1 .
B. 3; 0; 0 .
C. 0; 0;1 .
D. 0; 2; 0 .
Lời giải
Chọn
B.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 5.
(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0;5; 2 .
B. 0;5; 0 .
C. 3; 0;0 .
D. 0; 0; 2 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên trục Ox có tọa độ là 3; 0; 0 .
Câu 6.
(Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1; 2) trên
trục Ox có tọa độ là
A. (0;1; 0) .
B. (8;0;0) .
C. (0;1;2) .
D. (0;0; 2) .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1; 2) trên trục Ox là (8;0;0) .
Câu 7.
(Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ?
A. (0; 4; 2) .
B. (1; 4;0) .
C. (1;0; 2) .
D. (0; 0; 2) .
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu của A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy là (1; 4;0) .
Câu 8.
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ?
A. M 3; 0; 2
B. 0;0; 2
C. Q 0;5; 2
D. N 3;5;0
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;5;0 .
Câu 9.
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy .
A. Q 1;0;3
B. P 1;2;0
C. M 0;0;3
D. N 0;2;3
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy là điểm P 1;2;0 .
Câu 10.
(Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của
điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ?
A. Q 0;4;1 .
B. P 3;0;1 .
C. M 0;0;1 .
D. N 3; 4;0 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;4;0 .
Câu 11.
(Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 3;0; 1 .
B. 0;1; 0 .
C. 3;0; 0 .
D. 0;0; 1 .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 .
Câu 12.
(Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 0;0; 1 .
B. 2;0; 1 .
C. 0;1;0 .
D. 2;0;0 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 .
Câu 13.
(Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 3; 1;0 .
B. 0;0;1 .
C. 0; 1;0 .
D. 3;0;0 .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục Oz có tọa độ là 0;0;1
Câu 14.
(Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 2;0; 0 .
B. 0;1; 0 .
C. 2;1; 0 .
D. 0;0; 1 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oz có tọa độ là: 0;0; 1 .
Câu 15.
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của
điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm
A. M 3;0;0
B. N 0; 1;1
C. P 0; 1;0
D. Q 0;0;1
Lời giải
Chọn B
Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng Oyz , ta giữ lại các thành phần
tung độ và cao độ nên hình chiếu của A 3; 1;1 lên Oyz là điểm N 0; 1;1 .
Câu 16.
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau
đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ?
A. M 3;4;0 .
B. P 2;0;3 .
C. Q 2;0;0 .
D. N 0;4; 1 .
Lời giải
Mặt phẳng tọa độ Oyz có phương trình là x 0 N 0;4; 1 Oyz .
Câu 17.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu
của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. M 4;5;0 .
B. M 4;0;6 .
C. M 4;0;0 .
D. M 0;5;6 .
Lời giải
Hình chiếu của M 4;5;6 xuống mặt phẳng Oyz là M 0;5;6 .
Câu 18.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y ; z .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z .
B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y ; z .
C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y; z .
D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 .
Lời giải
Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . Do đó phương án A sai.
Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z . Do đó phương án B sai.
Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M x; y; z . Do đó phương án D sai.
Câu 19.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của
M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là
A. 0; 2; 3 .
C. 1; 2; 3 .
B. 1; 2; 3 .
D. 1; 2;3 .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz H 0; 2; 3
Gọi M ' là điểm đối xứng với M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz
H là trung điểm của MM ' M ' 1; 2; 3 .
Câu 20.
(Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm
đối xứng với A qua trục Oy .
A. A 2;3;5 .
B. A 2; 3; 5 .
C. A 2; 3;5 .
D. A 2; 3; 5 .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;5 lên Oy . Suy ra H 0; 3; 0
Khi đó H là trung điểm đoạn AA .
x A 2 xH x A 2
y A 2 yH y A 3 A 2; 3; 5 .
z 2 z z 5
H
A
A
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
Câu 21.
(Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có
tọa độ là
A. 1; 1; 3
B. 3;1;1
C. 1;1;3
D. 3;3; 1
Lời giải
Chọn C
AB 2 1; 2 1;1 2 hay AB 1;1;3 .
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 22.
(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ
AB
có tọa độ là
A. 1; 2; 3
B. 1; 2; 3
C. 3;5;1
D. 3; 4;1
Lời giải
Chọn A
AB xB x A ; yB y A ; z B z A 1; 2;3
Câu 23.
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn
thẳng OA .
A. OA 5
B. OA 5
C. OA 3
Lời giải
D. OA 9
Chọn C
OA 2 2 2 2 12 3 .
Câu 24.
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto
a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2 c là
A. d 7; 0; 4
B. d 7; 0; 4
C. d 7; 0; 4
D. d 7;0; 4
Lời giải
Chọn B
Ta có: d a b 2c 1 2 2.4; 2 2 2.0;3 1 2.(4) 7;0; 4 .
Câu 25.
(THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB
có tọa độ là
A. 2; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 3;5;1 .
D. 3;4;1 .
Lời giải
Hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là 2; 2;3 .
Câu 26.
(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 .
Vectơ a b có tọa độ là
A. 3;4;1 .
B. 1; 2;3 .
Ta có: a b 2 1;3 1; 2 1 1; 2;3 .
Câu 27.
C. 3;5;1 .
D. 1;2;3 .
Lời giải
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2;7 .
Lời giải
Ta có: 2a 4; 6; 6 , 3b 0; 6; 3 , 2c 6; 2; 10 u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .
Câu 28.
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. 1; 2; 3 .
B. 2; 3; 1 .
C. 2; 1; 3 .
D. 3; 2; 1 .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
a i 2 j 3k a 1; 2; 3 .
Lời giải
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa
độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2; 7 .
Lời giải
Có 2a 4; 6;6 ; 3b 0;6; 3 ; 2c 6; 2; 10 .
Khi đó: u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .
Câu 30.
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y .
A. a 4;1; 1 .
B. a 3;1; 4 .
C. a 0;1; 1 .
D. a 4;1; 5 .
Ta có: 2 y 2; 0; 2 .
a x 2 y 2 2;1 0; 3 2 4;1; 5 .
Câu 31.
Lời giải
(THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 .
Vectơ AB có tọa độ là
A. 3;0; 3 .
B. 1;2; 3 .
C. 1; 2;3 .
D. 1; 2;3 .
Lời giải
A 2; 1;0 , B 1;1; 3
AB 1 2;1 1; 3 0 1; 2; 3 .
Câu 32.
(Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:
A. ( 1;1; 2). .
B. ( 3;3; 4). .
Câu 34.
D. (1; 1; 2)
Lời giải:
Ta có: AB 1;1; 2 .
Câu 33.
C. (3; 3; 4). .
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các
vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k .
A. i j k ( 1; 1;1). B. i j k (1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1).
Lời giải
Ta có i (1; 0;0), j (0;1;0), k (0; 0;1).
Do đó, i j k (1;1; 1).
(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử
u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là
A. 2;3;1 .
B. 2;3; 1 .
C. 2; 3; 1 .
D. 2;3;1 .
Lời giải
Theo định nghĩa ta có i 1;0;0 , j 0;1;0 và k 0;0;1 .
Facebook Nguyễn Vương 7
