Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC ppt

Chuyên đề ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 1

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Bài toán lập phương trình mặt phẳng:
1. Kiến thức cơ bản:
•
a

và
b

là một cặp vtcp của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trên mp(P). Khi đó ,n a b
 
=
 
  
là một véc tơ pháp tuyến của mp(P).
• PTTQ của (P) có dạng:
Ax 0By Cz D+ + + = nh
ậ
n ( ; ; )n A B C=

là m
ộ
t vtpt c
ủ

a (P)
•

PT mp(P)
đ
i qua
đ
i
ể
m
( )
0 0 0
; ;M x y z
nh
ậ
n ( ; ; )n A B C=

làm vtpt s
ẽ
có ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
( ) ( ) ( )
0 0 0
A 0x x B y y C z z− + − + − =

•

PT mp theo
đ
o
ạ
n ch
ắ
n (
đ
i qua 3
đ
i
ể
m
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
):
1
x y z
a b c
+ + =

•

Các d
ạ
ng toán c
ơ
b
ả
n:

-

Vi
ết PT mp đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
nhận
( ; ; )n A B C=

làm vtpt.
-
Vi
ế
t PT mp
đ
i qua 3
đ
i
ể
m A, B,C
-
Vi
ế
t PT mp
đ
i qua
đ
i
ể

m A và song song v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
và d
2

-
Vi
ế
t PT mp ch
ứ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
và d
2
(trong
đ
ó d
1
// d
1

ho
ặ
c d
1
c
ắ
t d
2
)

Chú ý: Ngoài ra còn có nhiều bài toán khác có thể quy về bài toán dạng cơ bản qua các phép
biến đổi đơn giản.

2. Các ví dụ:
Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách quy về các bài toán cơ bản
VD1 (Khối D - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
12 3
1 2 1
: : 1
3 1 2
10 2
x t
x y z
d d y t
z t
= +

− + +


= = = −

−

= +


a) Chứng minh
1 2
/ /d d
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả (d
1
) và (d
2
).
Đáp số:
( )
:17 11 20 15 0P x y z− − − =


VD2 (Khối A - 2002) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
( )
1 2
2 2 1 '
: 1 3 : 2 ' , '
4 4 1 2
x t x t
d y t d y t t t
z t z t
= + = +

 
 
= + = + ∈
 
 
= + = +
 
»
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
Đáp số:
2 0x z− =

Chuyên đề ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 2
VD3:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ

i
ể
m
( )
1;2;3A −
và
đườ
ng th
ẳ
ng
1
: 1 2
1
x t
d y t
z
= +


= +


=

. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình m

ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d và cách
đ
i
ể
m A m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 3.
Đ
áp s
ố
:
2 2 1 0x y z− − + =

VD4
(C
Đ
Qu

ả
ng Ngãi - 2006) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
4 5 6
:
5 5 5
x y z
d
+ − −
= =
−
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 2 2 10 0Q x y z− + − =
. L

ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q).
Đ
áp s
ố
: 4 3 5 0x y z+ + − =


Loại 2: Sử dụng phương trình theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng
H
ướ
ng gi

ả
i: S
ử
d
ụ
ng PTMP theo
đ
o
ạ
n ch
ắ
n 1
x y z
a b c
+ + =

Tìm a, b, c

VD5:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) bi
ế
t nó

đ
i qua
đ
i
ể
m
( )
1;2;3G
và c
ắ
t các tr
ụ
c to
ạ

độ
Ox, ,Oy Oz
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A, B, C sao cho G là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC.
Đ
áp s

ố
: 6 3 2 18 0x y z+ + − =

VD6:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t các tr
ụ
c to
ạ

độ
Ox, ,Oy Oz l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A, B, C sao cho ABC
là tam giác
đề
u và có di

ệ
n tích b
ằ
ng 2 3 .
Đ
áp s
ố
: 2 0; 2 0; 2 0; 2 0x y z x y z x y z x y z+ + − = + + + = − − − = − + − − =
2 0; 2 0; 2 0; 2 0x y z x y z x y z x y z− − + − = + − − = − + − = − + + − =
VD7:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua
( ) ( )
1;1;1 , 3;0;1M N
, c
ắ
t các tr
ụ
c to
ạ

độ
Ox, ,Oy Oz l
ầ
n
l
ượ
t t
ạ
i A, B, C và có kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n (P) b
ằ
ng
4 14
7

Đ
áp s
ố
: 11 22 9 42 0
x y z+ + − =


Loại 3: Các bài toán khác về thiết lập phương trình mặt phẳng
H
ướ

ng gi
ả
i: - H
ướ
ng 1: C
ố
g
ắ
ng
đư
a v
ề
bài toán c
ơ
b
ả
n
- H
ướ
ng 2: S
ử
d
ụ
ng tr
ự
c ti
ế
p PTTQ c
ủ
a mp: Ax + By + Cz + D = 0


tìm A, B, C

VD8

(Kh
ố
i A - 2008)
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
( )
2;3;5A
và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:

2 1 2
x y z
d
− −
= =
.
a)

Tìm to
ạ

độ
hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A trên d.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a d sao cho kho

ả
ng cách t
ừ
A
đế
n P là l
ớ
n nh
ấ
t
Đ
áp s
ố
:
a) Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A trên d là
( )
3;1; 4M

b) (P) qua A và nh
ậ
n
AM

làm vtpt:
( )
: 4 3 0P x y z− + − =

Chuyên đề ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 3

VD9

(Kh
ố
i A - 2006)
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCDA’B’C’D’ v
ớ
i
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1A B D A
. Vi
ế
t ph

ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a A’C và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(Oxy) m
ộ
t góc
α
, bi
ế
t
1
os
6
c
α
=

Đ
áp s
ố
: 2 1 0
x y z
− + − =
ho
ặ
c 2 1 0
x y z
− − + =


VD10:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
( ) ( ) ( )
1;2;0 , 0; 4;0 , 0;0;3A B C
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

ặ
t
ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a OA sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
B và C
đế
n (P) là b
ằ
ng nhau
Đ
áp s
ố
: 6 3 4 0
x y z
− + + =
ho
ặ
c 6 3 4 0
x y z
− + =



II. Bài toán lập phương trình đường thẳng

1. Kiến thức cơ bản:
• Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
t y bt
z z ct
= +


= +


= +


• Phương trình tham số:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =


2. Phương pháp chung:
•
Tìm một điểm đi qua M và một VTCP
u


•
Tìm một điểm đi qua M và vuông góc với hai véc tơ
,a b
 
khi đ
ó ,
u a b
 
=
 
  
là m
ộ
t VTCP
•

Tìm hai
đ
i
ể
m
đ
i qua A và B


3. Các ví dụ:

VD11

(Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
( ) ( )
1;4; 2 , 1;2;4A B −
. Gọi
G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại
G.
Đáp số:
2 2
2 1 1
x y z− −
= =
−


VD12
(Kh
ố
i D - 2006) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m

( )
1;2;3A
và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
2 2 3 1 1 1
: :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
− + − − − +
= = = =
− −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua A, vuông
góc v

ớ
i d
1
và c
ắ
t d
2
.
Đ
áp s
ố
:
1 2 3
1 3 5
x y z
− − −
= =
− −


Chuyên đề ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 4
VD13
(Kh
ố
i B - 2004) Trong không gian v
ớ
i h
ệ

to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
( )
4; 2; 4A − −
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
3 2
: 1
1 4
x t
d t t
z t
= − +


= −


= − +


. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua A, c
ắ
t và vuông góc v
ớ
i d.

Đ
áp s
ố
:
4 2 4
3 2 1
x y z
+ + −
= =
−

VD14
(Kh
ố
i D - 2009) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
:
1 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−

và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )

: 2 2 4 0P x y z+ − + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d n
ằ
m trong mp(P), vuông góc và
c
ắ
t
∆

Đ
áp s
ố
:
3 1 1
1 2 1
x y z
+ − −
= =
−

VD15
(Kh

ố
i A - 2007) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

và
2
1 2
: 1
3
x t

d y t
z
= − +


= +


=

và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 7 4 0P x y z+ − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d vuông góc v
ớ
i
m
ặ

t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t c
ả
d
1
và d
2
.
Đ
áp s
ố
:
2 1
:
7 1 4
x y z
d
− +
= =

VD16
(Kh
ố
i A - 2005) Trong không gian v
ớ
i h
ệ

to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−

và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 2 2 9 0P x y z+ − + =
. G
ọ
i A là giao
đ
i

ể
m c
ủ
a d v
ớ
i (P). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
n
ằ
m trong (P), bi
ế
t
∆
qua A vuông góc v
ớ
i d.
Đ
áp s
ố
:
1
4

x t
y
z t
=


= −


= +



VD17
(C
Đ
GTVT - 2005) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
( )

1;2; 1H −
và
đườ
ng th
ẳ
ng
3 3
:
1 3 2
x y z
d
− −
= =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua H, c
ắ
t d và song song v
ớ
i m

ặ
t ph
ẳ
ng (P):
3 0x y z+ − + = .
Đ
áp s
ố
:
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−

VD18:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2

1 2
1 2
: :
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t t
z
= − +

− +

= = = +


=

. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2

.
Đ
áp s
ố
:
2 1
1 2 4
x y z− +
= =
− −

Chuyên đề ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 5
VD19:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
( )
2; 1;1A −

và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
1
1 3 1
: : 3 2
1 1 2
0
x t
x y z
d d y t
z
= − +

− + −

= = = −

−

=

. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình

đườ
ng th
ẳ
ng ∆
đ
i qua A và vuông góc v
ớ
i
c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
và d
2
.
Đ
áp s
ố
:
2 1 1
4 2 1
x y z− + −
= =
−

VD20
(Kh
ố
i D - 2009) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3
: 1
5
x t
y t
z t
=


∆ = −



= +

và c
ắ
t
c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
− + −
= = và
2
4 7
:
5 9 1
x y z
d
+ +
= = .
Đ
áp s

ố
:
35
3
47
142
47
58
47
x t
y t
z t

= +



= − −



= +




VD21
(Kh
ố
i D - 2009) Vi

ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 2 0P y z+ =
và c
ắ
t c
ả

hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1
:
4

x t
d y t
z t
= −


=


=

và
2
2
: 4 2
1
x t
d y t
z
= −


+ +


=

.
Đ
áp s

ố
:
1
4 2 1
x y z−
= =
−


VD22
(Kh
ố
i B - 2009) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 2 2 5 0P x y z− + − =
và
hai
đ

i
ể
m
( )
3;0;1A −
và
( )
1; 1;3B −
. Trong các
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và song song v
ớ
i (P), hãy vi
ế
t
ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng mà kho
ả
ng cách t
ừ
B

đế
n
đ
ó là nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
áp s
ố
:
3 1
26 11 2
x y z+ −
= =


Loại 3: Định điểm và các yếu tố khác trong hình học giải tích không gian

VD23
(Kh
ố
i A - 2009): Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
và
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 9
:
1 1 6
x y z
d
+ +
= = và
2
1 3 1
:
2 1 2
x y z
d
− − +
= =

−
. Tìm
đ
iêm M trên d
1
sao cho kho
ả
ng
cách t
ừ
M
đế
n d
2
b
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n mp(P).
Đ
áp s
ố
:
( )
1 2
18 53 3

0;1; 3 ; ; ;
35 35 35
M M
 
−
 
 