Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Trường THPT Quế Võ số 1

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

CỘNG HOÀ XàHỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1

Độc lập –Tự do – Hạnh phúc
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
Mụn thi  : Toán       Khối 12
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 ( 3 điểm )
Cho hàm số  y = x 3 − 2x 2 + ( 2m + 1) x − 2m  ( m là tham số )
a. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)  khi m=0. 
b. Tm m đ
́
ể hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái 
dấu.
Câu 2 ( 2 điểm )
a. Giải phương trnh :   
́
4x

2

+x

+ 21− x = 2( x +1) + 1
2

2

log 5 x + log x
b. Giải bất phương trnh :  
́

x ( 2 − log 3 x ) log 5 x
<
3
log 3 x

Câu 3 ( 1 điểm )
�x

π�

x

sin 2 � − �tan 2 x − cos 2 = 0
Giải phương trnh : 
́
2
�2 4 �

Câu 4 ( 3 điểm )
1. Trong mặt phẳng Oxy , Cho hai đường thẳng  d1 : x + y + 5 = 0;d 2 : x + 2y − 7 = 0 và điểm 

A(2;3) . Tm đi
́ ểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0)
2. Cho hnh chóp S.ABCD có đáy là hnh vuông c

́
́
ạnh a, cạnh  SA = a 3 và SA vuông góc 

với đáy ABCD , M là trung điểm của BC
a. Tính diện tích tam giác SBD và khoảng cách giữa AM và SC
b. Lấy N trên CD sao cho  DN =

mặt phẳng (SMN).
Câu 5 ( 1 điểm )

3a
. Chứng minh mặt phẳng (SAM) vuông góc với 
4


Cho a,b,c là ba số thực dương , chứng minh rằng :
a 3 + b 3 + c3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2
+ 2
+
+
2abc
c + ab a 2 + bc b 2 + ca

9
2

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
         Ghi chú :+Học sinh không được sử dụng tài liệu trong quá trnh thi
́

                        +Đề gồm có 1 trang
Xác nhận của BGH

Người tổ hợp đề
        Nguyễn Minh Nhiờn

ĐÁP ÁN
ĐÁP ÁN

THANG 
ĐIỂM

Câu 1( 3 điểm )
a.   +TXĐ
  + Tính y’ , giải ra nghiệm đúng
  +Tính đồng biến nghịch biến, cực trị , giới hạn
  +BBT
             + Đồ thị

0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

PT  x 3 − 2x 2 + ( 2m + 1) x − 2m = 0 có 3 no 

b. Hàm số có  y CD , y CT trái dấu 

p/b

0,25 điểm
0,5 điểm

� ( x − 1) ( x 2 − x + 2m ) = 0  có 3 nghiệm p/b
۹ 0

m<

1
8

Câu 2 ( 2 điểm )
a. PT � 22x + 2x + 21− x = 22x
2

     

22x

2

2

+ 2x

2

+ 2x

0,25 điểm

2

.21−x + 1

0,5 điểm

=1

2

21− x = 1

Từ đó , ra nghiệm   x �{ 0; −1;1}
b. Đk : x>0 , x≠1
*TH1: x>1,  BPT � ( log 5 x + 1 − log x 3) log 3 x < 2 log 5 x − log 5 x.log 3 x
       � ( 2 log 5 x + 1) ( 1 − log 3 x ) > 0 � 1 < x < 3

*TH2 : 0KL tập nghiệm 
Cõu 3 ( 1 điểm )
          + ĐK :  x

0,25 điểm

π
+ kπ ( k
2

Z)

1
5

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm


� π�
1 − cos �x − �
          + 
� 2 �tan 2 x − 1 − cos x = 0
PT �
2
2

0,25 điểm

π
+ l2π
2
          +      ( 1 − sin x ) ( 1 − cos x ) ( cos x − sin x ) = 0 � x = m2π ( l, m, n �Z )
π
x = + nπ
4

π
         + Đối chiếu Đk ra nghiệm :  x = m2π , x = + nπ
4
x=

Câu 4 ( 3 điểm )
1. B thuộc d1 và C thuộc d2 nên tọa độ của B(a;­a­5),C(7­2b;b)
V G là tr
́
ọng tâm nên ta có 

a + 7 − 2b + 2 = 6
−a − 5 + b = 0

Từ đó , ra tọa độ B(­1;­4),C(5;1)
2.

a.  +Chỉ ra đường cao và tính đường cao

7 2
               +Tính diện tích bằng 
a
2

               +Gọi H là trung điểm của AD AM / /CH
                      � AM / / ( SHC ) � d(AM,SC) = d(M, (SHC))
                 � d(AM,SC) =

3VSCMH a 3
=

SSCH
4

b. CM tam giác AMN vuông tại M  MN ⊥ AM,SA � MN ⊥ ( SAM )

Từ đó suy ra đpcm

0,25 điểm 

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm

Câu 5 ( 1 điểm )
a2
b2
c2
2ab
2bc
2ac
+
+

+ 2
+ 2
+ 2
2bc 2ca 2ab c + ab a + bc b + ac
2
a
a 2 + bc 1 b 2 b 2 + ac 1 c 2
c 2 + ab 1
      Mà   
=
− ;
=
− ;
=
−  nờn
2bc
2bc
2 2ac
2ac
2 2ab
2ab
2
2
2
2
�c + ab
2ab � �a + bc
2bc � �b + ac
2ac � 3
+ 2

+ 2
+ 2
            VT �
�+ �
�+ �
�−
c + ab � � 2bc
a + bc � � 2ac
b + ac � 2
� 2ab
3 9
                 ≥2+2+2­ =
2 2

Ta có :  VT

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm