Bài giảng môn Xác Suất. Ôn thi cao học

Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

BÀI GIẢNG TÓM TẮT
MÔN TOÁN XÁC SUẤT – ÔN THI CAO HỌC
A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
§1. ÔN VỀ TỔ HỢP
1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự
gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}.
k

1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có
công thức:

Ck
=
n

6

Ví dụ: C20 =

6!14!

20!

n!
(

)

k ! n −k !

= 38760.
6

Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính C20 bằng cách bấm 20 nCr

6=
1.3. Bài tóan lựa chọn:
Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N– NA sản
phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số nguyên k thỏa 0
k ≤ NA, 0 ≤ n–k ≤ N–NA. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A.
Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước:
k

Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A. Số cách chọn là CN

A

.

Bước 2: Chọn n–k sản phẩm loại B từ N–NA sản phẩm loại B. Số cách chọn là
C n −k

.

N−NA

Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm
loại A là:
1


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

C k .Cn −k
NA

.

N−NA

§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
2.1. Phép thử và biến cố
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác
định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi
là một biến cố.
Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến
cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực
hiện phép thử.
2)

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
không quá 6” là biến cố tất yếu.
3) Biến cố bất khả, kí hiệu ∅, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện

phép thử.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố bất khả.
4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi
thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A 1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố
ngẫu nhiên.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.
Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6)
là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .
4) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra khi
và chỉ khi B xảy ra.
Ví dụ. Tung hai con xúc xắc 6 mặt.
Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là 12” và B là biến cố “Xuất hiện hai
mặt 6 chấm và 6 chấm”. Ta có A = B.
Gọi C là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là 10” và D là biến cố “Xuất hiện hai
mặt 5 chấm và 5 chấm”. Ta có C ≠ D (khi C xảy ra thì không nhất thiết D xảy ra vì
khi đó có thể xuất hiện các mặt 6 chấm và 4 chấm).
5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A B) là biến cố
định bởi:

2


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
 Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1 + A2 +…+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:
A =A1+A2
B=A2+A4+A6
6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:
AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra.
Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra.
Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1A2…An xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra.
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.
Ta có: AB = A6 và ABC = ∅.
Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng
tổng của hai biến cố khác.
7)

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia
đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi
những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều

3

Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến
cố bất khả.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,
…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A=A1+A3+A5.
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5.
8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅, nghĩa là A và B không bao
giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.
Minh họa:

Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2.
Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2).
9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi
A xảy ra ⇔ A không xảy ra
Minh họa:

Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và
chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử.
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A.

4


Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp Aj (j
= 1,2,…,6) là đồng khả năng.
2.2. Định nghĩa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử , có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có
thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số

m A
n được

gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
Như vậy,

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
P(A) = Tổng số biến cố sơ cấp cóthể xảy ra
2.3. Cơng thức tính xác suất lựa chọn.
Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dó có NA sản phẩm loại A, còn lại
là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0< n < N). Khi đó, với mỗi 0 ≤ k
NA thỏa 0 ≤ n – k ≤ N – NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản
phẩm loại A là:
p

(k) =

C k Cn −k
NA

N −N

n

A

CN

n

§3. CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
3.1. Cơng thức cộng xác suất
1) Cơng thức cộng xác suất thứ nhất.
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có
P(A+B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có:
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
P(A) = 1 − P(A)

3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai:
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:
5


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

P(A + B)

=

P(A) + P(B) − P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra
có:
a) Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu.
b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu.
Lời giải
Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4–j) sản phẩm xấu có trong 4
sản phẩm chọn ra. Khi đó A0, A1,…,A4 xung khắc từng đôi và theo Công thức tính xác
suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có:

P( Aj ) =
Từ đó ta tính được:
P(A2) =
a)

C j C 4− j
10

C

15

5

4

30
40
2
91 ; P(A3) =
91 ; P(A4) = 13 .

Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có:
A=A4+A3+A2.

Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A2, A3, A4, Công thức cộng thứ nhất cho ta:
P(A) = P(A4) + P(A3) + P(A2) =

30

91 +

40

2
91 + 13 = 0,9231

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó, biến
cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên B =
A4. Suy ra xác suất của B là

2

P(B) = 1 − P(B) = 1 − P(A4) = 1 − 13 = 0,8462. .
Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh
viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai
môn Toán hoặc Anh văn.
Lời giải
Gọi
– A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán.
6


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

– B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn.
Khi đó
– AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn.
– A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh
văn.
Do đó

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 100

60

+ 100

70

−100

40

= 0,9.

§4. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
4.1. Xác suất có điều kiện.
1) Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra,
kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B
đã xảy ra rồi.
Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau:
-

A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

-

B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.
D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.

-

Khi đó
-

P(A/B) = 0

-

P(A/C) = 2/4 = 0,5

P(A/D) = 2/3

-

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó
P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).
Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để
biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy
ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:
2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B
không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.
4.2. Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có
P(AB) = P(A) P(B)

7


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1
≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An).
4.3. Công thức nhân xác suất thứ hai
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có
P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ , ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An–1).
Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).
Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi
lô 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn được
1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Lời giải
Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 – i) sản
phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II.
Khi đó
– A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có:

10

C 0C 2 =
;
C152 105
50
1
1
P( A1) = C C =
;
C152 105
45
2
0

C
C
P(A2) =
.
=
2
C15 105
P(A0) =

10

5

10

10

5

5

– B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có:

8


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

21

0
2
P(B ) = C C =
;
C152 105
56
1
1
C
C
1
P(B ) =
;
=
2
C15 105
28
2
0
P(B2 ) = C C =
.
C152 105
0

8

7

8

7

8

-

7

Ai và Bj độc lập.

a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có:
A = A 0 B 2 + A1 B 1 + A2 B 0 .
Do tính xung khắc từng đôi, Công thức cộng xác suất cho ta:
P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0).
Từ đây, do tính độc lập, Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
P(A) =

P(A0)P(B2) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0)
10
28
50
56
45
21
 105 .105 + 105 .105 + 105 .105 = 0,3651.

Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố A đã xảy ra.
Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường
hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/A).
b)

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

P(A1A) = P(A)P(A1/A) .
Suy ra

P(A1/A) =
Mặt khác

P(A A)
1

.

P(A)

A1A = A1B1.

Vì hai biến cố A1 và B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có:

50

P(A1 A) = P(A1B1 ) = P(A1 )P(B1 ) = 105
Do đó xác suất cần tìm là:
9

56

.105

= 0,2540.


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

P(A1/A) =

0,2540 =
=
0,6957.
P(A)
0,3651

P(A1A)

§5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES
5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
nếu hai tính chất sau được thỏa:
-

A1 + A2 +… + An = Ω;
∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = ∅,

nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ
một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.
Nhận xét. Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.
Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;
hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:

– Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 – i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.
– Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 – j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
– A0 , A1 , A2 .
– B0, B1, B2.
– A0B0, A0B1, A0B2, A1B0, A1 B1, A1B2, A2B0, A2B1, A2B2.
– A0B0, A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0, A1B2+ A2B1, A2B2.
5.2. Công thức xác suất đầy đủ
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi
đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:
n

P(A) = ∑P(A j )P(A/A j )
j=1

5.3. Công thức Bayes.
Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:
P(A k )P(A/A k )

P(Ak /A)
P(A
= )
k
=

10

k

)P(A/A

P(A)

n

∑P(A j )P(A/A j)
j=1


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

Ví dụ. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2
sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Lời giải
Gọi

-

-

A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.

Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 – j) sản phẩmxấu có trong 2 sản
phẩm được
chọn ra từ lô I.

Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:

10

0
2
P(A0) = C C =
;
C152 105
50
1
1
C
C
P( A1) =
;
=
2
C15 105
45
2
0
C
C
2
P(A ) =
.
=
2

C15 105
10

5

10

5

10

a)

5

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A).
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2).
Ta có:

C1 C1
P(A / A0) =

9

72
= 136

8

72
= 136

8

2

C

17

C C1
1

P(A / A1) =

9

C

2

17

C1 C 1
P(A / A2) =

10

C

7

2

70
= 136

17

Suy ra xác suất của biến cố A là
11


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

P(A) = P(A0)P(A / A0) + P(A1)P(A / A1) + P(A2)P(A / A2)

b)

105

10

.136

72

+ 105

50

.136

72

+ 105

45

.136

70

= 0,5231.

Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó biến cố A

đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A 1/A). Ap dụng
Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có

50 72

P(A1/A) =

P(A )P(A/A )
1

1

P(A)

.
= 105 136 = 0,4819.

0,5231

§6. CÔNG THỨC BERNOULLI
6.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi
phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không xảy ra với xác
suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để
trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
Pn (k) =

Cnkp k qn −k

6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có:
n
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là q .
n
2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là p .
Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản
xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Lời giải
Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 – k) sản phẩm xấu có
trong 5 sản phẩm thu được. Ap dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta

có:
a)

P( Ak ) =

k
k n−k
= C5k (0,6)k (0,4)5−k
n p q
C
Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:

P(A3 ) =

C35 (0,6)3 (0,4)2

= 0,3456.

b)
Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là P(A 3
+ A4 + A5). Ta có:

12


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

P(A3 + A4 + A5) = P(A3) + P(A4) + P(A5)


0,3456 + C54 (0,6)4 (0,4) + (0.6)5



0,68256.

13


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

B – ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên hay Biến ngẫu nhiên là một đại lượng
nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.
1.2. Phân loại
a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn
đếm được các giá trị.
Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n + 1 giá trị 0; 1;..; n.
b) Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm
được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các
số thực.
Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại
lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối
a) Trƣờng hợp rời rạc
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần: x1, x2,

…,xn ta lập bảng:
X
P

x1
p1

x2
p2

……………………….... xn
…………………………. pn

trong đó:
– pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n.
n

–

∑p k
k= 1

= 1, nghĩa là p1 + p2 +…+ pn = 1 .

Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản
phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Áp dụng
Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:

14


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

p = P ( X = 0)
=
0

C

A0

p = P ( X = 1)
=
1

p = P ( X = 2)
=

= 2;
15

10

2

= 8;
15

10

C62C40
2

A2

C

0
2/15

1
2
8/15 1/3

Vậy luật phân phối của X là
X
P

2

C16C14
C

A1

2

C60C42

= 1.
3

10

b) Trƣờng hợp liên tục
Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra
đoạn [a; b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Còn thay
cho xác suất p1, p2,…, pn ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau:

-

f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b].
b

∫a

f (x)dx = 1.
β

P(α ≤ X ≤ β ) =

∫ αf (x)dx.

§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của
X được xác định như sau:
Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số các xác

suất P(X = x).
Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy
nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.
Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X
P

0
2/15

1
2
8/15 1/3

Do đó Mod(X) = 1.
2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)
1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được
xác định như sau:

15


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

– Nếu X rời rạc có luật phân phối
X
P

x1
p1

x2
p2

………………………..xn
…………………………. pn

n

thì

M(X) =

∑ x k pk , nghĩa là M(X) = x1p1 + x2p2 +…+ xnpn
k =1

– Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a; b] thì

M ( X ) = ∫ ab xf (x)dx.
Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:
X
P

0
2/15

1
2

8/15 1/3

Do đó kỳ vọng của X là
M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2.
2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:
Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính
hằng số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const).
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có
M(kX) = kM(X).
Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có
M(XY) = M(X)M(Y).
2.3. Phƣơng sai và độ lệch chuẩn
1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số
thực không âm định bởi:
2
D(X) = M((X – µ) )
trong đó µ = M(X) là kỳ vọng của X.
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ ( X ) .
Vậy
σ(X) = D(X).
2) Công thức tính phương sai:
Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sai
như sau:
2
2
D(X) = M(X ) – [M(X)]
16

Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013
2

2

trong đó M(X ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X và X.
Như vậy,
– Nếu X rời rạc có luật phân phối
X
P

x1
p1

………………………..xn
…………………………. pn

x2
p2

thì công thức trên trở thành
n

∑x

D(X) =

n

2
k

∑x k p k )2

p k −(

k=1

k=1

– Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì
D(X) =

∫a

b

x

2

f (x)dx − (

∫

b
a

xf (x)dx)

2

Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:
X
P

0
2/15

1
2
8/15 1/3

và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2. Suy ra phương sai của X là:
2
2
2
2
2
2
D(X) = M(X ) – [M(X)] = 0 .2/15 + 1 .8/15 + 2 .1/3 – (1,2) = 32/75 ≈ 0,4267.
Độ lệch chuẩn của X là:
 (X ) =
D(X ) = 0,4267 ≈ 0,6532.
3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:
Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,
nghĩa là:
D(C) = 0.
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

2

D(kX) = k (D(X).
Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số. Ta có thể sử dụng phần mềm
thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,...) để tính
kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ. Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:
17


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

X
P

0
2/15

1
2
8/15 1/3

2.4.1. Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS
a. Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần...) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ
hiện lên chữ SD.
b. Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)
= AC . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc ∆

thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa.
Chú ý: Cũng có thể xóa bộ nhớ thống kê bằng cách thoát khỏi Mode SD bằng
cách bấm MODE 1 , sau đó vào trở lại Mode SD như trong mục a.

c. Nhập số liệu: Cách bấm số liệu như sau (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu
;):
0 SHIFT , 2 a

b/c

1 5 M

b/c

1 5 M

b/c

3 M

1 SHIFT , 8 a
2 SHIFT , 1 a

+

+

+

+

Chú ý: Sau khi nhập dữ liệu và bấm M lần đầu tiên, nên copy lại thao tác cũ
+
(bấm ), di chuyển con trỏ để sửa số lại số mới rồi bấm bấm M , cứ tiếp tục như thế
cho đế hết.
d. Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy

=

số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm thì số liệu
mới sẽ thay cho số liệu cũ.
Ví dụ. Nhập sai 0 SHIFT , 2 ab/c 2 5 M+ . Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình
hiện ra:
-

x1 = 0 (đúng).

Freq1 = 2/25 (sai)

Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm 2
được số liệu đúng Freq1 = 2/15.

ab/c

1

5 =

thì nhận

Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm
SHIFT M+ thì
tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất
tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn,
+
nhập dư 3 SHIFT
, 3 ab/c
4 M . Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (dư). Ta để màn
+

hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3
và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa.
Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình
và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa.
e. Đọc kết quả:
Đại lƣợng cần tìm

Thao tác
18

Kết quả

Ghi chú


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

Kỳ vọng M(X)

(X)

Độ lệch chuẩn σ

SHIFT

2 1 =

SHIFT

2 2

2

= 1.2

X

= xσn

= 0, 6532.

2

M(X) = X

σ(X) = xσn

• Phương sai D(X) = [σ(X)] = (0,6532) = 0,4267
2.4.2. Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES
a. Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP ∇ 4 1
(Bấm ∇ bằng cách bấm nút tròn xuống)

b. Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1
(Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT)
c. Nhập số liệu: Như trong bảng sau:

(hoặc MODE 2 1 )

d.Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số

=

liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm
thì số liệu
mới sẽ thay cho số liệu cũ.
Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm DEL thì tòan bộ số liệu
đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa.
Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình
và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong quá trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng số
liệu thì bấm SHIFT 1 2
e. Đọc kết quả:
Đại lƣợng cần tìm
Kỳ vọng M(X)
Độ lệch chuẩn σ

(X)

Thao tác

Kết quả

SHIFT

1

52

=

SHIFT

1

5 3 =

2

X

= 1.2

xσn = 0, 6532

Ghi chú

M(X) = X

σ(X) = xσn ; σx

2

• Phương sai D(X) = [σ(X)] = (0,6532) = 0,4267

• Đối với máy 570 ES Plus ta bấm SHIFT 1 4 ... thay vì

19

SHIFT

1 5...


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

§3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
3.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí
hiệu X ∼ H(N, NA, n), trong đó N, NA, n là các số nguyên dương , 0 < n, NA < N, nếu
X rời rạc nhận các giá trị k nguyên từ max{0; n + NA – N} đến min{n; NA} theo Công
thức tính xác suất lựa chọn:

P( X = k ) =

sau:

CkN CnN−−kN
CnN
A

A

3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Khi đó X có các đặc số như
a)

Kỳ vọng:

b)

Phương sai.

M ( X ) = np vôùi p NA
=
N .

D( X ) =
N − n ôùi
.
v
q
=
1
−
p
npq
N −1
Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi.
Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ
vọng, phương sai của X.
Lời giải
Ta thấy X có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n = 4.
Do đó X nhận các giá trị k nguyên từ max {0; 4 + 8 – 12} = 0 đến min{4; 8} = 4
với các xác suất định bởi:

k
4 −k
P( X = k) = C8 C 4

C124

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) =
56/165; P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 14/99.
Vậy luật phân phối của X là:
X
P

0
1/495

Kỳ vọng của X là

1
32/495

2
56/165

3
224/495

8

M(X) = np = 4. 12 = 2,667.

Phương sai của X là
D(X) = npq

N −n =
8
8 12−4
(1 −
= 0,6465.
4.
)
N −1
12 12−1
12
20

4
14/99


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

§4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
4.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức, kí
hiệu X∼ B(n, p), trong đó n số nguyên dương, 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá
trị nguyên 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli:

P ( X = k) =

C

k
n

pk qn−k .

Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p).
4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n, p). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1.
b) Kỳ vọng:
M(X) = np.
c) Phương sai:D(X) = npq.
Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản
phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.
Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
Lời giải
Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6
giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli:

P ( X = k) =

Ckn pk qn−k

=

C5k (0,6)k (0,4)5−k .

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;
P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776.
Vậy luật phân phối của X là:
X
P

0
1
0,01024 0,0768

2
0,2304

3
4
5
0,3456 0,2592 0,07776

– Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3.
– Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2.
– Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số nguyên

thỏa

np – q ≤ k ≤ np – q + 1

⇔



Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3.

5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
2,6 ≤ k ≤ 3,6
k = 3.

21


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

4.3. Định lý. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, NA, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại
N
lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với p = NA ,
nghĩa là:

P (X = k) =

Cnkp k qn −k

(k = 0, 1, …)

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản
phẩm tốt.
Lời giải
Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối
siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; N A= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với

N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p =
NA/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:

P (X = 7) =

C107(0,8)7(0,2)3 ≈

0,2013.

§5. PHÂN PHỐI POISSON
5.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson, kí
hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn đếm được các giá trị
nguyên k = 0,1,…, với các xác suất định bởi:
−a k
P ( X = k) = e a .

k!

5.2. Các đặc số của phân phối Poisson.
Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng:
M(X) = a.
b) Phƣơng sai. D(X) = a
5.3. Tính chất. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼
P(a2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson: X1 + X2 ∼ P(a1+ a2).
5.4. Định lý Poisson. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị
thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có
thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼
P(a) với a = np, nghĩa là:

P ( X = k)
≈

e−a ak
k!

22

(k = 0, 1, …)


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1
ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt.
Lời giải
Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân
phối nhị thức X ∼ B(n, p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002
khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:
X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2.
Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là:
P(0≤ X ≤ 2)= P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)



e −2 20

+

e −2 21

0!1!2!

+

e−2 22

= 5e−2 ≈ 0, 6767.

§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
6.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí hiệu
2
X ∼ N(µ, σ ), trong đó µ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật
độ xác định trên R định bởi:
2

( x−µ )

1

fµ,σ (x) = σ 2π e−

2σ

2

.

6.2. Các đặc số của phân phối chuẩn.
2

Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode:
Mod (X) = µ.
a) Kỳ vọng:M(X) = µ.
b)

Phƣơng sai: D(X) = σ

2

6.3. Hàm Gauss. Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1):
x

f (x) =

2

1 − 2
e .
2π

Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghĩa là f(–x) = f(x)), liên tục trên R.
Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn
[0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.
Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có:
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(–2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396;
f(–6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

6.4. Hàm Laplace. Hàm Laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên R định bởi:

23


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013
x

t

2

1
e− 2 dt.
∫
2
π 0

ϕ(x) =

Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ϕ (–x) = – ϕ(x)), liên tục trên R. Người
ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trị ϕ(x) trên đoạn [0; 5].
Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ (5) ≈ 0,5.
Ví dụ. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có:
ϕ(1,14) ≈ 0,3729;
ϕ(– 2,15) = – ϕ(2,15) ≈ – 0,4842.
ϕ(– 6,12) = – ϕ(6,12) ≈ – ϕ(5) ≈ – 0,5.
6.5. Công thức tính xác suất của phân phối chuẩn
2

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ). Khi đó,
xác suất để X lấy các giá trị thuộc [a; b] là:

b−µ 

P(a ≤ X ≤ b) = ϕ 

 σ

a−µ 



− ϕ

 σ







(1)

trong đó ϕ(x) là hàm Laplace.
Ví dụ. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối
2
chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg . Một sản phẩm được xếp
vào loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại

sản phẩm trên.
Lời giải
Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra X có phân
2
2
phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ) với µ = 50, σ = 100 (σ =10). Vì một sản phẩm được xếp vào
loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất
P(45 ≤ X ≤ 55).
Áp dụng công thức trên ta có
 55−50 
 45−50 
P(45 ≤ X ≤
= ϕ 
55)
10  − ϕ 
10  = ϕ(0,5) − ϕ(−0,5)








2ϕ(0,5) = 2.0,1915 = 0,383.

(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ(0,5) = 0,1915). Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A là
38,3%.
6.6. Định lý Moivre – Laplace. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối nhị thức X ∼ B(n, p). Giả sử rằng n khá lớn và p không quá gần 0 cũng không

quá gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu
2

nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(µ, σ ) với µ = np, σ =
= 1 – p) nghĩa là:
24

npq (q


Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013

1

 k −µ 

a)

P ( X = k) ≈

b)

P ( k 1 ≤ X ≤ k2 ) ≈ ϕ 

σ



f

.

 σ 
 k2 − µ 


σ

(k = 0,1,2,…)



 k1 − µ 

)−ϕ

trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace.



σ





( k1 < k2)

Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm
10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn cách

kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2
sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất
nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được nhận.
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận.
Lời giải
Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện
đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu,
khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì
chọn kiện.Do đó theo Công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một kiện
được nhận là:
2
1
3
0
p = P3 (2 ≤ k ≤ 3) = P3 (2) + P3 (3) = C6 C 4 + C 6 C 4 =
3
C103
C103

2

.

Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X có phân
phối nhị thức X ∼ B(n, p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 không
quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
2
X ∼ N(µ, σ )
với

µ = np = 140.2/3 = 93,3333,
 =
npq = 140.2 / 3.1/ 3 = 5,5777.
a)
Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
P(X= 93)

93 − 93, 33 

σ 
 5, 5777 
1
1
0, 3982 = 0,
f
(−
0,
06)
f
(0,
06)
=
= 5, 5777
= 5, 5777
5, 5777 0714.
=

1



f

93−µ
1
=
σ  5, 5777

f

(Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982).
b)

Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là:

25