Sự tồn tại nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HUYỀN TRANG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số

: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

Thái Nguyên, năm 2020


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không
trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực
hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Trần Thị Huyền Trang

i

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thủy. Do đây là
những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn
không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao đề
tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận
văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các quý thầy cô đã
quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn
bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Trân trọng cảm ơn!

ii


Mục lục
Lời cam đoan ............................................................................................................... i
Lời cảm ơn .................................................................................................................. ii
Mục lục........................................................................................................................ iii
Lời nói đầu ................................................................................................................... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .................................................................................. 2
1.1. Không gian hàm ............................................................................................... 2
1.1.1. Không gian hàm trơn ...................................................................................... 2
1.1.2. Không gian hàm suy rộng .............................................................................. 3
1.1.3. Không gian Sobolev ....................................................................................... 6
1.2. Phương trình Navier – Stokes ......................................................................... 10
Chương 2. Nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes .... 15

2.1. Bài toán 1 ......................................................................................................... 15
2.1.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier –
Stokes trong  0,T  .................................................................................................. 15
2.1.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong  0,T 
................................................................................................................................ 16
2.2. Bài toán 2 ......................................................................................................... 23
2.2.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier –
Stokes trong  0,T  × ............................................................................................. 23
2.2.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong

0,T    ................................................................................................................. 24
Kết luận ...................................................................................................................... 33
Tài liệu tham khảo ...................................................................................................... 3

iii


Lời nói đầu
Phương trình Navier – Stokes lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập
vào năm 1821 cho các chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt.
Nhưng Navier đi đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ
tầm quan trọng của các yếu tố xuất hiện trong phương trình. Cho đến khi George Stokes
thiết lập lại dựa trên những giả thiết chính xác hơn trong một bài báo tựa đề On the
theories of the internal friction of fluids in motion, xuất bản năm 1845. Cho đến nay
đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về phương trình Navier – Stokes. Tuy nhiên,
những hiểu biết về phương trình Navier – Stokes còn rất khiêm tốn, muốn biết lượng
nhiệt lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay, sự hình thành bão, sự chuyển động
của không khí, giải thích hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt
nước,... ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes, do nhu cầu của Khoa
học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes ngày càng trở nên

thời sự và cấp thiết.
Luận văn trình bày một vài kết quả nghiên cứu về nghiệm của bài toán chứa hệ
phương trình Navier – Stokes.
Luận văn được bố cục thành hai chương cùng với Lời nói đầu, Kết luận
và Danh mục các tài liệu tham khảo. Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của
luận văn.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm và các kết quả cơ sở cần thiết được sử dụng
trong Chương 2.
Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes
Trình bày định nghĩa về nghiệm yếu và nghiệm mạnh, sự tồn tại nghiệm mạnh
địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes trong miền  


3

với một khoảng 0, T  ,0  T   .

1

3

và miền bị chặn


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên
cứu chương 2. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [4], [7].

1.1. Không gian hàm
1.1.1. Không gian hàm trơn
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử  

n

là một miền với n  1. Nếu n  1,    a, b  là một

khoảng mở với   a  b  .
Giả sử k  , ta kí hiệu C k    là không gian của tất cả các hàm
u:  
u  x

x

sao cho D u tồn tại và liên tục trong  với mọi  

n
0

,0    k .

C 0    là không gian của tất cả các hàm u :   .

C



   :



C k    gọi là không gian hàm trơn trong  .

k 0

Giả sử M là bao đóng của tập M 

n

. Ta kí hiệu supp u : x ; u  x   0

là giá của hàm u :   .
Nếu k 

0

hoặc k   thì ta đặt

C0k   : u  C k   ; supp u compact , supp u  .
Do đó u  C0k    nghĩa là u  C k    và u  0 trong  ngoại trừ một tập con
compact nào đó của  . Đặc biệt C0k    là không gian của tất cả các hàm trơn u bằng
không ngoại trừ một tập con compact nào đó phụ thuộc vào u.
Giả sử u M là hạn chế của hàm u trên tập con M. Với k 

 

hiệu C k  là không gian của tất cả các hạn chế u  với u  C k
sup
  k , x

n

D u  x   .

2

0

hoặc k   ta kí

  sao cho
n


Nếu k   thì ta thay   k bởi   .
Ta xác định chuẩn
u

Ck

 u

D u  x  .
  :  sup
 k , x

Ck 

Nếu k   thì ta thay   k bởi   .

Ta ký hiệu

  

k
Cloc
 : u  ; u  C k 

n

.

Giả sử n  2,0  T  . Ta xác định không gian của trường vectơ không phân kỳ trơn





C0,    : u  C0    ; div u  0 .
n

Ta xét không gian thử





C0   0, T  ; C0,     : u  C0   0, T     ; div u  0 ,
n

trong đó div áp dụng cho các biến số x   x1 ,..., xn    và





C0 0, T  ; C0,     : u 0,T  ; u  C0   1, T     ; div u  0 .
n

1.1.2. Không gian hàm suy rộng
Giả sử  

n

là một miền bất kỳ với n  1.

Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0    của hàm trơn trên
 gọi là không gian thử và   C0    gọi là hàm thử. Cho phiếm hàm tuyến tính

F :   F   ,   C0    .

Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con G  , G  , tồn tại k 

0

và

C  C  F , G   0 sao cho

F    C 

 

Ck G

thỏa mãn với mọi   C0    .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính C0    của tất cả các phiếm hàm tuyến tính
F : C0    



3

F  


liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong  . Kí hiệu

F     F ,    F , 
là giá trị của F tại  .
Mỗi hàm f  L1loc    xác định một hàm suy rộng được định nghĩa bởi



f ,



Ta kí hiệu hàm suy rộng là f ,.  f ,.

 f , :  f  dx.




hoặc f . Do đó ta xác định f với hàm suy

rộng f ,. và phép nhúng

L1loc     C0    .
Mỗi f  L1loc    gọi là một hàm suy rộng chính quy.
Xét toán tử vi phân bất kỳ D  D11 ...Dn n với   1 ,..., n  

n
0

. Với mỗi

F  C0    hàm suy rộng D F  C0    được định nghĩa bởi
 D F ,  :  1  F , D  ,   C0    .


Đặc biệt, với mỗi f  L1loc    hàm suy rộng D f   D f ,.  C0    được định
nghĩa bởi
 D f ,  :  1



f , D   1




 f  D  dx.


Nếu D f chính quy thì tồn tại một hàm của L1loc    biểu thị qua D f sao cho

 D f ,   D f ,    D f dx với mọi   C0    .

Kí hiệu D f  L1loc    là D f chính quy và coi như một hàm trong L1loc    .
Giả sử F  C0    và
D :

a D ,


k

k

0

, a 

(1.1)

là toán tử vi phân bất kỳ. DF  C0    được định nghĩa bởi

 DF ,     1

 k



a  F , D  ,   C0    .

4

(1.2)


Đặc biệt, nếu f  L1loc    và Df được định nghĩa bởi (1.2) là hàm suy rộng chính quy
xác định bởi một hàm được biểu thị qua Df thì ta viết đơn giản Df  L1loc    . Khi đó

 Df ,  
Giả sử

Df ,    Df  dx    1 a f , D với mọi   C0    .




 k

f  L1loc   

và   1 ,..., n  

n
0

D f

Nếu

.

chính quy,

D f  L1loc    thì ta gọi D f là đạo hàm yếu cấp  của f . Nếu 1  q   thì ký

hiệu D f  Lq    là D f chính quy và là một hàm trong Lq    , khi đó ta viết

D f

q

 .

Tương tự, Df  Lq    với D thỏa mãn (1.1) là chính quy.
Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử m

C0   : 1 ,...,m  ,  j  C0   ,

và

j  1,..., m

m

là không gian hàm thử có giá trị vectơ   1 ,...,m  được trang bị tôpô tương ứng.
Với mỗi F   F1 ,..., Fm  , Fj  C0    , j  1,..., m ta định nghĩa hàm

 F ,  ,

F: 

  1,...,m   C0  

m

bởi

 F ,    F ,  :  F1 ,1   ...   F1 ,m .
Ta ký hiệu



m
m
C0    C0       F1 ,..., Fm  ; Fj  C0    , j  1,..., m



là không gian suy rộng của không gian thử C0   .
m

Giả sử f  L1loc   và   1 ,..., n  
m



 f ,  

n
0

thì f   f1 ,..., f m  xác định hàm suy rộng

f ,   f . dx


trong đó f .  f11  ...  f mm ,  1,...,m   C0   . Khi đó ta có phép nhúng
m

m
m
L1loc     C0     .

5


Để xác định nghiệm yếu của phương trình Navier – Stokes ta xét không gian con của
hàm thử không phân kỳ





C0,    :   C0    ; div   0  C0    .

n

n

Không gian C0,    của hàm tuyến tính liên tục được định nghĩa trên C0,    là
không gian của tất cả các hạn chế

F C

0,



n
, F  C0,     .

Do đó



C0,    F C

0,



, F  C0,     .
 
n

Xét không gian Hilbert L2   với tích vô hướng
n

u, v



 u, v :  u  x  .v  x  dx


và không gian con
L2    : C0,   
n

là bao đóng trong chuẩn .

2

.

2

 L2   

n

.

Với mỗi u  L2   xác định hàm u, . : 
n

u, ,   C0   ta được
n

phép nhúng tự nhiên
n
n
L2     C0     .

Tương tự, với mỗi u  L2    xác định hàm u, . : 

u,  ,   C0,   

được

phép nhúng tự nhiên

L2     C0,    .
Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L2  
Helmholtz.

1.1.3. Không gian Sobolev

6

n

L2   được gọi là phép chiếu

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử  

n

là một miền với n  1, 1  q  , khi đó Lq    là

không gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên
 có chuẩn hữu hạn

uq u

q ,

 u

Lq   

 u

:

Lq





1
q

u  x  dx .
q



Nếu q  2 thì Lq     L2    trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng

u, v



 u, v :  u  x  .v  x  dx, với u , v  L2    .


Nếu q  , ta giả sử Lq     L    là không gian Banach thông thường của
tất cả các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn
u

Giả sử q :



 u

 ,

 u

L   

 u

L

: ess  sup u  x  .
x

q
là số mũ liên hợp (đối ngẫu) của q, ta đặt q   nếu q  1 và
q 1

q  1 nếu q   . Đặt

1
1
1 1
 0 nếu q   và  0 nếu q   , ta luôn có   1.
q
q
q q

Nếu u  Lq    , v  Lq    thì u.v  L1    và bất đẳng thức Holder không đổi

uv 1  u
Giả

sử

v q .

q

(1.3)

1    ,   q  ,   r  

sao

1

cho





1 1

q r

và

q
r
sao cho q : và áp dụng (1.3) ta



u  Lq    , v  Lr    thì uv  L    . Đặt q :

có

uv   u
Giả

sử

v r.

q

1  q    r  ,0    1


u  Lq     Lr    thì u  L    . Đặt u  u u

(1.4)

sao
1

cho





 1
q



r

và

và áp dụng (1.4), sau đó sử dụng

bất đẳng thức Young
a b1   a  1    b  a  b

7

1


với a, b  0 ta có


u  u

q

1

v

r

 u q  u r.

(1.5)

Xét không gian Lqloc ,1  q  . Ta nói u  Lqloc    khi và chỉ khi u  Lq  B  với

 

mỗi hình cầu mở B  , B  . Ta nói u  Lqloc  khi và chỉ khi u  Lq  B    với
mỗi hình cầu B 

n

, B   . Ta có thể viết đơn giản u thay vì u  hoặc u B .

Do đó

 

Lq    Lqloc   Lqloc   .
Nếu  bị chặn thì

 

Lq    Lqloc  , Lq    Lqloc    .
Giả sử  u j    u j 


j 1

là một dãy trong Lq    . Ta có u  lim u j trong Lq   

j 

khi và chỉ khi u  Lq    và lim
j 

 

trong Lqloc  khi và chỉ khi lim
j 

u uj
u uj

 0. Do đó u  lim u j trong Lqloc    hoặc
j 

q

Lq  B 

 0 hoặc lim
j 

đổi với mọi hình cầu mở B  , B   hoặc B 

n

u uj

Lq  B  

 0 không

, B   .

Giả sử m , ta định nghĩa không gian Lq của trường vectơ u   u1 ,..., um 

Lq   : u   u1 ,..., um  , u j  Lq   ,
m

j  1,..., m

là không gian Banach với chuẩn
1

u

q

 u

q ,

 u

Lq   

 u

Lq

 m
q q
:   u j  .
q
 j 1


Khi đó không gian L2    là không gian Hilbert với tích vô hướng
m

u, v  u, v

m



:  u j , v j
j 1



với u.v  u1v1  ...  umvm .
Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị.

8


Định nghĩa 1.1.4. Giả sử  

n

là một miền bất kỳ với n  1, k  , 1  q  .

Không gian Lq  Sobolev bậc k W k ,q   được định nghĩa là không gian của mọi
u  Lq    sao cho D u  Lq    với mọi   k .

Khi đó D u là hàm suy rộng chính quy được định nghĩa bởi một hàm biểu thị
qua D u .
Chuẩn trong W k ,q   được định nghĩa bởi
u

W k , q 

u

 u

W k ,   

Wk ,q

 u

 u

Wk ,

k ,q

 u

 u

k ,


:   D u
  k


k , q ,

 u

k , ,

1
q


 , với 1  q   ,
q

q

: max D u , với q  .


 k

Do đó, không gian L2  Sobolev bậc nhất W1,2   được định nghĩa là không
gian của u  L2    sao cho
D u  L2    với mọi   1.

Chuẩn trong W1,2   được định nghĩa bởi
u

W1,2   

 u

W1,2

 u

1,2

 u

1,2,


:   D u
  1


1
2


 .
2

2

Khi đó

W01,2   : u  W1,2   ; supp u compact , supp u  
và





W0,1,2    : u  W1,2    ; div u  0 .
n

Định nghĩa 1.1.5. Không gian Bochner trên    0,T  được ký hiệu bởi

Ls  0, T ; Lq    , 1  q, s   với chuẩn

, 







Ls 0,T ; Lq    ,

 

q , s ;T





T

0



s
q

d



1/ s

và cặp , 

 ,T

,

 ,  biểu thị sự ghép cặp của các hàm, trường vectơ trên  và , 

ghép cặp tương ứng trên  0, T   .
9

 ,T

có nghĩa


1.2. Phương trình Navier – Stokes
Giả sử miền    mở,  

n

. Trong phần này, ta giả sử  trơn,  gồm

các biến số x   x1 ,..., xn  gọi là không gian biến,  0,T  là khoảng thời gian với
0  T  , t   0, T  gọi là biến thời gian.

Trong trường hợp n  2 và n  3, ta giả sử miền  được lấp đầy với chất lỏng
như nước, không khí, dầu,...

u  t , x    u1  t , x  ,..., un  t , x   là vận tốc của chất lỏng tại  t , x    t , x1 ,..., xn  ,
t   0, T  , x  .

p  t , x  thể hiện áp suất tại  t , x  .

f  t , x    f1  t , x  ,..., f n  t , x   là ngoại lực đã biết.

Trong mô hình vật lý, ta giả sử rằng chuyển động của chất lỏng được mô tả bằng
phương trình
ut  vu  u.u  p  f ,
div u  0,

(1.6)

với t   0, T  , x  . Phương trình này gọi là phương trình Navier – Stokes.
Điều kiện đầu tiên có nghĩa là sự cân bằng các lực theo định luật Newton. Điều
kiện div u  0 có nghĩa là chất lỏng đồng nhất và không nén được. Hằng số v  0 là
độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý và là hằng số cố định.
ut là đạo hàm theo thời gian, ta viết

ut  u 

d

u  u.
dt
t

Ta có

 
 
ut  u.u  ut   u1
 ...  un
u
xn 
 x1

mô tả gia tốc toàn phần của một phần nhỏ chất lỏng.
Dj 


,
x j

j  1,..., n ,    D1 ,..., Dn  .

Số hạng

10


vu  v  D12  ...  Dn2  u
mô tả ma sát giữa những phần nhỏ của chất lỏng.
p   D1 ,..., Dn  p là gradient của áp suất p.

Phương trình (1.6) là hệ n  1 phương trình vi phân từng phần với n  1 biến

 t , x1 ,..., xn  và n  1 hàm  p, u1 ,..., un  chưa biết.
Ta thêm điều kiện
u   0 nếu   

(1.7)

tức là u  t , x   0 với mọi t   0, T  , x .
Ta thêm điều kiện ban đầu
u  0   u0

(1.8)

với vận tốc ban đầu u0 tại t  0 tức là u  0, x   u0  x  với mọi x. Ta kí hiệu
u  t , .  u  t  , t   0, T  .

Do đó (1.8) có thể viết dưới dạng u  0, .  u0 .  .
Nếu  không bị chặn ta giả sử
u  t , x   0 khi x  .

Phương trình (1.6) cùng với điều kiện (1.7) và (1.8) là hệ phương trình Navier – Stokes
với điều kiện u0 , f .
Ký hiệu không gian Euclid
n

:  x1,..., xn  , x j  ,

j  1,..., n

với chuẩn
1
2 2
n

x :  x  ...  x
2
1



.

Ta viết
e1 : 1,0,...,0  , e2 :  0,1,0,...,0  ,..., en :  0,...,0,1

và
x   x1 ,..., xn   x1e1  ...  xnen   

D j :

n

.


, j  1,..., n là đạo hàm riêng,  :  D1 ,..., Dn  là gradient.
x j

11


Căn cứ vào chỉ số   1 ,..., n  

n
0

, ta định nghĩa toán tử
1

1



n

2

D : D1 D2 ...Dn

n

2

  
     


 
 ...
 x1   x2 
 xn 



trong đó D j j  I là đồng nhất thức nếu  j  0, j  1,..., n. Trong nhiều trường hợp, kí
hiệu I là đồng nhất thức.

 2 :  D j Dk 
Kí hiệu
x   x1 ,..., xn  

n

n
j , k 1

là ma trận của đạo hàm cấp hai.

 : 1  ...   n

với

, y   y1 ,..., yn  

n

1
2 2
n

x :  x12  ...  x



  1 ,..., n  

n
0

Tuy nhiên nếu

.

thì ta kí hiệu

2
x  y :    x j  y j  
 j 1

n

,

1
2

đối với chuẩn Euclid.
x. y  x1 y1  ...  xn yn là tích vô hướng.

Giả sử

u: 

n

u  x    u1  x  ,..., un  x  

x
là một trường vectơ. Ta đặt

div u : .u  D1u1  ...  Dnun ,

u : div u   D12  ...  Dn2  u   u1 ,..., un  ,
u :  D1 ,..., Dn  u   D j uk 

 2u :  D j Dk 

n
j , k 1

n
j , k 1

u   D j Dk ul 

,

n
j , k ,l 1

và

u.u   u. u : u1D1  ...  un Dn  u  u1D1uk  ...  un Dnuk k 1 .
n

Hơn nữa

div  u u   D1  u1u   ...  Dn  unu    D1 u1uk   ...  Dn unuk  k 1
n

trong đó ma trận

12


u u  u  u   u j uk 

n
j ,k 1

có nghĩa là tích tenxơ thông thường. Ta kí hiệu đơn giản là u u . Nếu
p: 
p  x

x

là một trường vô hướng, ta đặt
p   D1 ,..., Dn  p   D1 p,..., Dn p  .

Nếu div u  0 thì ta nói u không phân kỳ hoặc solenoidal. Khi đó

u.u  D1  u1u   ...  Dn  unu    D1u1  ...  Dnun 
 D1  u1u   ...  Dn  unu 
 div  uu  .
Giả sử

F: 

n2

, F   Fjk 

n
j , k 1

là các trường ma trận. Ta định nghĩa trường vectơ

div F   D1F1k  ...  Dn Fnk k 1 .
n

Ngoài ra, ta định nghĩa các lũy thừa
A : D  A  L2    , 1    1

sao cho

D  A  D  A   L2   với    0,1
thỏa mãn bất đẳng thức

A v  Av
2


2

v

1
2

, v  D  A ,0    1

(1.9)

và phép nhúng

1
3 3
v q  C A v , v  D  A  ,0    , 2  
2
2
q 2
với hằng số C  C    0 độc lập với . Hơn nữa

A1/2v  v 2 , v W0,1,2    D  A1/2 
2

và

13

(1.10)


A etAv  t  v 2 , v  L2   ,0    1

(1.11)

 v 2 , v  L2   ,2  s  .

(1.12)

2

và

A1/ s etAv

2, s ;T

14


Chương 2
Nghiệm mạnh địa phương của bài toán chứa hệ phương trình
Navier – Stokes
Chương này trình bày định nghĩa về nghiệm yếu và nghiệm mạnh, sự tồn tại
nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes trong hai trường hợp:
xét trên miền  

và xét trên miền bị chặn  

3

3

với một khoảng

0, T  ,0  T  . Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [6], [7], [8], [9], [10].
2.1. Bài toán 1
Xét bài toán chứa hệ phương trình Navier – Stokes
ut  u  u.u  p  0, div u  0,

(2.1)

u   0, u  0   u0 ,

trong miền  

3

, biên  trên khoảng 0, T  ,0  T   với điều kiện ban đầu

u0  L2    và ngoại lực bằng không.

Khi đó điều kiện





0

8

etAu0 dt   là cần và đủ cho sự tồn tại của một nghiệm
4





mạnh địa phương duy nhất u  L8 0,T ; L4   trong một số khoảng 0, T  ,0  T  
với u  0   u0 thỏa mãn điều kiện Serrin

2 3
  1.
8 4

Ta đi tìm nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán chứa hệ phương trình Navier
– Stokes.

2.1.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier
– Stokes trong  0,T 
Định nghĩa 2.1. Cho u0  L2    . Khi đó

u  L  0, T ; L2     L2loc 0,T  ;W01,2   

(2.2)

được gọi là nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) với điều kiện ban
đầu u  0   u0 nếu

15


 u, wt

,T

 u, w

,T

 uu, w



,T

 u0 , w 0



(2.3)



thỏa mãn mỗi hàm thử w  C0 0,T  ; C0,   , ngoài ra có bất đẳng thức năng lượng
t

2
1
1
2
u  t  2   u 2 d  u  0 
2
2
0

2
2

luôn đúng với t   0, T  .
Định nghĩa 2.2. Một nghiệm yếu u của (2.1) được gọi là nghiệm mạnh nếu thỏa mãn





điều kiện bổ sung Serrin u  Lsloc 0, T  ; Lq   với số mũ 2  s  , 3  q  , trong
đó

2 3
  1.
s q

Định nghĩa 2.3. Nghiệm u thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm yếu của hệ phương
trình (tuyến tính) Stokes
ut  u  u.u  p  0, div u  0,
u   0, u  0   u0 ,

với F   Fij 

3

, div F 
i ,i 1

 u, wt

 i1 / x i Fij  j1 , F  L2loc 0,T ; L2  nếu

3

3

,T

 u, w



,T

 u0 , w 0



 F , w

,T

(2.4)



với mọi hàm w  C0 0,T  ; C0,   .

2.1.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong

 0,T 
Định lý 2.4. Cho miền  

3

, u0  L2    .

i) Điều kiện





0

8

e  tAu0 dt  
4

(2.5)

là cần và đủ cho sự tồn tại của một nghiệm mạnh duy nhất

u  L8  0,T ; L4   

(2.6)

của hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) với u  0   u0 trên khoảng  0, T  ,0  T  .

16

ii) Tồn tại một hằng số tuyệt đối  *  0 (độc lập với miền) với tính chất sau:
Nếu





0

8

e  tAu0 dt   * , với một số 0  T  

(2.7)

4

thì hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) có một nghiệm mạnh duy nhất u trên  0,T 
với u  0   u0 thỏa mãn (2.6).
Chú ý

 

i) Toán tử Stokes Aq   Pq  : D Aq → Lq    được xác định với miền

D  Aq   W 2,q   W01,q    Lq   và giới hạn R  Aq   Lq   . Chú ý rằng

 

 

Pq v  P v với v  Lq     L    và Aq v  A v với v  D Aq  D A ,1    . Ta

 
D  A   D  A   L   , R  A   L   nếu

viết P  Pq , A  Aq nếu q  2. Cho Aq : D Aq → Lq    , 1    1 biểu diễn các
khả năng phân số của Aq . Khi đó

0    1 và  Aq   Aq ,
1

Aq được ký hiệu bởi e

 tAq



q

 A   A
q

q

q

trong đó



q



q

q



1 1
  1. Nửa nhóm được tạo bởi
q q

: Lq    → Lq    , t  0.

ii) Điều kiện ban đầu (2.5) không chỉ đủ mà cả cần thiết cho sự tồn tại nghiệm





mạnh u  L8 0,T ; L4   của hệ (2.1) trong một số khoảng 0, T  , T  0. Do đó, điều
kiện (2.5) mang lại khoảng lớn nhất có thể cho sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương
u duy nhất.

iii) Hằng số  *  0 ở (2.7) được gọi là hằng số tuyết đối. Đặc biệt,  * không
phụ thuộc vào miền . Do đó, với mỗi miền  

3

, điều kiện ban đầu

u0  u0     L2    được cho trước và thỏa mãn (2.7) với 0  T   cố định, khi đó





tồn tại nghiệm mạnh u  L8 0, T ; L4   với cùng khoảng tồn tại  0,T  cho tất cả
các miền .

3
iv) Sử dụng (1.10) với   , q  4 và (1.11) ta thấy rằng
8

17


etAu0  C A3/8etAu0  Ct 3/8 u0 2 , u0  L2   .
4

(2.8)

2

etAu0

Do đó, (2.5) là tính khả tích của hàm (liên tục) t

8
4

gần t  0. Ngoài ra, từ

(2.7) suy ra (2.8) và (2.5) là thỏa mãn.

 

3
v) Sử dụng (1.10) với   , q  4 và (1.12) với s  8 ta thấy với u0  D A1/4
8
bất kỳ



T

0

8



4

0

etAu0 dt  C 

A1/8e tA  A1/4u0  dt  C A1/4u0 .
8

8

2

2

 

Do đó, từ u0  D A1/4 suy ra (2.5).
Cho F   Fij 

3
i ,i 1

 L2    . Khi đó, ta được một định nghĩa tổng quát của

A1/2 P div F  L2    tương tự theo định nghĩa của hàm suy rộng

A1/2 P div F ,   F , A1/2 ,  L2  .
Toán tử A1/2 P div: L2     L2    xác định và

A1/2 P div F 2  F 2 , F  L2    .
Bổ đề 2.5. Trên miền  

3

(2.9)

ta xét hệ phương trình Stokes

ut  u  p  f , div u  0 trong    0,T 

(2.10)

u   0, u  0   u0 .





i) Giả sử f  div F , F  L2 0, T ; L2   , và u0  L2    . Khi đó (2.10) có một
nghiệm yếu duy nhất u thỏa mãn (2.2), (2.4) với bất đẳng thức năng lượng
t

2
1
1
2
u  t  2   u 2 d  u0
2
2
0

t

2
2

  F , E  dt , t   0, T 

(2.10)

0

và
u  t   etAu0   A1/2e
t

 t   A

0



A1/2 P div Fd ,0  t  T .



ii) Giả sử F  L2 0, T ; L2   ,1  s  , u0  0. Khi đó, (2.10) có một nghiệm
yếu duy nhất u mà
u  t   Au  Pf , u  0   0,

18

u t    e
t

 t   A

0

Pfd

và

ut

2, s ;T

 Au

2, s ;T

C f

(2.11)

2, s ;T





với hằng số C  C  s   0. Đặc biệt, ut , Au  Ls 0, T ; L2   .

1 1
Hơn nữa, với mọi s  r   và   1   , C  C  r , s   0,
r s
A u

2,r ;T

 C Pf

2, s ;T

.

(2.12)

Chứng minh ii) Giả sử



T

0

8

etAu0 dt  C
4

không đổi với 0  T   và bất kì hằng số C  0 đủ nhỏ cho trước, chọn C   *  0 .



Giả sử u  L8 0, T ; L4  



là một nghiệm mạnh cho trước của (2.1) với

u  0   0. Khi đó, ta đặt F  uu và (2.1) được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình

tuyến tính
ut  u  p  div F , div u  0,
u   0, u  0   u0 .

Từ bất đẳng thức Hölder

F

2,4;T

 uu

2,4;T

c u

2
4,8;T



với hằng số c  0, ta được

F  uu  L4  0,T ; L2  .
Từ Bổ đề 2.5 ta có
u  t   etAu0   A1/2e
t

 t   A

0

A1/2 Pdiv  uu  d

(2.13)

và bất đẳng thức năng lượng (2.10) cho mọi t   0, T  . Đặc biệt, u cũng là một nghiệm
yếu. Điều này không đổi nếu T hữu hạn vì F  L2  0, T ; L2    . Hơn nữa, nếu T  
ta được kết quả tương tự bằng cách áp dụng bổ đề này cho tất cả các khoảng hữu hạn.
Cho X là không gian Banach với trường vectơ

19






X  u :  0, T   L2    :  A1/2u  , A1/2u  L4  0, T ; L2     ,  A1/2u   0   0

t

được trang bị chuẩn

u

X

  A1/2u 

t 2,4;T

 A1/2u

Vì  A1/2u   L4  0, T ; L2    , bản đồ t

2,4;T

 .

A1/2u  t  là liên tục từ  0, T   L2    .

t

Đặc biệt, điều kiện ban đầu  A1/2u   0  0 được xác định và có bất đẳng thức nội suy
u  t  2  A1/2 A1/2u  t   A1/2u  t 
2

1/2
2

A1/2u  t 

1/2
2

.

Từ (1.9) ta có
u  L4loc 0, T  ; L2    , u  X .

Cho X nhúng liên tục vào L8  0, T ; L4    ta được

u

4,8;T

c u

X,

u  X , c  0.

(2.14)

Xét u  X và đặt u  A1/2u và f  A1/2ut  A1/2u  L4  0,T ; L2   . Rõ ràng u là
một nghiệm của bài toán

u  t   Au  f , u  0   0.
Từ Bổ đề 2.5 ta có

A1/2u  t    e
t

 t   A

0

u  t    A1/2e
t

 t   A

0

fd ,
fd ,0  t  T ,

và
u

4,8;T

 c A3/8u

2,8;T

 c A7/8u

2,8;T

c f

2,4;T

c u

với c  0.

X

3
Để chứng minh điều này ta sử dụng (1.10) với   , q  4 và (2.12) với
8
7
8

  , r  8, s  4.
Từ (2.13) ta đặt





v  t   e  tAu0 ,U  v  u và h  A1/2 P div  uu   L4 0, T ; L2   .

Vậy
20


U  t    A1/2e

t

 t   A

0

hd , A1/2U  t    e
t

 t   A

0

hd .

Áp dụng (2.11) với s  4 và từ (2.9) ta được

U

X

 c1 h

 c1 uu

2,4;T

 c2 u

2,4;T

2
4,8;T

  với c1 , c2  0.

(2.15)

Vậy
U  v  u  X  L8  0, T ; L4   .

(2.16)

Để giải bài toán điểm bất động (2.13) trong X ta xác định toán tử phi tuyến tính 
bởi

 U  t    A1/2et   A A1/2 P div  uu  d
t

0

t

  A1/2e

 t   A

0

A1/2 P div   v  U  v  U   d . (2.17)

Áp dụng (2.15) với U được thay bởi  U  ta kết luận rằng  : X  X và

 U 

X

 c2 v  U



 c2 U

2
4,8;T

4,8;T

 v

.
2

4,8;T

(2.18)

Nghiệm u  L8  0, T ; L4    của (2.13) là một điểm bất động U  X của  khi xác
định U  v  u. Để tìm điểm bất động U  X của  cho b  v

 U 

X

 b  c U

4,8;T

, (2.18) có dạng

 b   b với c  0.
2

X

Xét phương trình bậc hai

1
b
y 2  y   0 trên  0,   .
c
c
8

 1 
Chọn  *  0 trong (2.7) sao cho  *    . Khi đó b  v
 4c 

4,8;T

 *1/8 suy ra 4cb  1

và phương trình bậc hai ở trên có một nghiệm dương vô cùng bé y1 được cho bởi
0  y1  2b. Xác định hình cầu đóng B  U  X : U

  U    U   t   

t

0

A1/2e

 t   A

A1/2 P div

và

21

X

 y1  b , với mọi U  B

  v  U U  U   U  U  v  U   d