HInh 10 -duong thang-duong tron

Tài liệu học thêm Toán 10
Đại số 10
Hình giải tích
Trong mặt phẳng
GV: NGUYỄN DUY THUẤN
Năm học 2009 – 2010
Tốn học thêm 10 - Nâng cao
ĐƯỜNG THẲNG
1- Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;1) và C(5; 4) . Viết phương trình tổng
quát của :
a- Đường cao hạ từ đỉnh A .
b- Đường trung trực của AB .
c- đường thẳng qua A và ssong với trung tuyến CM của tam giác ABC .
d- Đường phân giác trong AD của tam giác ABC.
ĐS : 2x +3y -8= 0 ; 4x-2y-5= 0 ; 5x-6y+7=0
(AD) y – 2 = 0 .HD :
1
2
DB AB
AC
DC
= − = −
uuur
uuur
 D( 11/3; 2 )
2- Cho tam giác ABC có A(-3;6), B(1; -2) và C(6;3. Viết PT:
a-Pt các cạnh của tam giác ABC .
b_ Viết pt các đường cao của tam giác ABC .
c- Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm, tâm đtròn ngoại tiếp tam giác ABC .
d- Tính góc A của tam giác ABC .
e- Tính diện tích tam giác ABC .

3- Cho tam giác ABC có pt các cạnh :
(AB) 3x+y-8 = 0 , (AC) x+y – 6 = 0 và ( BC ) x -3y -6 = 0
a- Tìm toạ độ các đỉnh A ; B ; C .
b- CMR : Tam giác ABC vuông .
c- Tính diện tích tam giác ABC .
4- Cho tam giác ABC, biết C( -3; 2) và đường cao AH : x + 7y + 19 = 0 ,
phân giác AD có PT : x + 3y + 7 = 0 . Hãy viết phương trình các cạnh của
tam giác ABC .
HD: Tìm toạ độ A( 2 ; -3 ) pt BC : 7x-y+23 = 0
Pt AC : x+y+1 = 0 ; AB x-7y – 23 = 0 .
5- Cho (d
1
) x+ 2y – 6 = 0 và (d
2
) x- 3y +9 = 0
a- Tính góc tạo bởi d
1
và d
2 .
Nguyễn Duy Thuấn – Trang 2
Tốn học thêm 10 - Nâng cao
b- Viết các pt phân giác của d
1
và d
2
.
6- Cho 2 đường thẳng (d
1
)và (d
2

)

đối xứng qua (d) có PT : x + 2y – 1 = 0 và
(d
1
)

qua A(2;2) (d
2
) đi qua điểm B(1;-5). Viết PT tổng quát của (d
1
)

(
ø
d
2
) .
ĐS : x – 3y + 4 = o ; 3x + y + 2 = 0
7- Cho tam giác ABC cân tại A có pt :AB: 2x-y+3=0 ; BC : x+y-1 = 0. Viết
pt của cạnh AC biết nó qua gốc O .
HD: PT (AC) có dạng : kx – y = 0
Ta có :
cos cosB C
∧ ∧
=
 k= 2 ( loại ) vi //AC k = ½ ( Nhận)
8- Cho đường thẳng (d) 3x-4y-3= 0 .
a- Tìm trên Ox điểm M cách d một khoảng là 3.
b- Tính khoảng cách giữa d và d

/
: 3x-4y +8=0 .
ĐS:a- M(6;0) (-4;0) ; b- 11/5 .
9- Hình vuông ABCD có pt cạnh AB:x-3y+1=0, tâm hình vuông I(0;2)
a- Tính diện tích hình vuông ABCD.
b- Viết PT các cạnh còn lại của hình vuông .
ĐƯỜNG TRÒN
1- Cho A(-2;0) và B(0;4) .
a- Viết ptr đtròn ( C ) qua ba điểm A;B;O .
b- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại A ; B .
c- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) đi qua M(4;7) .
ĐS : c- k=2; k= ½ .
2- Trong mp(Oxy) cho đường tròn (C ) có phương trình :
(x-1)
2
+ (y-2)
2
= 4 . và d: x-y -1 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn ( C
/
)
đối xứng với ( C ) qua d .
Nguyễn Duy Thuấn – Trang 3
Tốn học thêm 10 - Nâng cao
ĐS : I
/
(3;0) R
/
= 2 .
3- Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết M(1;-1) là trung điểm của BC ,
trọng tâm G( 2/3;0) . Tìm toạ độ các đỉnh A;B;C .

HD: Tìm toạ độ A(0;2) Viết PT : BC x-3y-4=0
Viết phương trình đường tròn (M;R= AM= 10 )
- Giải hệ PT được B(4;0) C(-2;-2) .
4- Cho A(2;0) và B(6;4) . Viết ptr đtròn( C ) tiếp xúc 0x tại A và kcách từ
tâm đến B bằng 5 .
HD: tiếp xúc tại A => a= 2 và IB = 5  b= 7;b= 1
R=(I;ox) = 7 và 1 . Có 2 phương trình đường tròn .
5-Cho ( Cm) x
2
+ y
2
+ 2mx -2(m-1)y +1=0
a-Đònh m để (Cm) là đường tròn . Tìm tâm I và bán kính R theo m .
b- Viết pt đtròn (Cm) biết R= 2 3 .
c- Viết phương trình đường tròn (C ) biết nó tiếp xúc với ĐT d:3x-4y=0 .
ĐS : a- m<0 ; m>1 ; b-m= -2;m=3;c-m=2;m= -8.
6- Viết phương trình đường tròn ( C ) biết .
a- Đtròn qua 3 điểm A(-2;-1) ; B(-1;4) và C(4;3) .
b- Qua A(0;2) ,B(-1;1) vàcó I thuộc : 2x+3y= 0.
c- QuaA(5;3) và tiếp xúc d:x+3y+2= 0 tại M(1;-1).
ELÍP
1- Cho Elip ( E ) : x
2
+ 4 y
2
– 40 = 0 .
a- Xác đònh tiêu điểm , trục, tâm sai , .
b- Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại (-2;3) .
c- Viết PTTT của (E) qua M(8;0) .
d- Viết PTTT của (E) vuông góc : 2x-3y+1 = 0 .

ĐS:a=2 10 ; b= 10 ; c= 30
Nguyễn Duy Thuấn – Trang 4
Tốn học thêm 10 - Nâng cao
b- x-6y+20 = 0 . c- k=
15
6
±
d- C =
±
2
2- Cho Elip ( E ) : 4x
2
+ 9 y
2
– 36 = 0 .
Và D
m
: mx – y – 1 = 0 .
a- CMR : Với mọi m đường thẳng D
m
luôn cắt (E) .
b- Viết PPTT của (E) qua N(1;-3) . đs : k = -1/2 ; 5/4.
3- Cho điểm C(2;0) và (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm toạ độ các điểm A; B thuộc
(E) , biết A,B đxứng với nhau qua Ox và tam giác ABC là tam giác đều .

HYPEBOL
1.1. Xác định toạ độ đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tiệm cận và
tâm sai của hyperbol :
2 2
1
4 2
x y
- =
.
1.2. Lập pt chính tắc của hyperbol
( )
H
biết :
a.
( )
H
có độ dài trục thực là
6
, tiêu điểm là
( )
4; 0
.
b.
( )
H
có một đỉnh là
( )
5; 0
và tiệm cận là
2y x=

.
c.
( )
H
có một tiệm cận là
2y x= -
và qua điểm
( )
4; 2M
.
d.
( )
H
qua hai điểm
( )
1; 3M
và
( )
2;2 2N -
.
e.
( )
H
có tiêu điểm
( )
2
3; 0F
và qua điểm
4
3;

5
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
1.3. Cho hyperbol
( )
2 2
: 1
9 3
x y
H - =
.
a. Tìm trên
( )
H
điểm
M
có tung độ là
1
.
b. Tìm trên
( )

H
điểm
M
sao cho
·
1 2
90F MF =
o
.
c. Tìm trên
( )
H
điểm
M
sao cho
1 2
2F M F M=
.
Nguyễn Duy Thuấn – Trang 5
Toán học thêm 10 - Nâng cao
1.4. Cho hyperbol
( )
2 2
: 2 2 0H x y- - =
.
a. Cmr tích khoảng cách từ
M
bất kỳ trên
( )
H

đến hai tiệm cận có
giá trị không đổi.
b. Một đường thẳng
d
bất kỳ có pt :
y x m= +
cắt
( )
H
tại
,M N

và hai tiệm cận tại
,P Q
. Cmr
MP NQ=
.
1.5. Cho
( )
2 2
: 1
8 4
x y
H - =
.
a. Viết pt tiếp tuyến của
( )
H
tại
( )

4;2M
.
b. Viết pt tiếp tuyến của
( )
H
song song với
2 0x y+ - =
.
c. Viết pt tiếp tuyến của
( )
H
qua
( )
2 2;1A
, viết pt đường thẳng qua
hai tiếp điểm.
1.6. a. Viết pt chính tắc của hyperbol
( )
H
tiếp xúc với hai đường thẳng
1
: 5 6 8 0d x y- + =
và
2
: 5 8 6 0d x y+ + =
.
b. Cmr từ điểm
( )
1; 2A
kẻ được hai tiếp tuyến đến

( )
H
vuông góc với
nhau.
PARABOL.
1.1 Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol
2
6y x=
.
1.2 Lập pt chính tắc của parabol
( )
P
biết :
a. Tiêu điểm
( )
5; 0F
.
b.
( )
P
qua điểm
( )
2; 4-
.
c.
( )
P
qua
M
có hoành độ

2
và cách tiêu điểm
F
một khoảng
3
.
1.3.Cho parabol
( )
2
: 4P y x=
.
a. Tìm trên
( )
P
điểm
M
cách
F
một khoảng là
4
.
b. Tìm trên
( )
P
điểm
/M Oº
sao cho khoảng cách từ
M
đến
Oy

gấp hai lần khoảng cách từ
M
đến
Ox
.
Nguyễn Duy Thuấn – Trang 6
Toỏn hc thờm 10 - Nõng cao
1.4. Cho parabol
( )
2
: 4P y x=
v ng thng
d
luụn i qua tiờu im
F
v cú h s gúc
( )
0k k ạ
.
a. Vit pt tung giao im ca
( )
P
v
d
. Cmr
d
luụn ct
( )
P

ti
hai im phõn bit
,M N
v tớch khong cỏch t
,M N
n trc
i xng ca
( )
P
cú giỏ tr khụng i.
b. nh
k

20MN =
.
c. Gi
,H K
ln lt l hỡnh chiu ca
,M N
lờn ng chun
D
.
Cmr ng trũn ng kớnh
MN
luụn tip xỳc vi ng chun.
1.5. Lp pt tip tuyn ca parabol
( )
2
: 8P y x=
bit :

a. Tip im cú honh bng
5
.
b. Tip tuyn cú h s gúc bng
1-
.
c. Tip tuyn qua im
( )
2; 3M -
.
1.6. Lp pt tip tuyn chung ca :
a. ng trũn
( )
2 2
: 2 3 0C x y x+ - - =
v parabol
2
4y x= .
Parabol
( )
2
: 12P y x=
v elip
( )
2 2
: 6 8 48E x y+ =
.
BAỉI TAP TONG HễẽP
Bài 1:
Viết đờng tròn đi qua A(1;3), B(4;2) và :

a. Tiếp xúc Ox
b. Tiếp xúc với đờng thẳng x-y+1=0
BG:
a. Gọi pt có dạng:
( ) ( )
2 2
2
x a y b b + =
vì đi qua A,B ta có:
10 2 15
25 6 15
a
b

=


=


b. Gọi pt có dạng:
( ) ( )
2 2
2
x a y b r + =
c.
Bài 2:
Viết phơng trình đờng tròn biết tâm thuộc 2x-y=0 và đi qua A(4;2), B(5;1).
BG:
Nguyn Duy Thun Trang 7

Toỏn hc thờm 10 - Nõng cao
Gọi I(a;2a) phơng trình có dạng:
( ) ( )
2 2
2
2x a y a r + =
đi qua A,B ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
4 2 2
2 2
2
5 1 2
a a r
a a r

+ =



+ =

ta có pt:
( ) ( )
2 2
3 6 113x y+ + + =
Bài 3:
Cho (C

1
):
2 2
10 0x y x+ =
(C
2
):
2 2
4 2 20 0x y x y+ + =
1. Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm (C
1
), (C
2
) và tâm

x+6y-
6=0
2. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (C
1
), (C
2
)
BG:
1. Giao điểm A(1;-3), B(2;4), gọi I(6-6b;b), phơngg trình:
( ) ( )
2 2
12 1 125x y + + =

2. Nhận thấy hai đờng tròn trên cắt nhau và có cùng bán kính nên tiếp
tuyến chung sẽ // với đờng thẳng nối tâm: I

1
I
2
, gọi pt có dạng:
x+7y+d=0
Bài 4:
Cho (C
1
):
2 2
4 5 0x y x+ =
(C
2
):
2 2
6 8 16 0x y x y+ + =
Viết phơng trình tiếp tuyến chung.
Bài 5:
Trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho d: x-7y+10=0. Viết phơng trình
đờng tròn có tâm
: 2 0x y + =
, tiếp xúc d tại A(4;2).
BG:
Viết phơng trình đờng thẳng d qua A và vuông góc d

'd I
=O là tâm đờng tròn
Bài 6:
Trong mặt phẳng Oxy cho (E):
2 2

1
4 1
x y
+ =
, M(-2;3), N(5;n)
Nguyn Duy Thun Trang 8
Toỏn hc thờm 10 - Nõng cao
Viết phơng trình d, d qua M tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp
tuyến của (E) qua N có một tiếp tuyến //d, d.
BG:
1. Gọi phơng trình

: y=ax+b, kết quả: x=-2, 2x+3y-5=0
2. Kq: n=-5
Bài 7:
Trong Oxy cho (C):
( ) ( )
2 2
1 2 4x y + =
và d: x-y-1=0
Viết phơng trình đờng tròn (C) đối xứng (C) qua d. Tìm toạ độ giao điểm (C)
và (C)
BG:
kq: (x-3)
2
+y
2
=4, A(1;0), B(3;2)
Bài 8:
Cho (E) có hai tiêu điểm F

1
(-
3
;0), F
2
(
3
;0) đờng chuẩn:
4
3
x=
1. Viết phơng trình chính tắc của (E)
2. M thuộc (E). Tính giá trị: P=
2 2 2
3 .
1 2 1 2
MF MF MO MF MF+
3. Viết phơng trình đờng thẳng d// trục hoành và cắt (E) tại A,B:
OA AB
BG:
1. Ta có:
2 2 2
4 4
2 2
3 4 1 1
4 1
3 3
a a x y
c a b
e c

= => = = = = + =
2. Gọi M(x
0
;y
0
)
2 2
( ): 4 4
0 0
E x y + =
, ta có:
2 2 2
; ;
1 0 2 0 0 0
c c
MF a x MF a x OM x y
a a
= + = = +
P=
( )
2
2 2 2 2
3 . 3 3 . 1
1 2 1 2 1 2 1 2
MF MF MO MF MF MF MF MO MF MF+ = + =
3. d//Ox: y=b, toạ độ giao điểm:
2 2
4 4
y b
x y

=



+ =


có 2 nghiệm phân biệt
-1<b<1
Nguyn Duy Thun Trang 9
Toỏn hc thờm 10 - Nõng cao
A(x
A
;b), B(x
B
;b) vì
2
. 0
5
OA OB b= =
uuuruuur
Bài 9:
Cho A(8;0), lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một
tam giác có diện tích 12.
BG:
Phơng trình đoạn chắn:
1
x y
a b
+ =

, ta có:
6
8 6
1
8
2
24
4 8
a
b
a
a b
ab
a a


=
+ =






=
=


Bài 10:
Cho (E) có phơng trình:

2 2
1
2 2
x y
a b
+ =
, (a>0,b>0)
a. Tìm a,b biết (E) có tiêu điểm F
1
(2;0), hình chữ nhật cơ sở có diện tích
12
5
b. Viết phơng trình đờng tròn (C) có tâm O. Biết (C)

(E) tại 4 điểm
phân biệt lập thành hình vuông
BG:
a. ta có: c=2=>
2 2
4b a=
,
3 5 45
2 4 2
4 12 5 4 4 45 0
2
ab a b b b
b
b
= = = + =
Bài 11:

Cho (E):
2 2
1
4 1
x y
+ =
và C(2;0). Tìm toạ độ A,B thuộc (E) biết rằng A,B đối
xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
BG:
Giả sử A(x
0
;y
0
) vì A,B đối xứng nhau qua ox nên B(x
0
;-y
0
) ta có:
( )
2
2 2 2 2
4 , 2
0 0 0
AB y AC x y= = +
, vì A thuộc (E) nên:
2 2 2
2
0 0 0
1 1
0

4 1 4
x y x
y+ = =
(1)
Nguyn Duy Thun Trang 10