Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đỗ Đức Thuận

Hà Nội – Năm 2017

Lới cÊm ỡn

ữổc sỹ phƠn cổng ca Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQGHN v sỹ
ỗng ỵ ca thy giĂo hữợng dÔn TS. ỉ ức Thun tổi  thỹc hiằn t i "Tnh iu khin ữổc ca hằ tuyn t
nh rới rc".
ho n th nh khõa lun n y, tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thy cổ giĂo  tn tnh hữợng dÔn,
giÊng dy trong sut quĂ trnh tổi hồc tp, nghiản cứu v rn luyằn trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ
nhiản.
Xin chƠn th nh cĂm ỡn thy giĂo hữợng dÔn TS. ỉ ức Thun  tn tnh, chu Ăo hữợng dÔn tổi thỹc
hiằn khõa lun n y.
Mc dũ Â c gng rĐt nhiu những do bÊn thƠn vÔn cặn hn ch nản khõa lun n y khổng th
trĂnh khọi nhng thiu sõt nhĐt nh. Tổi rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ ca quỵ thy cổ giĂo v cĂc bn ỗng
nghiằp khõa lun ữổc ho n chnh hỡn.
Tổi xin chƠn th nh cĂm ỡn!
H ni, thĂng 3 nôm 2017.
Nguyn Lỵ Vinh Hnh

1


Möc löc
Líi mð ƒu
Danh möc k‰ hi»u v chœ vi‚t t›t
1 H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh
1.1

H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh
1.1.1
1.1.2
H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh

1.2.1
1.2.2

1.2

2 H» tuy‚n t‰nh ríi r⁄c câ tr„
2.1
2.2
2.3

Kh¡i ni»m i•u khi”n ÷æ
°c tr÷ng cho t‰nh i•u k
D⁄ng cıa h m i•u khi”n

K‚t lu“n
T i li»u tham kh£o

i


Lới m

u

Lỵ thuyt iu khin ữổc phĂt trin t khoÊng 150 nôm trữợc Ơy khi sỹ
thỹc hiằn cĂc iu khin cỡ hồc bt u cn ữổc mổ tÊ v phƠn tch mt
cĂch toĂn hồc. T õ, nõ õng vai trặ rĐt quan trồng trong nhiu ng nh
khoa hồc, c biằt l trong kắ thut v toĂn hồc (xem [3, 4, 5, 6]). V dử
cĂc vĐn nhữ l m sao iu khin t u vụ trử, tản lòa, iu kin kinh t ca
mt quc gia, iu khin robot, ... Khi xt cĂc hằ rới rc, mổ hnh tuyn

tnh thun nhĐt cõ th biu din bi hằ phữỡng trnh sai phƠn
x(n + 1) = Ax(n);
trong õ A l ma trn cù k k. Hằ n y khổng cõ yu t n o tĂc ng tợi cĂc
bin x1(n); x2(n); :::; xk(n). Do õ ta khổng th iu khin hằ trản ữổc.
V vy, mt mổ hnh iu khin ca hằ rới rc tuyn tnh ữổc phĂt
trin cõ dng
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n);

(2)

trong õ B l ma trn cù k m, ữổc gồi l ma trn u v o v u(n) l mt vector
m 1. Trong hằ n y, ta cõ m bin iu khin
u1(n); u2(n); :::; um(n), trong õ m

k.

Trong lun vôn n y chúng tổi tp trung trnh b y tnh iu khin ữổc
ca hằ tuyn tnh rới rc. Ni dung khõa lun gỗm phn m u, phn kt
lun, danh mửc t i liằu tham khÊo v 2 chữỡng vợi ni dung sau:
Chữỡng 1: Trnh b y tnh
iu khin
ữổc ca hằ tuyn t
nh.

Chữỡng 2: Trnh b y tnh iu khin ữổc ca hằ tuyn tnh rới rc
cõ tr.
1


Danh möc k‰ hi»u v chœ vi‚t t›t

R
C

Rn
Rn

m

rankA
Im(A),
rangeA
1

m

L [0; T ; R ]
S(t)
QT
[AjB]
+
Z
q
Zs
Bk
em

2


Ch֓ng 1

H»
1.1

i•u khi”n tuy‚n t‰nh
H»

i•u khi”n tuy‚n t‰nh li¶n töc

Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y ng›n gån c¡c k‚t qu£ v• t‰nh i•u
khi”n ÷æc cıa h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh li¶n töc, düa tr¶n t i li»u tham
kh£o [7].
1.1.1

Kh¡i ni»m

i•u khi”n

־c

(1.1)
H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh li¶n töc ÷æc mæ t£ bði ph÷ìng tr…nh vi ph¥n

n

n

m

dy

dt

= Ay(t) + Bu(t); y(0) = x 2 Rn; u(t) 2 Rm

n

vîi A : R ! R ; B : R ! R l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh, u(t) l h m kh£ t
1
m
‰ch àa ph÷ìng, tøc l u(t) 2 L [0; T ; R ] vîi måi T > 0. Ta ¢ bi‚t
ph÷ìng tr…nh (1.1) câ nghi»m duy nh§t
Z t

y(t) = S(t)x +
At

ð ¥y S(t) = e =

S(t

s)Bu(s)ds;


ành ngh¾a 1.1.1. Tr⁄ng th¡i b ÷æc gåi l ⁄t ÷æc tł tr⁄ng th¡i a trong
thíi gian T > 0 n‚u tçn t⁄i i•u khi”n u(t) x¡c ành tr¶n [0; T ] sao cho
ph÷ìng tr…nh (1.1) câ nghi»m y(t) thäa m¢n y(0) = a; y(T ) = b:
Quy ÷îc: Tr⁄ng th¡i a

⁄t

÷æc tł a trong thíi gian T = 0.
3


nh nghắa 1.1.2. Trng thĂi b ữổc gồi l t ữổc t trng thĂi a hay
trng thĂi a dch chuyn ữổc n trng thĂi b nu b t ữổc t a trong thới
gian T > 0 n o õ.
nh nghắa 1.1.3. Hằ (1.1) ữổc gồi l iu khin ữổc trong thới gian T
> 0 nu b v a l hai trng thĂi bĐt k th b cõ th t ữổc t a trong thới
gian T:
nh nghắa 1.1.4. Hằ (1.1) ữổc gồi l iu khin ữổc nu b v a l hai
trng thĂi bĐt k th b cõ th t ữổc t a:
1.1.2

c trững cho tnh

iu khin

ữổc

Mt h m bĐt ký u(:) xĂc nh trản [0; +1) khÊ tch a phữỡng v cõ cĂc
n
giĂ tr trong R s ữổc gồi l iu khin hoc u v o ca hằ (1.1).
x;u
Nghiằm tữỡng ứng ca phữỡng trnh (1.1) s ữổc kỵ hiằu l y (:)
nhĐn mnh sỹ phử thuc v o iu kiằn ban u x v u v o u(:): Ta nõi mt
iu khin u chuyn mt trng thĂi a tợi trng thĂi b nu tỗn ti thới im T > 0
sao cho
y

a;u

(T ) = b:

Khi õ trng thĂi a b chuyn sang trng thĂi b ti thới im T hay trng thĂi
b t ữổc t trng thĂi a ti thới im T . Mằnh dữợi Ơy nảu lản cổng thức
iu khin chuyn t a tợi b. Trong cổng thức n y ma trn Q T gồi l ma
trn iu khin ữổc Gramian:
Z T

QT =

0

S(r)BB S (r)dr; T > 0:

QT l i xứng v xĂc nh khổng Ơm.
B 1.1.1. GiÊ sò vợi T > 0 n o õ, ma trn QT
khi õ vợi mồi a; b 2 R

n

iu khin u(s) =

b); s 2 [0; T ]
gian T , tức l
y(0) = a; y(T ) = b.
4

Chứng minh. Ta cõ
y(t) = S(t)a +

Z t

S(t

s)Bu(s)ds

S(t

s)BB S (t

0

Zt

= S(t)a

1

s)QT (S(T )a b)ds:

0

D thĐy y(0) = S(0)a = a:
ZT
y(T ) = S(T )a
S(T
0

= S(T )a

1

s)BB S (T

s)ds QT (S(T )a b)

1

QT QT (S(T )a b)

= b:

n

B 1.1.2. Nu mồi trng thĂi b 2 R u t ữổc t 0, khi õ ma trn QT
khổng suy bin vợi mồi T > 0
Chứng minh. Xt
Z T

LT u =

S(r)Bu(T

r)dr:

0

u

Suy ra LT u = y (t) trong
u

y (0) = 0.

u

õ y (t) l

1

nghiằm ca hằ (1.1) thọa mÂn

m

n

t ET = LT (L [0; T ; R ]) l khổng gian vc tỡ con ca R .
n

n

0

V mồi b 2 R u t ữổc t 0 nản [T >0ET = R : Nu T < T th
n
ET
ET 0, t õ suy ra tỗn ti T0 sao cho ET = R ; 8T

T0. Vợi mồi
n
1
m
T > 0; v 2 R ; u 2 L [0; T ; R ] ta cõ
ZT
ZT
2
hQT v; vi = h
S(r)BB S (r)dr v; v = kB S (r)vk dr
0

Z

0

T

hLT u; vi =

hu(r); B S (T

r)vidr:

0

n

V th nu QT v = 0 vợi v n o õ thuc R ; T > 0 th h m B S (r)v ỗng
nhĐt bng 0 trong [0; T ]. Do h m f(r) = B S (r)v l h m giÊi

tch (cõ th khai trin th nh chuỉi Taylor vổ hn) v f(r) = 0 vợi mồi r 2
+

[0; T ] cho nản f(r) phÊi bng 0 vợi mồi r 2 R : T cổng thức biu din
ca LT suy ra hLT u; vi = 0; 8u; 8T > 0. Tức l v?ET 8T > 0 m
5


n

n

[T >0ET = R . Do â, v?R . V“y v = 0, hay QT l khæng suy bi‚n vîi måi
T > 0.
BŒ • 1.1.3. Im(LT ) = Im(ln) vîi måi T > 0. Trong â,
Z T

LT u =

S(r)Bu(T

r)dr

0

n 1

ln(u0; u1; :::; un 1) = Bu0 + ABu1 + ::: + A
n

1

m

Bun

1

m

Chøng minh. 8v 2 R ; u 2 L [0; T ; R ]; uj 2 R ; j = 0; 1 : : : ; n 1 ta
câ:
Z

T

hLT u; vi =

hu(s); B S (T

s)vids;

0

n 1

hln(u0; : : : ; un 1); vi = hu0; B vi + : : : + hun 1; B (A )

vi:
m

X†t v n o â, gi£ sß hln(u0; : : : ; un 1); vi = 0; 8u0; : : : ; un 1 2 R . Suy
ra
B v = : : : = B (A )
n

n 1

v = 0:
n1

Theo ành lþ Cauley - Hamilton (A ) + a1(A )
ra

+ : : : + anIn = 0: Suy

B S t v B eA tv
=0

Suy ra
ZT
hLT u; vi =

0

hu(s); B S (T

1

m

s)vids = 0; 8u 2 L [0; T ; R ]; 8T > 0:


6


1

m

Ng÷æc l⁄i, gi£ sß hLT u; vi = 0; 8u 2 L [0; T; R ]: Suy ra B S (t)v = 0
(n)

vîi måi t 2 [0; T ]:

°t f(t) = B S (t)v: Suy ra f (0) = 0; 8n 2 N: Suy

k

ra B (A ) v = 0; 8k

0: Do â

hln(u0; : : : ; un 1); vi = 0; 8u0; : : : ; un
?

1

m

2R :

?

V“y Im(LT ) = Im(ln) ; i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi Im(LT ) = Im(ln).
M»nh • 1.1.1. Gi£ sß r‹ng vîi T > 0, ma tr“n QT khæng suy bi‚n. Khi
â, trong t§t c£ c¡c i•u khi”n u(:) chuy”n a tîi b t⁄i thíi i”m T
i•u khi”n u tŁi thi”u t‰ch ph¥n
b
Z T

RT

ju(s)j2ds: Hìn nœa,
0

Chøng minh. Ta

Z

0

T

2

ju(s)j ds =

Z

0

T

1

2

jB S (T s)QT (S(T )a b)j ds

b

=D

Z

0

1

1

= hQT QT (S(T )a b); QT (S(T )a b)i
1

= hQT (S(T )a b); (S(T )a b)i:
Gåi u(:) l i•u khi”n b§t ký tł a tîi b t⁄i thíi i”m T . Gi£ sß r‹ng u(:) kh£ t
‰ch c§p 2 tr¶n [0; T ]. Khi â,

Z

0

T

hu(s); u(s)ids =

â
Do

T

R

T

j

Z0

(
u s

Suy ra

R

0
T

7

0h


Cho hai ma tr“n A 2 M(n; n); B = M(n; m), kþ hi»u [AjB] b‹ng ma
n1
tr“n [B; AB; : : : ; A B] 2 M(n; nm) chøa c¡c cºt lƒn l÷æt l B; AB; : : : ;
n1
A B.
ành lþ 1.1.1. C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng
n

i. Mºt tr⁄ng th¡i tòy þ b 2 R luæn câ th”
ii.

⁄t

÷æc tł 0;

H» (1.1) l i•u khi”n ÷æc;

iii.

H» (1.1) i•u khi”n ÷æc t⁄i thíi i”m T > 0 cho tr÷îc;

iv.

Ma tr“n QT khæng suy bi‚n vîi mºt v i T > 0;

v.
vi.

Ma tr“n QT khæng suy bi‚n vîi måi T > 0;
rank[AjB] = n:

Chøng minh. i!
v:
v!
iv: Hi”n nhi¶n.

p döng BŒ • 1.1.2

! iii: QT khæng suy bi‚n ð thíi gian T > 0 n o â. p döng BŒ •
1.1.1 suy ra H» (1.1) l i•u khi”n ÷æc trong thíi gian T .
iii ! ii: Hi”n nhi¶n.
iv

ii!

i: Do h» l

i•u khi”n

n

÷æc n¶n 8b 2 R •u ⁄t

÷æc tł 0.

! vi: H» (1.1) l i•u khi”n ÷æc ð thíi gian T > 0 n o â. Suy ra L T l to n
¡nh. Tł BŒ • 1.1.3 suy ra ln l to n ¡nh. Do â
rank[AjB] = n.
vi! i: rank[AjB] = n suy ra ln l
iii

n

l to n ¡nh vîi måi T > 0. Do â måi b 2 R ⁄t ÷æc tł 0.
V‰ dö 1.1. X†t t‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» sau

Ta câ

8


V“y h» ¢ cho l i•u khi”n ÷æc (theo i•u ki»n Kalman).
V‰ dö 1.2. X†t h»

vîi i•u ki»n ban ƒu

z(0) =

°t z(t);
1; : : : ; n l tåa º cıa vecto x. Khi â ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tr¶n ÷æc
÷a v• ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p 1

A=

suy ra
2
6
6
6
6
6

0

3

.. 7

. 7
7

07
7

6
7
j
AB = 6 1 7 ; v
6
7
6
6
6
4

c1j 7
... 7

c

7

5
jj

rank [A
j

dz
dt


V“y do i»u ki»n h⁄ng Kalman ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p
cao vîi h» sŁ h‹ng l i•u khi”n ÷æc.
9


ành lþ 1.1.2. ( i•u ki»n h⁄ng Hautus) H» (1.1) l i•u khi”n ÷æc khi v
ch¿ khi
rank[A

I; B] = n vîi måi 2 C:
nn

nm

Chøng minh. Mºt c¡ch tŒng qu¡t ta x†t A 2 C ; B 2 C : Gi£ sß h»
(1.1) l i•u khi”n ÷æc. Khi â bði i•u ki»n h⁄ng Kalman suy ra
m

m

n 1

BC + ABC + : : : + A
k

k

m

n

BC = C :
k

m

M°t kh¡c ta câ A Bu = (A I + I) Bu = (A I)v + Bu vîi måi u 2 C : Suy
k

m

n

m

ra A BC (A I)C + BC vîi måi k: Do â
n

m

m

C = BC + ABC + : : : + A

i•u n y t÷ìng

n 1

÷ìng vîi rank[A

m

n

m

I)C + BC ;

BC = (A

I; B] = n vîi måi

2 C: Ng־c

l⁄i, gi£ sß rank[A I; B] = n vîi måi 2 C: Gåi 1; 2; : : : ; n l c¡c nghi»m cıa
ph÷ìng tr…nh Pn( ) = det[A I] = 0: Theo ành lþ Caley-Hamilton ta câ
P (A) = (A

1I)(A 2I)

: : : (A nI) = 0:

°t Tk = (A 1I)(A 2I) : : : (A kI): Ta s‡ chøng minh b‹ng qui n⁄p
n

m

m

TkC + BC + ABC + : : : + A
Rª r ng
n

i•u n y

k 1

m

óng vîi k = 1 v… rank[A

n

m
k+1I)C + BC
n
m
m
= (A k+1I)(TkC + BC + ABC
n
m
m
Tk+1C + BC + ABC + : : :

n

BC = C vîi måi k:
1I;

B] = n: Ta câ

k1

BC ) + B C

C = (A

Suy ra

flng thøc

+:::+A
k

m

m

m

+ A BC :

óng vîi k + 1: Vîi k = n th… Tn = 0 n¶n ta thu
m

m

n

m

n

BC + ABC + : : : + A BC = C

Do v“y rank[AjB] = n cho n¶n h» (1.1) l i•u khi”n ÷æc.

V‰ dö 1.3.
10

־c

#

"

Ta câ rank[A

1

I; B] = rank
1

i•u ki»n h⁄ng Hautus h» n y l

1.2

H»

1

0
i•u khi”n

2 C: V“y bði

= 2 vîi måi
־c.

i•u khi”n tuy‚n t‰nh ríi r⁄c

Tr¶n thüc t‚ c¡c giœ ki»n ƒu v o khæng ÷æc cung c§p giŁng nh÷ mºt

m li¶n töc theo bi‚n thíi gian v… v“y mºt mæ h…nh kh¡c cıa h» i•u
khi”n l h» i•u khi”n ríi r⁄c ra íi. C¡c k‚t qu£ trong möc n y ÷æc tr…nh b
y düa tr¶n t i li»u tham kh£o [2].
h

1.2.1 Mæ h…nh ríi r⁄c v kh¡i ni»m i•u khi”n ÷æc
X†t h» ríi r⁄c câ d⁄ng
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n);
trong â B l ma tr“n cï k m. B ÷æc gåi l ma tr“n ƒu v o v u(n) l mºt
vector m 1. Trong h» n y, ta câ m bi‚n i•u khi”n u1(n); u2(n); :::;
um(n), trong â m k. Mºt h» li¶n töc vîi i•u khi”n h‹ng tłng khóc câ th”
xem nh÷ mºt h» ríi r⁄c. Th“t v“y, x†t h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n
_
x^(t) = A(t)^x(t) + Bu(t);
Vîi u(t) = u(k); t 2 [kT; (k + 1)T ]:
°t
x(k) = x^(kT ):
D„ thƒy ph÷ìng tr…nh (1.5) câ nghi»m vîi t 2 [kT; (k + 1)T ] ÷æc cho
bði cæng thøc
Zt
At
x(t) = e x(kT ) +
^

A(t ) ^

kT

e

T⁄i t = (k + 1)T k‚t hæp vîi (1.6) v (1.7), ta câ
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k);
trong â
A=e

11


V dử 1.4. Dặng iằn DC ca mổ tỡ cõ th ữổc mổ hnh hõa bi
phữỡng trnh vi phƠn

trong õ, x l vn tc gõc ca mổ tỡ, K v
Mổ hnh rới rc tữỡng ứng trong trữớng hổp n y l

trong õ, A = e
Trong phn n y, ta quan tƠm n vĐn cõ th iu khin hằ t trng thĂi
ban u cho trữợc n mt trng thĂi bĐt ký trong mt khoÊng thới gian
hu hn hay khổng. Nõi mt cĂch khĂc, ta mong mun xĂc nh ữổc t
nh iu khin ữổc ca hằ. Cho tợi nôm 1960, cĂc phữỡng phĂp bin i
l cổng cử chnh trong viằc Ănh giĂ v thit k hằ iu khin. V o nôm
1960, nh toĂn hồc, k sữ ngữới Thửy S R.E. Kalman  ữa ra lỵ thuyt
iu khin hiằn i bng phữỡng phĂp khổng gian trng thĂi. Sau n y
phữỡng phĂp khổng gian trng thĂi  tr th nh cổng cử chnh cho ng
nh lỵ thuyt iu khin hiằn i.
nh nghắa 1.2.1. Hằ (1.4) ữổc gồi l iu khin ữổc nu vợi mồi n 0 2
Z , mồi trng thĂi bĐt ký x(n0) = x0 v trng thĂi kt thúc cho trữợc xf , tỗn
ti thới gian hu hn N > n0 v h m iu khin u(n); n0 < n N sao cho x(N)
= xf .
+

Chú ỵ 1.1. Nu hằ (1.4) iu khin ữổc th ta gồi cp ma trn fA; Bg l
cp ma trn iu khin.
Nõi cĂch khĂc, tỗn ti mt dÂy s u v o u(0); u(1); :::; u(N 1) sao
cho Ăp dửng v o hằ (1.4) cho ra kt quÊ x(N) = xf .
V dử 1.5. Xt hằ b khng ch bi cĂc phữỡng trnh
x1(n + 1) = a11x1(n) + a12x2(n) + bu(n);
x2(n + 1) = a22x2(n):

12




Ơy,

A=

Ta cõ th d d ng nhn ra rng hằ n y khổng ho n to n iu khin ữổc
v u(n) khổng th tĂc ng lản bin x2(n). Hỡn th na, x2(n) ữổc nh
nghắa trong phữỡng trnh s hai cõ cổng thức tng quĂt l x 2(n) =
n
a 22x2(0).
1.2.2

c trững cho tnh

iu khin

ữổc

V dử trản cho thĐy ta cõ th xĂc nh tnh iu khin ữổc ca mt hằ.
Tuy nhiản, i vợi cĂc hằ phức tp, ta s nghiản cứu mt v i tiảu chu'n ỡn
giÊn hỡn xt tnh iu khin ữổc ca hằ.
nh nghắa 1.2.2. Ma trn iu khin W ca hằ (1.4) l ma trn k km
ữổc cho bi cổng thức sau
2

k 1

W = [B; AB; A B; :::; A

B]:

(1.10)

Ma trn iu khin õng vai trặ rĐt quan trồng trong lỵ thuyt iu
khin. Ta cõ th thĐy trong kt quÊ quan trồng dữợi Ơy
nh lỵ 1.2.1. Hằ (1.4) l

iu khin ữổc nu v ch nu rank W = k

Trữợc khi chứng minh, ta cõ mt v i nhn xt v nh lỵ trản. Thứ
nhĐt, ta xt trữớng hổp ỡn giÊn khi hằ ch cõ mt bin u v o v do
õ ma trn u v o B ch l vector b cõ cù m 1. Do õ ma trn iu khin
trong trữớng hổp n y l ma trn k k
k 1

W = [b; Ab; :::; A

b]:

Hằ trản iu khin ữổc khi W cõ hng l k, tức l ma trn W khổng suy
bin hay cĂc ct ca nõ c lp tuyn tnh. Trong trữớng hổp tng quĂt,
iu kiằn iu khin ữổc l trong km ct, cõ k ct l c lp tuyn tnh. BƠy
giớ chúng ta thò vn dửng nh lỵ trản qua v dử sau.
V dử 1.6. Xt hằ
y1(n + 1) = ay1(n) + by2(n);
13


y2(n + 1) = cy1(n) + dy2(n) + u(n);
trong â, ad bc 6= 0.
— ¥y,
A=
v u(n) l h m i•u khi”n væ h÷îng. Ta câ,
W = (B;AB) =

0

câ h⁄ng b‹ng 2 n‚u b 6= 0.
BŒ • 1.2.1. Vîi måi N

k, h⁄ng cıa ma tr“n
2

N 1

[B; AB; A B; :::; A
b‹ng vîi h⁄ng cıa ma tr“n

B]

i”u khi”n W .
n1

Chøng minh. X†t ma tr“n W (n) = [B; AB; : : : ; A B], n = 1; 2; 3 : : :.
Khi n t«ng l¶n 1 th… ho°c rank W (n) giœ nguy¶n ho°c t«ng l¶n 1.
Gi£ sß tîi mºt sŁ r > 1 n o â, ta câ rank W (r + 1) = rank W (r). Khi â,
r

c¡c cºt cıa ma tr“n A B l ºc l“p tuy‚n t‰nh vîi c¡c cºt cıa W (r) = [B; AB;
r1

: : : ; A B]. Do â,
r

r 1

A B = BM0 + ABM1 + : : : + A

BMr 1;

trong â mØi Mi l ma tr“n m m. Nh¥n c£ hai v‚ cıa ma tr“n tr¶n vîi A, ta
־c
A

r+1

2

r

B = ABM0 + A BM1 + : : : + A BMr 1:
r+1

V“y c¡c cºt cıa ma tr“n A B l ºc l“p tuy‚n t‰nh vîi c¡c cºt cıa ma tr“n
W (r + 1). Suy ra, rank W (r + 2) = rank W (r + 1) = rank W (r). Cø
ti‚p töc nh÷ v“y ta câ k‚t lu“n sau
rank W (n) = rank W (r)

8n > r:

K‚t lu“n: rank W (n) t«ng l¶n nhi•u nh§t l 1 khi n t«ng l¶n 1 cho ‚n
khi rank W (n) ⁄t ‚n gi¡ trà lîn nh§t k. Do â h⁄ng cao nh§t cıa W (n)
14


s tnh ữổc sau nhiu nhĐt l k bữợc. Nản sau n k bữợc, ta s cõ rank
W = rank W (k) = rank W (N) 8N k:
Chứng minh

nh lỵ chnh

iu kiằn . GiÊ sò rank W = k. Ta phÊi chứng minh hằ (1.4) iu khin
k
ữổc. Tht vy, lĐy x0 v xf l hai vector bĐt ký trong R . Ta cõ
k

x(k) A x(0) =

hay
k

x(k) A x(0) = W u(k);
trong õ,
0
u(k) = B

B

C
Bu(k 2)C

B

@
k
do rank W = k; rangeW = R . Do õ nu ta lĐy x(0) = x 0 v x(k) = xf ,
k
k
th xf A x0 2 rangeW . V vy, xf A x0 = W u vợi mt s vector u 2
k
R . DÔn n hằ (1.4) iu khin ữổc.
iu kiằn cn. GiÊ sò hằ (1.4) iu khin ữổc v rank W < k. Sò dửng
+

b trản ta cõ th kt lun tỗn ti r 2 Z sao cho
rank W (1) < rank W (2) < ::: < rank W (r) = rank W (r+1) = ::: = rank W:

Hỡn th na, rank W (n) = rank W vợi mồi n > k. V do W (j + 1) = (W

j
(j); A B), nản ta cõ
rangeW (1)
=

rangeW (2)

::::

rangeW (r)

rangeW (r + 1) = ::: = rangeW = ::: = rangeW (n)

vợi mồi n > k.
k

Do rank W < k; rangeW 6= R . Do õ tỗn ti 2= rangeW (n) vợi mồi n 2
+

Z . Nu ta lĐy x0 = 0 trong cổng thức (1.11) vợi k = n, ta cõ x(n) = W
(n)u(n). Do õ vợi = x(n) vợi mt s n, phÊi trong min giĂ tr ca W (n).
+

Những 2= rangeW (n) vợi mồi n 2 Z , suy ra cõ
15


th” khæng ⁄t tîi gi¡ trà mong muŁn trong thíi gian hœu h⁄n. i•u n y
m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t. Do â, rank W = k.
V‰ dö 1.7. X†t h» i•u khi”n x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n) vîi

B¥y gií, vîi

Ta câ
x(1) = Ax0 + Bu0 =

Do â, n‚u ta l§y u(0) = x02, th… ta câ x(1) = 0. Do â, h» (1.12) i•u
khi”n ÷æc tîi 0. Tuy nhi¶n, ta công th§y
!
10

rank(B; AB) = rank

= 1 < 2:

Do â theo ành lþ tr¶n, h» (1.12) khængi•u khi”n

־c.

V‰ dö 1.8. X†t h» y(n + 1) = Ay(n) + Bu(n) vîi

B¥y gií W (1) =

h⁄ng b‹ng 1 do ma tr“n n y t÷ìng ÷ìng vîi ma tr“n
ành
lþ ch‰nh, h» tr¶n khæng i•u khi”n ÷æc. Tuy nhi¶n chó þ r‹ng
i”m

trong thíi gian n = 2.

16

4!

0

l ⁄t tîi ÷


V‰ dö 1.9. Mºt xe 'y chð mºt v“t n°ng câ khŁi l÷æng m bà ghim v o
t÷íng thæng qua mºt h» giao ºng. Ph÷ìng tr…nh chuy”n ºng cıa h»
n y câ d⁄ng
mx + bx + kx = u;
trong â k v b t÷ìng øng l º cøng (stiffness) v h» sŁ giao ºng t›t dƒn
(damping) cıa h» giao ºng v u l lüc t¡c döng.
Ph÷ìng tr…nh (1.13) câ th” vi‚t l⁄i d÷îi d⁄ng ph÷ìng tr…nh tr⁄ng th¡i
nh÷ sau
"v#

x

Do â,
A^=

"

Trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t, ta s‡ chån tr÷îc mºt chu ký l§y m¤u T,
c¡c ma tr“n A v B cıa h» ríi r⁄c t÷ìng ÷ìng vîi h» giao ºng tr¶n ÷æc cho
bði cæng thøc
A=e

Nh÷ v“y c¡c t‰nh to¡n cıa chóng ta cƒn t…m ra ma tr¥n mô cıa ma tr“n
^

^

A. i•u n y khæng qu¡ khâ v… ‰t nh§t A câ th” ch†o hâa ÷æc, tøc l ta
câ th” t…m ra ma tr“n P sao cho

trong â D l ma tr“n

÷íng ch†o

3

2
1:::0

.

.

.

D = 64 .. .. .. 75 :
:::

0

(1.16)

k

Theo ành ngh¾a ta câ
^

1^

^

AT

1^

2

2

3

3

e = I + AT + 2!A T + 3!A T + :::
Thay v o (1.15) ta câ
^

AT

e

=Pe

DT

17

P