Tính ổn định và tính CO của các phương pháp runge kutta

I HC QUăC GIA H
NáI
TRìNG
I HC KHOA HC Tĩ NHI N

NGUY N TH HI N

TNHN NHV TNHCO
CếA C C PHìèNG PH P RUNGE-KUTTA
Chuyản ng nh: ToĂn ứng dửng
MÂ s: 60 46 01 12

LU NV NTH CS KHOAHC

NGìI HìNG D N KHOA HC:
PGS.TS. Vễ HO NG LINH

H Ni-2014


Lới cÊm ỡn
Trữợc khi trnh b y ni dung chnh ca lun vôn, tổi xin cÊm ỡn Ban
ch nhiằm khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc cũng to n th cĂc thy giĂo, cổ giĂo
trong khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, phặng Sau i hồc, trữớng i hồc Khoa
hồc Tỹ nhiản - i hồc Quc gia H Ni, Â giÊng dy tn tnh v to iu kiằn
thun lổi tổi ho n th nh tt lun vôn.
c biằt, tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt tợi thy giĂo PGS.TS
Vụ Ho ng Linh, ngữới  trỹc tip hữợng dÔn v tn tnh ch bÊo tổi trong
sut quĂ trnh tổi hồc tp v thỹc hiằn lun vôn.
NhƠn dp n y, tổi cụng xin cÊm ỡn gia nh  luổn ng h v ng viản
trong sut thới gian tổi hồc tp.

Cui cũng, tổi xin cÊm ỡn tĐt cÊ cĂc bn, cĂc anh, cĂc ch trong lợp
cao hồc ToĂn khõa 2011 - 2013, c biằt l cĂc anh ch chuyản ng nh
ToĂn ứng dửng khõa 2010 - 2012 v khõa 2011 - 2013 Â tn tnh giúp ù
v ng viản tổi trong quĂ trnh hồc tp.
Xin chƠn th nh cÊm ỡn!
H Ni, ng y 16 thĂng 01 nôm 2014
Hồc viản

Nguyn Th Hiản


Möc löc
Mð ƒu
B£ng kþ hi»u
1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
1.1
1.2
1.3
1.4
2

3

C¡c ph÷ìng ph¡p Runge-K
X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p
p döng c¡c ph÷ìng ph¡p R
C¡c lo⁄i chu'n . . . . . . . . .

T‰nh co cho b i to¡n tuy‚n t‰nh
2.1

2.2
2.3

Chu'n Euclid ( ành lþ von
H m t«ng tr÷ðng sai sŁ vî
B i to¡n vîi nhi„u phi tuy‚n

2.4
2.5

T‰nh co trong k:k1 v k:k
H» sŁ ng÷ïng . . . . . . . . .

T‰nh Œn ành B v t‰nh co
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

i•u ki»n Lipschitz mºt ph‰
˚n ành B v Œn ành ⁄i sŁ
Mºt v i ph÷ìng ph¡p Rung
˚n ành AN . . . . . . . . . . .
C¡c ph÷ìng ph¡p Runge-K
ành lþ v• sü t÷ìng ÷ìng gi
sŁ vîi c¡c ph÷ìng ph¡p S-b
3.7
H m t«ng tr÷ðng sai sŁ . .

T‰nh to¡n ’B (x) . . . . . .
3.8
K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2


M

u

Trong khoa hồc v kắ thut ta thữớng gp rĐt nhiu b i toĂn liản quan tợi viằc
giÊi phữỡng trnh vi phƠn. Cõ rĐt nhiu trữớng hổp nghiằm giÊi tch ca cĂc
b i toĂn n y l khổng th tm ữổc. Chnh v vy cĂc nh toĂn hồc  tm kim
nhiu phữỡng phĂp s khĂc nhau giÊi cĂc b i toĂn trản. Trong cĂc phữỡng phĂp s,
phữỡng phĂp Runge-Kutta cõ nhiu tnh chĐt ữu viằt v ữổc sò dửng

rng rÂi. Lun vôn trnh b y v tnh n nh v tnh co ca cĂc phữỡng phĂp
0

Runge-Kutta. XuĐt phĂt t iu kiằn n nh tuyằt i jynj jyn 1j ca b i toĂn y = y,
ta m rng n khĂi niằm "tnh co" khi xt b i toĂn tuyn tnh
0

y = Ay, tip n l cĂc khĂi niằm tnh n nh B v n nh i s khi xt b i toĂn phi
tuyn. Trản cỡ s õ ta cõ th lỹa chồn ra phữỡng phĂp hu hiằu v phũ hổp nhĐt
giÊi cĂc b i toĂn nÊy sinh trong thỹc t. Ni dung lun vôn ữổc tham khÊo chnh
t t i liằu [2] v [3].

B cửc ca lun vôn bao gỗm 3 chữỡng:

Chữỡng 1: CĂc khĂi niằm cỡ bÊn
Lun vôn trnh b y cĂc khĂi niằm cỡ bÊn v phữỡng phĂp Runge-Kutta,
cĂch xƠy dỹng phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n, cũng vợi cĂc kin thức b
trổ cho Chữỡng 2 v Chữỡng 3.
Chữỡng 2: Tnh co ca b i toĂn tuyn tnh
Lun vôn trnh b y cĂc khĂi niằm v nh lỵ liản quan n tnh co khi xt b
i toĂn tuyn tnh.
Chữỡng 3: Tnh n nh B v tnh co
Lun vôn trnh b y khĂi niằm n nh B, n nh i s, n nh AN v
mi quan hằ gia cĂc khĂi niằm n nh ca cĂc phữỡng phĂp RungeKutta khi xt b i toĂn phi tuyn.
Do thới gian thỹc hiằn lun vôn khổng nhiu nản trong lun vôn khổng
trĂnh khọi nhng hn ch v sai sõt. TĂc giÊ mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ v
nhng ỵ kin phÊn biằn ca quỵ thy cổ v bn ồc.
3


B£ng kþ hi»u

A I
B (p), C ( ), D ( ) Bº i•u ki»n v• c§p ch‰nh x¡c.
C
C

n

I
K (Z)
Pk (x)
Pkj (z)
R (z)

R
n

R
S

(A)

’B (x)
’R (x)
%

T

b = (b1; :::; bs)

T

1 = (1; ::: ; 1)


4


Ch֓ng 1

C¡c kh¡i ni»m cì b£n
Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n v• c¡c ph÷ìng ph¡p RungeKutta, sü tçn t⁄i líi gi£i sŁ cıa ph÷ìng ph¡p, c¡ch x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p
Runge-Kutta 'n còng vîi c¡c ki‚n thøc bŒ træ cho Ch÷ìng 2 v Ch÷ìng 3. Nºi
dung cıa ch÷ìng n y ch¿ ph¡t bi”u c¡c kh¡i ni»m v c¡c k‚t qu£ phöc vö cho c¡c

ch÷ìng sau. Chøng minh chi ti‚t cıa c¡c k‚t qu£ trong ch÷ìng n y câ th” tham
kh£o t⁄i [2], [3] v [5].

1.1

C¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta

Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta tŒng qu¡t
Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta thuºc lîp c¡c ph÷ìng ph¡p sŁ mºt b÷îc, ÷æc ÷a
ra bði hai nh to¡n håc ng÷íi øc l Carl Runge (1856 - 1927) v Wilhelm Kutta
(1867 - 1944).
Tr÷îc h‚t ta x†t b i to¡n Cauchy cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p mºt câ d⁄ng
0

n

n

n

y = f (t; y) ; y 2 R ; f : R R ! R ; y (t0) = y0:

ành ngh¾a 1.1 (xem [5]). Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta s n§c cho h» ph÷ìng
tr…nh vi ph¥n (1.1) câ th” vi‚t d÷îi d⁄ng:
Yi = y n

yn = yn 1 + h

Trong â Y1; :::; Ys
s

s

n§c). Bº h» sŁ: fcigi =1
P
j

chån ” câ ci =
=1


5


N‚u aij = 0 vîi i j th… ph÷ìng ph¡p l ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta hi”n (ERK).
N‚u aij = 0 vîi i < j v câ ‰t nh§t mºt aii 6= 0 th… ph÷ìng ph¡p l ph÷ìng
ph¡p Runge-Kutta 'n ÷íng ch†o (DIRK).
N‚u aij = 0 vîi i < j v aii =
vîi i = 1; :::; s th… ph÷ìng ph¡p l
ph¡p 'n ÷íng ch†o ìn (SDIRK).

ph֓ng

C¡c tr÷íng hæp cÆn l⁄i gåi l ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n (IRK).
” d„ d ng h…nh dung v• ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta, Butcher ¢ ÷a bº h» sŁ
cıa ph÷ìng ph¡p v o b£ng sau:
c1
c2

.
.

.
cs

B£ng 1.1: B£ng Butcher.

V‰ dö 1.1. Mºt sŁ cæng thøc ERK cì b£n
(c) Trung i”m hi”n

(a) Euler hi”n

0
1

0
1

2

2
0

0
0

1

B£ng 1.2: Mºt sŁ cæng thøc ERK.

V‰ dö 1.2. Mºt sŁ cæng thøc IRK cì b£n

(a) Euler 'n

1

1

1

B£ng 1.3: Mºt sŁ cæng thøc IRK.


6


Sỹ tỗn ti lới giÊi s ca phữỡng phĂp
Xt cổng thức (1.2) trong trữớng hổp n = 1, nu ta t ki = f (t0 + cih; Yi) vợi
i = 1; 2; :::; s ta thu ữổc

xĂc nh lới giÊi s y1 ca phữỡng phĂp, trữợc ht ta cn xĂc nh cĂc giĂ tr ki t
hằ phữỡng trnh chứa ki cho bi (1.3). Nõi chung, Ơy l hằ phữỡng trnh phi
tuyn nản trong nhiu trữớng hổp cõ th cĂc ki tỗn ti khổng duy nhĐt. Do õ,
khổng tỗn ti lới giÊi s ca phữỡng phĂp. nh lỵ sau Ơy cho ta iu kiằn tỗn ti lới
giÊi s ca phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n (1.3).
n

n

nh lỵ 1.1 (xem [2]). Cho h m f : R R ! R l h m liản tửc v thọa mÂn iu
kiằn Lipschitz theo bin y vợi hng s L. Nu

h<

1
L max ti

P

jaijj

;

j

th lới giÊi s ca phữỡng phĂp (1.3) tỗn ti duy nhĐt vợi cĂc giĂ tr ki ữổc xĂc
nh duy nhĐt t hằ phữỡng trnh cho bi (1.3), cĂc giĂ tr n y cõ th thu ữổc
bng phữỡng phĂp lp Newton. Hỡn na, nu f(t; y) l h m khÊ vi, liản tửc tợi cĐp
p th cĂc ki (l cĂc h m theo bin h) cụng khÊ vi, liản tửc cho tợi cĐp p.

n

nh tuyằt

i v n

nh A

Bng cĂc phữỡng phĂp khĂc nhau ta cõ th tm ra nghiằm s ca phữỡng
trnh vi phƠn. Tuy nhiản, nghiằm s ta tm ữổc liằu cõ tt khổng, l m
th n o cõ th Ănh giĂ ữổc nghiằm õ. giÊi quyt vĐn n y, ta cn ch ra
nghiằm s õ phÊi cõ tnh chĐt tt cho t nhĐt mt lợp cĂc b i toĂn. Xt

phữỡng trnh vi phƠn thò
0

y = y; l hng s, 2 C; y(t0) = y0:

cĂc phn sau, khi xt phữỡng trnh thò (1.4) ta luổn giÊ sò Re ( ) 0:
Trong trữớng hổp Re ( ) 0 ta ữổc iu kiằn n nh tuyằt i l
jynj jyn 1j ; n = 1; 2; ::::

GiÊ sò y(t); ye(t) l hai lới giÊi ca (1.1). T õ ta cõ cĂc nh nghắa v sỹ n nh
v n nh tiằm cn vợi nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn( 1.1).
7


nh nghắa 1.2. Nghiằm y (t) ca phữỡng trnh vi phƠn( 1.1) gồi l n nh
nu vợi mồi " > 0, 9 > 0 sao cho jy (to) ye(to)j th
ye(t)j < " vợi mồi t

jy (t)

t0:

nh nghắa 1.3. Nghiằm y (t) ca phữỡng trnh vi phƠn( 1.1) gồi l n nh
tiằm cn nu nõ n nh v thọa mÂn iu kiằn
lim jy (t)

ye(t)j = 0:

t!+1

Nhn xt 1.1. i vợi hằ tuyn tnh, nu nghiằm tm thữớng l n nh (n nh
tiằm cn) th mồi nghiằm cụng n nh (n nh tiằm cn). Trong trữớng
hổp n y, chúng ta nõi hằ n nh (n nh tiằm cn).
Xt b i toĂn tuyn tnh
0

y = Ay ; A 2 C

m m

:

nh lỵ 1.2 (xem [5]). Nu mồi giĂ tr riảng ca ma trn A u thọa mÂn Re ( ) 0
0

v cĂc giĂ tr riảng cõ phn thỹc bng 0 u l cĂc giĂ tr riảng ỡn th hằ y = Ay l
n nh.

nh lỵ 1.3 ( iu kiằn cn v (xem [5])). Nu Re ( ) < 0 vợi mồi giĂ tr riảng ca
A th hằ n nh tiằm cn.
i n khĂi niằm v h m n
nh ca phữỡng phĂp Runge-Kutta, ta Ăp dửng phữỡng phĂp Runge-Kutta vợi
cổng thức (1.2) cho phữỡng trnh thò (1.4)
ữổc lới giÊi s
yn = R (z) yn 1 vợi z = h:
Khi õ, iu kiằn n nh tuyằt i (1.5) ữổc thọa mÂn th
jR (z)j 1:

nh nghắa 1.4. H m R (z) xĂc
nh (1.7) ữổc gồi l h m n nh ca

phữỡng phĂp Runge-Kutta. Tp S = fz 2 C : jR (z)j
1g ữổc gồi l min n
nh tuyằt i ca phữỡng phĂp Runge-Kutta.
V dử 1.3.
Phữỡng phĂp Euler hin cõ h m n nh R (z) = 1 + z.
Phữỡng phĂp Euler hin cõ min n nh tuyằt i l hnh trặn cõ bĂn k
nh bng 1, tƠm 1.
8


M»nh

• 1.1 (xem [3]). Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n s n§c vîi
s

khi ¡p döng cho ph÷ìng tr…nh thß y

0

T

trong â b = (b1
M»nh • 1.2 (xem [3]). H m Œn ành cıa (1.9) thäa m¢n

B£ng 1.4: H m Œn ành cıa mºt sŁ ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n.

Mi•n Œn ành tuy»t Łi cıa c¡c ph÷ìng ph¡p cho trong B£ng 1.4 câ th” xem
trong [3]. Tł k‚t qu£ ð tr¶n ta th§y ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n câ h m Œn

R (z) =

ành ngh¾a 1.5. Mºt ph÷ìng ph¡p m mi•n Œn ành tuy»t Łi thäa m¢n
S

C = fz 2 C : Re (z)

0g ;

th… ph÷ìng ph¡p â gåi l ph÷ìng ph¡p Œn ành A (hay A-Œn ành).
Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta vîi h m Œn ành nh÷ ð (1.12) l
ch¿ khi


v

jR (iy)j 1 vîi måi y 2 R
R (z) l gi£i t‰ch vîi Re (z) < 0:
9


XĐp x Pad ca e

z

Cho h m f (z) giÊi tch trong lƠn cn ca im 0, hai s nguyản khổng Ơm k
v j. Khi õ, ta cõ th xĐp x h m f (z) bi h m hu t
Pk (z)

f (z)

Qj (z)
k+j+1

l a thức bc k, Q l a thức bc j v sai s ca xĐp x tợi O z
.
Trong
trữớng hổp j = 0 khi õ xĐp x chnh l khai trin Taylor ca h m f (z) ti im 0.
Khi k = 0 th Q (z)/P (z) l khai trin Taylor ca h m 1/f (z).
P

Tuy nhiản, vợi h m bĐt ký v k; j bĐt ký th khổng phÊi lúc n o cụng tỗn ti
xĐp x n y. Khi xĐp x
Pkj (z)
(z) =
+ O zk+j+1

f

Qkj (z)

tỗn ti, th b s (k, j)

ữổc gồi l xĐp x Pad ca h m f.

XĐp x Pad ca h m mụ l trữớng hổp c biằt chúng ta cn nghiản cứu,
mt v i xĐp x Pad xĐp x cĂc h m hu t ca cĂc phữỡng phĂp quan trồng
nhữ phữỡng phĂp Gauss, phữỡng phĂp Radau, phữỡng phĂp Lobatto... Ta s
ch ra luổn tỗn ti xĐp x Pad cho cĂc h m n nh ca cĂc phữỡng phĂp n y
vợi k, j bĐt ký.
nh lỵ 1.4 (xem [3]). B s (k, j) l

trong õ
P

kj

Q

kj

t

khi õ

k
=1+

=1


P

10


Sao c§p ch‰nh x¡c
Kh¡i ni»m sao c§p ch‰nh x¡c ÷æc ra ÷a khi nghi¶n cøu v• t‰nh Œn ành
z

cıa x§p x¿ Pad† cıa h m e (Wanner, Hairer v Norsett 1978).

ành ngh¾a 1.6. Cho t“p hæp
z

A = fz 2 C : jR (z)j > je jg = fz 2 C : jq (z)j > 1g ;
R (z)

ð ¥y q (z) =

ez . T“p A khi â ÷æc gåi l sao c§p ch‰nh x¡c cıa R (z).

Sao c§p ch‰nh x¡c khæng so s¡nh jR (z)j vîi 1 nh÷ khi x†t t‰nh Œn ành, m
z

x

nâ so s¡nh jR (z)j vîi nghi»m ch‰nh x¡c cıa ph÷ìng tr…nh thß je j = e (z = x + iy)
v hi vång s‡ nh“n ÷æc nhi•u thæng tin hìn. Chóng ta luæn gi£ sß r‹ng c¡c
h» sŁ cıa h m R (z) l sŁ thüc v sao c§p ch‰nh x¡c Łi xøng qua tröc thüc. Hìn
z

nœa, vîi z = iy ta câ je j = 1, khi â t“p A l phƒn bò cıa mi•n Œn ành tuy»t Łi S
tr¶n tröc £o. H…nh 1.1 v H…nh 1.2 th” hi»n c¡c t“p sao c§p ch‰nh x¡c cıa
x§p x¿ Pad†.
z

Œ

• 1.1 (xem [3]). N‚u R (z) l mºt x§p x¿ c§p p cıa e , tøc l e
R (z) = Cz

p+1

+Oz

z

p+2

vîi C 6= 0 th… khi z ! 0, A câ d¡ng

i»u nh÷ mºt h…nh ngæi sao vîi p + 1 c¡nh

sao câ c¡c gâc qu†t b‹ng nhau v b‹ng

1.2

X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n

Phƒn n y s‡ • c“p ‚n lîp c¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n sð hœu t‰nh Œn
ành kh¡ tŁt. Vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p nh÷ v“y chı y‚u düa v o c¡c bº i•u
ki»n

8 B (p) :
>
> C( ):
>

>

>

>
<

>

>

D( ):


>

>

>

>

i•u

:
ki»n B (p) câ ngh¾a l cæng thøc cƒu ph÷ìng (b
cıa hai i•u ki»n cÆn l⁄i ÷æc th” hi»n ð ành lþ 1.5 (xem [2] trang 208).
11


H…nh 1.1: T“p sao c§p ch‰nh x¡c cıa x§p x¿ Pad† vîi k = 1; j = 2:

H…nh 1.2: T“p sao c§p ch‰nh x¡c cıa x§p x¿ Pad† vîi k = 2; j = 21.

ành lþ 1.5 (Butcher 1964). N‚u bº h» sŁ bi; ci; aij cıa ph÷ìng ph¡p RungeKutta thäa m¢n B (p) ; C ( ) ; D ( ) vîi p + + 1 v p 2 + 2 th… ph÷ìng
ph¡p câ c§p p.
12


CĂc phữỡng phĂp Gauss
CĂc phữỡng phĂp Gauss hay cặn gồi "cĂc phữỡng phĂp Kuntzmann-Butcher"

l cĂc phữỡng phĂp trũng khợp dỹa trản cỡ s ca cổng thức cu phữỡng
Gauss vợi cĂc hằ s c1; :::; cs l nghiằm ca a thức trỹc giao Legendre bc s

Mt s phữỡng phĂp Gauss ữổc th hiằn trong BÊng 1.5.

BÊng 1.5: CĂc phữỡng phĂp Gauss cĐp 2 v cĐp 4.

nh lỵ 1.6 (Butcher 1964, Ehle 1968). Phữỡng phĂp Gauss s nĐc cõ cĐp ch
nh xĂc p = 2s. H m n nh l xĐp x Pad (s; s) v phữỡng phĂp n nh A.
Chứng minh. Chi tit xem [2] v [3].

CĂc phữỡng phĂp Radau IA v Radau IIA
Butcher (1964) Â giợi thiằu cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta dỹa trản cỡ s ca
cĂc cổng thức cu phữỡng Radau v Lobatto. ng Đy gồi chúng theo ba loi I, II
hoc III tũy thuc v o c1; c2; :::; cs l nghiằm ca

I:
II :
III :

CĂc trồng s bi ữổc chồn cổng thức cu phữỡng thọa mÂn B (s), trong õ
B (2s 1) l cỡ s Radau, B (2s 2) l cỡ s Lobatto. Ehle (1969) Â theo ui

ỵ tững ca Butcher v xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp loi I, II v III vợi cĂc tnh chĐt
n nh vữổt tri. Mt cĂch c lp, Axelsson (1969) Â tm ra cĂc phữỡng
phĂp Radau IIA v chứng minh tnh n nh A ca chúng.


Ph÷ìng ph¡p Radau IA s n§c thuºc lo⁄i I khi c¡c h» sŁ aij (i; j = 1; :::; s) ÷æc
ành ngh¾a bði i•u ki»n D (s). ¥y l c¡ch duy nh§t bði v… c¡c ci l ph¥n bi»t
13


(a) p = 1

0

1

1

B£ng 1.6: Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p Radau IA

v bi 6= 0. B£ng 1.6 tr…nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p ƒu ti¶n câ °c i”m n y. Cæng thøc
lo⁄i II cıa Ehle thu ÷æc b‹ng c¡ch ¡p döng i•u ki»n C (s).
Theo ành lþ II.7.7 trong [2], c¡c h» sŁ cıa ph÷ìng ph¡p lo⁄i II ÷æc x¥y düng
düa tr¶n cì sð l nghi»m cıa (1.20). Ta gåi chóng l ph÷ìng ph¡p Radau IIA. Vîi
s = 1 chóng ta thu ÷æc cæng thøc Euler 'n (xem B£ng 1.3). C¡c v‰ dö v•
ph÷ìng ph¡p Radau IIA ÷æc ÷a ra trong B£ng 1.7.
(a) p = 3

1

5

3

12

3

1
4
3

4

B£ng 1.7: C¡c ph÷ìng ph¡p Radau IIA c§p 3 v c§p 5.


ành lþ 1.7. Ph÷ìng ph¡p Radau IA s n§c v ph÷ìng ph¡p Radau IIA s n§c •u
câ c§p ch‰nh x¡c p = 2s 1. H m x§p x¿ cıa chóng l x§p x¿ Pad† (s 1; s). C£
hai ph÷ìng ph¡p •u Œn ành A.
Chøng minh. Chi ti‚t xem trong [3].

C¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIA, IIIB v IIIC
Vîi t§t c£ c¡c cæng thøc lo⁄i III th… ci l nghi»m cıa

a thøc cho bði (1.21)

v c¡c trång sŁ bi thäa m¢n B (2s 2). C¡c h» sŁ aij ÷æc ành ngh¾a bði C (s)
cho ta c¡c cæng thøc Lobatto IIIA. Do â nâ l mºt ph÷ìng ph¡p tròng khîp. Vîi
c¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIB chóng ta ¡p döng D (s). CuŁi còng, ” câ cæng

thøc Lobatto IIIC chóng ta °t
ai1 = b1

i = 1; 2; :::; s
14


v x¡c ành c¡c aij cÆn l⁄i bði C (s 1). Ehle (1969) ¢ giîi thi»u hai lîp ph÷ìng ph¡p
ƒu ti¶n, v tr…nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p IIIC vîi s 3. ành ngh¾a chung cıa c¡c
ph÷ìng ph¡p IIIC ÷æc ÷a ra bði Chipman (1971) v Axelsson (1972). C¡c v‰
dö ÷æc ÷a ra ð c¡c B£ng 1.8 - 1.10.
ành lþ 1.8. C¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIA, IIIB v IIIC câ c§p ch‰nh x¡c p =
2s 2. H m Œn ành cıa c¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIA v Lobatto IIIB l
x§p x¿ Pad† (s 1; s 1). Vîi c¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIC, h m Œn ành l x§p
x¿ Pad† (s 2; s). V t§t c£ chóng •u Œn ành A.
Chøng minh. Chi ti‚t xem Phƒn IV.5 trong [3].

(a) p = 2

0

0
1

1
2
1

2

B£ng 1.8: C¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIA c§p 2 v c§p 4.

0

1

B£ng 1.9: C¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIB c§p 2 v c§p 4.

0


1

B£ng 1.10: C¡c ph÷ìng ph¡p Lobatto IIIC c§p 2 v c§p 4.

Tâm t›t v• vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n ÷æc th” hi»n
trong B£ng 1.11.
15