Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THẾ TUẤN

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT
HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT XÚC
TÁC - ỨC CHẾ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2011


Möc löc
1 Ki‚n thøc chu'n bà
1.1 Khæng gian c¡c h m nh“n gi¡ trà trong
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.2 To¡n tß tuy‚n t‰nh . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.3 Nºi suy khæng gian Banach . . . . . . .

1.4 Khæng gian v c¡c to¡n tß li¶n hæp . .
1.4.1
1.4.2
1.4.3

1.5 Ngo⁄i suy khæng gian Banach . . . . . .

1.6 To¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n k‚t vîi d⁄ng tüa t
1.6.1
1.6.2

1.7 Khæng gian Sobolev-Lebesgue . . . . .
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5

i


1.7.6
1.7.7
1.7.8
2 To¡n tß qu⁄t, h m mô v to¡n tß lôy thła
2.1 To¡n tß qu⁄t v v i t‰nh ch§t cì b£n . .
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4

2.2 H m mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
2.2.2

2.3 To¡n tß lôy thła . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
2.3.2
2.3.3
3 Sü tçn t⁄i nghi»m cıa mºt h» ph£n øng c¡c ch§t Xóc t¡c-Ùc ch‚

3.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Nghi»m àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Nghi»m àa ph÷ìng khæng ¥m . . . . . .
3.4 Nghi»m to n cöc . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
T i li»u tham kh£o

ii


Lới m

u

Mt trong nhng cĂch tip cn hằ thng nghiản cứu cĂc phữỡng trnh, hằ phữỡng

trnh vi phƠn vợi bin thới gian l lỵ thuyt nòa nhõm. Lỵ thuyt n y dỹa trản nhng
kt quÊ v nòa nhõm giÊi tch ữổc phĂt trin v o nhng nôm 50 ca th k trữợc.
im
ni bt trong cĂch tip cn n y l cho cổng thức tng quĂt biu din nghiằm. Chflng
tA
hn, nòa nhõm giÊi tch e sinh bi toĂn tò tuyn tnh A l mt nghiằm cỡ bÊn ca
B i toĂn Cauchy i vợi phữỡng trnh tin hõa tuyn tnh ổ-tổ-nổm,

dU
dt + AU = F

(t); 0 < t T ; U(0) = U0 v nghiằm tng quĂt ca nõ ữổc cho bi cổng thức
tA
U(t) = e U0

i vợi phữỡng

cụng l mt nghiằm ca phữỡng trnh tch phƠn U(t) = e tAU0 +

R
Nhng cổng thức nghiằm nhữ th cung cĐp cho ta nhiu thổng tin quan trồng v
cĂc nghiằm nhữ tnh duy nhĐt, tnh chnh quy ti i, tnh trỡn ...v.v. c biằt i vợi
cĂc b i toĂn phi tuyn, ta cõ th suy ra tnh liản tửc Lipchitz hoc thm tr o h m
Frechet ca nghiằm theo giĂ tr ban u. T õ xƠy dỹng ữổc hằ ng lỹc xĂc nh bi B
i toĂn Cauchy; nghiản cứu ữổc dĂng iằu tiằm cn ca nghiằm; ch ra sỹ tỗn ti ca
tp hút; nghiản cứu ữổc tnh n nh hoc khổng n nh ca nghiằm dng; xƠy
dỹng ữổc a tp trỡn n nh hoc khổng n nh ...v.v. thm tr bng phữỡng phĂp
giÊi gn úng ta cõ th thu ữổc lới giÊi s ca nghiằm.

Lun vôn n y sò dửng lỵ thuyt nòa nhõm giÊi tch chứng minh tnh tỗn ti
nghiằm ca mt hằ phÊn ứng cĂc chĐt Xúc tĂc-c ch. Chúng tổi chia lun vôn ra l
m ba chữỡng.
Chữỡng 1 nõi v mt s khổng gian h m nhn giĂ tr trong mt khổng gian
Banach, nhng nt khĂi quĂt nhĐt v cĂc khổng gian Sobolev, v toĂn tò tuyn t
nh, khổng gian liản hổp v toĂn tò liản hổp. Chúng tổi cụng giợi thiằu Ơy khĂi
niằm v mt s tnh chĐt ni suy, ngoi suy ca mt khổng gian Banach.
Chữỡng 2 gi nh nõi v toĂn tò qut, h m mụ v toĂn tò lụy tha. Chúng tổi cp n
Ơy khĂi niằm toĂn tò qut liản kt vợi mt dng tỹa tuyn tnh v nghiản cứu tnh
chĐt chuyn ca toĂn tò n y trong L2. Ngo i ra sỹ tỗn ti nghiằm ca B i toĂn Cauchy i
vợi phữỡng trnh tin hõa tuyn tnh, nòa tuyn tnh cụng ữổc phĂt biu.
Chữỡng 3 trnh b y nhng kt quÊ nghiản cứu mợi v sỹ tỗn ti nghiằm to n cửc
ca mt hằ phÊn ứng cĂc chĐt Xúc tĂc-c ch. Bng cĂch sò dửng lỵ thuyt nòa nhõm
giÊi tch, chúng tổi  chứng minh ữổc sỹ tỗn ti nghiằm to n cửc ca hằ phÊn ứng


iv


cĂc chĐt Xúc tĂc-c ch trong mt trữớng hổp riảng.
Do thới gian v nông lỹc cõ hn, mt s im trnh b y trong lun vôn cõ th cặn
thiu xõt. TĂc giÊ mong mun nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca cĂc thy, cĂc cổ cụng nhữ ca
cĂc bn ỗng nghiằp.
H ni, thĂng 04 nôm 2011
Ho ng Th TuĐn

v


Ch֓ng 1

Ki‚n thøc chu'n bà
1.1

Khæng gian c¡c h m nh“n gi¡ trà trong mºt khæng
gian Banach

Cho X l mºt khæng gian Banach vîi chu'n jj : jj. Ta s‡ giîi thi»u mºt sŁ khæng
gian c¡c h m nh“n gi¡ trà trong X; x¡c ành tr¶n mºt kho£ng cıa R ho°c mºt mi•n cıa
C:

Khæng gian c¡c h m bà ch°n

•u

Cho [a; b] l mºt o⁄n trong R: X†t khæng gian c¡c h m bà ch°n •u tr¶n [a; b], k‰
hi»u l B([a; b]; X): Tr¶n B([a; b]; X) ta

÷a v o chu'n supremum

kF k = sup kF (t)k:
a t b

Vîi chu'n n y B([a; b]; X) l mºt khæng gian Banach.

1.1.1

Khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc

Cho [a; b] l mºt

o⁄n trong R v m = 0; 1; 2; ::: l

sŁ nguy¶n khæng ¥m. K‰ hi»u

m

C ([a; b]; X) l khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc ‚n c§p m tr¶n [a; b]: Khi m = 0;
0

C ([a; b]; X) l khæng gian c¡c h m li¶n töc v th÷íng ÷æc k‰ hi»u mºt c¡ch ìn gi£n
m

l C([a; b]; X): Tr¶n C ([a; b]; X) ta sß döng chu'n sau
m
X

kF kCm =

(i)

max jjF (t)jj:

i=0

a t b

m

Vîi chu'n n y C ([a; b]; X) l mºt khæng gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau ¥y l hai
k‚t qu£ cì b£n.

1


ành lþ 1.1.1. Cho A l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh âng trong X: N‚u F 2 C([a; b]; X) v AF
2 C([a; b]; X), th…
A

Zb

F (t)dt =

Zb

a

AF (t)dt:

a

Chøng minh. X†t mºt ph¥n ho⁄ch

o⁄n [a; b] bði c¡c

i”m mŁc a = t0 < t1 < ::: <

tN = b v

l§y tŒng

Rª r ng

Cho N ! 1 vîi i•u ki»n max1

n N

(tn

A ab F (t)dt =

R
ành lþ
1
C ((0; T ]; R) v

1.1.2. Cho a

th…

Z

t

Nâi ri¶ng, n‚u a(t)> 0 v f(t) f > 0 th…
Chøng minh. Vîi mØi t cŁ ành, ta câ

d

d
L§y t‰ch ph¥n hai v‚ cıa b§t flng thøc n y theo s tr¶n o⁄n [0; t], ta thu

Zt
Rt

u(t)

u(0)e

s

0

Tł (1.1) chóng ta câ
u(t)

Nâi ri¶ng, n‚u a(t)

Rt

a( )d

Z
e

R

0

t

a( )d

u(0) +

e

s

t

a( )d

> 0 th…
t

u(t) e u(0) +
Th¶m v o â, n‚u f(t) f > 0 th…
t

u(t) e u(0) + f

s

a( )d

ds:

t

R

0

Z

f(s)e

t

f(s)ds; 0 < t T:

־c


2


1.1.2

Khæng gian c¡c h m li¶n töc Holder

Vîi m = 0; 1; 2; ::: v mºt sŁ mô

2 (0; 1); k‰ hi»u C

m+

([a; b]; X) l khæng gian

c¡c h m kh£ vi li¶n töc m lƒn, câ ⁄o h m c§p m li¶n töc Holder tr¶n [a; b] vîi sŁ mô :
m+

Tr¶n C

([a; b]; X) ta ÷a v o chu'n

Vîi chu'n n y, C

m+

k
([a; b]; X) l

m;1

Khi = 1; gåi C ([a; b]; X) l t“p t§t c£ c¡c h m kh£ vi li¶n töc tîi c§p m, câ ⁄o h m
c§p m li¶n töc Lipchitz tr¶n [a; b]. Tr¶n lîp h m n y ta ÷a v o chu'n sau

k

F

T÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hæp tr¶n, vîi chu'n vła ch¿ ra C
gian Banach (xem [1, Tr. 10]).

1.1.3

m;1

kC
m;1

([a; b]; X) l mºt khæng

Khæng gian c¡c h m li¶n töc Holder câ trång

;
Cho hai sŁ mô 0 < < 1; k‰ hi»u F ((a; b]; X) töc l khæng gian c¡c h m li¶n
tr¶n (a; b] (t÷ìng øng tr¶n [a; b]) khi 0 < < 1 (t÷ìng ch§t øng khi = 1) vîi c¡c t‰nh
sau

1. Khi < 1, (t
2. F li¶n töc Holder vîi sŁ mô v
sup
a s
3. Khi t ! a,

Tr¶n F

;

((a; b]; X) ta ÷a v o chu'n

k
;

F

Khi â F ((a; b]; X) trð th nh mºt khæng gian Banach (xem [14, Tr. 5]).

kF

=


3


1.1.4

Khổng gian cĂc h m giÊi tch

Cho D l mt min trong mt phflng phức C. Mt h m f( ) xĂc nh trản D, nhn
giĂ tr trong X ữổc gồi l giÊi tch trong D nu f khai trin ữổc th nh chuỉi Taylor ti
mồi im trong D. TĐt cÊ cĂc tnh chĐt ca cĂc h m giÊi tch phức thổng thữớng u
cõ th ữổc m rng cho h m giÊi tch nhn giĂ tr trong X: Chflng hn ta cõ cổng
thức Tch phƠn Cauchy
1

Z

f( ) d

f( ) = 2 i

C

hoc trỡn tng khúc bao quanh

1.2

trong D:

ToĂn tò tuyn tnh

ToĂn tò tuyn tnh b chn
Cho X; Y l cĂc khổng gian Banach vợi cĂc chu'n tữỡng ứng l jj : jj X ; jj : jjY :
Khổng gian cĂc toĂn tò tuyn tnh t X v o Y ữổc k hiằu bi L(X; Y ): Khổng
gian L(X; Y ) ữổc trang b chu'n
kAkL(X;Y ) = sup kAUkY :
kUkX 1

Vợi chu'n n y, L(X; Y ) l mt khổng gian Banach. Khi X = Y; L(X; Y ) ữổc vit gồn l
L(X): Kt quÊ sau Ơy ữổc gồi l nh lỵ b chn u.
nh lỵ 1.2.1 ([15], Tr. 69). GiÊ sò X v Y l cĂc khổng gian Banach. Cho fA g
mt hồ cĂc toĂn tò b chn t X v o Y vợi tp ch s I: Nu sup

2I

2I

l

kA UkY < 1 vợi mồi U

2 X, th sup 2I kA kL(X; Y ) < 1:
D thĐy rng vợi mỉi U 2 X; phim h m p U (:) xĂc nh bi pU (A) = kAUkY ; A 2
L(X; Y ) l mt nòa chu'n trản L(X; Y ): Rê r ng hồ cĂc nòa chu'n p U (:); U 2 X thọa m
Ân tnh chĐt tĂch, tức l pU (A) = 0 vợi mồi pU ko theo A = 0: Cho trữợc mt s tỹ
nhiản n khĂc 0, xt n phn tò bĐt k trong X m ta k hiằu l U 1; :::; Un v mt b n

s thỹc dữỡng nhọ tũy ỵ 1; :::; n. Ta nh nghắa mt lƠn cn ca toĂn tò 0 trong L(X; Y
) l tp U cõ dng
U

= fA 2 L(X; Y ) : pUi (A) < i; i = 1; :::; ng:

Trữớng hổp A 2 L(X; Y ) l toĂn tò bĐt k, lƠn cn ca A l tp cõ dng A + U. Trản L(X;
Y ) ta nh nghắa mt tổ-pổ nhữ sau. Mt tp ữổc gồi l m trong L(X; Y ) khi v ch
khi nõ chứa lƠn cn ca mồi im nm trong nõ. Vợi tổ-pổ n y, L(X; Y ) tr th nh mt
khổng gian tổ-pổ tuyn tnh, lỗi a phữỡng (xem [15, Tr. 26]). Khổng gian
4


tổ-pổ n y ữổc k hiằu l
Ls(X; Y ):
Ơy l
tổ-pổ mnh trản L(X; Y ): Trong khi

õ,

tổ-pổ xĂc nh bi chu'n toĂn tò ữổc gồi l tổ-pổ u trản L(X; Y ): Chú ỵ, theo nh
lỵ 1.2.1 va phĂt biu Ls(X; Y ) l khổng gian

.

Xt mt dÂy fAng trong L(X; Y ): Ta nõi rng fAng hi tử mnh tợi mt toĂn tò b
chn A nu An hi tử tợi A theo tổ-pổ mnh, tức l AnU ! AU trong Y vợi mồi U 2 X: Mt
d

cĂch tữỡng tỹ, xt h m A(!) xĂc nh trản tp R (d l mt s nguyản dữỡng) v nhn

giĂ tr trong L(X; Y ): Ta nõi A(!) liản tửc mnh ti ! 0 2 nu A(!) liản tửc ti !0 theo tổ-pổ
mnh, nõi cĂch khĂc A(!) liản tửc mnh ti !0 khi ch khi A(!)U ! A(!0)U trong Y khi ! ! !0
vợi mồi U 2 X:

1.2.1

Hn ch ca toĂn tò tuyn tnh

Cho X l mt khổng gian Banach v cho A l mt toĂn tò tuyn tnh t X v o chnh
nõ. Min xĂc nh ca A s ữổc k hiằu l D(A) cặn min giĂ tr ca nõ ữổc k hiằu
bi R(A): Cho Y l mt khổng gian con ca X. ToĂn tò AjY xĂc nh trản D(AjY ) = fU 2
D(A) \ Y : AU 2 Y g bng cổng thức A jY U = AU ữổc gồi l Hn ch ca A trong Y .
D d ng kim tra rng AjY l mt toĂn tò tuyn tnh t Y v o Y . Khi D(A) Y; D(A jY ) = fU
2 D(A) : AU 2 Y g.

1.2.2

Tp giÊi thức, tp ph v Tch phƠn Dunford

Cho A l mt toĂn tò tuyn tnh õng, xĂc nh trũ mt trong khổng gian Banach X:
Tp (A) chứa cĂc s phức sao cho ( A) cõ toĂn tò ngữổc ( A)
giÊi thức ca A: Ta bit rng (A) l tp m trong C cặn ( A)

1

1

2 L(X) ữổc gồi l tp

l

mt h m giÊi tch xĂc nh trản (A), nhn giĂ tr trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). V
vy vợi mỉi 0 2 (A) ta cõ
X

1

(

A) =

1

n
0) ( 0

n

n=0

( 1) (

A)

(n+1)

;j

0j

< k( 0

1

1

A) k :

(1.2)

Phn bũ ca (A) trong C, k hiằu l (A), ữổc gồi l ph ca A. Chú ỵ ph ca A c
lp vợi cĂch chồn chu'n trản X (xem [14, Tr. 10]). Ngo i ra, d thĐy rng
(

A)

1

(

1

A) =

(

1

)(

A) (

1

A) ;

;

2 (A):

(1.3)

GiÊ sò A l mt toĂn tò tuyn tnh b chn trong X v (A) l ph ca nõ. LĐy f( ) l
mt h m giÊi tch trong min ỡn liản D chứa (A) v t
Z
1

5


Ơy C l ữớng cong Jordan trỡn, hoc trỡn tng khúc nm trong D bao quanh (A): T
ch phƠn n y xĂc nh trong L(X); khổng phử thuc v o cĂch chồn ữớng cong
Jordan C. Ngữới ta gồi nõ l Tch phƠn Dunford. Trong khi õ toĂn tò f(A) ữổc gồi l T
ch phƠn h m liản kt vợi f( ):

1.2.3

Nòa nhõm liản tửc mnh

nh nghắa 1.2.1. Cho X l mt khổng gian Banach. Mt hồ fT (t)g t 0 cĂc toĂn tò b

chn trong X ữổc gồi l mt nòa nhõm liản tửc mnh hoc C 0-nòa nhõm nu cĂc tnh
chĐt sau ữổc thọa mÂn
1. T (t + s) = T (t)T (s);
2. T(0) = I;
3. Vợi mỉi x 2 X, Ănh x: [0; 1) 3 t 7!T (t)x 2 X liản tửc theo t.
nh nghắa 1.2.2. Cho fT (t)gt 0 l mt nòa nhõm liản tửc mnh cĂc toĂn tò b chn
trản khổng gian Banach X. ToĂn tò A nh nghắa bi
Ax = lim
h!0

+

ữổc gồi l toĂn tò sinh ca nòa nhõm fT (t)gt 0. Min xĂc nh D(A) ca A l tp tĐt cÊ
cĂc x 2 X sao cho giợi hn trong v phÊi ca flng thức va nảu tỗn ti.
Sau Ơy ta phĂt biu mt

nh lỵ quan trồng trong lỵ thuyt toĂn tò tuyn tnh.

nh lỵ 1.2.2. (Lumer-Phillips) GiÊ sò H l mt khổng gian Hilbert vợi tch trong h:;
:i. Cho A l mt toĂn tò tuyn tnh trong H thọa mÂn cĂc iu kiằn sau
1. D(A) trũ mt trong X;
2. Tỗn ti mt s thỹc ! sao cho Re hx; Axi !hx; xi vợi mồi x 2 D(A);
3. Tỗn ti s thỹc

0>

! sao cho A

0I
tA

l toĂn Ănh.

Khi õ A sinh ra nòa nhõm liản tửc mnh fe gt

0

Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407].

6

tA

v ke k

!t

e :


1.2.4

Nòa nhõm giÊi tch

Cho X l khổng gian Banach. Mt h m U(z) nhn giĂ tr trong L(X); xĂc nh trản
min qut
= fz 2 C : j arg zj < g; 0 < < 2
ữổc gồi l mt nòa nhõm giÊi tch trản X nu nõ thọa mÂn
1. U(z) l mt h m giÊi tch trong ;
0

0

0

2. U(z) thọa mÂn tnh chĐt nòa nhõm U(z + z ) = U(z)U(z ) vợi mồi z; z 2 ;
3.

0

0

Vợi bĐt k sao cho 0 < < , U(z) hi tử mnh tợi toĂn tò 1 trong X

khi 0 n f0g 3 z ! 0.
Do tnh chĐt thứ ba trản, ta nh nghắa ữổc U(0) = 1: V nòa nhõm giÊi tch
U(z) trong cõ th m rng ữổc lản mt min qut rng hỡn (cõ gõc lợn hỡn), nản mt
cĂch tỹ nhiản ta xt supremum tp tĐt cÊ cĂc gõc ca nhng hnh qut m U(z) cõ
th m rng lản ữổc. Ta gồi giĂ tr n y l gõc ca nòa nhõm U(z) v k hiằu nõ l

U

.

Xt toĂn tò tuyn tnh A õng, xĂc nh trũ mt trong X, cõ ph (A) thọa mÂn

(A)+ !;
Ngo i ra, giÊ sò thảm rng tỗn ti hng s M!

1 sao cho

1

k( A) k
Ta cõ nh lỵ sau.
nh lỵ 1.2.3. Cho A l
v (1.5). Khi õ, e
lữổng

zA

toĂn tò õng, xĂc nh trũ mt trong X; thọa mÂn (1.4) mt
nòa nhõm giÊi tch xĂc nh trong

l

zA

vợi cĂc hng s

( + )jzj

ke k C e
; z2 ;0< <
>0v C
1 ch phử thuc v o .

Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119].

2

!,

thọa mÂn ữợc


7


1.3

Ni suy khổng gian Banach

Vợi X0, X1 l

hai khổng gian Banach vợi cĂc chu'n tữỡng ứng l

k : kX0 , k : kX1 :

GiÊ sò X1 ữổc nhúng trũ mt v liản tửc v o X0: Cho S l dÊi
S = fz : 0 < Rez < 1g
trong mt phflng phức C: Ta k hiằu H(X0; X1) l khổng gian tĐt cÊ cĂc h m giÊi t
ch nhữ sau
1. F (z) l mt h m giÊi tch trong S, nhn giĂ tr trong X 0;
2. F (z) l mt h m b chn, liản tửc trong S, nhn giĂ tr trong X 0;
3. F (z) l mt h m b chn, liản tửc theo bin z = 1 + iy, nhn giĂ tr trong X 1:
Trản H(X0; X1) ta

ữa v o chu'n

k

Vợi chu'n n y H(X0; X1) l
Cho l mt s khổng Ơm thọa mÂn 0 1, ta nh nghắa khổng gian [X 0; X1] nhữ
sau
[X0; X1] = fU 2 X0 : tỗn ti h m F 2 H(X0; X1) sao cho U = F ( )g:
Trản [X0; X1] ta

ữa v o chu'n
U

k

Khi õ [X0; X1] l mt khổng gian Banach v ữổc gồi l Khổng gian ni suy t X 1, X0
(xem [13, nh lỵ 1.9.2]). Sau Ơy l v i tnh chĐt cỡ bÊn ca cĂc Khổng gian ni suy,
chứng minh chi tit xem [13, nh lỵ 1.9.3].
1. [X0; X1]0 = X0 v [X0; X1]1 = X1;
2. Vợi 0

< < 1; X1

3. Vợi 0

< < 1; bĐt flng thức jjUjj jjU

4. Vợi 0

< e 1; [X0; X1]e [X0; X1] , ph
8

[X0; X1] X0, cĂc


1.4

Khổng gian v cĂc toĂn tò liản hổp

1.4.1

Khổng gian

i ngÔu

Cho X l mt khổng gian Banach vợi chu'n k : k. Coi C nhữ mt khổng gian
Banach vợi chu'n thổng thữớng, xt khổng gian Banach L(X; C) vợi chu'n
jj jj = sup j (F )j;

2 L(X; C):

kF k 1

0

Ta thữớng k hiằu khổng gian n y l X v gồi nõ l khổng gian i ngÔu ca X: Mỉi
0

toĂn tò tuyn tnh trong X ữổc gồi l mt phim h m tuyn tnh trản X: Tuy nhiản
0

thun tiằn thay v xt php nhƠn vổ hữợng thổng thữớng, trản X ta s xt php

nhƠn vổ hữợng sau
(

)(F ) =

(F ) vợi mồi

2 C;

0

2 X ; F 2 X:

0

V X l mt khổng gian Banach, ta cõ th xt khổng gian i ngÔu X
õ toĂn tò t X v o X

00

00

0

ca X . Khi

xĂc nh bi

( F)( )=

(F);

F 2X;

0

2X :

00

00

l mt Ănh x tuyn tnh bÊo to n chu'n t X v o X . Khi l to n Ănh, tức l (X) = X ; X
ữổc gồi l khổng gian Banach phÊn x. Kt quÊ sau Ơy l mt hằ quÊ ca nh lỵ
Hahn-Banach m rng. Nõ ữổc sò dửng xƠy dỹng khổng gian liản hổp ca X:
Chứng minh chi tit cõ trong [15, Tr 108].
nh lỵ 1.4.1. GiÊ sò X l mt khổng gian Banach. Khi õ vợi mồi F 2 X, F 6= 0 tỗn ti
0

mt phim h m 2 X sao cho (F ) = kF k v jj jj = 1.

1.4.2

Khổng gian liản hổp

GiÊ sò X v Y l cĂc khổng gian Banach vợi cĂc chu'n tữỡng ứng l k : k X ; k : kY :
Mt h m nhn giĂ tr phức h:; :i X Y xĂc nh trản khổng gian tch X Y ữổc gồi l mt
dng tỹa tuyn tnh nu nõ thọa mÂn
(
+ hFe ; GiX Y ; ; 2 C; F; Fe 2 X; G 2 Y;

h F + Fe ; GiX Y = hF; GiX Y hF;
+ F; Ge X Y ; ;
C; F X; G; Ge Y:
G + GeiX Y = hF; GiX Y
h

Dng tỹa tuyn tnh h:; :iX
1. jhF; GiX

Y

j

Y

ny

i

2

2

2

ữổc gồi l mt tch i ngÔu nu nõ thọa mÂn

kF kX kGkY ; F 2 X; G 2 Y ;
9

2. kF kX = supkGkY

1

jhF; GiX

Y

j; F 2 X;

3. kGkY = supkF kX

1

jhF; GiX

Y

j; G 2 Y:

Khi cõ tch i ngÔu h:; :iX
X vợi tch i ngÔu h:; :iX

Y

Y

gia X v Y; th Y ữổc gồi l khổng gian liản hổp ca

v

hổp ca X vợi tch i ngÔu h:; :iX

i ngÔu h:; :iY

1.4.3

X

ữổc kỵ hiằu l X : D thĐy nu Y l khổng gian liản
Y

th X cụng l khổng gian liản hổp ca Y vợi tch

:

ToĂn tò liản hổp

Cho fX; X g (tữỡng ứng fY; Y g) l mt cp khổng gian Banach liản hổp vợi tch
i ngÔu h:; :iX X (tữỡng ứng h:; :iY Y ). GiÊ sò A l mt toĂn tò tuyn tnh xĂc nh trũ
mt t khổng gian con D(A) X v o Y . LĐy mt toĂn tò A xĂc nh trong
D(A )
Y v nhn giĂ tr trong X nhữ sau. Mt vctỡ
2 Y nm trong D(A )
khi v ch khi tỗn ti mt vctỡ
2 X sao cho hAU; iY Y = hU; iX X vợi mồi
U
2 D(A). V D(A) trũ mt trong X nản nhữ vy ữổc chồn mt cĂch duy
nhĐt.

Vợi mỉi 2 D(A ); chúng ta
h

D d ng kim tra ữổc rng D(A ) l
mt toĂn tò tuyn tnh. ToĂn tò A n y ữổc gồi l liản hổp ca A i vợi cĂc cp liản hổp
fX; X g v fY; Y g: Nu A b chn th A cụng b chn, hỡn na kAk = kA k. Ngo i ra
nu X v Y l cĂc khổng gian Banach phÊn x, ta cõ nh lỵ sau.
nh lỵ 1.4.2 ([14], Tr. 21). GiÊ sò X, Y l cĂc khổng gian Banach phÊn x v cĂc
cp liản hổp fX; X g, fY; Y g. Nu A l
mt toĂn tò tuyn tnh liản tửc t X v o
Y , th A l mt toĂn tò tuyn tnh liản tửc t Y
v o X . Hỡn na kA k = kAk v
A =A:
Trong trữớng hổp X = Y , X = Y v cp liản hổp l fX; X g vợi tch i ngÔu h:; :i, ta
cõ kt quÊ sau.
nh lỵ 1.4.3 ([14], Tr. 21-22). Cho X l mt khổng gian Banach phÊn x v fX; X g
l mt cp liản hổp. Nu A l mt toĂn tò tuyn tnh õng, xĂc nh trũ mt trản X, th
A cụng l mt toĂn tò tuyn tnh õng, xĂc nh trũ mt trản X . Hỡn na A v
A thọa mÂn cĂc tnh chĐt sau
1. A =A;
10


2. 2 (A ) khi v ch khi 2 (A);
3. Nu
Chú ỵ khi A = A, A ữổc gồi l

1.5

Ngoi suy khổng gian Banach

Xt hai khổng gian Hilbert Z v X vợi cĂc tch trong ((:; :)), (:; :) v cĂc chu'n tữỡng
ứng k : k, j : j. GiÊ sò rng Z ữổc nhúng trũ mt, liản tửc v o X. Kt quÊ trong [14, Tr.
23] ch ra sỹ tỗn ti duy nhĐt ca mt khổng gian Banach, k hiằu l Z , thọa mÂn
cĂc iu kiằn sau
1. Z X Z vợi cĂc php nhúng trũ mt v liản tửc;
2. fZ; Z g to th nh mt cp liản hổp vợi tch i ngÔu h:; :i;
3. Tch i ngÔu h:; :i thọa mÂn
hU; F i = (U; F ) vợi mồi U 2 Z; F 2 X:
Ta gồi khổng gian Z n y l Khổng gian ngoi suy t Z X v b ba khổng gian Z X Z l
mt B ba. Theo nh nghắa ca tch i ngÔu, tch trong h:; :i phÊi thọa mÂn

jhU; ij kUkk k ; U 2 Z; 2 Z ;

Ơy k : k l chu'n trản Z . Ngo i ra, ta cụng thĐy rng vợi U; V 2 Z
hU; V iZ

Z

= hV; UiZ

Z

= (V; U) = (U; V ) = hU; V iZ

Z

;

tức l

hU; V iZ Z = (U; V ) = hU; V iZ Z ; U; V 2 Z:
Liản quan n tnh chĐt ngoi suy ca khổng gian Hilbert, ta cõ nh lỵ sau.
nh lỵ 1.5.1. Cho Z X Z l mt B ba khổng gian. Nu A l
liản hổp b chn trản X v l mt toĂn tò tuyn tnh b chn trản Z, th A m rng
ữổc trản Z th nh mt toĂn tò tuyn tnh b chn vợi ữợc lữổng kAk L(Z ) kAkL(Z).
11


Chứng minh. Vợi F 2 X bĐt k, ta cõ
kAF k = sup jhU; AF ij = sup j(U; AF )j = sup j(AU; F )j
kUk 1

kUk 1

kAkL(Z)kF k :

kUk 1

V X trũ mt trong Z , A ữổc m rng mt cĂch duy nhĐt lản Z th nh mt toĂn tò b
chn.

1.6
1.6.1

ToĂn tò tuyn tnh liản kt vợi dng tỹa tuyn tnh
Dng tỹa tuyn tnh v toĂn tò liản kt

Cho Z

X

Z l mt B ba. Theo nh nghắa fZ; Z g l mt cp liản hổp. Trong

mửc n y ta sò dửng tch i ngÔu h:; :iZ Z thay v h:; :iZ
h:; :iZ Z . Xt dng tỹa tuyn tnh a(U; V ) trản Z
Z.
Nu vợi mồi U; V 2 Z, tỗn ti hng s dữỡng M sao cho
ja(U; V )j

Z

, tĐt nhiản h:; :iZ Z =

M kUk kV k;

(1.8)

th a(U; V )ữổc gồi l mt dng liản tửc. Rê r ng (1.8) suy ra a(Un; Vn) ! a(U; V )
nu Un ! U v Vn ! V ỗng thới trong Z: GiÊ sò a(U; V ) l mt dng liản tửc trản
Z: Vợi mỉi U 2 Z, a(U; :) l
ta tm ữổc duy nhĐt 2 Z sao cho
Z a(U; V ) =

2
toĂn tò tuyn tnh t Z v o Z : Tữỡng ứng n y ữổc gồi l toĂn tò liản kt vợi dng a(U;
V ). Nõ thọa mÂn
a(U; V ) = hAU; V i; U; V 2 Z:

(1.9)

D thĐy A l mt toĂn tò tuyn tnh b chn thọa mÂn ữợc lữổng
kAUk = sup jhAU; V ij

MkUk;

U 2 Z:

kV k 1

Nu vợi mồi U 2 Z, tỗn ti hng s dữỡng
Re a(U; U)

sao cho
2

kUk ;

(1.10)

th a(U; V ) ữổc gồi l mt dng bức. Hin nhiản t (1.10) suy ra rng nu a(U; U) = 0
th U = 0:
Sau Ơy ta phĂt biu nh lỵ Lax-Milgram. Chứng minh chi tit nh lỵ n y cõ trong
[15, Tr. 92].
12


nh lỵ 1.6.1. Cho a(U; V ) l mt dng liản tửc v bức trản Z. Khi õ vợi bĐt k
0

2 Z , tỗn ti duy nhĐt phn tò V 2 Z sao cho

(U) = a(U; V ) vợi mồi U 2 Z:

Sò dửng nh lỵ Lax-Milgram ta chứng minh ữổc rng toĂn tò liản kt A l mt flng
cĐu t Z tợi Z :
nh lỵ 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U; V ) l
A

(1.10). Gồi
vợi Ănh giĂ kUk kAUk MkUk: Ngo i ra, A l
nh trũ mt trong Z :
Cui cũng ta nõi v Hn ch ca A ln lữổt trản X v
D(A) X, Hn ch ca toĂn tò A trong X ữổc cho bi
(

D(AjX ) = fU 2 Z; AU 2 Xg;
AjX U = AU:
T nh nghắa ca Khổng gian ngoi suy, ta thĐy rng nu U 2 D(A jX ) th a(U; V )
liản tửc theo V i vợi chu'n trong X: Hỡn na, nu U 2 D(A jX ) th a(U; V ) = (A jX U;
V ) vợi mồi V 2 Z: Mt cĂch tữỡng tỹ, v Z = D(A); Hn ch ca A trong Z ữổc cho bi
(

D(AjZ ) = fU 2 Z; AU 2 Zg;
AjZ U = AU:
T (1.7), ta thĐy rng nu U 2 D(AjZ ) th a(U; V ) liản tửc theo V
Z : Hỡn na khi U 2 D(AjZ ), ta cõ a(U; V ) = hU; V iZ

Z

i vợi chu'n trong

vợi mồi V 2 Z:

1.6.2 Dng liản hổp v toĂn tò liản hổp
Khi a(U; V ) l
ca toĂn tò liản kt A i vợi dng n y l cĂc toĂn tò õng, xĂc nh trũ mt tữỡng
ứng trong X v Z. Tht vy, xt dng tỹa tuyn tnh a (U; V ) nhữ sau

Ta gồi a (U; V ) l
trản Z: Ga sò
dữợi cĂc GiÊ thit (1.8) v (1.10), B l
trong Z
hAU; V i = a(U; V ) = hU; BV i vợi mồi U; V

v thọa mÂn a(U; V ) = a (V;
B

ca

liản hổp
13


hU; V iZ Z
nh nghắa

= hU ; BV i vợ

li,

=B

U

U
1.6.3. Cho

nh lỵ

e

kiằn (1.8) v
trũ mt tữỡng ứng trong X v Z: Ngo i ra cĂc toĂn tò liản hổp A v
cp fZ; Z g tữỡng ứng l
BjX :
fX; Xg l
Chứng minh. V AjZ = B , tnh trũ mt ca D(A jZ ) trong Z thu ữổc trỹc tip t nh
lỵ 1.4.3. Mt khĂc, D(AjZ ) D(AjX ) v Z trũ mt trong X nản D(AjX ) trũ mt trong X:
Lp lun tữỡng tỹ nhữ

i vợi AjZ = B , ta thĐy AjX l

toĂn tò liản hổp (BjX )

ca BjX i vợi cp liản hổp fX; Xg: Khflng nh cặn li suy ra trỹc tip t (1) trong nh
lỵ 1.4.3.

1.7

Khổng gian Sobolev-Lebesgue

1.7.1
Cho

Biản ca min
n

l mt tp m trong R . Ta nõi rng

cõ biản @ liản tửc (tữỡng ứng

m

Lipschitz, thuc lợp C (m = 1; 2; 3; : : :)) nu vợi mồi x 2 @ , tỗn ti mt lƠn cn V
n
ca x trong R v mt hằ tồa
trỹc giao mợi (y1; : : : ; yn) sao cho
1. V l mt hnh hp trong hằ tồa mợi:
V

= f(y1; : : : ; yn); ai < yi < ai; i = 1; : : : ; ng;
m

2. Tỗn ti mt h m liản tửc (tữỡng ứng Lipschitz, thuc lợp C ) xĂc nh trong
0

V = f(y1; : : : ; yn 1); ai < yi < ai; i = 1; : : : ; n

1g

thọa mÂn
0

j(y )j

0

0

an=2 vợi mồi y = (y1; : : : ; yn 1) 2 V ;
0

0

\ V = fy = (y ; yn) 2 V ; yn > (y )g;
0

0

@ \ V = fy = (y ; yn) 2 V ; yn = (y )g;
3. kkC(V 0) c (tữỡng ứng kkLip(V 0) c; hoc kkCm(V 0) c) vợi mt hng s c > 0 n o õ.

14


1.7.2

Khổng gian Sobolev vợi cĐp nguyản
n

k

Cho l mt tp m trong R : Vợi 1 p 1 v k = 0; 1; 2; : : :, k hiằu H p ( ) l khổng
gian cĂc h m u thuc lợp Lp( ) sao cho cĂc o h m riảng D u n cĐp k u
thuc Lp( ) theo nghắa phƠn b, Ơy = ( 1; 2; : : : ; n) l mt a ch s v
ca o h m riảng D u l

k

Vợi chu'n n y Hp ( ) l
khổng gian Hilbert vợi tch trong
hu; viH2k =
Trong trữớng hổp l
min b chn trong R vợi biản
xƠy dỹng mt toĂn tò m rng bin cĂc h m trong
nh lỵ 1.7.1. GiÊ sò
Khi õ tỗn ti mt toĂn tò tuyn tnh C bin cĂc h m trong
vợi cĂc tnh chĐt sau
1. (Cu)j = u;
k

k

n

2. C l mt toĂn tò liản tửc t Hp ( ) v o Hp (R ) (1 p 1, k = 0; 1; 2; : : :) thọa mÂn

Cu

k

A

kHpk(Rn)

p;kk

u

kHpk( )

;

Ơy Ap;k > 0 l hng s ch phử thuc v o p v k:

1.7.3

Khổng gian Sobolev-Lebesgue trong R

n

k

Khi 1 < p < 1, khổng gian Sobolev H p ( ) cõ th ữổc m rng cho trữớng hổp
n

cĂc cĐp k khổng nguyản. Trong mửc n y, chúng ta xt = R . GiÊ sò s 0, k hiằu
s

n

Hp (R ) l khổng gian cĂc h m cõ tnh chĐt nhữ sau
s
n
n 0
1
2 s
n
Hp (R ) = fu 2 S(R ) : F [(1 + j j )2 Fu] 2 Lp(R )g;
n 0

Ơy S(R ) l khổng gian cĂc h m suy rng tông chm, F, F
n 0

1

tữỡng ứng l php bin

s

n

s

n

i Fourier, php bin i Fourier ngữổc trản S(R ) . Hp (R ) l mt khổng gian
Banach vợi chu'n
1

2

kukHps = kF [(1 + j j )2s Fu]kLp ;

u 2 Hp (R ):


15